Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Ломоносов 2015-2016 по математике / Задания и решения отборочного этапа
  • Внимание: решения и ответы выложены после 23-59 10 ноября, т.е. сразу после завершения олимпиады.
    Частичные решения (5 решений + 5 подсказок) одного из вариантов рассылались нашим подписчикам (рассылки бесплатные).
    Полные решения индивидуальных вариантов оформлялись на платной основе - 5 тыс. руб.
    Идет запись на 2 тур (25-28 ноября). Записывайтесь заранее, чтобы не было такого цейтнота, как на 1 туре.
    Сейчас можно записаться на любую из этих дат - 26, 27, 28 ноября.
    info@olympiads.biz - почта для бронирования мест.


    Задачи немного проще прошлого года. Если у вас 9 правильных ответов, второй тур можете пропускать. Если меньше, второй тур обязателен для участия, проходной балл может быть высоким.
    В каждом номере было 1-4 типа заданий и до 8 вариантов. Итого 51 задача. Приведены решения всех типов и ответы на остальные задачи.
    Разные типы = внутри номеров есть задачи, решения которых схожи, но имеют определенные различия. Степень сходства везде разная, но везде надо понимать суть решения, обычной подстановкой других чисел задачу не решить.
    Внутри одного типа задачи, которые решаются подстановкой своих чисел, их решения мы не стали приводить, только ответы.

    Update 15.11.2015: Выложены официальные ответы первого тура (ссылка).
    Все наши ответы и решения совпали, за исключением последнего варианта в 7 номере (7-4).
    Наш ответ (`-6.28`) верный, поскольку официальный ответ (`-9.42`) заведомо не лежит в указанном в условии интервале, т.е. заведомо неверный. Если ваш ответ (`-6.28`) - подавайте на апелляцию.

    Разминка.
    1. Решите уравнение
    `((x^2-1)(x-3))/|x-1|=0`.
    В ответе запишите сумму всех его корней.
    Решение:
    ОДЗ: `x!=1`.
    Корни `x=+-1,3`, один корень выкидываем.
    Сумма оставшихся `3-1=2`.
    Ответ: `2`.
    2. Площадь прямоугольного равнобедренного треугольника равна `16`. Найдите длину гипотенузы треугольника.
    Решение:
    `a` - катет, тогда `asqrt2` - гипотенуза.
    `1/2a^2=16 => a^2=32 => 2a^2=64 => asqrt2=8`.
    Ответ: `8`.

    Основное задание.
    Задача №1 (1 тип, 5 вариантов, приводится решение 1 типа).
    Какое наибольшее количество подарков для детей можно собрать из `462` пряников, `539` конфет и `308` шоколадок, чтобы в каждом подарке было одинаковое количество пряников, одинаковое количество конфет и одинаковое количество шоколадок и все пряники, конфеты и шоколадки были использованы?
    Решение:
    1. В каждом подарке `m` пряников, `n` конфет и `k` шоколадок.
    Пусть `p` - наибольшее количество подарков.
    Тогда, `{(mp=462),(np=539),(kp=308):}`.
    Следовательно, `p=НОД(462,539,308)`.
    2. `462=2*3*7*11, 539=7^2*11, 308=2^2*7*11`.
    `p=7*11=77`.
    Ответ: `77`.

    Задача №1.
    Какое наибольшее количество подарков для детей можно собрать из `234` пряников, `273` конфет и `156` шоколадок, чтобы в каждом подарке было одинаковое количество пряников, одинаковое количество конфет и одинаковое количество шоколадок и все пряники, конфеты и шоколадки были использованы?
    Ответ: `39`.

    Задача №1.
    Какое наибольшее количество подарков для детей можно собрать из `198` пряников, `462` конфет и `132` шоколадок, чтобы в каждом подарке было одинаковое количество пряников, одинаковое количество конфет и одинаковое количество шоколадок и все пряники, конфеты и шоколадки были использованы?
    Ответ: `66`.

    Задача №1.
    Какое наибольшее количество подарков для детей можно собрать из `273` пряников, `637` конфет и `182` шоколадок, чтобы в каждом подарке было одинаковое количество пряников, одинаковое количество конфет и одинаковое количество шоколадок и все пряники, конфеты и шоколадки были использованы?
    Ответ: `91`.

    Задача №1.
    Какое наибольшее количество подарков для детей можно собрать из `234` пряников, `546` конфет и `156` шоколадок, чтобы в каждом подарке было одинаковое количество пряников, одинаковое количество конфет и одинаковое количество шоколадок и все пряники, конфеты и шоколадки были использованы?
    Ответ: `78`.
  • Задача №2 (1 тип, 4 немного различных варианта, приводится решение одного варианта).
    Найдите значение выражения
    `(2/a+2/(b+c))(1/a-1/(b+c))^(-1)(1+(b^2+c^2-a^2)/(2bc))(a+b+c)^(-2)`,
    если `a=3pi`, а `b` и `c` - корни уравнения `2015x^2-2016x+2=0`.
    Решение:
    1. Произведение первых двух дробей дает дробь `(2(a+b+c))/(b+c-a)` (после сокращений).
    2. `(1+(b^2+c^2-a^2)/(2bc))(a+b+c)^(-2)=((b+c)^2-a^2)/(2bc(a+b+c)^2)=`
    `=((b+c-a)(b+c+a))/(2bc(a+b+c)^2)=(b+c-a)/(2bc(a+b+c))`.
    3. `(2(a+b+c))/(b+c-a)*(b+c-a)/(2bc(a+b+c))=1/(bc)`.
    По теореме Виета `bc=2/2015 => 1/(bc)=2015/2=1007,5`.
    Ответ: `1007,5`.

    Задача №2.
    Найдите значение выражения
    `(1/a+1/(b+c))^(-1)(1/a-1/(b+c))(1+(b^2+c^2-a^2)/(2bc))^(-1)((a+b+c)/2)^2`,
    если `a=4pi`, а `b` и `c` - корни уравнения `2x^2-2016x+2015=0`.
    Ответ: `503,75`.

    Задача №2.
    Найдите значение выражения
    `(1/a+1/(b+c))^(-1)(1/a-1/(b+c))(1+(b^2+c^2-a^2)/(2bc))^(-1)(a+b+c)^2/2`,
    если `a=2pi`, а `b` и `c` - корни уравнения `2x^2-2015x+2015=0`.
    Ответ: `1007,5`.

    Задача №2.
    Найдите значение выражения
    `(1/a+1/(b+c))(1/a-1/(b+c))^(-1)(1+(b^2+c^2-a^2)/(2bc))(a+b+c)^(-2)`,
    если `a=pi`, а `b` и `c` - корни уравнения `2015x^2-2015x+2=0`.
    Ответ: `503,75`.
  • Задача №3 (2 или 4 типа, 8 вариантов, приводится решения 4 типов).
    На окружности пытаются разместить `21` черную и `15` белых точек так, чтобы среди них можно было насчитать как можно больше всевозможных троек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников с черными вершинами у прямых углов. Каково наибольшее количество таких троек?
    Решение:
    1. Условие не однозначное, будем считать, что годятся треугольники с черной вершиной у прямого угла и другими вершинами любого цвета.
    ББЧ - треугольники с `2` белыми и `1` черной вершиной у прямого угла.
    ЧЧЧ - треугольники с `3` черными вершинами.
    БЧЧ - треугольники с `1` белой и `2` черными вершинами, одна черная вершина у прямого угла.
    Решим задачу в общем случае, где `2k+1` белых и `2n+1` черных вершин, при этом `n>k`.
    При расстановке точек используем три очевидных факта:
    a. Прямой угол опирается только на диаметр.
    b. Нет совпадающих точек.
    c. Если две точки составляют диаметр, то любая другая точка не может составить с ними диаметр.
    2. Первый вариант расстановки точек:
    ББЧ: `k(2n+1)` - `k` пар белых точек со всеми черными точками.
    ЧЧЧ: `n(2n-1)` - `n` пар черных точек со всеми остальными черными точками.
    БЧЧ: `2n` - пара "лишних" точек (белая+черная) со всеми остальными черными точками.
    `sumDelta=k(2n+1)+n(2n-1)+2n=(2n+1)(n+k)`.
    Второй вариант:
    БЧЧ: `2n(2k+1) - 2k+1` цветная пара со всеми остальными черными точками.
    ЧЧЧ: `(n-k)(2n-1)` - `(n-k)` пар черных точек со всеми остальными черными точками.
    `sumDelta=2n(2k+1)+(n-k)(2n-1)=(2n+1)(n+k)`.
    Промежуточные варианты дадут такое же (инвариант) или не превосходящее количество треугольников.
    В нашем случае `n=10, k=7 => sumDelta=21*17=357`.
    Ответ: `357`.

    Задача №3.
    На окружности пытаются разместить `20` черных и `40` белых точек так, чтобы среди них можно было насчитать как можно больше всевозможных троек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников с черными вершинами у прямых углов. Каково наибольшее количество таких троек?
    Решение:
    1. Условие не однозначное, будем считать, что годятся треугольники с черной вершиной у прямого угла и другими вершинами любого цвета.
    ББЧ - треугольники с `2` белыми и `1` черной вершиной у прямого угла.
    ЧЧЧ - треугольники с `3` черными вершинами.
    БЧЧ - треугольники с `1` белой и `2` черными вершинами, одна черная вершина у прямого угла.
    Решим задачу в общем случае, где `2k` белых и `2n` черных вершин, при этом `nПри расстановке точек используем три очевидных факта:
    a. Прямой угол опирается только на диаметр.
    b. Нет совпадающих точек.
    c. Если две точки составляют диаметр, то любая другая точка не может составить с ними диаметр.
    2. Первый вариант расстановки точек:
    ББЧ: `k*2n` - `k` пар белых точек со всеми черными точками.
    ЧЧЧ: `n(2n-2)` - `n` пар черных точек со всеми остальными черными точками.
    `sumDelta=k*2n+n(2n-2)=2nk+2n^2-2n=2n(k+n-1)`.
    Второй вариант:
    БЧЧ: `2n(2n-1) - 2n` цветных пар со всеми остальными черными точками.
    ББЧ: `(k-n)*2n` - `(k-n)` пар белых точек со всеми остальными черными точками.
    `sumDelta=2n(2n-1)+(k-n)*2n=2n(k+n-1)`.
    Промежуточные варианты дадут такое же (инвариант) или не превосходящее количество треугольников.
    В нашем случае `n=10, k=20 => sumDelta=20*29=580`.
    Ответ: `580`.

    Задача №3.
    На окружности пытаются разместить `40` черных и `10` белых точек так, чтобы среди них можно было насчитать как можно больше всевозможных троек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников с черными вершинами у прямых углов. Каково наибольшее количество таких троек?
    Решение:
    1. Условие не однозначное, будем считать, что годятся треугольники с черной вершиной у прямого угла и другими вершинами любого цвета.
    ББЧ - треугольники с `2` белыми и `1` черной вершиной у прямого угла.
    ЧЧЧ - треугольники с `3` черными вершинами.
    БЧЧ - треугольники с `1` белой и `2` черными вершинами, одна черная вершина у прямого угла.
    Решим задачу в общем случае, где `2k` белых и `2n` черных вершин, при этом `n>k`.
    При расстановке точек используем три очевидных факта:
    a. Прямой угол опирается только на диаметр.
    b. Нет совпадающих точек.
    c. Если две точки составляют диаметр, то любая другая точка не может составить с ними диаметр.
    2.. Первый вариант расстановки точек:
    ББЧ: `k*2n` - `k` пар белых точек со всеми черными точками.
    ЧЧЧ: `n(2n-2)` - `n` пар черных точек со всеми остальными черными точками.
    `sumDelta=k*2n+n(2n-2)=2nk+2n^2-2n=2n(k+n-1)`.
    Второй вариант:
    БЧЧ: `2k*(2n-1) - 2k` цветных пар со всеми остальными черными точками.
    ЧЧЧ: `(n-k)*(2n-2)` - `(n-k)` пар черных точек со всеми остальными черными точками.
    `sumDelta=4kn-2k+2n^2-2n-2kn+2k=2kn+2n^2-2n=2n(k+n-1)`.
    Промежуточные варианты дадут такое же (инвариант) или не превосходящее количество треугольников.
    В нашем случае `n=20, k=5 => sumDelta=40*24=960`.
    Ответ: `960`.

    Задача №3.
    На окружности пытаются разместить `15` черных и `41` белую точку так, чтобы среди них можно было насчитать как можно больше всевозможных троек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников с черными вершинами у прямых углов. Каково наибольшее количество таких троек?
    Решение:
    1. Условие не однозначное, будем считать, что годятся треугольники с черной вершиной у прямого угла и другими вершинами любого цвета.
    ББЧ - треугольники с `2` белыми и `1` черной вершиной у прямого угла.
    ЧЧЧ - треугольники с `3` черными вершинами.
    БЧЧ - треугольники с `1` белой и `2` черными вершинами, одна черная вершина у прямого угла.
    Решим задачу в общем случае, где `2k+1` белых и `2n+1` черных вершин, при этом `nПри расстановке точек используем три очевидных факта:
    a. Прямой угол опирается только на диаметр.
    b. Нет совпадающих точек.
    c. Если две точки составляют диаметр, то любая другая точка не может составить с ними диаметр.
    2. Первый вариант расстановки точек:
    ББЧ: `k(2n+1)` - `k` пар белых точек со всеми черными точками.
    ЧЧЧ: `n(2n-1)` - `n` пар черных точек со всеми остальными черными точками.
    БЧЧ: `2n` - пара "лишних" точек (белая+черная) со всеми остальными черными точками.
    `sumDelta=k(2n+1)+n(2n-1)+2n=(2n+1)(n+k)`.
    Второй вариант:
    БЧЧ: `2n(2n+1) - 2n+1` цветная пара со всеми остальными черными точками.
    ББЧ: `(k-n)(2n+1)` - `(k-n)` пар белых точек со всеми черными точками.
    `sumDelta=2n(2n+1)+(k-n)(2n+1)=(2n+1)(n+k)`.
    Промежуточные варианты дадут такое же (инвариант) или не превосходящее количество треугольников.
    В нашем случае `n=7, k=20 => sumDelta=15*27=405`.
    Ответ: `405`.

    Задача №3.
    На окружности пытаются разместить `30` черных и `20` белых точек так, чтобы среди них можно было насчитать как можно больше всевозможных троек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников с черными вершинами у прямых углов. Каково наибольшее количество таких троек?
    Ответ: `720`.

    Задача №3.
    На окружности пытаются разместить `25` черных и `21` белую точку так, чтобы среди них можно было насчитать как можно больше всевозможных троек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников с черными вершинами у прямых углов. Каково наибольшее количество таких троек?
    Ответ: `550`.

    Задача №3.
    На окружности пытаются разместить `11` черных и `45` белых точек так, чтобы среди них можно было насчитать как можно больше всевозможных троек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников с черными вершинами у прямых углов. Каково наибольшее количество таких троек?
    Ответ: `297`.

    Задача №3.
    На окружности пытаются разместить `20` черных и `50` белых точек так, чтобы среди них можно было насчитать как можно больше всевозможных троек, являющихся вершинами прямоугольных треугольников с черными вершинами у прямых углов. Каково наибольшее количество таких троек?
    Ответ: `680`.
  • Задача №4 (3 типа, 3 варианта, приводятся решения всех типов).
    Найдите все четырёхзначные числа, которые уменьшаются в `16` раз после отбрасывания первой цифры. В ответе укажите сумму всех таких чисел.
    Решение:
    1. `n=bar(abcd)` - искомое число, `a!=0`.
    `16*bar(bcd)=bar(abcd)`,
    `16*bar(bcd)=1000a+bar(bcd)`,
    `15*bar(bcd)=1000a`,
    `3*bar(bcd)=200a`.
    2. Следовательно, `a vdots 3`.
    a. `a=3 => bar(bcd)=200, b=2,c=d=0 => n=3200`.
    b. `a=6 => bar(bcd)=400, b=2,c=d=0=> n=6400`.
    c. `a=9 => bar(bcd)=600, b=6,c=d=0 => n=9600`.
    `sumn=3200+6400+9600=19200`.
    Ответ: `19200`.

    Задача №4.
    Найдите все четырёхзначные числа, которые уменьшаются в `17` раз после отбрасывания первой цифры. В ответе укажите сумму всех таких чисел.
    Решение:
    1. `n=bar(abcd)` - искомое число, `a!=0`.
    `17*bar(bcd)=bar(abcd)`,
    `17*bar(bcd)=1000a+bar(bcd)`,
    `16*bar(bcd)=1000a`,
    `2*bar(bcd)=125a`.
    2. Следовательно, `a vdots 2`.
    a. `a=2 => bar(bcd)=125, b=1,c=2,d=5 => n=2125`.
    b. `a=4 => bar(bcd)=250, b=2,c=5,d=0=> n=4250`.
    c. `a=6 => bar(bcd)=375, b=3,c=7,d=5 => n=6375`.
    d. `a=8 => bar(bcd)=500, b=5,c=0,d=0 => n=8500`.
    `sumn=2125+4250+6375+8500=21250`.
    Ответ: `21250`.

    Задача №4.
    Найдите все четырёхзначные числа, которые уменьшаются в `11` раз после отбрасывания первой цифры. В ответе укажите сумму всех таких чисел.
    Решение:
    1. `n=bar(abcd)` - искомое число, `a!=0`.
    `11*bar(bcd)=bar(abcd)`,
    `11*bar(bcd)=1000a+bar(bcd)`,
    `10*bar(bcd)=1000a`,
    `bar(bcd)=100a`.
    2. Подходят все `a in {1,2,...,9}`, при этом `b=a, c=d=0`.
    `sumn=1100+2200+3300+...+9900=(1100+9900)/2*9=49500`.
    Ответ: `49500`.
  • Задача №5 (3 типа, 8+ вариантов, приводятся решения 3 типов).
    В треугольнике со сторонами `AB=BC=sqrt10, AC=6` на основании `AC` выбрана точка `N` так, что `AN:NC=2:1`.
    Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников `ABN` и `CBN`.
    При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
    Решение:
    1. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, поэтому искомый отрезок `XY` лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к общей стороне `BN`.
    `/_BAC` равен половине дуги `BN`, `/_BXY` тоже равен половине дуги `BN`, поскольку `XY` делит ее пополам.
    `/_BAC=/_BXY`, аналогично `/_BCA=/_BYX`.
    Все углы равны, обозначим их через `alpha`.
    2. `DeltaXBY` подобен `DeltaABC => XB=BY`.
    `XB` - радиус первой окружности, `BY` - радиус второй окружности, поэтому окружности равны.
    `XB=BY=R`.
    3. Найдем `R` из `DeltaABN`.
    `AB=sqrt10, AN=2/3AC=2/3*6=4`.
    `R=(BN)/(2sinalpha)`.
    `(BC)/(sinalpha)=(AC)/sin(pi-2alpha)`,
    `cosalpha=(AC)/(2BC)=3/sqrt10 => sinalpha=1/sqrt10`.
    `BN^2=AB^2+AN^2-2AB*ANcosalpha=10+16-8sqrt10*3/sqrt10=26-24=2`.
    `BN=sqrt2 => R=sqrt20/2=sqrt5`.
    `XY=R*(sin2alpha)/(sinalpha)=2Rcosalpha=2sqrt5*3/sqrt10=3sqrt2`.
    `XY=3sqrt2 ~~ 4,24`.
    Ответ: `4,24`.

    Задача №5.
    В треугольнике со сторонами `AB=BC=sqrt29, AC=10` на основании `AC` выбрана точка `N` так, что `AN:NC=3:2`.
    Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников `ABN` и `CBN`.
    При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
    Решение:
    1. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, поэтому искомый отрезок `XY` лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к общей стороне `BN`.
    `/_BAC` равен половине дуги `BN`, `/_BXY` тоже равен половине дуги `BN`, поскольку `XY` делит ее пополам.
    `/_BAC=/_BXY`, аналогично `/_BCA=/_BYX`.
    Все углы равны, обозначим их через `alpha`.
    2. `DeltaXBY` подобен `DeltaABC => XB=BY`.
    `XB` - радиус первой окружности, `BY` - радиус второй окружности, поэтому окружности равны.
    `XB=BY=R`.
    3. Найдем `R` из `DeltaABN`.
    `AB=sqrt29, AN=3/5AC=3/5*10=6`.
    `R=(BN)/(2sinalpha)`.
    `(BC)/(sinalpha)=(AC)/sin(pi-2alpha)`,
    `cosalpha=(AC)/(2BC)=5/sqrt29 => sinalpha=2/sqrt29`.
    `BN^2=AB^2+AN^2-2AB*ANcosalpha=29+36-12sqrt29*5/sqrt29=65-60=5`.
    `BN=sqrt5 => R=sqrt145/4`.
    `XY=R*(sin2alpha)/(sinalpha)=2Rcosalpha=sqrt145/2*5/sqrt29=5/2sqrt5`.
    `XY=5/2sqrt5 ~~ 5,59`.
    Ответ: `5,59`.

    Задача №5.
    В треугольнике со сторонами `AB=BC=sqrt17, AC=8` на основании `AC` выбрана точка `N` так, что `AN:NC=3:1`.
    Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников `ABN` и `CBN`.
    При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
    Решение:
    1. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, поэтому искомый отрезок `XY` лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к общей стороне `BN`.
    `/_BAC` равен половине дуги `BN`, `/_BXY` тоже равен половине дуги `BN`, поскольку `XY` делит ее пополам.
    `/_BAC=/_BXY`, аналогично `/_BCA=/_BYX`.
    Все углы равны, обозначим их через `alpha`.
    2. `DeltaXBY` подобен `DeltaABC => XB=BY`.
    `XB` - радиус первой окружности, `BY` - радиус второй окружности, поэтому окружности равны.
    `XB=BY=R`.
    3. Найдем `R` из `DeltaABN`.
    `AB=sqrt17, AN=3/4AC=3/4*8=6`.
    `R=(BN)/(2sinalpha)`.
    `(BC)/(sinalpha)=(AC)/sin(pi-2alpha)`,
    `cosalpha=(AC)/(2BC)=4/sqrt17 => sinalpha=1/sqrt17`.
    `BN^2=AB^2+AN^2-2AB*ANcosalpha=17+36-12sqrt17*4/sqrt17=53-48=5`.
    `BN=sqrt5 => R=sqrt85/2`.
    `XY=R*(sin2alpha)/(sinalpha)=2Rcosalpha=sqrt85*4/sqrt17=4sqrt5`.
    `XY=4sqrt5 ~~ 8,94`.
    Ответ: `8,94`.

    Задача №5.
    В треугольнике со сторонами `AB=BC=sqrt5, AC=4` на основании `AC` выбрана точка `N` так, что `AN:NC=3:2`.
    Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников `ABN` и `CBN`.
    При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
    Ответ: `2,15`.

    Задача №5.
    В треугольнике со сторонами `AB=BC=5, AC=6` на основании `AC` выбрана точка `N` так, что `AN:NC=2:1`.
    Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников `ABN` и `CBN`.
    При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
    Ответ: `3,09`.

    Задача №5.
    В треугольнике со сторонами `AB=BC=3sqrt2, AC=6` на основании `AC` выбрана точка `N` так, что `AN:NC=2:1`.
    Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников `ABN` и `CBN`.
    При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
    Ответ: `3,16`.

    Задача №5.
    В треугольнике со сторонами `AB=BC=sqrt13, AC=6` на основании `AC` выбрана точка `N` так, что `AN:NC=2:1`.
    Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников `ABN` и `CBN`.
    При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
    Ответ: `3,35`.

    Задача №5.
    В треугольнике со сторонами `AB=BC=5, AC=8` на основании `AC` выбрана точка `N` так, что `AN:NC=3:1`.
    Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников `ABN` и `CBN`.
    При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
    Ответ: `4,81`.
  • Задача №6 (2 типа, 4 варианта, приводятся решения 2 типов).
    Найдите наибольшее значение величины
    `sqrt((x+y)/2)-sqrt(xy)`,
    если известно, что
    `sqrty-sqrtx=sqrt(2xy+1/2)`.
    Решение:
    1. `sqrty-sqrtx=sqrt(2xy+1/2) => y>=x>=0`.
    Возведем в квадрат обе части равенства:
    `x+y-2sqrt(xy)=2xy+1/2`,
    `(x+y)/2=xy+sqrt(xy)+1/4`,
    `(x+y)/2=(sqrt(xy)+1/2)^2`,
    `sqrt((x+y)/2)=sqrt(xy)+1/2` (в силу неотрицательности `x,y`).
    2. Тогда, `sqrt((x+y)/2)-sqrt(xy)=sqrt(xy)+1/2-sqrt(xy)=1/2`.
    Значение искомого выражения постоянная величина, равная `0,5`.
    Это верно при любых `y>=x>=0`, удовлетворяющих исходному равенству, например, `x=0, y=1/2`.
    Ответ: `0,5`.

    Задача №6.
    Найдите наименьшее значение величины
    `sqrt(2(x+y))-2sqrt(xy)`,
    если известно, что
    `sqrtx-sqrty=sqrt(2xy+1/2)`.
    Решение:
    1. `sqrtx-sqrty=sqrt(2xy+1/2) => x>=y>=0`.
    Возведем в квадрат обе части равенства:
    `x+y-2sqrt(xy)=2xy+1/2`,
    `2(x+y)=4xy+4sqrt(xy)+1`,
    `2(x+y)=(2sqrt(xy)+1)^2`,
    `sqrt(2(x+y))=2sqrt(xy)+1` (в силу неотрицательности `x,y`).
    2. Тогда, `sqrt(2(x+y))-2sqrt(xy)=2sqrt(xy)+1-2sqrt(xy)=1`.
    Значение искомого выражения постоянная величина, равная `1`.
    Это верно при любых `x>=y>=0`, удовлетворяющих исходному равенству, например, `x=1/2, y=0`.
    Ответ: `1`.

    Задача №6.
    Найдите наибольшее значение величины
    `sqrt((x+y)/2)-sqrt(xy)`,
    если известно, что
    `sqrtx-sqrty=sqrt(2xy+1/2)`.
    Ответ: `0,5`.

    Задача №6.
    Найдите наибольшее значение величины
    `sqrt(2(x+y))-2sqrt(xy)`,
    если известно, что
    `sqrty-sqrtx=sqrt(2xy+1/2)`.
    Ответ: `1`.
  • Задача №7 (2 типа, 4 варианта, приведены решения 2 типов).
    Решите уравнение
    `5sin(2x+arcsin(4/5))+sqrt10cos(x-arcsin(sqrt10/10))=7`.
    В ответе укажите сумму всех решений, принадлежащих промежутку
    `((3pi)/2;(13pi)/6)`,
    при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.
    Решение:
    1. `cos(arcsint)=sqrt(1-t^2)`.
    `sin(2x+arcsin(4/5))=3/5sin2x+4/5cos2x`.
    `cos(x-arcsin(sqrt10/10))=3/sqrt10cosx+1/sqrt10sinx`.
    2. Уравнение запишется в виде:
    `3sin2x+4cos2x+3cosx+sinx=7`,
    `(3cosx+sinx)^2-9cos^2x-sin^2x+4cos2x+3cosx+sinx=7`,
    `(3cosx+sinx)^2+(3cosx+sinx)-1-8cos^2x+4(2cos^2x-1)=7`,
    `(3cosx+sinx)^2+(3cosx+sinx)-12=0`.
    Замена `3cosx+sinx=t`: `t^2+t-12=0, t_1=3, t_2=-4`.
    3a. `3cosx+sinx=3`,
    `3(1-cosx)-sinx=0`,
    `6sin^2(x/2)-2sin(x/2)cos(x/2)=0`,
    `sin(x/2)*(3sin(x/2)-cos(x/2))=0`,
    `sin(x/2)=0 => x=2pik, k in ZZ`,
    `3sin(x/2)-cos(x/2)=0 => tan(x/2)=1/3 => x=2arctan(1/3)+2pin, n in ZZ`,
    `2arctan(1/3) ~~ 0,2pi => x=0,2pi+2pin, n in ZZ`.
    3b. `3cosx+sinx=-4`,
    `3cosx>=-3, sinx>=-1 => 3cosx+sinx>=-4`.
    Равенство выполняется только при `cosx=sinx=-1`, что невозможно.
    4. `x in ((3pi)/2;(13pi)/6)~~(1,5pi;2,167pi)`.
    В заданном интервале находится только один корень `x=2pi ~~ 6,28`.
    Ответ: `6,28`.

    Задача №7.
    Решите уравнение
    `5sin(2x+arccos(4/5))+8sqrt5sin(x-arccos((2sqrt5)/5))=11`.
    В ответе укажите сумму всех решений, принадлежащих промежутку
    `((7pi)/3;(7pi)/2)`,
    при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.
    Решение:
    1. `sin(arccost)=sqrt(1-t^2)`.
    `sin(2x+arccos(4/5))=4/5sin2x+3/5cos2x`.
    `sin(x-arccos((2sqrt5)/5))=(2sqrt5)/5sinx-1/sqrt5cosx`.
    2. Уравнение запишется в виде:
    `4sin2x+3cos2x-8cosx+16sinx=11`,
    `-2(cosx-2sinx)^2+2cos^2x+8sin^2x+3cos2x-8cosx+16sinx=11`,
    `-2(cosx-2sinx)^2-8(cosx-2sinx)+2+6sin^2x+3(1-2sin^2x)=11`,
    `-2(cosx-2sinx)^2-8(cosx-2sinx)-6=0`.
    Замена `cosx-2sinx=t`: `t^2+4t+3=0, t_1=-1, t_2=-3`.
    3a. `cosx-2sinx=-1`,
    `1+cosx-2sinx=0`,
    `2cos^2(x/2)-4sin(x/2)cos(x/2)=0`,
    `2cos(x/2)*(cos(x/2)-2sin(x/2))=0`,
    `cos(x/2)=0 => x=pi+2pik, k in ZZ`,
    `cos(x/2)-2sin(x/2)=0 => tan(x/2)=1/2 => x=2arctan(1/2)+2pin, n in ZZ`,
    `2arctan(1/2) ~~ 0,295pi => x=0,295pi+2pin, n in ZZ`.
    3b. `cosx-2sinx=-3`,
    `cosx>=-1, -2sinx>= -2 => cosx-2sinx>= -3`.
    Равенство выполняется только при `cosx=-sinx=-1`, что невозможно.
    4. `x in ((7pi)/3;(7pi)/2)~~(2,333pi;3,5pi)`.
    В заданном интервале находится только один корень `x=3pi ~~ 9,42`.
    Ответ: `9,42`.

    Задача №7.
    Решите уравнение
    `sqrt10sin(x-arccos(sqrt10/10))-5sin(2x-arccos(3/5))=7`.
    В ответе укажите сумму всех решений, принадлежащих промежутку
    `(-(7pi)/6;pi/2)`,
    при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.
    Ответ: `-3,14`.

    Задача №7.
    Решите уравнение
    `8sqrt5cos(x-arcsin((2sqrt5)/5))-5sin(2x-arcsin(3/5))=11`.
    В ответе укажите сумму всех решений, принадлежащих промежутку
    `(-(5pi)/2;-(4pi)/3)`,
    при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.
    Ответ: `-6,28`.
    В официальных ответах по этой задаче указан неверный ответ (`-9.42`). Наш ответ (`-6.28`) правильный, поскольку (`-3pi`) явно не лежит в указанном в условии интервале.
  • Задача №8 (1 тип, 4 варианта, приведено решение одного типа).
    В правильной четырёхугольной пирамиде `SABCD` с вершиной `S` ребро основания равно `a=24sqrt2`, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен `arccos(2/3)`.
    Проводится сечение пирамиды плоскостью, параллельной `SC` и `BD`, причём так, что в это сечение можно вписать окружность.
    Найдите всевозможные значения радиусов этих окружностей. В ответ запишите сумму целых значений таких радиусов.
    Решение:
    1. `SH` - высота пирамиды, `H` - центр основания, `/_SAH=arccos(2/3)`.
    `AH=1/2AC=(24sqrt2*sqrt2)/2=24`.
    `SA=(AH)/(sin(pi/2-/_SAH))=(AH)/(cos/_SAH)=(24)/(2/3)=36`.
    Рассмотрим особый случай, когда сечение проходит через прямую `BD` и пересекает `SA` в точке `A_1`.
    По условию, `A_1H || SC => A_1H` - средняя линия `DeltaSAC => A_1A=A_1S=1/2SA=18`.
    Все сечения с искомыми радиусами паралельны плоскости `A_1BD` и разбиваются на две группы - треугольники и пятиугольники.
    2. Треугольники.
    Все такие треугольники подобны `DeltaA_1BD`, в любой треугольник можно вписать окружность, поэтому радиусы этих окружностей лежат в интервале `(0;r)`, где `r` - радиус вписанной окружности `DeltaA_1BD`.
    `A_1B` - медиана `DeltaSAB`:
    `A_1B=sqrt(2a^2+2SB^2-SA^2)/2=sqrt(2a^2+SA^2)/2=sqrt(2304+1296)/2=30`.
    `A_1D=A_1B=30, BD=48 => p=(30+30+48)/2=54`.
    `r=sqrt((24*24*6)/54)=24/3=8`.
    3. Пятиугольники `KLMNT`.
    `K in SA, L in SB, M in BC, N in CD, T in SD`.
    `O` - середина `MN => KLMNT` симметричен относительно `KO`.
    `SC_|_BD => TN_|_MN`.
    `Z` - точка пересечения `TK` и `LM =>` окружность вписана в `TNMZ` (прямоугольная трапеция).
    `/_ZTL=/_A_1DH=alpha`.
    `cosalpha=(HD)/(A_1D)=24/30=4/5, sinalpha=3/5`.
    `r=ON` - радиус вписанной окружности.
    `MN=TL=2r => TZ=(2r)/(cosalpha)=5/2r, ZL=2r*tanalpha=3/2r`.
    `(TN)/(SC)=(DN)/(DC) => TN=DN*(SC)/a`.
    `DN=a-CN=a-(2ra)/(BD) => TN=SC*(1-(2r)/(BD))=`
    `=(SC)/(BD)*(BD-2r)=36/48(48-2r)=36-3/2r`.
    `TNMZ` описан: `TZ+MN=TN+MZ=2TN+ZL`,
    `5/2r+2r=72-3r+3/2r`,
    `6r=72 => r=12`.
    4. `r in (0;8)uu{12}`.
    Целые значения `r`: `1+2+...+7+12=(7*8)/2+12=28+12=40`.
    Ответ: `40`.

    Задача №8.
    В правильной четырёхугольной пирамиде `SABCD` с вершиной `S` ребро основания равно `a=18sqrt2`, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен `arccos(2/3)`.
    Проводится сечение пирамиды плоскостью, параллельной `SA` и `BD`, причём так, что в это сечение можно вписать окружность.
    Найдите всевозможные значения радиусов этих окружностей. В ответ запишите сумму целых значений таких радиусов.
    Ответ: `24`.

    Задача №8.
    В правильной четырёхугольной пирамиде `SABCD` с вершиной `S` ребро основания равно `a=6sqrt2`, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен `arccos(2/3)`.
    Проводится сечение пирамиды плоскостью, параллельной `SC` и `BD`, причём так, что в это сечение можно вписать окружность.
    Найдите всевозможные значения радиусов этих окружностей. В ответ запишите сумму целых значений таких радиусов.
    Ответ: `4`.

    Задача №8.
    В правильной четырёхугольной пирамиде `SABCD` с вершиной `S` ребро основания равно `a=12sqrt2`, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен `arccos(2/3)`.
    Проводится сечение пирамиды плоскостью, параллельной `SA` и `BD`, причём так, что в это сечение можно вписать окружность.
    Найдите всевозможные значения радиусов этих окружностей. В ответ запишите сумму целых значений таких радиусов.
    Ответ: `12`.
  • Задача №9 (2 типа, 6 вариантов, приведено решение 2 типов).
    Найдите максимальное число, принадлежащее множеству значений функции `f(x)=14115sin^2x+10cos^2x+24180sin2x-6048cosx-8064sinx+8050`.
    Решение:
    1. `6048cosx+8064sinx=2016(3cosx+4sinx)`.
    `14115sin^2x+10cos^2x+24180sin2x=14105sin^2x+24180sin2x+10=`
    `=2015(7sin^2x+12sin2x)+10=2015(7sin^2x+12sin2x+9)-9*2015+10=`
    `=2015(16sin^2x+24sinxcosx+9cos^2x)-9*2015+10=`
    `=2015(3cosx+4sinx)^2-9*2015+10`.
    2. Замена `3cosx+4sinx=t`, где `t in (-7;7)` - грубая оценка.
    `f(t)=2015t^2-9*2015+10-2016t+8050=2015t^2-2016t-10075`.
    Учитывая ограничения на `t`, очевидно, что `f->max` при `t->min`.
    3. Метод дополнительного аргумента:
    `t=5(3/5cosx+4/5sinx)=5sin(x+phi)`, где `phi=arcsin(3/5)`.
    `t_min=-5` при `x=-phi-pi/2+2pik, k in ZZ`.
    `f_max=2015*25+2016*5-10075=50375+10080-10075=50380`.
    Ответ: `50380`.

    Задача №9.
    Найдите минимальное число, принадлежащее множеству значений функции `f(x)=14090cos^2x-15sin^2x-24180sin2x+6048cosx+8064sinx-12075`.
    Решение:
    `14090cos^2x-15sin^2x-12075=-14090sin^2x-15sin^2x+2015=-14105sin^2x+2015`,
    `f(x)=-14105sin^2x-24180sin2x+6048cosx+8064sinx+2015`.
    Рассмотрим функцию `g(x)=-f(x)`. Минимальное значение `f(x)` соответствует максимальному значению `g(x)`, найдем его.
    1. `6048cosx+8064sinx=2016(3cosx+4sinx)`.
    `14105sin^2x+24180sin2x=`
    `=2015(7sin^2x+12sin2x)=2015(7sin^2x+12sin2x+9)-9*2015=`
    `=2015(16sin^2x+24sinxcosx+9cos^2x)-9*2015=`
    `=2015(3cosx+4sinx)^2-9*2015`.
    2. Замена `3cosx+4sinx=t`, где `t in (-7;7)` - грубая оценка.
    `g(t)=2015t^2-9*2015-2016t-2015=2015t^2-2016t-20150`.
    Учитывая ограничения на `t`, очевидно, что `g->max` при `t->min`.
    3. Метод дополнительного аргумента:
    `t=5(3/5cosx+4/5sinx)=5sin(x+phi)`, где `phi=arcsin(3/5)`.
    `t_min=-5` при `x=-phi-pi/2+2pik, k in ZZ`.
    `g_max=2015*25+2016*5-20150=50375+10080-20150=40305`.
    `f_min=-40305`.
    Ответ: `-40305`.

    Задача №9.
    Найдите максимальное число, принадлежащее множеству значений функции `f(x)=14125sin^2x+20cos^2x+24180sin2x-6048cosx-8064sinx+6025`.
    Ответ: `48365`.

    Задача №9.
    Найдите минимальное число, принадлежащее множеству значений функции `f(x)=14095cos^2x-10sin^2x-24180sin2x+6048cosx+8064sinx-14095`.
    Ответ: `-42320`.

    Задача №9.
    Найдите максимальное число, принадлежащее множеству значений функции `f(x)=14135sin^2x+30cos^2x+24180sin2x-6048cosx-8064sinx+4000`.
    Ответ: `46350`.

    Задача №9.
    Найдите минимальное число, принадлежащее множеству значений функции `f(x)=14100cos^2x-5sin^2x-24180sin2x+6048cosx+8064sinx-16115`.
    Ответ: `-44335`.
  • Задача №10 (2-3 типа, 5+ вариантов, приведены решения 3 типов).
    Найдите все значения `y`, при каждом из которых ровно два целых значения `x` удовлетворяют неравенству `sqrt(y^2-4x^4)>2x+y`.
    В ответе укажите сумму всех найденных целочисленных значений `y`.
    Решение:
    1. Пусть существует `x>=2` такой, что `sqrt(y^2-4x^4)>2x+y`.
    Тогда, `sqrt(y^2-4t^4)>=sqrt(y^2-4x^4)>2x+y>=2t+y` для всех `t=+-1,+-2`.
    Получили `4` целых значения `x`, удовлетворяющих неравенству, чего не может быть по условию.
    Поэтому, `x<2`.

    При `x=0` неравенство верно для `y<0`.

    При `x=1`: `sqrt(y^2-4)>y+2 => y in (-oo;-2)`.
    2. Пусть `x=-n, n in NN`.
    `sqrt(y^2-4n^4)>y-2n`.
    ОДЗ: `|y|>=2n^2`.
    Пусть `y<=-2n^2 => sqrt(y^2-4n^4)>=0> -2n^2-2n` - неравенство выполняется.
    `y>=2n^2 => y-2n>=2n^2-2n>=0` - возведем неравенство в квадрат:
    `y^2-4n^4>y^2-4yn+4n^2`,
    `yn>n^4+n^2`,
    `y>n^3+n`.
    Заметим, что `n^3+n>=2n^2` при всех `n>=0`.
    Итак, `y in (-oo;-2n^2]uu(n^3+n;+oo)`.
    3. Из предыдущего пункта следует, что при `y in (-oo;-2n^2]uu(n^3+n;+oo)` существует целое решение `x=-n`.
    Множества вложенные в друг друга, поэтому для множества значений `y`, которое соответствует `n=3` (`y in (-oo;-18]uu(30;+oo)`), получим целые решения `x=-3,-2,-1`, что противоречит условию задачи.
    Следовательно, `y in (-18;30]`. Этому интервалу могут подойти только `x=-2,-1,0,1` (среди целых `x`). Выпишем каждый случай:
    a. `x=-2`: `y in (-18;-8]uu(10;30]`.
    b. `x=-1`: `y in (-18;-2]uu(2;30]`.
    c. `x=1`: `y in (-18;-2)`.
    d. `x=0`: `y in (-oo;0)`.
    4. Осталось найти все такие множества `y`, при которых будет ровно два целых `x`.
    `y=-2`: `x=-1;0`.
    `y in (10;30]`: `x=-2;-1`.
    `sumy=-2+11+12+...+30=-2+(11+30)/2*20=408`.
    Ответ: `408`.

    Задача №10.
    Найдите все значения `y`, при каждом из которых ровно одно целое значение `x` удовлетворяет неравенству `sqrt(y^2-4x^6)>2x+y`.
    В ответе укажите сумму всех найденных целочисленных значений `y`.
    Решение:
    1. Пусть существует `x>=1` такой, что `sqrt(y^2-4x^6)>2x+y`.
    Тогда, `sqrt(y^2-4t^6)>=sqrt(y^2-4x^6)>2x+y>=2t+y` для всех `t=+-1`.
    Получили `2` целых значения `x`, удовлетворяющих неравенству, чего не может быть по условию.
    Поэтому, `x<1`.

    При `x=0` неравенство верно для `y<0`.

    2. Пусть `x=-n, n in NN`.
    `sqrt(y^2-4n^6)>y-2n`.
    ОДЗ: `|y|>=2n^3`.
    Пусть `y<=-2n^3 => sqrt(y^2-4n^6)>=0> -2n^3-2n` - неравенство выполняется.
    `y>=2n^3 => y-2n>=2n^3-2n>=0` - возведем неравенство в квадрат:
    `y^2-4n^6>y^2-4yn+4n^2`,
    `yn>n^6+n^2`,
    `y>n^5+n`.
    Заметим, что `n^5+n>=2n^3` при всех `n>=0`.
    Итак, `y in (-oo;-2n^3]uu(n^5+n;+oo)`.
    3. Из предыдущего пункта следует, что при `y in (-oo;-2n^3]uu(n^5+n;+oo)` существует целое решение `x=-n`.
    Множества вложенные в друг друга, поэтому для множества значений `y`, которое соответствует `n=2` (`y in (-oo;-16]uu(34;+oo)`), получим целые решения `x=-2,-1`, что противоречит условию задачи.
    Следовательно, `y in (-16;34]`. Этому интервалу могут подойти только `x=-1,0` (среди целых `x`). Выпишем каждый случай:
    a. `x=-1`: `y in (-16;-2]uu(2;34]`.
    b. `x=0`: `y in (-oo;0)`.
    Понятно, что одно решение будет при `y in {-1,3,4,...,34}`.
    `sumy=-1+3+4+...+34=-1+(3+34)/2*32=591`.
    Ответ: `591`.

    Задача №10.
    Найдите все значения `y`, при каждом из которых ровно два целых значения `x` удовлетворяют неравенству `sqrt(y^2-x^6)>x-y`.
    В ответе укажите сумму всех найденных целочисленных значений `y`.
    Решение:
    Поменяем в условии `(-y)` на `y`, а в конце перевернем найденные значения `y`. Это для упрощения процесса переделки решения из другого варианта.
    1. Пусть существует `x>=2` такой, что `sqrt(y^2-x^6)>x+y`.
    Тогда, `sqrt(y^2-t^6)>=sqrt(y^2-x^6)>x+y>=t+y` для всех `t=+-1,+-2`.
    Получили `4` целых значения `x`, удовлетворяющих неравенству, чего не может быть по условию.
    Поэтому, `x<2`.

    При `x=0` неравенство верно для `y<0`.

    При `x=1`: `sqrt(y^2-1)>y+1 => y in (-oo;-1)`.
    2. Пусть `x=-n, n in NN`.
    `sqrt(y^2-n^6)>y-n`.
    ОДЗ: `|y|>=n^3`.
    Пусть `y<=-n^3 => sqrt(y^2-n^6)>=0> -n^3-n` - неравенство выполняется.
    `y>=n^3 => y-n>=n^3-n>=0` - возведем неравенство в квадрат:
    `y^2-n^6>y^2-2yn+n^2`,
    `2yn>n^6+n^2`,
    `y>1/2(n^5+n)`.
    Заметим, что `1/2(n^5+n)>=n^3` при всех `n>=0`.
    Итак, `y in (-oo;-n^3]uu(1/2(n^5+n);+oo)`.
    3. Из предыдущего пункта следует, что при `y in (-oo;-n^3]uu(1/2(n^5+n);+oo)` существует целое решение `x=-n`.
    Множества вложенные в друг друга, поэтому для множества значений `y`, которое соответствует `n=3` (`y in (-oo;-27]uu(123;+oo)`), получим целые решения `x=-3,-2,-1`, что противоречит условию задачи.
    Следовательно, `y in (-27;123]`. Этому интервалу могут подойти только `x=-2,-1,0,1` (среди целых `x`). Выпишем каждый случай:
    a. `x=-2`: `y in (-27;-8]uu(17;123]`.
    b. `x=-1`: `y in (-27;-1]uu(1;123]`.
    c. `x=1`: `y in (-27;-1)`.
    d. `x=0`: `y in (-27;0)`.
    4. Осталось найти все такие множества `y`, при которых будет ровно два целых `x`.
    `y=-1`: `x=-1;0`.
    `y in (17;123]`: `x=-2;-1`.
    `sumy=-1+18+19+...+123=-1+(18+123)/2*106=7472`.
    Не забудем умножить полученную сумму на `(-1)`.
    `-7472`.
    Ответ: `-7472`.

    Задача №10.
    Найдите все значения `y`, при каждом из которых ровно одно целое значение `x` удовлетворяет неравенству `sqrt(y^2-x^6)>x+y`.
    В ответе укажите сумму всех найденных целочисленных значений `y`.
    Ответ: `152`.

    Задача №10.
    Найдите все значения `y`, при каждом из которых ровно два целых значения `x` удовлетворяют неравенству `sqrt(y^2-x^4)>x-y`.
    В ответе укажите сумму всех найденных целочисленных значений `y`.
    Ответ: `-104`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике