ДВИ по математике в МГУ (21 июля 2017 - резервный день)

18.07.2017. Поступили материалы ДВИ по математике.
Подключение платное, тариф Light (30 тыс. руб.), Стандарт (40 тыс. руб.).
dvi@olympiads.biz - для вопросов и заявок.
Олимпиада Ломоносов 2015-2016 по математике / Задания и решения отборочного этапа


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Внимание: 2 тур отборочного этапа размещен в другой теме (ссылка на тему).

    В этой теме выкладываются задания и решения заочного тура (отборочный этап) олимпиады Ломоносов 2016 по математике.
    Материалы за прошлые годы выложены в разделе Ломоносов:
    Ломоносов 2015: заключительный этап, отборочный этап (1 тур, 2 тур).
    Ломоносов 2014: заключительный этап, отборочный этап (1 тур, 2 тур, 3 тур).
    Ломоносов 2013: заключительный этап, отборочный этап.
    Ломоносов 2012: заключительный этап, отборочный этап.
    Ломоносов 2011: заключительный этап, отборочный этап.
    Ломоносов 2005-2010: задания и решения.

    Олимпиада Ломоносов 2015-2016 стартует в октябре (регистрация на официальном сайте), отборочный этап (заочный тур) проводится в ноябре-январе. Последние два года отборочный этап состоял из 2-3 независимых туров. Достаточно успешно пройти один тур, чтобы стать участником заключительного этапа. В прошлом учебном году таких туров было два, первый прошел в конце ноября, второй в конце декабря. На каждом туре дается 10 основных заданий + 2 простые задачи. Простые задачи стоят по 1 баллу, основные задачи 9 или 100, общая сумма 100 баллов. Для прохождения на очный тур, как правило, достаточно получить 70+ баллов, т.е. успешно решить 7-8 основных задач.
    Итоги отборочного этапа подводятся в конце января - начале февраля. Заключительный этап проводится в первой половине марта, на нескольких региональных площадках.

    В этой теме будут выложены задания и решения первого тура, также иная полезная информация по олимпиаде Ломоносов 2015-2016 по математике (регламент, расписание, итоги, статистика, учебные пособия). Следите за обновлениями темы.
  • Решения и ответы на задания всех вариантов смотрите на следующей странице.
    Внимание: решения и ответы выложены после 23-59 10 ноября, т.е. сразу после завершения олимпиады.
    Частичные решения (5 решений + 5 подсказок) одного из вариантов рассылались нашим подписчикам (рассылки бесплатные).
    Полные решения индивидуальных вариантов оформлялись на платной основе - 5 тыс. руб.
    Идет запись на 2 тур (25-28 ноября). Записывайтесь заранее, чтобы не было такого цейтнота, как на 1 туре.
    Сейчас можно записаться на любую из этих дат - 26, 27, 28 ноября.
    info@olympiads.biz - почта для бронирования мест.


    Задачи немного проще прошлого года. Если у вас 9 правильных ответов, второй тур можете пропускать. Если меньше, второй тур обязателен для участия, проходной балл может быть высоким.
    В каждом номере было 1-4 типа заданий и до 8 вариантов. Итого 51 задача. Приведены решения всех типов и ответы на остальные задачи.
    Разные типы = внутри номеров есть задачи, решения которых схожи, но имеют определенные различия. Степень сходства везде разная, но везде надо понимать суть решения, обычной подстановкой других чисел задачу не решить.
    Внутри одного типа задачи, которые решаются подстановкой своих чисел, их решения мы не стали приводить, только ответы.

    Разминка.
    1. Решите уравнение
    `((x^2-1)(x-3))/|x-1|=0`.
    В ответе запишите сумму всех его корней.
    Решение:
    ОДЗ: `x!=1`.
    Корни `x=+-1,3`, один корень выкидываем.
    Сумма оставшихся `3-1=2`.
    Ответ: `2`.
    2. Площадь прямоугольного равнобедренного треугольника равна `16`. Найдите длину гипотенузы треугольника.
    Решение:
    `a` - катет, тогда `asqrt2` - гипотенуза.
    `1/2a^2=16 => a^2=32 => 2a^2=64 => asqrt2=8`.
    Ответ: `8`.

    Основное задание.
    Задача №1 (1 тип, 5 вариантов, приводится решение 1 типа).
    Какое наибольшее количество подарков для детей можно собрать из `462` пряников, `539` конфет и `308` шоколадок, чтобы в каждом подарке было одинаковое количество пряников, одинаковое количество конфет и одинаковое количество шоколадок и все пряники, конфеты и шоколадки были использованы?
    Решение:
    1. В каждом подарке `m` пряников, `n` конфет и `k` шоколадок.
    Пусть `p` - наибольшее количество подарков.
    Тогда, `{(mp=462),(np=539),(kp=308):}`.
    Следовательно, `p=НОД(462,539,308)`.
    2. `462=2*3*7*11, 539=7^2*11, 308=2^2*7*11`.
    `p=7*11=77`.
    Ответ: `77`.
  • Задача №2 (1 тип, 4 немного различных варианта, приводится решение одного варианта).
    Найдите значение выражения
    `(2/a+2/(b+c))(1/a-1/(b+c))^(-1)(1+(b^2+c^2-a^2)/(2bc))(a+b+c)^(-2)`,
    если `a=3pi`, а `b` и `c` - корни уравнения `2015x^2-2016x+2=0`.
    Решение:
    1. Произведение первых двух дробей дает дробь `(2(a+b+c))/(b+c-a)` (после сокращений).
    2. `(1+(b^2+c^2-a^2)/(2bc))(a+b+c)^(-2)=((b+c)^2-a^2)/(2bc(a+b+c)^2)=`
    `=((b+c-a)(b+c+a))/(2bc(a+b+c)^2)=(b+c-a)/(2bc(a+b+c))`.
    3. `(2(a+b+c))/(b+c-a)*(b+c-a)/(2bc(a+b+c))=1/(bc)`.
    По теореме Виета `bc=2/2015 => 1/(bc)=2015/2=1007,5`.
    Ответ: `1007,5`.
  • Задача №3 (2 или 4 типа, 8 вариантов, приводится решения 4 типов).
    На окружности пытаются разместить `21` черную и `15` белых точек так, чтобы среди них можно было насчитать как можно больше всевозможных троек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников с черными вершинами у прямых углов. Каково наибольшее количество таких троек?
    Решение:
    1. Условие не однозначное, будем считать, что годятся треугольники с черной вершиной у прямого угла и другими вершинами любого цвета.
    ББЧ - треугольники с `2` белыми и `1` черной вершиной у прямого угла.
    ЧЧЧ - треугольники с `3` черными вершинами.
    БЧЧ - треугольники с `1` белой и `2` черными вершинами, одна черная вершина у прямого угла.
    Решим задачу в общем случае, где `2k+1` белых и `2n+1` черных вершин, при этом `n>k`.
    При расстановке точек используем три очевидных факта:
    a. Прямой угол опирается только на диаметр.
    b. Нет совпадающих точек.
    c. Если две точки составляют диаметр, то любая другая точка не может составить с ними диаметр.
    2. Первый вариант расстановки точек:
    ББЧ: `k(2n+1)` - `k` пар белых точек со всеми черными точками.
    ЧЧЧ: `n(2n-1)` - `n` пар черных точек со всеми остальными черными точками.
    БЧЧ: `2n` - пара "лишних" точек (белая+черная) со всеми остальными черными точками.
    `sumDelta=k(2n+1)+n(2n-1)+2n=(2n+1)(n+k)`.
    Второй вариант:
    БЧЧ: `2n(2k+1) - 2k+1` цветная пара со всеми остальными черными точками.
    ЧЧЧ: `(n-k)(2n-1)` - `(n-k)` пар черных точек со всеми остальными черными точками.
    `sumDelta=2n(2k+1)+(n-k)(2n-1)=(2n+1)(n+k)`.
    Промежуточные варианты дадут такое же (инвариант) или не превосходящее количество треугольников.
    В нашем случае `n=10, k=7 => sumDelta=21*17=357`.
    Ответ: `357`.
  • Задача №4 (3 типа, 3 варианта, приводятся решения всех типов).
    Найдите все четырёхзначные числа, которые уменьшаются в `16` раз после отбрасывания первой цифры. В ответе укажите сумму всех таких чисел.
    Решение:
    1. `n=bar(abcd)` - искомое число, `a!=0`.
    `16*bar(bcd)=bar(abcd)`,
    `16*bar(bcd)=1000a+bar(bcd)`,
    `15*bar(bcd)=1000a`,
    `3*bar(bcd)=200a`.
    2. Следовательно, `a vdots 3`.
    a. `a=3 => bar(bcd)=200, b=2,c=d=0 => n=3200`.
    b. `a=6 => bar(bcd)=400, b=2,c=d=0=> n=6400`.
    c. `a=9 => bar(bcd)=600, b=6,c=d=0 => n=9600`.
    `sumn=3200+6400+9600=19200`.
    Ответ: `19200`.
  • Задача №5 (3 типа, 8+ вариантов, приводятся решения 3 типов).
    В треугольнике со сторонами `AB=BC=sqrt10, AC=6` на основании `AC` выбрана точка `N` так, что `AN:NC=2:1`.
    Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников `ABN` и `CBN`.
    При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
    Решение:
    1. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, поэтому искомый отрезок `XY` лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к общей стороне `BN`.
    `/_BAC` равен половине дуги `BN`, `/_BXY` тоже равен половине дуги `BN`, поскольку `XY` делит ее пополам.
    `/_BAC=/_BXY`, аналогично `/_BCA=/_BYX`.
    Все углы равны, обозначим их через `alpha`.
    2. `DeltaXBY` подобен `DeltaABC => XB=BY`.
    `XB` - радиус первой окружности, `BY` - радиус второй окружности, поэтому окружности равны.
    `XB=BY=R`.
    3. Найдем `R` из `DeltaABN`.
    `AB=sqrt10, AN=2/3AC=2/3*6=4`.
    `R=(BN)/(2sinalpha)`.
    `(BC)/(sinalpha)=(AC)/sin(pi-2alpha)`,
    `cosalpha=(AC)/(2BC)=3/sqrt10 => sinalpha=1/sqrt10`.
    `BN^2=AB^2+AN^2-2AB*ANcosalpha=10+16-8sqrt10*3/sqrt10=26-24=2`.
    `BN=sqrt2 => R=sqrt20/2=sqrt5`.
    `XY=R*(sin2alpha)/(sinalpha)=2Rcosalpha=2sqrt5*3/sqrt10=3sqrt2`.
    `XY=3sqrt2 ~~ 4,24`.
    Ответ: `4,24`.
  • Задача №6 (2 типа, 4 варианта, приводятся решения 2 типов).
    Найдите наибольшее значение величины
    `sqrt((x+y)/2)-sqrt(xy)`,
    если известно, что
    `sqrty-sqrtx=sqrt(2xy+1/2)`.
    Решение:
    1. `sqrty-sqrtx=sqrt(2xy+1/2) => y>=x>=0`.
    Возведем в квадрат обе части равенства:
    `x+y-2sqrt(xy)=2xy+1/2`,
    `(x+y)/2=xy+sqrt(xy)+1/4`,
    `(x+y)/2=(sqrt(xy)+1/2)^2`,
    `sqrt((x+y)/2)=sqrt(xy)+1/2` (в силу неотрицательности `x,y`).
    2. Тогда, `sqrt((x+y)/2)-sqrt(xy)=sqrt(xy)+1/2-sqrt(xy)=1/2`.
    Значение искомого выражения постоянная величина, равная `0,5`.
    Это верно при любых `y>=x>=0`, удовлетворяющих исходному равенству, например, `x=0, y=1/2`.
    Ответ: `0,5`.
  • Задача №7 (2 типа, 4 варианта, приведены решения 2 типов).
    Решите уравнение
    `5sin(2x+arcsin(4/5))+sqrt10cos(x-arcsin(sqrt10/10))=7`.
    В ответе укажите сумму всех решений, принадлежащих промежутку
    `((3pi)/2;(13pi)/6)`,
    при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.
    Решение:
    1. `cos(arcsint)=sqrt(1-t^2)`.
    `sin(2x+arcsin(4/5))=3/5sin2x+4/5cos2x`.
    `cos(x-arcsin(sqrt10/10))=3/sqrt10cosx+1/sqrt10sinx`.
    2. Уравнение запишется в виде:
    `3sin2x+4cos2x+3cosx+sinx=7`,
    `(3cosx+sinx)^2-9cos^2x-sin^2x+4cos2x+3cosx+sinx=7`,
    `(3cosx+sinx)^2+(3cosx+sinx)-1-8cos^2x+4(2cos^2x-1)=7`,
    `(3cosx+sinx)^2+(3cosx+sinx)-12=0`.
    Замена `3cosx+sinx=t`: `t^2+t-12=0, t_1=3, t_2=-4`.
    3a. `3cosx+sinx=3`,
    `3(1-cosx)-sinx=0`,
    `6sin^2(x/2)-2sin(x/2)cos(x/2)=0`,
    `sin(x/2)*(3sin(x/2)-cos(x/2))=0`,
    `sin(x/2)=0 => x=2pik, k in ZZ`,
    `3sin(x/2)-cos(x/2)=0 => tan(x/2)=1/3 => x=2arctan(1/3)+2pin, n in ZZ`,
    `2arctan(1/3) ~~ 0,2pi => x=0,2pi+2pin, n in ZZ`.
    3b. `3cosx+sinx=-4`,
    `3cosx>=-3, sinx>=-1 => 3cosx+sinx>=-4`.
    Равенство выполняется только при `cosx=sinx=-1`, что невозможно.
    4. `x in ((3pi)/2;(13pi)/6)~~(1,5pi;2,167pi)`.
    В заданном интервале находится только один корень `x=2pi ~~ 6,28`.
    Ответ: `6,28`.
  • Задача №8 (1 тип, 4 варианта, приведено решение одного типа).
    В правильной четырёхугольной пирамиде `SABCD` с вершиной `S` ребро основания равно `a=24sqrt2`, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен `arccos(2/3)`.
    Проводится сечение пирамиды плоскостью, параллельной `SC` и `BD`, причём так, что в это сечение можно вписать окружность.
    Найдите всевозможные значения радиусов этих окружностей. В ответ запишите сумму целых значений таких радиусов.
    Решение:
    1. `SH` - высота пирамиды, `H` - центр основания, `/_SAH=arccos(2/3)`.
    `AH=1/2AC=(24sqrt2*sqrt2)/2=24`.
    `SA=(AH)/(sin(pi/2-/_SAH))=(AH)/(cos/_SAH)=(24)/(2/3)=36`.
    Рассмотрим особый случай, когда сечение проходит через прямую `BD` и пересекает `SA` в точке `A_1`.
    По условию, `A_1H || SC => A_1H` - средняя линия `DeltaSAC => A_1A=A_1S=1/2SA=18`.
    Все сечения с искомыми радиусами паралельны плоскости `A_1BD` и разбиваются на две группы - треугольники и пятиугольники.
    2. Треугольники.
    Все такие треугольники подобны `DeltaA_1BD`, в любой треугольник можно вписать окружность, поэтому радиусы этих окружностей лежат в интервале `(0;r)`, где `r` - радиус вписанной окружности `DeltaA_1BD`.
    `A_1B` - медиана `DeltaSAB`:
    `A_1B=sqrt(2a^2+2SB^2-SA^2)/2=sqrt(2a^2+SA^2)/2=sqrt(2304+1296)/2=30`.
    `A_1D=A_1B=30, BD=48 => p=(30+30+48)/2=54`.
    `r=sqrt((24*24*6)/54)=24/3=8`.
    3. Пятиугольники `KLMNT`.
    `K in SA, L in SB, M in BC, N in CD, T in SD`.
    `O` - середина `MN => KLMNT` симметричен относительно `KO`.
    `SC_|_BD => TN_|_MN`.
    `Z` - точка пересечения `TK` и `LM =>` окружность вписана в `TNMZ` (прямоугольная трапеция).
    `/_ZTL=/_A_1DH=alpha`.
    `cosalpha=(HD)/(A_1D)=24/30=4/5, sinalpha=3/5`.
    `r=ON` - радиус вписанной окружности.
    `MN=TL=2r => TZ=(2r)/(cosalpha)=5/2r, ZL=2r*tanalpha=3/2r`.
    `(TN)/(SC)=(DN)/(DC) => TN=DN*(SC)/a`.
    `DN=a-CN=a-(2ra)/(BD) => TN=SC*(1-(2r)/(BD))=`
    `=(SC)/(BD)*(BD-2r)=36/48(48-2r)=36-3/2r`.
    `TNMZ` описан: `TZ+MN=TN+MZ=2TN+ZL`,
    `5/2r+2r=72-3r+3/2r`,
    `6r=72 => r=12`.
    4. `r in (0;8)uu{12}`.
    Целые значения `r`: `1+2+...+7+12=(7*8)/2+12=28+12=40`.
    Ответ: `40`.
  • Задача №9 (2 типа, 6 вариантов, приведено решение 2 типов).
    Найдите максимальное число, принадлежащее множеству значений функции `f(x)=14115sin^2x+10cos^2x+24180sin2x-6048cosx-8064sinx+8050`.
    Решение:
    1. `6048cosx+8064sinx=2016(3cosx+4sinx)`.
    `14115sin^2x+10cos^2x+24180sin2x=14105sin^2x+24180sin2x+10=`
    `=2015(7sin^2x+12sin2x)+10=2015(7sin^2x+12sin2x+9)-9*2015+10=`
    `=2015(16sin^2x+24sinxcosx+9cos^2x)-9*2015+10=`
    `=2015(3cosx+4sinx)^2-9*2015+10`.
    2. Замена `3cosx+4sinx=t`, где `t in (-7;7)` - грубая оценка.
    `f(t)=2015t^2-9*2015+10-2016t+8050=2015t^2-2016t-10075`.
    Учитывая ограничения на `t`, очевидно, что `f->max` при `t->min`.
    3. Метод дополнительного аргумента:
    `t=5(3/5cosx+4/5sinx)=5sin(x+phi)`, где `phi=arcsin(3/5)`.
    `t_min=-5` при `x=-phi-pi/2+2pik, k in ZZ`.
    `f_max=2015*25+2016*5-10075=50375+10080-10075=50380`.
    Ответ: `50380`.
  • Задача №10 (2-3 типа, 5+ вариантов, приведены решения 3 типов).
    Найдите все значения `y`, при каждом из которых ровно два целых значения `x` удовлетворяют неравенству `sqrt(y^2-4x^4)>2x+y`.
    В ответе укажите сумму всех найденных целочисленных значений `y`.
    Решение:
    1. Пусть существует `x>=2` такой, что `sqrt(y^2-4x^4)>2x+y`.
    Тогда, `sqrt(y^2-4t^4)>=sqrt(y^2-4x^4)>2x+y>=2t+y` для всех `t=+-1,+-2`.
    Получили `4` целых значения `x`, удовлетворяющих неравенству, чего не может быть по условию.
    Поэтому, `x<2`.
    При `x=0` неравенство верно для `y<0`.
    При `x=1`: `sqrt(y^2-4)>y+2 => y in (-oo;-2)`.
    <b>2.</b> Пусть `x=-n, n in NN`.
    `sqrt(y^2-4n^4)>y-2n`.
    ОДЗ: `|y|>=2n^2`.
    Пусть `y<=-2n^2 => sqrt(y^2-4n^4)>=0> -2n^2-2n` - неравенство выполняется.
    `y>=2n^2 => y-2n>=2n^2-2n>=0` - возведем неравенство в квадрат:
    `y^2-4n^4>y^2-4yn+4n^2`,
    `yn>n^4+n^2`,
    `y>n^3+n`.
    Заметим, что `n^3+n>=2n^2` при всех `n>=0`.
    Итак, `y in (-oo;-2n^2]uu(n^3+n;+oo)`.
    3. Из предыдущего пункта следует, что при `y in (-oo;-2n^2]uu(n^3+n;+oo)` существует целое решение `x=-n`.
    Множества вложенные в друг друга, поэтому для множества значений `y`, которое соответствует `n=3` (`y in (-oo;-18]uu(30;+oo)`), получим целые решения `x=-3,-2,-1`, что противоречит условию задачи.
    Следовательно, `y in (-18;30]`. Этому интервалу могут подойти только `x=-2,-1,0,1` (среди целых `x`). Выпишем каждый случай:
    a. `x=-2`: `y in (-18;-8]uu(10;30]`.
    b. `x=-1`: `y in (-18;-2]uu(2;30]`.
    c. `x=1`: `y in (-18;-2)`.
    d. `x=0`: `y in (-oo;0)`.
    4. Осталось найти все такие множества `y`, при которых будет ровно два целых `x`.
    `y=-2`: `x=-1;0`.
    `y in (10;30]`: `x=-2;-1`.
    `sumy=-2+11+12+...+30=-2+(11+30)/2*20=408`.
    Ответ: `408`.

    Решения и ответы на задания всех вариантов смотрите на следующей странице.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике