ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Очный тур олимпиады школьников СПбГУ 2014-2015 по математике / Задания и решения
  • Вариант 5. Задача №6.
    В конус помещены `4` шара, касающихся друг друга (внешним образом) и боковой поверхности конуса. Три шара имеют радиус `3` и касаются также основания конуса. Найдите радиус `4`-го шара, если угол между образующей и основанием конуса равен `pi/3`.

    Решение:
    1) Рассмотрим следующую треугольную пирамиду: `A,B,C` - центры шаров с радиусом `3`, `D` - центр шара неизвестного радиуса `r`.
    `AB=BC=AC=6`,
    `AD=BD=CD=r+3`,
    `AO=BO=CO=2/3*sqrt(3)/2*6=2sqrt(3)`,
    `DO=sqrt(AD^2-AO^2)=sqrt((r+3)^2-12)=sqrt((r^2+6r-3)`.

    2) Рассмотрим сечение конуса проходящее через центры `2` шаров (одного с радиусом `3` и одного с радиусом `r`) и перпендикулярное основанию конуса.
    Тогда углы `/_QKA=/_LKA=/_DNM=pi/6`.
    `AQ=AL=OP=3`,
    `KQ=KL=3sqrt(3)`,
    `AO=QP=2sqrt(3)`,
    `AD=3+r`,
    `DO=sqrt((r^2+6r-3)`,
    `NM=rsqrt(3)`,
    `ND=2r`,
    `/_LAD=beta=2pi-OAD-OAQ-QAL=`
    `=2pi-pi/2-(2pi)/3-alpha=(5pi)/6-alpha`.

    `ML=DH=AD*sin(beta)=AD*sin((5pi)/6-alpha)=`
    `=AD*(1/2cosalpha+sqrt(3)/2sinalpha)=AD*(1/2*(OA)/(AD)+sqrt(3)/2*(OD)/(AD))=`
    `=1/2OA+sqrt(3)/2OD=sqrt(3)+sqrt(3)/2*sqrt((r^2+6r-3)`.

    `KP^2+NP^2=KN^2`.
    `(3sqrt(3)+2sqrt(3))^2 + (3+sqrt((r^2+6r-3)+2r)^2 =`
    `=(rsqrt(3)+3/2+sqrt(3)/2*sqrt((r^2+6r-3)+3sqrt(3))^2`.
    `(3sqrt(3)+2sqrt(3))^2 + (3+sqrt((r^2+6r-3)+2r)^2 =`
    `= (rsqrt(3)+sqrt(3)+sqrt(3)/2*sqrt(r^2+6r-3)+3sqrt(3))^2`.
    `(5sqrt(3))^2 + (3+sqrt((r^2+6r-3)+2r)^2 =`
    `= (rsqrt(3)+sqrt(3)/2*sqrt(r^2+6r-3)+4sqrt(3))^2`.
    `75 + (3+2*(1/2*sqrt(r^2+6r-3)+r))^2 =`
    `= (sqrt(3)*(r+1/2*sqrt(r^2+6r-3))+4sqrt(3))^2`.

    Сделаем замену `1/2sqrt(r^2+6r-3)+r=t`,
    `75 + (3+2t)^2 = (tsqrt(3)+4sqrt(3))^2`,
    `75 + 9+12t+4t^2 = 3t^2+24t+48`,
    `t^2 - 12*t + 36= 0`,
    `(t-6)^2=0`,
    `t=6`,
    `1/2*sqrt(r^2+6r-3)+r=6`,
    `sqrt(r^2+6r-3)=-2r+12`,
    `r^2+6r-3=4r^2-48r+144`,
    `3r^2-54r+147=0`,
    `r^2-18r+49=0`.

    `r_1=9+4sqrt(2)` - не подходит, т.к. в правой части выражения `sqrt(r^2+6r-3)=-2r+12` получим отрицательное число, но корень не может быть отрицательным.
    `r_2=9-4sqrt(2)`.

    Ответ: `r = 9-4sqrt(2)`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике