Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

«Высшая проба» — олимпиада школьников НИУ ВШЭ 2015-2016 / Межрегиональная олимпиада по математике


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    В этой теме выкладываются задания, решения и иная полезная информация по межрегиональной олимпиаде Высшая проба 2015-2016 учебного года.

    Олимпиада Высшая проба 2015-2016. Регистрация.


    Регистрация на олимпиаду стартовала на официальном сайте сегодня, 1 октября 2015 года. Завершение регистрации - 30 ноября 2015 года - после этой даты вы не сможете пройти регистрацию и принять участие в отборочном этапе.
    Особенностью этой олимпиады является то, что регистрация завершается ДО отборочных этапов по всем предметам (как правило, проходят в декабре), поэтому многие абитуриенты не могут принять участие в олимпиады из-за несвоевременной регистрации.

    Олимпиада Высшая проба 2015-2016. Отборочный этап в заочной форме.


    Задания и решения.
    К данному моменту нет расписания отборочных этапов. Судя по прошлым годам, заочные туры проходят в декабре, итоги подводятся в январе. В прошлом учебном году заочный тур по математике (задания и решения по ссылке) состоялся 15 декабря. Длительность тура - 240 минут (4 астрономических часа), проводится в режиме онлайн. Дается 10 задач повышенной сложности, развернутые решения не требуются, только ответы. Каждый правильный ответ оценивается в 10 баллов, итого 100 баллов. Проходной балл на заключительный этап последние несколько лет неизменен - 50, т.е. пять правильных ответов.
    Замечу, что по уровню сложности заочный тур олимпиады Высшая проба является максимальным, среди всех вузовских олимпиад, особенно с учетом того, что дается всего одна попытка и время ограничено 4 часами.
    Новшество прошлого года - несколько однотипных вариантов.
    2-3 задачи вполне решаемы, остальные требуют фундаментальной подготовки.

    Олимпиада Высшая проба. Заключительный этап.


    Задания и решения.
    Заключительный этап в очной форм проводится в середине февраля, на нескольких региональных площадках. Традиционно дается 6 заданий, каждое из которых оценивается в 20 баллов, но суммарно можно получить максимум 100 баллов, даже если решены все шесть задач (еще одна особенность олимпиады). Сложность заданий также максимальна, в сравнении с другими олимпиадами. Тип задач приближен к классическим олимпиадам (Всероссийская, ММО и т.д.). Граница призеров начинается с 50-60 баллов (постепенно повышается за последние 3 года), т.е. трех правильных решений будет достаточно для получения диплома. Отметим, что некоторые баллы можно заработать даже за неполные решения, в которых реализовано начальное продвижение.

    Задания и решения за прошлые годы.


    2016: заключительный этап, отборочный этап.
    2015: заключительный этап, отборочный этап.
    2014: заключительный этап, отборочный этап, решения.
    2013: заключительный этап, отборочный этап.
    2012: заключительный этап.

    Остальная информация будет добавляться по мере ее поступления.

    Внимание: полные решения рассылаются только подписчикам сайта. Рассылки бесплатные, подписаться на них вы можете на этой странице (верхняя часть страницы).
    У наших подписчиков есть возможность получить индивидуальные решения нескольких задач своего варианта. Для этого достаточно выполнить следующие действия:
    1. Подписаться на наши рассылки.
    2. Нажать на кнопку Сохранить Вконтакте в верхней левой части текущей страницы (запись должна появиться на вашей стене). 

  • Задача 1-1.
    На ферму привезли корм, которого хватило бы уткам на `60` дней, гусям на `165` дней. На сколько дней хватит привезённого корма уткам и гусям вместе?

    Решение:
    `1` - весь корм.
    `1/60` корма расходуют в день все утки.
    `1/165` корма расходуют в день все гуси.
    `1/60+1/165` корма расходуют в день все гуси и утки.
    `1/(1/60+1/165)=44` - количество дней совместного расхода.

    Ответ: `44`.

    Задача 1-2.
    На ферму привезли корм, которого хватило бы уткам на `30` дней, гусям на `45` дней. На сколько дней хватит привезённого корма уткам и гусям вместе?

    Решение:
    `1` - весь корм.
    `1/30` корма расходуют в день все утки.
    `1/45` корма расходуют в день все гуси.
    `1/30+1/45` корма расходуют в день все гуси и утки.
    `1/(1/30+1/45)=44` - количество дней совместного расхода.

    Ответ: `18`.

    Задача 1-3.
    На ферму привезли корм, которого хватило бы уткам на `44` дней, гусям на `77` дней. На сколько дней хватит привезённого корма уткам и гусям вместе?

    Решение:
    `1` - весь корм.
    `1/44` корма расходуют в день все утки.
    `1/77` корма расходуют в день все гуси.
    `1/44+1/77` корма расходуют в день все гуси и утки.
    `1/(1/44+1/77)=28` - количество дней совместного расхода.

    Ответ: `28`.

    Задача 1-4.
    На ферму привезли корм, которого хватило бы уткам на `24` дней, гусям на `40` дней. На сколько дней хватит привезённого корма уткам и гусям вместе?

    Решение:
    `1` - весь корм.
    `1/24` корма расходуют в день все утки.
    `1/40` корма расходуют в день все гуси.
    `1/24+1/40` корма расходуют в день все гуси и утки.
    `1/(1/24+1/40)=15` - количество дней совместного расхода.

    Ответ: `15`.

    Задача 1 (общий алгоритм).
    На ферму привезли корм, которого хватило бы уткам на `n` дней, гусям на `k` дней. На сколько дней хватит привезённого корма уткам и гусям вместе?

    Решение:
    `1` - весь корм.
    `1/n` корма расходуют в день все утки.
    `1/k` корма расходуют в день все гуси.
    `1/n+1/k` корма расходуют в день все гуси и утки.
    `1/(1/n+1/k)=(nk)/(n+k)` - количество дней совместного расхода.

    Ответ: `(nk)/(n+k)`.
  • Задача 2-1.
    На рисунке изображен график функции `y = a*sin(b*x)+c`. Найти значение выражения `a*b+c`. Если ответ нецелый, запишите его десятичной дробью, отделяя целую часть от дробной части точкой.
    image

    Решение:
    `y( 0 ) = a * sin(b * 0) + c = 0 + c = 2`, значит, `c = 2`.
    Длина периода равна `pi`, значит, `b = 2`.
    `y( pi/4 ) = a * sin(2*pi/4) + 2 = a * sin(pi/2) + 2 = a + 2 = 5`, значит, `a = 3`.
    `a*b + c = 3*2 + 2 = 8`.

    Ответ: `8`.

    Задача 2-2.
    На рисунке изображен график функции `y = a*sin(b*x)+c`. Найти значение выражения `a*b+c`. Если ответ нецелый, запишите его десятичной дробью, отделяя целую часть от дробной части точкой.
    image

    Решение:
    `y( 0 ) = a * sin(b*0) + c = 0 + c = -1`, значит, `c = -1`.
    Длина периода равна `4*pi`, значит, `b = 1/2`.
    `y( pi ) = a * sin(pi/2) - 1 = a - 1 = 1`, значит, `a = 2`
    `a*b + c = 2*0.5 - 1 = 0`.

    Ответ: `0`.
  • Задача 3
    Имеются часы, у которых минутная стрелка в два раза длиннее часовой (длина стрелки — расстояние от её конца до центра часов, вокруг которого происходит вращение). В `12:00` часовая и минутная стрелки совмещаются, т.е. их концы и центр часов лежат на одной прямой. Через сколько минут после этого момента три точки — центр часов и концы стрелок — впервые окажутся вершинами прямоугольного треугольника?

    Решение:
    Напротив угла в `30^0` лежит катет, равный `1/2` гипотенузы.
    Минутная стрелка больше часовой в `2` раза, поэтому ближайший прямоугольный треугоульник будет, когда между стрелками будет угол `60^0`.
    Ответ `120/11`, округляем до меньшего целого, получаем `10`.

    Ответ: `10`.
  • Задача 4-1.
    Все точки с целыми координатами на числовой прямой отметили либо красным, либо синим цветом, причем твк, что любые два числа с разностью 7 закрашены одним цветом. Известно, что числа 31, 144 и 39 отмечены синим цветом, а числа 75, 41 и 700 - красным. Сколько существует различных раскрасок, удовлетворяющих всем перечисленным условиям?

    Решение:
    1) У любых двух чисел с разностью 7 будет один и тот же остаток от деления на 7. Таким образом, все числа имеющие один и тот же остаток от деления на 7 будут закрашены одним цветом. 
    2)
    число | остаток от деления | цвет
    31    | 3                  | синий
    144   | 4                  | синий
    39    | 4                  | синий
    75    | 5                  | красный
    41    | 6                  | красный
    700   | 0                  | красный
    Таким образом нам неизвестно каким цветом закрашены числа у которых остаток от деления на 7 равен 1 или 2, что дает нам 4 возможных варианта раскраски:
    1 - синий, 2 - синий
    1 - синий, 2 - красный
    1 - красный, 2 - синий
    1 - красный, 2 - красный

    Ответ: `4`.

    Задача 4-2.
    Все точки с целыми координатами на числовой прямой отметили либо красным, либо синим цветом, причем твк, что любые два числа с разностью 7 закрашены одним цветом. Известно, что числа 15, 72 и 359 отмечены синим цветом, а числа 28, 80 и 40 - красным. Сколько существует различных раскрасок, удовлетворяющих всем перечисленным условиям?

    Решение:
    1) У любых двух чисел с разностью 7 будет один и тот же остаток от деления на 7. Таким образом, все числа имеющие один и тот же остаток от деления на 7 будут закрашены одним цветом. 
    2)
    число | остаток от деления | цвет
    15    | 1                  | синий
    72    | 2                  | синий
    359   | 2                  | синий
    28    | 0                  | красный
    80    | 3                  | красный
    40    | 5                  | красный
    Таким образом нам неизвестно каким цветом закрашены числа у которых остаток от деления на 7 равен 4 или 6, что дает нам 4 возможных варианта раскраски:
    4 - синий, 6 - синий
    4 - синий, 6 - красный
    4 - красный, 6 - синий
    4 - красный, 6 - красный

    Ответ: `4`.

    Задача 4-3.
    Все точки с целыми координатами на числовой прямой отметили либо красным, либо синим цветом, причем твк, что любые два числа с разностью 7 закрашены одним цветом. Известно, что числа 74, 40 и 733 отмечены синим цветом, а числа 29, 142 и 84 - красным. Сколько существует различных раскрасок, удовлетворяющих всем перечисленным условиям?

    Решение:
    1) У любых двух чисел с разностью 7 будет один и тот же остаток от деления на 7. Таким образом, все числа имеющие один и тот же остаток от деления на 7 будут закрашены одним цветом. 
    2)
    число | остаток от деления | цвет
    74    | 4                  | синий
    40    | 5                  | синий
    733   | 5                  | синий
    29    | 1                  | красный
    142   | 2                  | красный
    84    | 0                  | красный
    Таким образом нам неизвестно каким цветом закрашены числа у которых остаток от деления на 7 равен 3 или 6, что дает нам 4 возможных варианта раскраски:
    3 - синий, 6 - синий
    3 - синий, 6 - красный
    3 - красный, 6 - синий
    3 - красный, 6 - красный

    Ответ: `4`.

    Задача 4-4.
    Все точки с целыми координатами на числовой прямой отметили либо красным, либо синим цветом, причем твк, что любые два числа с разностью 7 закрашены одним цветом. Известно, что числа 78, 283 и 54 отмечены синим цветом, а числа 154, 13 и 34 - красным. Сколько существует различных раскрасок, удовлетворяющих всем перечисленным условиям?

    Решение:
    1) У любых двух чисел с разностью 7 будет один и тот же остаток от деления на 7. Таким образом, все числа имеющие один и тот же остаток от деления на 7 будут закрашены одним цветом. 
    2)
    число | остаток от деления | цвет
    78    | 1                  | синий
    283   | 3                  | синий
    54    | 5                  | синий
    154   | 0                  | красный
    13    | 6                  | красный
    34    | 6                  | красный
    Таким образом нам неизвестно каким цветом закрашены числа у которых остаток от деления на 7 равен 2 или 6, что дает нам 4 возможных варианта раскраски:
    2 - синий, 6 - синий
    2 - синий, 6 - красный
    2 - красный, 6 - синий
    2 - красный, 6 - красный

    Ответ: `4`.
  • Задача 5-1.
    Дан выпуклый четырехугольник `ABCD`. Известно, что `DC=49, AB=13`, `/_BAC=/_ADB`, а `/_BAD=/_ADC=60^0`. Найти `AD`. (Если ответ не целый, в поле ответов следует записывать его в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной части точкой.)

    Решение:
    image
    Точка `E` - точка пересечения прямых `AB` и `CD`.
    Треугольники `ADC` и `DEB` подобны по двум углам.
    `(CD)/(BE)=(AD)/(DE)=1 => BE=CD`.
    `DeltaAED` равносторнний.
    `AD=AE=AB+BE=AB+CD=49+13=62`.

    Ответ: `62`.

    Задача 5-2.
    Дан выпуклый четырехугольник `ABCD`. Известно, что `DC=56, AD=100`, `/_BAC=/_ADB`, а `/_BAD=/_ADC=60^0`. Найти `AB`. (Если ответ не целый, в поле ответов следует записывать его в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной части точкой.)

    Решение:
    image
    Точка `E` - точка пересечения прямых `AB` и `CD`.
    Треугольники `ADC` и `DEB` подобны по двум углам.
    `(CD)/(BE)=(AD)/(DE)=1 => BE=CD`.
    `DeltaAED` равносторнний.
    `AD=AE=AB+BE=AB+CD`.
    `AB=AD-CD=44`

    Ответ: `44`.

    Задача 5-3.
    Дан выпуклый четырехугольник `ABCD`. Известно, что `AB=11, AD=50`, `/_BAC=/_ADB`, а `/_BAD=/_ADC=60^0`. Найти `CD`. (Если ответ не целый, в поле ответов следует записывать его в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной части точкой.)

    Решение:
    image
    Точка `E` - точка пересечения прямых `AB` и `CD`.
    Треугольники `ADC` и `DEB` подобны по двум углам.
    `(CD)/(BE)=(AD)/(DE)=1 => BE=CD`.
    `DeltaAED` равносторнний.
    `AD=AE=AB+BE=AB+CD`.
    `CD=AD-AB=39`

    Ответ: `39`.
  • Задача 6-1.
    Найти сумму всех действительных корней всех уравнений вида `x^2-15x+m`  где `m`  пробегает все целые значения от `1` до `2015`. Если ответ нецелый, в поле ответов запишите его в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной части точкой.

    Решение:
    1) Поскольку корни действительные, то `D = 15*15-4*m >= 0`,
    `4*m <= 225`,
    `m <= 56.25`.
    Учтем что `m` - целое от `1` до `2015` и получим:
    `1 <= m <= 56`.

    2) По теореме Виета в уравнении `x^2 - 15*x + m = 0` сумма корней равна `15`.
    Тогда искомое число равно `15 * 56 = 840`.

    Ответ: `840`.

    Задача 6-2.
    Найти сумму всех действительных корней всех уравнений вида `x^2-13x+m`  где `m`  пробегает все целые значения от `1` до `2015`. Если ответ нецелый, в поле ответов запишите его в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной части точкой.

    Решение:
    1) Поскольку корни действительные, то `D = 13*13-4*m >= 0`,
    `4*m <= 169`,
    `m <= 42.25`.
    Учтем что `m` - целое от `1` до `2015` и получим:
    `1 <= m <= 42`.
    2) По теореме Виета в уравнении `x^2 - 13*x + m = 0` сумма корней равна `13`.
    Тогда искомое число равно `13 * 42 = 546`.

    Ответ: `546`.

    Задача 6-3
    Найти сумму всех действительных корней уравнений вида `x^2-11*x+m`, где `m` пробегает все целые значения от `1` до `2015`. Если ответ нецелый, запишите его десятичной дробью, отделяя целую часть от дробной части точкой.

    Решение:
    1) Поскольку корни действительные, то `D = 11*11-4*m >= 0`,
    `4*m <= 121`,
    `m <= 30.25`.
    Учтем что `m` - целое от `1` до `2015` и получим:
    `1 <= m <= 30`.
    2) По теореме Виета в уравнении `x^2 - 11*x + m = 0` сумма корней равна `11`.
    Тогда искомое число равно `11 * 30 = 330`.

    Ответ: `330`.

    Задача 6-4.
    Найти сумму всех действительных корней уравнений вида `x^2-9*x+m`, где `m` пробегает все целые значения от `1` до `2015`. Если ответ нецелый, запишите его десятичной дробью, отделяя целую часть от дробной части точкой.

    Решение:
    1) Поскольку корни действительные, то `D = 9*9-4*m >= 0`,
    `4*m <= 81`,
    `m <= 20.25`.
    Учтем что `m` - целое от `1` до `2015` и получим:
    `1 <= m <= 20`.
    2) По теореме Виета в уравнении `x^2 - 9x + m = 0` сумма корней равна `9`.
    Тогда искомое число равно `9 * 20 = 180`.

    Ответ: `180`
  • Задача 7-1.
    Петя решает задачу: Из множества натуральных чисел от `1` до ... включительно выбрано наугад одно число. Найти вероятность того, что это число будет делиться на `7`.
    Петя решил задачу правильно и получил ответ `0.14`. Какое наибольшее натуральное число могло стоять в условии задачи вместо многоточия?

    Решение:
    `n=7k+d` - число вместо многоточия.
    `d` - остаток при делении числа `n` на `7`.
    `f(n)` - вероятность.
    `d=0 => n=7k => f(n)=k/(7k)=1/7>0.14`.
    `d>0 => f(n)=k/(7k+d)=0.14`.
    `k=0.98k+0.14d`,
    `0.02k=0.14d`,
    `k=7d, d<=6 => k<=42 => n<=300`.
    `f(300)=42/(294+6)=0,14`.

    Ответ: `300`.

    Задача 7-2.
    Петя решает задачу: Из множества натуральных чисел от `1` до ... включительно выбрано наугад одно число. Найти вероятность того, что это число будет делиться на `13`.
    Петя решил задачу правильно и получил ответ `0.075`. Какое наибольшее натуральное число могло стоять в условии задачи вместо многоточия?

    Решение:
    `n=13k+d` - число вместо многоточия.
    `d` - остаток при делении числа `n` на `13`.
    `f(n)` - вероятность.
    `d=0 => n=13k => f(n)=k/(13k)=1/13>0.075`.
    `d>0 => f(n)=k/(13k+d)=0.075`.
    `k=0.975k+0.075d`,
    `0.025k=0.075d`,
    `k=3d, d<=12 => k<=36 => n<=480`.
    `f(480)=36/480=0,075`.

    Ответ: `480`.

    Задача 7-3.
    Петя решает задачу: Из множества натуральных чисел от `1` до ... включительно выбрано наугад одно число. Найти вероятность того, что это число будет делиться на `17`.
    Петя решил задачу правильно и получил ответ `0.056`. Какое наибольшее натуральное число могло стоять в условии задачи вместо многоточия?

    Решение:
    `n=17k+d` - число вместо многоточия.
    `d` - остаток при делении числа `n` на `17`.
    `f(n)` - вероятность.
    `d=0 => n=17k => f(n)=k/(17k)=1/17>0.056`.
    `d>0 => f(n)=k/(17k+d)=0.056`.
    `k=0.952k+0.056d`,
    `0.048k=0.056d`,
    `6k=7d, d<=16, d vdots 6 => d<=12 => k<=14 => n<=250`.
    `f(250)=14/250=0,056`.

    Ответ: `250`.

    Задача 7-4.
    Петя решает задачу: Из множества натуральных чисел от `1` до ... включительно выбрано наугад одно число. Найти вероятность того, что это число будет делиться на `11`.
    Петя решил задачу правильно и получил ответ `0.0875`. Какое наибольшее натуральное число могло стоять в условии задачи вместо многоточия?

    Решение:
    `n=11k+d` - число вместо многоточия.
    `d` - остаток при делении числа `n` на `11`.
    `f(n)` - вероятность.
    `d=0 => n=11k => f(n)=k/(11k)=1/11>0.0875`.
    `d>0 => f(n)=k/(11k+d)=0.0875`.
    `k=0.9625k+0.0875d`,
    `0.0375k=0.0875d`,
    `3k=7d, d<=10, d vdots 3 => d=9 => k<=21 => n<=240`.
    `f(240)=21/240=0,0875`.

    Ответ: `240`.

    Задача 7-5.
    Петя решает задачу: Из множества натуральных чисел от `1` до ... включительно выбрано наугад одно число. Найти вероятность того, что это число будет делиться на `23`.
    Петя решил задачу правильно и получил ответ `0.0375`. Какое наибольшее натуральное число могло стоять в условии задачи вместо многоточия?

    Решение:
    `n=23k+d` - число вместо многоточия.
    `d` - остаток при делении числа `n` на `23`.
    `f(n)` - вероятность.
    `d=0 => n=23k => f(n)=k/(23k)=1/23>0.0375`.
    `d>0 => f(n)=k/(23k+d)=0.0375`.
    `k=0.8625k+0.0375d`,
    `0.1375k=0.0375d`,
    `11k=3d, d<=22, d vdots 11 => d=22 => k<=6 => n<=160`.
    `f(160)=6/160=0,0375`.

    Ответ: `160`.
  • Задача 8-1.
    Найдите значение параметра `a`, при котором вершина параболы `y = x^2 - 2ax + a^2-a-1` находится на наименьшем расстоянии от начала координат. Если ответ нецелый, запишите его десятичной дробью, отделяя целую часть от дробной части точкой.

    Решение:
    1) Найдем координаты вершины параболы.
    Для параболы `y = x^2 + p*x + q` координатами вершины будут:
    `X = -p/2`,
    `Y = (-p/2)*(-p/2) + p*(-p/2) + q = p*p/4 - p*p/2 + q = q - p*p/4`.
    Тогда:
    `X = -(-2*a)/2 = a`,
    `Y = a*a - a - 1 - (-2*a)*(-2*a)/4 = a*a - a - 1 - a*a = -a - 1` .
    2) Для точки `(a, -a-1)` расстоянием до точки `(0, 0)` будет:
    `L = sqrt(a*a + a*a + 2*a + 1) = sqrt(2*a*a + 2*a + 1) =`
    `= sqrt( 2*(a*a+a+1/4) + 1/2 ) = sqrt( 2*(a+1/2)^2 + 1/2 )`.
    Очевидно, что `L` - минимально когда `a = -1/2` и `L=sqrt(1/2)`

    Ответ: `-0.5`.

    Задача 8-2.
    Найдите значение параметра `a`, при котором вершина параболы `y = x^2 - 2ax + a^2 + a - 1` находится на наименьшем расстоянии от начала координат. Если ответ нецелый, запишите его десятичной дробью, отделяя целую часть от дробной части точкой.

    Решение:
    1) Найдем координаты вершины параболы.
    Для параболы `y = x*x + p*x + q` координатами вершины будут:
    `X = -p/2`,
    `Y = (-p/2)*(-p/2) + p*(-p/2) + q = p*p/4 - p*p/2 + q = q - p*p/4.`
    Тогда:
    `X = -(-2*a)/2 = a`,
    `Y = a*a + a - 1 - (-2*a)*(-2*a)/4 = a*a + a - 1 - a*a = a - 1` .
    2) Для точки `(a, a-1)` расстоянием до точки `(0, 0)` будет:
    `L = sqrt(a*a + a*a - 2*a + 1) = sqrt(2*a*a - 2*a + 1) =`
    `= sqrt( 2*(a*a-a+1/4) + 1/2 ) = sqrt( 2*(a-1/2)^2 + 1/2 )`
    Очевидно, что `L` - минимально когда `a = 1/2` и `L=sqrt(1/2)`

    Ответ: `0.5`.

    Задача 8-3.
    Найдите значение параметра `a`, при котором вершина параболы `y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1` находится на наименьшем расстоянии от начала координат. Если ответ нецелый, запишите его десятичной дробью, отделяя целую часть от дробной части точкой.

    Решение:
    1) Найдем координаты вершины параболы.
    Для параболы `y = x*x + p*x + q` координатами вершины будут:
    `X = -p/2`,
    `Y = (-p/2)*(-p/2) + p*(-p/2) + q = p*p/4 - p*p/2 + q = q - p*p/4`.
    Тогда:
    `X = -(-2*a)/2 = a`,
    `Y = a*a + a + 1 - (-2*a)*(-2*a)/4 = a*a + a + 1 - a*a = a + 1` .
    2) Для точки `(a, a+1)` расстоянием до точки `(0, 0)` будет:
    `L = sqrt(a*a + a*a + 2*a + 1) = sqrt(2*a*a + 2*a + 1)=`
    `= sqrt( 2*(a*a+a+1/4) + 1/2 ) = sqrt( 2*(a+1/2)^2 + 1/2 )`
    Очевидно, что `L` - минимально когда `a = -1/2` и `L=sqrt(1/2)`

    Ответ: `-0.5`.
  • Задача 9-1.
    У Васи есть мешок драгоценных камней. Он разложил все камни на две кучи равного веса. Пришёл Коля, и разложил все камни на две кучи так, что одна куча в `4` раза тяжелее другой. Затем пришёл Петя и разложил все камни на две кучи так, что одна куча в `5` раз тяжелее другой. Известно, что в процессе деления каждый раз использовались все камни, при этом камни не разбивались на части. Какое наименьшее количество камней могло быть у Васи?

    Решение:
    Пусть весь мешок весит `30` условных единиц.
    Вася: две кучи по `15` и `15`.
    Коля: две кучи по `6` и `24`.
    Петя: две кучи по `5` и `25`.
    Пусть в мешке `3` камня с весами `a>=b>=c`.
    Тогда `a=15, b+c=15 => b,c<15`.
    Из других делений получаем, что `b=6, c=5` или наборот, противоречие.
    Пример с `4` камнями: `15, 6, 5, 4`.

    Ответ: `4`.

    Задача 9-2.
    У Васи есть мешок драгоценных камней. Он разложил все камни на две кучи равного веса. Пришёл Коля, и разложил все камни на две кучи так, что одна куча в `3` раза тяжелее другой. Затем пришёл Петя и разложил все камни на две кучи так, что одна куча в `7` раз тяжелее другой. Известно, что в процессе деления каждый раз использовались все камни, при этом камни не разбивались на части. Какое наименьшее количество камней могло быть у Васи?

    Решение:
    Пусть весь мешок весит `8` условных единиц.
    Вася: две кучи по `4` и `4`.
    Коля: две кучи по `2` и `6`.
    Петя: две кучи по `1` и `7`.
    Пусть в мешке `3` камня с весами `a>=b>=c`.
    Тогда `a=4, b+c=4 => b,c<4`.
    Из других делений получаем, что `b=1, c=2` или наборот, противоречие.
    Пример с `4` камнями: `4, 2, 1, 1`.

    Ответ: `4`.

    Задача 9-3.
    У Васи есть мешок драгоценных камней. Он разложил все камни на две кучи равного веса. Пришёл Коля, и разложил все камни на две кучи так, что одна куча в `2` раза тяжелее другой. Затем пришёл Петя и разложил все камни на две кучи так, что одна куча в `5` раз тяжелее другой. Известно, что в процессе деления каждый раз использовались все камни, при этом камни не разбивались на части. Какое наименьшее количество камней могло быть у Васи?

    Решение:
    Пусть весь мешок весит `6` условных единиц.
    Вася: две кучи по `3` и `3`.
    Коля: две кучи по `2` и `4`.
    Петя: две кучи по `1` и `5`.
    Пример с `3` камнями: `1,2,3`.
    Меньше `3` точно не может быть.

    Ответ: `3`.
  • Задача 10-1.
    Деревянный брусок, имеющий форму параллелепипеда `ABCDA_1B_1C_1D_1`, распилили тремя распилами параллельными граням, на `8` маленьких брусков(см. рисунок). Чему равна площадь поверхности бруска с вершиной `C_1`, если площадь бруска с вершиной `A` составляет `78`, с вершиной `B` - `42`, `C` - `72`, `D` - `126`, `A_1` - `110`, `B_1` - `62`, `D_1` - `170` (Если ответ нецелый, запишите его десятичной дробью, отделяя целую часть от дробной части точкой.)
    image

    Решение:
    Введем обозначения `a,b,c,d,e,f` показанные на рисунке.
    image
    Будем обозначать `SA` - площадь поверхности бруска с вершиной `A` и т.д.
    `SA = 2*( a*e + a*c + c*e )`,
    `SB = 2*( b*c + b*e + c*e )`,
    `SC = 2*( b*c + b*f + c*f )`,
    `SD = 2*( a*c + a*f + c*f )`,
    `SA_1 = 2*( a*e + a*d + d*e )`,
    `SB_1 = 2*( b*d + b*e + d*e )`,
    `SC_1 = 2*( b*d + b*f + d*f )`,
    `SD_1 = 2*( a*d + a*f + d*f )`.
    Заметим что `SA+SC+SB_1+SD_1 = SA_1+SC_1+SB+SD =`
    `= 2*(a*e + a*c + c*e + b*c + b*f + c*f + b*d + b*e + d*e + a*d + a*f + d*f).`
    Тогда `SC_1 = SA + SC + SB_1 + SD_1 - SA_1 - SB - SD =`
    `= 78 + 72 + 62 + 170 - 110 - 42 - 126 = 104`.

    Ответ: `104`.

    Задача 10-2.
    Деревянный брусок, имеющий форму параллелепипеда `ABCDA_1B_1C_1D_1`, распилили тремя распилами параллельными граням, на `8` маленьких брусков(см. рисунок). Чему равна площадь поверхности бруска с вершиной `C`, если площадь бруска с вершиной `A` составляет `130`, с вершиной `B` - `184`, `D` - `220`, `A_1` - `210`, `B_1` - `288`, `C_1` - `448`, `D_1` - `340` (Если ответ нецелый, запишите его десятичной дробью, отделяя целую часть от дробной части точкой.)
    image

    Решение:
    Введем обозначения `a,b,c,d,e,f` показанные на рисунке.
    image
    Будем обозначать `SA` - площадь поверхности бруска с вершиной `A` и т.д.
    `SA = 2*( a*e + a*c + c*e )`,
    `SB = 2*( b*c + b*e + c*e )`,
    `SC = 2*( b*c + b*f + c*f )`,
    `SD = 2*( a*c + a*f + c*f )`,
    `SA_1 = 2*( a*e + a*d + d*e )`,
    `SB_1 = 2*( b*d + b*e + d*e )`,
    `SC_1 = 2*( b*d + b*f + d*f )`,
    `SD_1 = 2*( a*d + a*f + d*f )`.
    Заметим что `SA+SC+SB_1+SD_1 = SA_1+SC_1+SB+SD =`
    `= 2*(a*e + a*c + c*e + b*c + b*f + c*f + b*d + b*e + d*e + a*d + a*f + d*f).`
    Тогда `SC = SA_1 + SC_1 + SB + SD - SA - SB_1 - SD_1 =`
    `= 210 + 448 + 184 + 220 - 130 - 288 - 340 = 304`.

    Ответ: `304`.

    Задача 10-3.
    Деревянный брусок, имеющий форму параллелепипеда `ABCDA_1B_1C_1D_1`, распилили тремя распилами параллельными граням, на `8` маленьких брусков(см. рисунок). Чему равна площадь поверхности бруска с вершиной `B_1`, если площадь бруска с вершиной `A` составляет `78`, с вершиной `B` - `58`, `C` - `130`, `D` - `166`, `A_1` - `206`, `C_1` - `290`, `D_1` - `358` (Если ответ нецелый, запишите его десятичной дробью, отделяя целую часть от дробной части точкой.)
    image

    Решение:
    Введем обозначения `a,b,c,d,e,f` показанные на рисунке.
    image
    Будем обозначать `SA` - площадь поверхности бруска с вершиной `A` и т.д.
    `SA = 2*( a*e + a*c + c*e )`,
    `SB = 2*( b*c + b*e + c*e )`,
    `SC = 2*( b*c + b*f + c*f )`,
    `SD = 2*( a*c + a*f + c*f )`,
    `SA_1 = 2*( a*e + a*d + d*e )`,
    `SB_1 = 2*( b*d + b*e + d*e )`,
    `SC_1 = 2*( b*d + b*f + d*f )`,
    `SD_1 = 2*( a*d + a*f + d*f )`.
    Заметим, что `SA+SC+SB_1+SD_1 = SA_1+SC_1+SB+SD =`
    `= 2*(a*e + a*c + c*e + b*c + b*f + c*f + b*d + b*e + d*e + a*d + a*f + d*f).`
    Тогда `SB_1 = SA_1 + SC_1 + SB + SD - SA - SC - SD_1 =`
    `= 206 + 290 + 58 + 166 - 78 - 130 - 358 = 154`.

    Ответ: `154`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике