ДВИ по математике в МГУ (21 июля 2017 - резервный день)

18.07.2017. Поступили материалы ДВИ по математике.
Подключение платное, тариф Light (30 тыс. руб.), Стандарт (40 тыс. руб.).
dvi@olympiads.biz - для вопросов и заявок.
Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2015-2016 / Задания и решения / МГУ им. М.В. Ломоносова


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Внимание: 2 тур отборочного этапа олимпиады Ломоносов по математике размещен в другой теме (ссылка на тему).
    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2015-2016 по математике. Задания и решения. МГУ им. М.В. Ломоносова.
    В этой теме размещаются задания и решения отборочного этапа (заочный тур) олимпиады ПВГ 2015-2016 по математике.
    Материалы за прошлые годы выложены в разделе «Покори Воробьевы Горы».
    2015: заключительный этап, отборочный этап.
    2014: заключительный этап, отборочный этап (1 тур, 2 тур, 3 тур).
    2013: заключительный этап (Москва, Брянск), отборочный этап.
    2012: заключительный этап, отборочный этап.
    2011: отборочный этап.
    2010: отборочный этап.

    Олимпиада Покори Воробьевы горы стартует в октябре. Регистрация производится на официальном сайте до середины января, итоги первого этапа подводятся в начале февраля. Ниже информация по прошлому году.
    Отборочный этап в прошлом году прошел в 1 тур, в отличие от 2013-2014 уч. года, когда было 3 независимых тура. В этом году регламент скорее всего останется прежним. Сроки отборочного этапа - с 1 ноября по 20 января. Задания доступны сразу, но на их решение отводится неделя. Отборочный этап по математике состоит из двух частей - тест и творческое задание. В тесте 5 задач средней сложности, развернутые решения не требовались, только численные ответы. Творческое задание состояло из 7 олимпиадных заданий повышенной сложности, требовались полные решения. Разбалловка 5*5 + 7*10 = 95 - максимальное количество баллов. На заключительный этап проходили абитуриенты, набравшие 65 баллов или больше.
    Заключительный этап олимпиады Покори Воробьевы горы 2016 по математике пройдет в нескольких городах РФ (в разные сроки), в период с конца февраля по конец марта. Завершается олимпиада в Москве, итоги подводятся до 30 марта, в те же сроки проходит награждение призеров и победителей.
    Остальная информация по мере ее поступления, будет публиковаться в этой теме, следите за обновлениями.
  • Тестовое задание (3 часа)
    Задача №1 (тип 1, общий алгоритм).
    Решите неравенство
    `(x-2)sqrt((2x-2)/(x-2))<=x+2`
    В ответе укажите сумму всех целочисленных значений `x`, удовлетворяющих этому неравенству и не превосходящих по абсолютной величине `A`, где `A` - целое положительное число.

    Решение:
    ОДЗ: `(2x-2)/(x-2)>=0 => x in (-oo;1]uu(2;+oo)`.
    Первый случай: `x>2 => x-2>0, 2x-2>0`.
    `sqrt((2x-2)(x-2))<=x+2` - правая часть положительна при `x>2`.
    `(2x-2)(x-2)<=(x+2)^2`,
    `2x^2-6x+4<=x^2+4x+4`,
    `x^2-10x<=0 => x in [0;10]`.
    В пересечении с `x>2` получаем `x in (2;10]`.
    Второй случай: `x<=1 => x-2<0, 2x-2<=0`.
    `(2-x)sqrt((2-2x)/(2-x))>=-x-2`,
    `sqrt((2-2x)(2-x))>=-x-2`.
    Если `-x-2<=0, x>=-2` - неравенство всегда верно.
    Пусть `x< -2`, возведем неравенство в квадрат:
    `x^2-10x>=0 => x in (-oo;0]uu[10;+oo)`.
    Во втором случае подходят все `x<=1`.
    Все решения неравенства `x in (-oo;1]uu(2;10]`.
    По условию, `|x|<=A, x in ZZ`:
    Если `A=10`, то `x in [-10;1]uu(2;10], sum_(x in ZZ)x=-2`.
    Если `A<10`, то `x in [-A;1]uu(2;A], sum_(x in ZZ)x=-2`.
    Если `A>10`, то `x in [-A;1]uu(2;10], sum_(x in ZZ)=(-A(A+1))/2+53`.

    Ответ: `A<=10, sum_(x in ZZ)x=-2`,
    `A>10, sum_(x in ZZ)=(-A(A+1))/2+53`.

    Задача №1 (тип 2, общий алгоритм).
    Решите неравенство
    `(sqrt(x/gamma+(alpha+2))-x/gamma-alpha)/(x^2+ax+b)>=0`
    `alpha=` - целое положительное число.
    `gamma=` - целое положительное число.
    `a=` - целое отрицательное число.
    `b=` - целое положительное число.
    В ответе укажите число, равное количеству целых корней данного неравенства. Если целых корней нет, либо корней бесконечно много, в бланке ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    Пусть `x_1<x_2` - корни уравнения `x^2+ax+b`, тогда `x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)`.
    Замена `sqrt(x/gamma+(alpha+2))=t, t>=0`: 
    `t-t^2+2=-(t+1)(t-2)`.
    `t+1>0` - можем поделить неравенство на `t+1`, одновременно умножим его на `t+2>0`:
    `-(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))>=0`,
    `(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))<=0`.
    Учтем также ОДЗ: `x/gamma+(alpha+2)>=0`.
    `x_1=(-a-sqrt(a^2-4b))/2, x_2=(-a+sqrt(a^2-4b))/2`.
    Как правило, `a,b` такие, что `x_(1,2)` - положительные целые числа с разницей `1,2` или `3`.
    `t^2-2=x/gamma+alpha-2`,
    `(x/gamma+alpha-2)/((x-x_1)(x-x_2))<=0, x/gamma+(alpha+2)>=0`,
    `(x+gamma(alpha-2))/((x-x_1)(x-x_2))<=0, x>=-gamma(alpha+2)`,
    `x in (-oo;-gamma(alpha-2)]uu(x_1;x_2), x>=-gamma(alpha+2)`.
    `x in [-gamma(alpha+2);-gamma(alpha-2)]uu((-a-sqrt(a^2-4b))/2;(-a+sqrt(a^2-4b))/2)`.
    Количество целых решений на отрезке `[-gamma(alpha+2);-gamma(alpha-2)]` (с учетом того, что `alpha,gamma` целые числа):
    `-gamma(alpha-2)-(-gamma(alpha+2))+1=4gamma+1`.
    Количество целых решений на интервале `((-a-sqrt(a^2-4b))/2;(-a+sqrt(a^2-4b))/2)` (с учетом того, что границы целые числа):
    `(-a+sqrt(a^2-4b))/2-(-a-sqrt(a^2-4b))/2-1=sqrt(a^2-4b)-1`. В полученных нами вариантах это число равнялось `0,1` или `2`.
    Общее количество целых решений:
    `4gamma+sqrt(a^2-4b)`.

    Ответ: `4gamma+sqrt(a^2-4b)`.

    Задача №1.

    Решите неравенство
    `(x-2)sqrt((2x-2)/(x-2))<=x+2`
    В ответе укажите сумму всех целочисленных значений `x`, удовлетворяющих этому неравенству и не превосходящих по абсолютной величине `A=10`

    Решение:
    ОДЗ: `(2x-2)/(x-2)>=0 => x in (-oo;1]uu(2;+oo)`.
    Первый случай: `x>2 => x-2>0, 2x-2>0`.
    `sqrt((2x-2)(x-2))<=x+2` - правая часть положительна при `x>2`.
    `(2x-2)(x-2)<=(x+2)^2`,
    `2x^2-6x+4<=x^2+4x+4`,
    `x^2-10x<=0 => x in [0;10]`.
    В пересечении с `x>2` получаем `x in (2;10]`.
    Второй случай: `x<=1 => x-2<0, 2x-2<=0`.
    `(2-x)sqrt((2-2x)/(2-x))>=-x-2`,
    `sqrt((2-2x)(2-x))>=-x-2`.
    Если `-x-2<=0, x>=-2` - неравенство всегда верно.
    Пусть `x< -2`, возведем неравенство в квадрат:
    `x^2-10x>=0 => x in (-oo;0]uu[10;+oo)`.
    Во втором случае подходят все `x<=1`.
    Все решения неравенства `x in (-oo;1]uu(2;10]`.
    По условию, `|x|<=A, x in ZZ, A=10`:
    `x in [-10;1]uu(2;10]`.
    `sumx=-10-9-...-1+0+1+3+...+10=-2`.

    Ответ: `-2`.

    Задача №1.
    Решите неравенство
    `(x-2)sqrt((2x-2)/(x-2))<=x+2`
    В ответе укажите сумму всех целочисленных значений `x`, удовлетворяющих этому неравенству и не превосходящих по абсолютной величине `A=11`

    Решение:
    ОДЗ: `(2x-2)/(x-2)>=0 => x in (-oo;1]uu(2;+oo)`.
    Первый случай: `x>2 => x-2>0, 2x-2>0`.
    `sqrt((2x-2)(x-2))<=x+2` - правая часть положительна при `x>2`.
    `(2x-2)(x-2)<=(x+2)^2`,
    `2x^2-6x+4<=x^2+4x+4`,
    `x^2-10x<=0 => x in [0;10]`.
    В пересечении с `x>2` получаем `x in (2;10]`.
    Второй случай: `x<=1 => x-2<0, 2x-2<=0`.
    `(2-x)sqrt((2-2x)/(2-x))>=-x-2`,
    `sqrt((2-2x)(2-x))>=-x-2`.
    Если `-x-2<=0, x>=-2` - неравенство всегда верно.
    Пусть `x< -2`, возведем неравенство в квадрат:
    `x^2-10x>=0 => x in (-oo;0]uu[10;+oo)`.
    Во втором случае подходят все `x<=1`.
    Все решения неравенства `x in (-oo;1]uu(2;10]`.
    По условию, `|x|<=A, x in ZZ, A=11`:
    `x in [-11;1]uu(2;10]`.
    `sumx=-11-10-9-...-1+0+1+3+...+10=-11-2=-13`.

    Ответ: `-13`.

    Задача №1.
    Решите неравенство
    `(x-2)sqrt((2x-2)/(x-2))<=x+2`
    В ответе укажите сумму всех целочисленных значений `x`, удовлетворяющих этому неравенству и не превосходящих по абсолютной величине `A=12`

    Решение:
    ОДЗ: `(2x-2)/(x-2)>=0 => x in (-oo;1]uu(2;+oo)`.
    Первый случай: `x>2 => x-2>0, 2x-2>0`.
    `sqrt((2x-2)(x-2))<=x+2` - правая часть положительна при `x>2`.
    `(2x-2)(x-2)<=(x+2)^2`,
    `2x^2-6x+4<=x^2+4x+4`,
    `x^2-10x<=0 => x in [0;10]`.
    В пересечении с `x>2` получаем `x in (2;10]`.
    Второй случай: `x<=1 => x-2<0, 2x-2<=0`.
    `(2-x)sqrt((2-2x)/(2-x))>=-x-2`,
    `sqrt((2-2x)(2-x))>=-x-2`.
    Если `-x-2<=0, x>=-2` - неравенство всегда верно.
    Пусть `x< -2`, возведем неравенство в квадрат:
    `x^2-10x>=0 => x in (-oo;0]uu[10;+oo)`.
    Во втором случае подходят все `x<=1`.
    Все решения неравенства `x in (-oo;1]uu(2;10]`.
    По условию, `|x|<=A, x in ZZ, A=12`:
    `x in [-11;1]uu(2;10]`.
    `sumx=-12-11-10-9-...-1+0+1+3+...+10=-12-11-2=-25`.

    Ответ: `-25`.

    Задача №1.
    Решите неравенство
    `(x-2)sqrt((2x-2)/(x-2))<=x+2`
    В ответе укажите сумму всех целочисленных значений `x`, удовлетворяющих этому неравенству и не превосходящих по абсолютной величине `A=13`

    Решение:
    ОДЗ: `(2x-2)/(x-2)>=0 => x in (-oo;1]uu(2;+oo)`.
    Первый случай: `x>2 => x-2>0, 2x-2>0`.
    `sqrt((2x-2)(x-2))<=x+2` - правая часть положительна при `x>2`.
    `(2x-2)(x-2)<=(x+2)^2`,
    `2x^2-6x+4<=x^2+4x+4`,
    `x^2-10x<=0 => x in [0;10]`.
    В пересечении с `x>2` получаем `x in (2;10]`.
    Второй случай: `x<=1 => x-2<0, 2x-2<=0`.
    `(2-x)sqrt((2-2x)/(2-x))>=-x-2`,
    `sqrt((2-2x)(2-x))>=-x-2`.
    Если `-x-2<=0, x>=-2` - неравенство всегда верно.
    Пусть `x< -2`, возведем неравенство в квадрат:
    `x^2-10x>=0 => x in (-oo;0]uu[10;+oo)`.
    Во втором случае подходят все `x<=1`.
    Все решения неравенства `x in (-oo;1]uu(2;10]`.
    По условию, `|x|<=A, x in ZZ, A=13`:
    `x in [-11;1]uu(2;10]`.
    `sumx=-13-12-11-10-9-...-1+0+1+3+...+10=-13-12-11-2=-38.`

    Ответ: `-38`.

    Задача №1.
    Решите неравенство
    `(x-2)sqrt((2x-2)/(x-2))<=x+2`
    В ответе укажите сумму всех целочисленных значений `x`, удовлетворяющих этому неравенству и не превосходящих по абсолютной величине `A=14`

    Решение:
    ОДЗ: `(2x-2)/(x-2)>=0 => x in (-oo;1]uu(2;+oo)`.
    Первый случай: `x>2 => x-2>0, 2x-2>0`.
    `sqrt((2x-2)(x-2))<=x+2` - правая часть положительна при `x>2`.
    `(2x-2)(x-2)<=(x+2)^2`,
    `2x^2-6x+4<=x^2+4x+4`,
    `x^2-10x<=0 => x in [0;10]`.
    В пересечении с `x>2` получаем `x in (2;10]`.
    Второй случай: `x<=1 => x-2<0, 2x-2<=0`.
    `(2-x)sqrt((2-2x)/(2-x))>=-x-2`,
    `sqrt((2-2x)(2-x))>=-x-2`.
    Если `-x-2<=0, x>=-2` - неравенство всегда верно.
    Пусть `x< -2`, возведем неравенство в квадрат:
    `x^2-10x>=0 => x in (-oo;0]uu[10;+oo)`.
    Во втором случае подходят все `x<=1`.
    Все решения неравенства `x in (-oo;1]uu(2;10]`.
    По условию, `|x|<=A, x in ZZ, A=14`:
    `x in [-14;1]uu(2;10]`.
    `sumx=-14-13-12-11-10-9-...-1+0+1+3+...+10=-14-13-12-11-2=-52.`

    Ответ: `-52`.

    Задача №1.
    Решите неравенство
    `(sqrt(x/gamma+(alpha+2))-x/gamma-alpha)/(x^2+ax+b)>=0`
    `alpha=4`
    `gamma=3`
    `a=-14`
    `b=48`.
    В ответе укажите число, равное количеству целых корней данного неравенства. Если целых корней нет, либо корней бесконечно много, в бланке ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    Пусть `x_1<x_2` - корни уравнения `x^2+ax+b`, тогда `x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)`.
    Замена `sqrt(x/gamma+(alpha+2))=t, t>=0`: 
    `t-t^2+2=-(t+1)(t-2)`.
    `t+1>0` - можем поделить неравенство на `t+1`, одновременно умножим его на `t+2>0`:
    `-(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))>=0`,
    `(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))<=0`.
    Учтем также ОДЗ: `x/gamma+(alpha+2)>=0`.
    По условию, `alpha=4, gamma=3, a=-14, b=48 => x_1=6, x_2=8`:
    `(x/3+2)/((x-6)(x-8))<=0, x/3+6>=0`.
    `(x+6)/((x-6)(x-8))<=0, x>= -18`.
    `x in (-oo;-6]uu(6;8), x>= -18 => x in [-18;-6]uu(6;8)`.
    Все целые решения: `-18,-17,...,-6,7`.
    Всего `14` целых решений.

    Ответ: `14`.

    Задача №1.
    Решите неравенство
    `(sqrt(x/gamma+(alpha+2))-x/gamma-alpha)/(x^2+ax+b)>=0`
    `alpha=2`
    `gamma=2`
    `a=-14`
    `b=48`.
    В ответе укажите число, равное количеству целых корней данного неравенства. Если целых корней нет, либо корней бесконечно много, в бланке ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    Пусть `x_1<x_2` - корни уравнения `x^2+ax+b`, тогда `x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)`.
    Замена `sqrt(x/gamma+(alpha+2))=t, t>=0`: 
    `t-t^2+2=-(t+1)(t-2)`.
    `t+1>0` - можем поделить неравенство на `t+1`, одновременно умножим его на `t+2>0`:
    `-(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))>=0`,
    `(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))<=0`.
    Учтем также ОДЗ: `x/gamma+(alpha+2)>=0`.
    По условию, `alpha=2, gamma=2, a=-14, b=48 => x_1=6, x_2=8`:
    `(x/2)/((x-6)(x-8))<=0, x/2+4>=0`.
    `x/((x-6)(x-8))<=0, x>= -8`.
    `x in (-oo;0]uu(6;8), x>= -8 => x in [-8;0]uu(6;8)`.
    Все целые решения: `-8,-7,...,0,7`.
    Всего `10` целых решений.

    Ответ: `10`.

    Задача №1.
    Решите неравенство
    `(sqrt(x/gamma+(alpha+2))-x/gamma-alpha)/(x^2+ax+b)>=0`
    `alpha=2`
    `gamma=2`
    `a=-14`
    `b=45`.
    В ответе укажите число, равное количеству целых корней данного неравенства. Если целых корней нет, либо корней бесконечно много, в бланке ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    Пусть `x_1<x_2` - корни уравнения `x^2+ax+b`, тогда `x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)`.
    Замена `sqrt(x/gamma+(alpha+2))=t, t>=0`: 
    `t-t^2+2=-(t+1)(t-2)`.
    `t+1>0` - можем поделить неравенство на `t+1`, одновременно умножим его на `t+2>0`:
    `-(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))>=0`,
    `(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))<=0`.
    Учтем также ОДЗ: `x/gamma+(alpha+2)>=0`.
    По условию, `alpha=2, gamma=2, a=-14, b=45 => x_1=5, x_2=9`:
    `(x/2)/((x-5)(x-9))<=0, x/2+4>=0`.
    `x/((x-5)(x-9))<=0, x>= -8`.
    `x in (-oo;0]uu(5;9), x>= -8 => x in [-8;0]uu(5;9)`.
    Все целые решения: `-8,-7,...,0,6,7,8`.
    Всего `12` целых решений.

    Ответ: `12`.

    Задача №1.
    Решите неравенство
    `(sqrt(x/gamma+(alpha+2))-x/gamma-alpha)/(x^2+ax+b)>=0`
    `alpha=1`
    `gamma=1`
    `a=-13`
    `b=42`.
    В ответе укажите число, равное количеству целых корней данного неравенства. Если целых корней нет, либо корней бесконечно много, в бланке ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    Пусть `x_1<x_2` - корни уравнения `x^2+ax+b`, тогда `x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)`.
    Замена `sqrt(x/gamma+(alpha+2))=t, t>=0`: 
    `t-t^2+2=-(t+1)(t-2)`.
    `t+1>0` - можем поделить неравенство на `t+1`, одновременно умножим его на `t+2>0`:
    `-(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))>=0`,
    `(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))<=0`.
    Учтем также ОДЗ: `x/gamma+(alpha+2)>=0`.
    По условию, `alpha=1, gamma=1, a=-13, b=42 => x_1=6, x_2=7`:
    `(x/1-1)/((x-6)(x-7))<=0, x/1+3>=0`.
    `(x-1)/((x-6)(x-7))<=0, x>= -3`.
    `x in (-oo;1]uu(6;7), x>= -3 => x in [-3;1]uu(6;7)`.
    Все целые решения: `-3,-2,...,1`.
    Всего `5` целых решений.

    Ответ:
    `5`.

    Задача №1.
    Решите неравенство
    `(sqrt(x/gamma+(alpha+2))-x/gamma-alpha)/(x^2+ax+b)>=0`
    `alpha=2`
    `gamma=1`
    `a=-10`
    `b=24`.
    В ответе укажите число, равное количеству целых корней данного неравенства. Если целых корней нет, либо корней бесконечно много, в бланке ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    Пусть `x_1<x_2` - корни уравнения `x^2+ax+b`, тогда `x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)`.
    Замена `sqrt(x/gamma+(alpha+2))=t, t>=0`: 
    `t-t^2+2=-(t+1)(t-2)`.
    `t+1>0` - можем поделить неравенство на `t+1`, одновременно умножим его на `t+2>0`:
    `-(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))>=0`,
    `(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))<=0`.
    Учтем также ОДЗ: `x/gamma+(alpha+2)>=0`.
    По условию, `alpha=2, gamma=1, a=-10, b=24 => x_1=4, x_2=6`:
    `(x/1)/((x-4)(x-6))<=0, x/1+4>=0`.
    `x/((x-4)(x-6))<=0, x>= -4`.
    `x in (-oo;0]uu(4;6), x>= -4 => x in [-4;0]uu(4;6)`.
    Все целые решения: `-4,-3,...,0,5`.
    Всего `6` целых решений.

    Ответ: `6`.

    Задача №1.
    Решите неравенство
    `(sqrt(x/gamma+(alpha+2))-x/gamma-alpha)/(x^2+ax+b)>=0`
    `alpha=3`
    `gamma=1`
    `a=-15`
    `b=54`.
    В ответе укажите число, равное количеству целых корней данного неравенства. Если целых корней нет, либо корней бесконечно много, в бланке ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    Пусть `x_1<x_2` - корни уравнения `x^2+ax+b`, тогда `x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)`.
    Замена `sqrt(x/gamma+(alpha+2))=t, t>=0`: 
    `t-t^2+2=-(t+1)(t-2)`.
    `t+1>0` - можем поделить неравенство на `t+1`, одновременно умножим его на `t+2>0`:
    `-(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))>=0`,
    `(t^2-4)/((x-x_1)(x-x_2))<=0`.
    Учтем также ОДЗ: `x/gamma+(alpha+2)>=0`.
    По условию, `alpha=3, gamma=1, a=-15, b=54 => x_1=6, x_2=9`:
    `(x/1+1)/((x-6)(x-9))<=0, x/1+5>=0`.
    `(x+1)/((x-6)(x-9))<=0, x>= -5`.
    `x in (-oo;-1]uu(6;9), x>= -5 => x in [-5;-1]uu(6;9)`.
    Все целые решения: `-5,-4,...,-1,7,8`.
    Всего `7` целых решений.

    Ответ: `7`.
  • Задача №2.
    Решите уравнение
    `cos^2 6x-sin^2 3x-(1-cosx)/|1-cosx|=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/4);2pi(m+1/8)], m=-8`, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx => (1-cosx)/(|1-cosx|)=1` и добавляется условие ОДЗ `cosx!=1, x!=2pik, k in ZZ`.
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `m=-8 => A=[-16pi-pi/2;-16pi+pi/4]=[-16,5pi;-15,75pi]`.
    `x=-(49pi)/3 ~~ -51,31`.

    Ответ: `-51,31`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `cos^2 6x-sin^2 3x-(1-cosx)/|1-cosx|=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/4);2pi(m+1/8)], m=-6`, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx => (1-cosx)/(|1-cosx|)=1` и добавляется условие ОДЗ `cosx!=1, x!=2pik, k in ZZ`.
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `m=-6 => A=[-12pi-pi/2;-12pi+pi/4]=[-12,5pi;-11,75pi]`.
    `x=-(37pi)/3 ~~ -38,75`.

    Ответ: `-38,75`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `cos^2 6x-sin^2 3x-(1-cosx)/|1-cosx|=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/8);2pi(m+1/4)], m=7`, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx => (1-cosx)/(|1-cosx|)=1` и добавляется условие ОДЗ `cosx!=1, x!=2pik, k in ZZ`.
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `m=7 => A=[14pi-pi/4;14pi+pi/2]=[13,75pi;14,5pi]`.
    `x=(43pi)/3 ~~ 45,03`.

    Ответ: `45,03`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `cos^2 6x-sin^2 3x-(1-cosx)/|1-cosx|=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/4);2pi(m+1/8)], m=-5`, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx => (1-cosx)/(|1-cosx|)=1` и добавляется условие ОДЗ `cosx!=1, x!=2pik, k in ZZ`.
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `m=-5 => A=[-10pi-pi/2;-10pi+pi/4]=[-10,5pi;-9,75pi]`.
    `x=-(31pi)/3 ~~ -32,46`.

    Ответ: `-32,46`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `((1+cos12x)sin^2(x/2))/|1-cosx|+cos^2 3x-2=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/8);2pi(m+1/4)], m=8`, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx`.
    `1-cosx=1-(1-2sin^2(x/2))=2sin^2(x/2)`.
    Тогда наше уравнение запишется в виде:
    `{((1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0),(sin(x/2)!=0):}`
    Второе условие - результат сокращения.
    `x/2!=pik, k in ZZ, x!=2pikm k in ZZ`.
    `(1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+1-sin^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `m=8 => A=[16pi-pi/4;16pi+pi/2]=[15,75pi;16,5pi]`.
    `x=(49pi)/3 ~~ 51,31`.

    Ответ: `51,31`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `((1+cos12x)sin^2(x/2))/|1-cosx|+cos^2 3x-2=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/8);2pi(m+1/4)], m=5`, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx`.
    `1-cosx=1-(1-2sin^2(x/2))=2sin^2(x/2)`.
    Тогда наше уравнение запишется в виде:
    `{((1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0),(sin(x/2)!=0):}`
    Второе условие - результат сокращения.
    `x/2!=pik, k in ZZ, x!=2pikm k in ZZ`.
    `(1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+1-sin^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `m=5 => A=[10pi-pi/4;10pi+pi/2]=[9,75pi;10,5pi]`.
    `x=(31pi)/3 ~~ 32,46`.

    Ответ: `32,46`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `((1+cos12x)sin^2(x/2))/|1-cosx|+cos^2 3x-2=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/8);2pi(m+1/4)], m=7`, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx`.
    `1-cosx=1-(1-2sin^2(x/2))=2sin^2(x/2)`.
    Тогда наше уравнение запишется в виде:
    `{((1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0),(sin(x/2)!=0):}`
    Второе условие - результат сокращения.
    `x/2!=pik, k in ZZ, x!=2pikm k in ZZ`.
    `(1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+1-sin^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `m=7 => A=[14pi-pi/4;14pi+pi/2]=[13,75pi;14,5pi]`.
    `x=(43pi)/3 ~~ 45,03`.

    Ответ: `45,03`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `((1+cos12x)sin^2(x/2))/|1-cosx|+cos^2 3x-2=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/8);2pi(m+1/4)], m=6`, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx`.
    `1-cosx=1-(1-2sin^2(x/2))=2sin^2(x/2)`.
    Тогда наше уравнение запишется в виде:
    `{((1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0),(sin(x/2)!=0):}`
    Второе условие - результат сокращения.
    `x/2!=pik, k in ZZ, x!=2pikm k in ZZ`.
    `(1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+1-sin^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `m=6 => A=[12pi-pi/4;12pi+pi/2]=[11,75pi;12,5pi]`.
    `x=(37pi)/3 ~~ 38,75`.

    Ответ: `38,75`.

    Задача №2 (тип 1-1, общий алгоритм).
    Решите уравнение
    `cos^2 6x-sin^2 3x-(1-cosx)/|1-cosx|=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/4);2pi(m+1/8)], m=`, где `m` - отрицательное целое число, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx => (1-cosx)/(|1-cosx|)=1` и добавляется условие ОДЗ `cosx!=1, x!=2pik, k in ZZ`.
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `A=[2pim-pi/2;2pim+pi/4]`.
    `n=6m` не подходит по ОДЗ.
    `n=6m+1 => x=2pim+pi/3` - не подходит.
    `n=6m-2 => x=2pim-2/3pi` - не подходит.
    `n=6m-1 => x=2pim-pi/3` - единственный корень.
    `x=((6m-1)pi)/3`.
    `pi/3 ~~ 1,0471976`.
    `x ~~ 1,0471976*(6m-1)`.
    Полученный ответ округляем до двух знаков после запятой

    Ответ: число `1,0471976*(6m-1)`, округленное до двух знаков после запятой. В этом типе все ответы отрицательные.

    Задача №2 (тип 1-2, общий алгоритм).
    Решите уравнение
    `cos^2 6x-sin^2 3x-(1-cosx)/|1-cosx|=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/8);2pi(m+1/4)], m=`, где `m` - положительное целое число, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx => (1-cosx)/(|1-cosx|)=1` и добавляется условие ОДЗ `cosx!=1, x!=2pik, k in ZZ`.
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `A=[2pim-pi/4;2pim+pi/2]`.
    `n=6m` не подходит по ОДЗ.
    `n=6m-1 => x=2pim-pi/3` - не подходит.
    `n=6m+2 => x=2pim+2/3pi` - не подходит.
    `n=6m+1 => x=2pim+pi/3` - единственный корень.
    `x=((6m+1)pi)/3`.
    `pi/3 ~~ 1,0471976`.
    `x ~~ 1,0471976*(6m+1)`.
    Полученный ответ округляем до двух знаков после запятой

    Ответ: число `1,0471976*(6m+1)`, округленное до двух знаков после запятой. В этом типе все ответы положительные.

    Задача №2 (тип 2-1, общий алгоритм).
    Решите уравнение
    `((1+cos12x)sin^2(x/2))/|1-cosx|+cos^2 3x-2=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/4);2pi(m+1/8)], m=`, где `m` - отрицательное целое число, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx`.
    `1-cosx=1-(1-2sin^2(x/2))=2sin^2(x/2)`.
    Тогда наше уравнение запишется в виде:
    `{((1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0),(sin(x/2)!=0):}`
    Второе условие - результат сокращения.
    `x/2!=pik, k in ZZ, x!=2pikm k in ZZ`.
    `(1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+1-sin^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `A=[2pim-pi/2;2pim+pi/4]`.
    `n=6m` не подходит по ОДЗ.
    `n=6m+1 => x=2pim+pi/3` - не подходит.
    `n=6m-2 => x=2pim-2/3pi` - не подходит.
    `n=6m-1 => x=2pim-pi/3` - единственный корень.
    `x=((6m-1)pi)/3`.
    `pi/3 ~~ 1,0471976`.
    `x ~~ 1,0471976*(6m-1)`.
    Полученный ответ округляем до двух знаков после запятой

    Ответ: число `1,0471976*(6m-1)`, округленное до двух знаков после запятой. В этом типе все ответы отрицательные.

    Задача №2 (тип 2-2, общий алгоритм).
    Решите уравнение
    `((1+cos12x)sin^2(x/2))/|1-cosx|+cos^2 3x-2=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/8);2pi(m+1/4)], m=`, где `m` - положительное целое число, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `cosx<=1 => |1-cosx|=1-cosx`.
    `1-cosx=1-(1-2sin^2(x/2))=2sin^2(x/2)`.
    Тогда наше уравнение запишется в виде:
    `{((1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0),(sin(x/2)!=0):}`
    Второе условие - результат сокращения.
    `x/2!=pik, k in ZZ, x!=2pikm k in ZZ`.
    `(1+cos12x)/2+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+cos^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x+1-sin^2 3x-2=0`,
    `cos^2 6x-sin^2 3x-1=0`,
    `(1-2sin^2 3x)^2-sin^2 3x-1=0`,
    `4sin^4 3x-5sin^2 3x=0`,
    `sin^2 3x(4sin^2 3x-5)=0`,
    `sin^2 3x=0, sin^2 3x=5/4` - второе уравнение решений не имеет.
    `sin3x=0`,
    `3x=pin, n in ZZ`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ`,
    `x!=2pik, k in ZZ => n!=6k`,
    `x=(pin)/3, n in ZZ, n!=6k`.
    `A=[2pim-pi/4;2pim+pi/2]`.
    `n=6m` не подходит по ОДЗ.
    `n=6m-1 => x=2pim-pi/3` - не подходит.
    `n=6m+2 => x=2pim+2/3pi` - не подходит.
    `n=6m+1 => x=2pim+pi/3` - единственный корень.
    `x=((6m+1)pi)/3`.
    `pi/3 ~~ 1,0471976`.
    `x ~~ 1,0471976*(6m+1)`.
    Полученный ответ округляем до двух знаков после запятой

    Ответ: число `1,0471976*(6m+1)`, округленное до двух знаков после запятой. В этом типе все ответы положительные.
  • Задача №3.
    В треугольнике `ABC` проведены медианы `B B_1=m_b, C C_1=m_c, A A_1=m_a`, которые пересекаются в точке `O`. Найдите площадь `S=S_(DeltaCOA_1)`, если `m_a=14, m_b=15, m_c=18`.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, для произвольных значений `m_a, m_b, m_c`.
    Найдем все длины сторон `DeltaCOA_1`.
    Медианы в точке пересечения делятся в отношении `2:1`, поэтому `CO=2/3m_c, OA_1=1/3m_a`.
    `CA_1=1/2BC=1/2a`.
    Формулы длины стороны через длины медиан:
    `a=2/3sqrt(2(m_b^2+m_c^2)-m_a^2)`.
    Стороны `DeltaCOA_1`:
    `x=2/3m_c, y=1/3m_a, z=1/3sqrt(2(m_b^2+m_c^2)-m_a^2)`.
    `S=1/4sqrt((x+y+z)(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x))`.
    По условию, `m_a=14, m_b=15, m_c=18`:
    `x=12, y=14/3, z=1/3sqrt(2(15^2+18^2)-14^2)=1/3sqrt902`.
    `S=1/4sqrt((12+14/3+1/3sqrt902)(12+14/3-1/3sqrt902))*`
    `*sqrt((12+1/3sqrt902-14/3)(14/3+1/3sqrt902-12))`.
    `S ~~ 22,70`.
    Более простой способ:
    Площадь треугольника `ABC` равна `4/3` площади треугольника, составленного из медиан.
    Треугольник ABC делится медианами на `6` равновеликих треугольника.
    Это легко получить достраивая параллелограммы к этим треугольникам.
    Тогда, `S=1/6S_(DeltaABC)=1/6*4/3S_1=4/18S_1`,
    где `S_1=1/4sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.
    `S=1/18sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.

    Ответ: `22,70`.

    Задача №3.
    В треугольнике `ABC` проведены медианы `B B_1=m_b, C C_1=m_c, A A_1=m_a`, которые пересекаются в точке `O`. Найдите площадь `S=S_(DeltaBOA_1)`, если `m_a=14, m_b=15, m_c=16`.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, для произвольных значений `m_a, m_b, m_c`.
    Найдем все длины сторон `DeltaBOA_1`.
    Медианы в точке пересечения делятся в отношении `2:1`, поэтому `BO=2/3m_b, OA_1=1/3m_a`.
    `BA_1=1/2BC=1/2a`.
    Формулы длины стороны через длины медиан:
    `a=2/3sqrt(2(m_b^2+m_c^2)-m_a^2)`.
    Стороны `DeltaBOA_1`:
    `x=2/3m_b, y=1/3m_a, z=1/3sqrt(2(m_b^2+m_c^2)-m_a^2)`.
    `S=1/4sqrt((x+y+z)(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x))`.
    По условию, `m_a=14, m_b=15, m_c=16`:
    `x=10, y=14/3, z=1/3sqrt(2(15^2+16^2)-14^2)=1/3sqrt766`.
    `S=1/4sqrt((10+14/3+1/3sqrt766)(10+14/3-1/3sqrt766))*`
    `*sqrt((10+1/3sqrt766-14/3)(14/3+1/3sqrt766-10))`.
    `S ~~ 21,46`.
    Более простой способ:
    Площадь треугольника `ABC` равна `4/3` площади треугольника, составленного из медиан.
    Треугольник ABC делится медианами на `6` равновеликих треугольника.
    Это легко получить достраивая параллелограммы к этим треугольникам.
    Тогда, `S=1/6S_(DeltaABC)=1/6*4/3S_1=4/18S_1`,
    где `S_1=1/4sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.
    `S=1/18sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.

    Ответ: `21,46`.

    Задача №3.
    В треугольнике `ABC` проведены медианы `B B_1=m_b, C C_1=m_c, A A_1=m_a`, которые пересекаются в точке `O`. Найдите площадь `S=S_(DeltaB_1OC)`, если `m_a=12, m_b=14, m_c=16`.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, для произвольных значений `m_a, m_b, m_c`.
    Найдем все длины сторон `DeltaB_1OC`.
    Медианы в точке пересечения делятся в отношении `2:1`, поэтому `CO=2/3m_c, OB_1=1/3m_b`.
    `CB_1=1/2AC=1/2b`.
    Формулы длины стороны через длины медиан:
    `b=2/3sqrt(2(m_a^2+m_c^2)-m_b^2)`.
    Стороны `DeltaB_1OC`:
    `x=2/3m_c, y=1/3m_b, z=1/3sqrt(2(m_a^2+m_c^2)-m_b^2)`.
    `S=1/4sqrt((x+y+z)(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x))`.
    По условию, `m_a=12, m_b=14, m_c=16`:
    `x=32/3, y=14/3, z=1/3sqrt(2(12^2+16^2)-14^2)=1/3sqrt604`.
    `S=1/4sqrt((32/3+14/3+1/3sqrt604)(32/3+14/3-1/3sqrt604))*`
    `*sqrt((32/3+1/3sqrt604-14/3)(14/3+1/3sqrt604-32/3))`.
    `S ~~ 18,07`.
    Более простой способ:
    Площадь треугольника `ABC` равна `4/3` площади треугольника, составленного из медиан.
    Треугольник ABC делится медианами на `6` равновеликих треугольника.
    Это легко получить достраивая параллелограммы к этим треугольникам.
    Тогда, `S=1/6S_(DeltaABC)=1/6*4/3S_1=4/18S_1`,
    где `S_1=1/4sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.
    `S=1/18sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.

    Ответ: `18,07`.

    Задача №3.
    В треугольнике `ABC` проведены медианы `B B_1=m_b, C C_1=m_c, A A_1=m_a`, которые пересекаются в точке `O`. Найдите площадь `S=S_(DeltaBOC_1)`, если `m_a=13, m_b=15, m_c=16`.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, для произвольных значений `m_a, m_b, m_c`.
    Найдем все длины сторон `DeltaBOC_1`.
    Медианы в точке пересечения делятся в отношении `2:1`, поэтому `BO=2/3m_b, OC_1=1/3m_c`.
    `BC_1=1/2AB=1/2c`.
    Формулы длины стороны через длины медиан:
    `c=2/3sqrt(2(m_a^2+m_b^2)-m_c^2)`.
    Стороны `DeltaBOC_1`:
    `x=2/3m_b, y=1/3m_c, z=1/3sqrt(2(m_a^2+m_b^2)-m_c^2)`.
    `S=1/4sqrt((x+y+z)(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x))`.
    По условию, `m_a=13, m_b=15, m_c=16`:
    `x=10, y=16/3, z=1/3sqrt(2(13^2+15^2)-16^2)=1/3sqrt532`.
    `S=1/4sqrt((10+16/3+1/3sqrt532)(10+16/3-1/3sqrt532))*`
    `*sqrt((10+1/3sqrt532-16/3)(16/3+1/3sqrt532-10))`.
    `S ~~ 20,26`.
    Более простой способ:
    Площадь треугольника `ABC` равна `4/3` площади треугольника, составленного из медиан.
    Треугольник ABC делится медианами на `6` равновеликих треугольника.
    Это легко получить достраивая параллелограммы к этим треугольникам.
    Тогда, `S=1/6S_(DeltaABC)=1/6*4/3S_1=4/18S_1`,
    где `S_1=1/4sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.
    `S=1/18sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.

    Ответ: `20,26`.

    Задача №3.
    В треугольнике `ABC` проведены медианы `B B_1=m_b, C C_1=m_c, A A_1=m_a`, которые пересекаются в точке `O`. Найдите площадь `S=S_(DeltaAOC_1)`, если `m_a=12, m_b=15, m_c=16`.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, для произвольных значений `m_a, m_b, m_c`.
    Найдем все длины сторон `DeltaAOC_1`.
    Медианы в точке пересечения делятся в отношении `2:1`, поэтому `AO=2/3m_a, OC_1=1/3m_c`.
    `AC_1=1/2AB=1/2c`.
    Формулы длины стороны через длины медиан:
    `c=2/3sqrt(2(m_a^2+m_b^2)-m_c^2)`.
    Стороны `DeltaAOC_1`:
    `x=2/3m_a, y=1/3m_c, z=1/3sqrt(2(m_a^2+m_b^2)-m_c^2)`.
    `S=1/4sqrt((x+y+z)(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x))`.
    По условию, `m_a=12, m_b=15, m_c=16`:
    `x=8, y=16/3, z=1/3sqrt(2(12^2+15^2)-16^2)=1/3sqrt482`.
    `S=1/4sqrt((8+16/3+1/3sqrt482)(8+16/3-1/3sqrt482))*`
    `*sqrt((8+1/3sqrt482-16/3)(16/3+1/3sqrt482-8))`.
    `S ~~ 18,99`.
    Более простой способ:
    Площадь треугольника `ABC` равна `4/3` площади треугольника, составленного из медиан.
    Треугольник ABC делится медианами на `6` равновеликих треугольника.
    Это легко получить достраивая параллелограммы к этим треугольникам.
    Тогда, `S=1/6S_(DeltaABC)=1/6*4/3S_1=4/18S_1`,
    где `S_1=1/4sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.
    `S=1/18sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.

    Ответ: `18,99`.

    Задача №3 (общий алгоритм).
    В треугольнике `ABC` проведены медианы `B B_1=m_b, C C_1=m_c, A A_1=m_a`, которые пересекаются в точке `O`. Найдите площадь `S=S_(Delta)` (где `Delta` один из `6` треугольников, на которые делится треугольник `ABC` своими медианами и точкой `O`), если известны значения `m_a, m_b, m_c`.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, для произвольных значений `m_a, m_b, m_c`.
    Площадь треугольника `ABC` равна `4/3` площади треугольника (`S_1`), составленного из медиан.
    Треугольник `ABC` делится медианами на `6` равновеликих треугольника.
    Это легко получить достраивая параллелограммы к этим треугольникам.
    Тогда, `S_(Delta)=1/6S_(DeltaABC)=1/6*4/3S_1=4/18S_1`,
    где `S_1=1/4sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.
    `S_(Delta)=1/18sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`.

    Ответ: число `1/18sqrt((m_a+m_b+m_c)(m_a+m_b-m_c)(m_b+m_c-m_a)(m_a+m_c-m_b))`, округленное до `2` знаков после запятой.
  • Задача №4.
    Решите систему
    `{(z^4+xz+yz-b=0),(x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0):}`
    `a=8, b=20`
    Вычислите значение выражения `x_k^2+y_k^2+z_k^3` для каждого решения `(x_k,y_k,z_k)` системы и найдите среди них минимальное.
    Если решений нет, либо решений бесконечно много, в поле ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    `x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0`,
    `(x-a)^2+(y+a)^2=0`,
    `x=a, y=-a`:
    `z^4+z(x+y)-b=0`,
    `z^4=b => z=+-root(4)b`.
    `(x,y,z)=(a,-a,+-root(4)b) => S=x^2+y^2+z^3=2a^2+-root(4)(b^3)`.
    По условию, `a=8, b=20 => S_min=2*64-root(4)8000 ~~ 118,54`.

    Ответ: `118,54`.

    Задача №4.
    Решите систему
    `{(z^4+xz+yz-b=0),(x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0):}`
    `a=6, b=11`
    Вычислите значение выражения `x_k^2+y_k^2+z_k^3` для каждого решения `(x_k,y_k,z_k)` системы и найдите среди них минимальное.
    Если решений нет, либо решений бесконечно много, в поле ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    `x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0`,
    `(x-a)^2+(y+a)^2=0`,
    `x=a, y=-a`:
    `z^4+z(x+y)-b=0`,
    `z^4=b => z=+-root(4)b`.
    `(x,y,z)=(a,-a,+-root(4)b) => S=x^2+y^2+z^3=2a^2+-root(4)(b^3)`.
    По условию, `a=6, b=11 => S_min=2*36-root(4)1331 ~~ 65,96`.

    Ответ: `65,96`.

    Задача №4.
    Решите систему
    `{(z^4+xz+yz-b=0),(x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0):}`
    `a=8, b=13`
    Вычислите значение выражения `x_k^2+y_k^2+z_k^3` для каждого решения `(x_k,y_k,z_k)` системы и найдите среди них минимальное.
    Если решений нет, либо решений бесконечно много, в поле ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    `x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0`,
    `(x-a)^2+(y+a)^2=0`,
    `x=a, y=-a`:
    `z^4+z(x+y)-b=0`,
    `z^4=b => z=+-root(4)b`.
    `(x,y,z)=(a,-a,+-root(4)b) => S=x^2+y^2+z^3=2a^2+-root(4)(b^3)`.
    По условию, `a=8, b=13 => S_min=2*64-root(4)2197 ~~ 121,15`.

    Ответ: `121,15`.

    Задача №4.
    Решите систему
    `{(z^4+xz+yz-b=0),(x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0):}`
    `a=7, b=15`
    Вычислите значение выражения `x_k^2+y_k^2+z_k^3` для каждого решения `(x_k,y_k,z_k)` системы и найдите среди них минимальное.
    Если решений нет, либо решений бесконечно много, в поле ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    `x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0`,
    `(x-a)^2+(y+a)^2=0`,
    `x=a, y=-a`:
    `z^4+z(x+y)-b=0`,
    `z^4=b => z=+-root(4)b`.
    `(x,y,z)=(a,-a,+-root(4)b) => S=x^2+y^2+z^3=2a^2+-root(4)(b^3)`.
    По условию, `a=7, b=15 => S_min=2*49-root(4)3375 ~~ 90,38`.

    Ответ: `90,38`.

    Задача №4.
    Решите систему
    `{(z^4+xz+yz-b=0),(x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0):}`
    `a=5, b=10`
    Вычислите значение выражения `x_k^2+y_k^2+z_k^3` для каждого решения `(x_k,y_k,z_k)` системы и найдите среди них минимальное.
    Если решений нет, либо решений бесконечно много, в поле ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    `x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0`,
    `(x-a)^2+(y+a)^2=0`,
    `x=a, y=-a`:
    `z^4+z(x+y)-b=0`,
    `z^4=b => z=+-root(4)b`.
    `(x,y,z)=(a,-a,+-root(4)b) => S=x^2+y^2+z^3=2a^2+-root(4)(b^3)`.
    По условию, `a=5, b=10 => S_min=2*25-root(4)1000 ~~ 44,38`.

    Ответ: `44,38`.

    Задача №4.
    Решите систему
    `{(z^4+xz+yz-b=0),(x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0):}`
    `a=7, b=19`
    Вычислите значение выражения `x_k^2+y_k^2+z_k^3` для каждого решения `(x_k,y_k,z_k)` системы и найдите среди них минимальное.
    Если решений нет, либо решений бесконечно много, в поле ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    `x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0`,
    `(x-a)^2+(y+a)^2=0`,
    `x=a, y=-a`:
    `z^4+z(x+y)-b=0`,
    `z^4=b => z=+-root(4)b`.
    `(x,y,z)=(a,-a,+-root(4)b) => S=x^2+y^2+z^3=2a^2+-root(4)(b^3)`.
    По условию, `a=7, b=19 => S_min=2*49-root(4)6859 ~~ 88,90`.

    Ответ: `88,90`.

    Задача №4 (общий алгоритм).
    Решите систему
    `{(z^4+xz+yz-b=0),(x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0):}`
    `a,b` - целые положительные числа.
    Вычислите значение выражения `x_k^2+y_k^2+z_k^3` для каждого решения `(x_k,y_k,z_k)` системы и найдите среди них минимальное.
    Если решений нет, либо решений бесконечно много, в поле ответов укажите цифру `0`.

    Решение:
    `x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0`,
    `(x-a)^2+(y+a)^2=0`,
    `x=a, y=-a`:
    `z^4+z(x+y)-b=0`,
    `z^4=b => z=+-root(4)b`.
    `(x,y,z)=(a,-a,+-root(4)b) => S=x^2+y^2+z^3=2a^2+-root(4)(b^3)`.
    `S_min=2a^2-root(4)(b^3)`.

    Ответ: число `2a^2-root(4)(b^3)`, окруленное до двух знаков после запятой.
  • Задача №5.
    Владелец библиотеки решил подарить на Новый год своим брату и сестре по одной книге. Он составил список из `a=93` книг, подходящих для брата, и список из `b=81` книг, подходящих для сестры. Внутри каждого списка все книги попарно различны. При этом имеется ровно одна книга, попавшая в оба списка. Сколькими способами он может сделать свой подарок так, чтобы брат и сестра получили разные книги?

    Решение:
    Для каждой книги из первой группы, кроме одной, есть `b` подходящих книг во второй группе.
    Для последней книги из первой группы есть `b-1` подходящих книг во второй группе.
    Всего различных пар `(a-1)b+1*(b-1)=ab-b+b-1=ab-1`.
    Еще проще: всего пар книг `ab`, при этом только одна пара совпадающих книг не подходит.
    По условию, `a=93, b=81 => ab-1=7532`.

    Ответ: `7532`.

    Задача №5.
    Владелец библиотеки решил подарить на Новый год своим брату и сестре по одной книге. Он составил список из `a=92` книг, подходящих для брата, и список из `b=88` книг, подходящих для сестры. Внутри каждого списка все книги попарно различны. При этом имеется ровно одна книга, попавшая в оба списка. Сколькими способами он может сделать свой подарок так, чтобы брат и сестра получили разные книги?

    Решение:
    Для каждой книги из первой группы, кроме одной, есть `b` подходящих книг во второй группе.
    Для последней книги из первой группы есть `b-1` подходящих книг во второй группе.
    Всего различных пар `(a-1)b+1*(b-1)=ab-b+b-1=ab-1`.
    Еще проще: всего пар книг `ab`, при этом только одна пара совпадающих книг не подходит.
    По условию, `a=92, b=88 => ab-1=8095`.

    Ответ: `8095`.

    Задача №5.
    Владелец библиотеки решил подарить на Новый год своим брату и сестре по одной книге. Он составил список из `a=68` книг, подходящих для брата, и список из `b=85` книг, подходящих для сестры. Внутри каждого списка все книги попарно различны. При этом имеется ровно одна книга, попавшая в оба списка. Сколькими способами он может сделать свой подарок так, чтобы брат и сестра получили разные книги?

    Решение:
    Для каждой книги из первой группы, кроме одной, есть `b` подходящих книг во второй группе.
    Для последней книги из первой группы есть `b-1` подходящих книг во второй группе.
    Всего различных пар `(a-1)b+1*(b-1)=ab-b+b-1=ab-1`.
    Еще проще: всего пар книг `ab`, при этом только одна пара совпадающих книг не подходит.
    По условию, `a=68, b=85 => ab-1=5779`.

    Ответ: `5779`.

    Задача №5.
    Владелец библиотеки решил подарить на Новый год своим брату и сестре по одной книге. Он составил список из `a=67` книг, подходящих для брата, и список из `b=97` книг, подходящих для сестры. Внутри каждого списка все книги попарно различны. При этом имеется ровно одна книга, попавшая в оба списка. Сколькими способами он может сделать свой подарок так, чтобы брат и сестра получили разные книги?

    Решение:
    Для каждой книги из первой группы, кроме одной, есть `b` подходящих книг во второй группе.
    Для последней книги из первой группы есть `b-1` подходящих книг во второй группе.
    Всего различных пар `(a-1)b+1*(b-1)=ab-b+b-1=ab-1`.
    Еще проще: всего пар книг `ab`, при этом только одна пара совпадающих книг не подходит.
    По условию, `a=67, b=97 => ab-1=6498`.

    Ответ: `6498`.

    Задача №5.
    Владелец библиотеки решил подарить на Новый год своим брату и сестре по одной книге. Он составил список из `a=69` книг, подходящих для брата, и список из `b=75` книг, подходящих для сестры. Внутри каждого списка все книги попарно различны. При этом имеется ровно одна книга, попавшая в оба списка. Сколькими способами он может сделать свой подарок так, чтобы брат и сестра получили разные книги?

    Решение:
    Для каждой книги из первой группы, кроме одной, есть `b` подходящих книг во второй группе.
    Для последней книги из первой группы есть `b-1` подходящих книг во второй группе.
    Всего различных пар `(a-1)b+1*(b-1)=ab-b+b-1=ab-1`.
    Еще проще: всего пар книг `ab`, при этом только одна пара совпадающих книг не подходит.
    По условию, `a=69, b=75 => ab-1=5174`.

    Ответ: `5174`.

    Задача №5.
    Владелец библиотеки решил подарить на Новый год своим брату и сестре по одной книге. Он составил список из `a=89` книг, подходящих для брата, и список из `b=74` книг, подходящих для сестры. Внутри каждого списка все книги попарно различны. При этом имеется ровно одна книга, попавшая в оба списка. Сколькими способами он может сделать свой подарок так, чтобы брат и сестра получили разные книги?

    Решение:
    Для каждой книги из первой группы, кроме одной, есть `b` подходящих книг во второй группе.
    Для последней книги из первой группы есть `b-1` подходящих книг во второй группе.
    Всего различных пар `(a-1)b+1*(b-1)=ab-b+b-1=ab-1`.
    Еще проще: всего пар книг `ab`, при этом только одна пара совпадающих книг не подходит.
    По условию, `a=89, b=74 => ab-1=6585`.

    Ответ: `6585`.

    Задача №5.
    Владелец библиотеки решил подарить на Новый год своим брату и сестре по одной книге. Он составил список из `a=79` книг, подходящих для брата, и список из `b=77` книг, подходящих для сестры. Внутри каждого списка все книги попарно различны. При этом имеется ровно одна книга, попавшая в оба списка. Сколькими способами он может сделать свой подарок так, чтобы брат и сестра получили разные книги?

    Решение:
    Для каждой книги из первой группы, кроме одной, есть `b` подходящих книг во второй группе.
    Для последней книги из первой группы есть `b-1` подходящих книг во второй группе.
    Всего различных пар `(a-1)b+1*(b-1)=ab-b+b-1=ab-1`.
    Еще проще: всего пар книг `ab`, при этом только одна пара совпадающих книг не подходит.
    По условию, `a=79, b=77 => ab-1=6082`.

    Ответ: `6082`.

    Задача №5.
    Владелец библиотеки решил подарить на Новый год своим брату и сестре по одной книге. Он составил список из `a=91` книг, подходящих для брата, и список из `b=74` книг, подходящих для сестры. Внутри каждого списка все книги попарно различны. При этом имеется ровно одна книга, попавшая в оба списка. Сколькими способами он может сделать свой подарок так, чтобы брат и сестра получили разные книги?

    Решение:
    Для каждой книги из первой группы, кроме одной, есть `b` подходящих книг во второй группе.
    Для последней книги из первой группы есть `b-1` подходящих книг во второй группе.
    Всего различных пар `(a-1)b+1*(b-1)=ab-b+b-1=ab-1`.
    Еще проще: всего пар книг `ab`, при этом только одна пара совпадающих книг не подходит.
    По условию, `a=91, b=74 => ab-1=6733`.

    Ответ: `6733`.

    Задача №5 (общий алгоритм).
    Владелец библиотеки решил подарить на Новый год своим брату и сестре по одной книге. Он составил список из `a` книг, подходящих для брата, и список из `b` книг, подходящих для сестры. Внутри каждого списка все книги попарно различны. При этом имеется ровно одна книга, попавшая в оба списка. Сколькими способами он может сделать свой подарок так, чтобы брат и сестра получили разные книги?
    `a,b` - известные натуральные числа.

    Решение:
    Для каждой книги из первой группы, кроме одной, есть `b` подходящих книг во второй группе.
    Для последней книги из первой группы есть `b-1` подходящих книг во второй группе.
    Всего различных пар `(a-1)b+1*(b-1)=ab-b+b-1=ab-1`.
    Еще проще: всего пар книг `ab`, при этом только одна пара совпадающих книг не подходит.

    Ответ: `ab-1`.
  • Творческое задание (165 часов)
    Задача №1.
    На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `5` одинаковых кругов, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что `3`-й круг спортсмен пробежал за `t=27` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

    Решение:
    Пусть `t_1` минут - время прохождения первого круга, а `d` - разность арифметической прогрессии.
    Формула `n`-го члена прогресии: `t_n=t_1+(n-1)d`.
    По условию, круг содержит целое число километров - `k`.
    `s_1=t_1+t_2+...+t_k` - общее время первого круга.
    `s_2=t_(k+1)+t_(k+2)+...+t_(2k)` - общее время `2` круга.
    `s_3=t_(2k+1)+t_(2k+2)+...+t_(3k)` - общее время `3` круга.
    `s_4=t_(3k+1)+t_(3k+2)+...+t_(4k)` - общее время `4` круга.
    `s_5=t_(4k+1)+t_(4k+2)+...+t_(5k)` - общее время `5` круга.
    `S=t_1+t_2+...+t_(5k)` - общее время спортсмена.
    По формуле суммы арифметической прогрессии:
    `S=(2t_1+(5k-1)d)/2*5k`.
    Заметим, что слагаемые `s_3` тоже являются членами арифметической прогрессии с первым членом `t_(2k+1)` и разностью `d`.
    `s_3=(2t_(2k+1)+(k-1)d)/2*k=(2t_1+4kd+(k-1)d)/2*k=S/5`.
    `S=5s_3`.
    `s_3=27 => S=5*27=135` минут.

    Ответ: `135`.

    Задача №1.
    На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `3` одинаковых круга, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что второй круг спортсмен пробежал за `t=34` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

    Решение:
    По условию, `a_1` - время первого километра, `d` - разность прогрессии.
    `n` - целое число километров в одном круге.
    Тогда, `a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(2n)=34=T'`.
    Надо найти `T=a_1+a_2+...+a_(3n)`.
    `a_(n+1),...,a_(2n)` - также прогрессия с разностью `d`.
    `T'=((a_(n+1)+a_(2n))*n)/2=((2a_1+(3n-1)d)*n)/2` - по формуле суммы арифметической прогрессии.
    `T=((a_1+a_(3n))*3n)/2=((2a_1+(3n-1)d)*3n)/2=3T'`.
    `t'=34 => T=3*34=102`.

    Ответ: `102`.

    Задача №1.
    На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `7` одинаковых кругов, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что `4`-й круг спортсмен пробежал за `t=29` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

    Решение:
    По условию, каждый круг состоит из `n` километров, `n` - натуральное число.
    Время на каждый следующий километр растет в арифметической прогрессии с разностью `d`, тогда время на каждый круг тоже растет в арифметической прогрессии с разностью `n^2d`.
    Пусть `t_i` - время, затраченное спортсменом на `i`-ый круг (не километр).
    По условию, `t_4=29`.
    `t=t_1+...+t_7=(t_1+t_7)+(t_2+t_6)+(t_3+t_5)+t_4=`
    `=(2t_1+6d)+(2t_1+6d)+(2t_1+6d)+t_4=7t_4=7*29=203`.

    Ответ: `203`.

    Задача №1.
    На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `7` одинаковых кругов, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что `4`-й круг спортсмен пробежал за `t=26` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

    Решение:
    По условию, каждый круг состоит из `n` километров, `n` - натуральное число.
    Время на каждый следующий километр растет в арифметической прогрессии с разностью `d`, тогда время на каждый круг тоже растет в арифметической прогрессии с разностью `n^2d`.
    Пусть `t_i` - время, затраченное спортсменом на `i`-ый круг (не километр).
    По условию, `t_4=26`.
    `t=t_1+...+t_7=(t_1+t_7)+(t_2+t_6)+(t_3+t_5)+t_4=`
    `=(2t_1+6d)+(2t_1+6d)+(2t_1+6d)+t_4=7t_4=7*26=182`.

    Ответ: `182`.

    Задача №1.
    На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `7` одинаковых кругов, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что `4`-й круг спортсмен пробежал за `t=26` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

    Решение:
    По условию, `a_1` - время первого километра, `d` - разность прогрессии.
    `n` - целое число километров в одном круге.
    Тогда, `a_(3n+1)+a_(3n+2)+...+a_(4n)=26=T'`.
    Надо найти `T=a_1+a_2+...+a_(7n)`.
    `a_(3n+1),...,a_(4n)` - также прогрессия с разностью `d`.
    `T'=((a_(3n+1)+a_(4n))*n)/2=((2a_1+(7n-1)d)*n)/2` - по формуле суммы арифметической прогрессии.
    `T=((a_1+a_(7n))*7n)/2=((2a_1+(7n-1)d)*7n)/2=7T'`.
    `t'=26 => T=7*26=182`.

    Ответ: `182`.

    Задача №1.
    На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `7` одинаковых кругов, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что `4`-й круг спортсмен пробежал за `t=28` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

    Решение:
    Пусть `t_1` минут - время прохождения первого круга, а `d` - разность арифметической прогрессии.
    Формула `n`-го члена прогресии: `t_n=t_1+(n-1)d`.
    По условию, круг содержит целое число километров - `k`.
    `s_1=t_1+t_2+...+t_k` - общее время первого круга.
    `s_2=t_(k+1)+t_(k+2)+...+t_(2k)` - общее время `2` круга.
    `s_3=t_(2k+1)+t_(2k+2)+...+t_(3k)` - общее время `3` круга.
    `s_4=t_(3k+1)+t_(3k+2)+...+t_(4k)` - общее время `4` круга.
    `s_5=t_(4k+1)+t_(4k+2)+...+t_(5k)` - общее время `5` круга.
    `s_6=t_(5k+1)+t_(5k+2)+...+t_(6k)` - общее время `6` круга.
    `s_7=t_(6k+1)+t_(6k+2)+...+t_(7k)` - общее время `7` круга.
    `S=t_1+t_2+...+t_(5k)` - общее время спортсмена.
    По формуле суммы арифметической прогрессии:
    `S=(2t_1+(7k-1)d)/2*7k`.
    Заметим, что слагаемые `s_4` тоже являются членами арифметической прогрессии с первым членом `t_(3k+1)` и разностью `d`.
    `s_4=(2t_(3k+1)+(k-1)d)/2*k=(2t_1+6kd+(k-1)d)/2*k=S/7`.
    `S=7s_4`.
    `s_4=28 => S=7*28=196` минут.

    Ответ: `196`.

    Задача №1.
    На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `5` одинаковых кругов, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что `3`-й круг спортсмен пробежал за `t=26` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

    Решение:
    По условию, каждый круг состоит из `n` километров, `n` - натуральное число.
    Время на каждый следующий километр растет в арифметической прогрессии с разностью `d`, тогда время на каждый круг тоже растет в арифметической прогрессии с разностью `n^2d`.
    Пусть `t_i` - время, затраченное спортсменом на `i`-ый круг (не километр).
    По условию, `t_3=26`.
    `t=t_1+...+t_5=(t_1+t_5)+(t_2+t_4)+t_3=`
    `=(2t_1+4d)+(2t_1+4d)+t_3=5t_3=5*26=130`.

    Ответ: `130`.

    Задача №1.
    На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `5` одинаковых кругов, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что `3`-й круг спортсмен пробежал за `t=22` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

    Решение:
    Пусть один круг состоит из `k` километров (`k` - целое), а время с каждым километром растет на `x` минут.
    Тогда разница времени в прохождении `i`-го километра соседних кругов равна `xk` для любого `i=1,2,...,k`.
    А разница времени в прохождении соседних кругов составит `xk*k=xk^2` минут.
    Значит, время прохождения кругов тоже растет в арифметической прогрессии.
    `a_1` - время на первый круг, `d=xk^2` - разность.
    `S_5=(2a_1+4d)/2*5=5a_3=5*22=110` минут.

    Ответ: `110`.

    Задача №1.
    На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `3` одинаковых круга, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что второй круг спортсмен пробежал за `t=35` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

    Решение:
    По условию, `a_1` - время первого километра, `d` - разность прогрессии.
    `n` - целое число километров в одном круге.
    Тогда, `a_(n+1)+a_(n+2)+...+a_(2n)=34=T'`.
    Надо найти `T=a_1+a_2+...+a_(3n)`.
    `a_(n+1),...,a_(2n)` - также прогрессия с разностью `d`.
    `T'=((a_(n+1)+a_(2n))*n)/2=((2a_1+(3n-1)d)*n)/2` - по формуле суммы арифметической прогрессии.
    `T=((a_1+a_(3n))*3n)/2=((2a_1+(3n-1)d)*3n)/2=3T'`.
    `t'=35 => T=3*35=105`.

    Ответ: `105`.

    Задача №1.
    На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `7` одинаковых кругов, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что `4`-й круг спортсмен пробежал за `t=25` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

    Решение:
    По условию, каждый круг состоит из `n` километров, `n` - натуральное число.
    Время на каждый следующий километр растет в арифметической прогрессии с разностью `d`, тогда время на каждый круг тоже растет в арифметической прогрессии с разностью `n^2d`.
    Пусть `t_i` - время, затраченное спортсменом на `i`-ый круг (не километр).
    По условию, `t_4=25`.
    `t=t_1+...+t_7=(t_1+t_7)+(t_2+t_6)+(t_3+t_5)+t_4=`
    `=(2t_1+6d)+(2t_1+6d)+(2t_1+6d)+t_4=7t_4=7*25=175`.

    Ответ: `175`.

    Задача №1.
    На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `3` одинаковых круга, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что второй круг спортсмен пробежал за `t=21` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?

    Решение:
    Пусть `t_1` минут - время прохождения первого круга, а `d` - разность арифметической прогрессии.
    Формула `n`-го члена прогресии: `t_n=t_1+(n-1)d`.
    По условию, круг содержит целое число километров - `k`.
    `s_1=t_1+t_2+...+t_k` - общее время первого круга.
    `s_2=t_(k+1)+t_(k+2)+...+t_(2k)` - общее время `2` круга.
    `s_3=t_(2k+1)+t_(2k+2)+...+t_(3k)` - общее время `3` круга.
    `S=t_1+t_2+...+t_(3k)` - общее время спортсмена.
    По формуле суммы арифметической прогрессии:
    `S=(2t_1+(3k-1)d)/2*3k`.
    Заметим, что слагаемые `s_2` тоже являются членами арифметической прогрессии с первым членом `t_(k+1)` и разностью `d`.
    `s_2=(2t_(k+1)+(k-1)d)/2*k=(2t_1+2kd+(k-1)d)/2*k=S/3`.
    `S=3s_2`.
    `s_1=21 => S=3*21=63` минуты.

    Ответ: `63`.
  • Задача №2.
    В подземелье у гномов в один ряд стоят `N` сундуков с сокровищами: некоторые из них закрыты, некоторые – открыты. Гном по имени Открывай проходит вдоль ряда и открывает каждый сундук, который до этого был закрыт. Затем гном по имени Закрывай подходит к каждому второму сундуку и, если он открыт, закрывает его. Потом гном Открывай подходит к каждому третьему сундуку и, если от закрыт, открывает его. Затем гном Закрывай подходит к каждому четвёртому сундуку и, если он открыт, закрывает его, и так далее. Всего вместе гномы Закрывай и Открывай сделали `N=2016` проходов вдоль ряда. Сколько сундуков окажутся после этого закрытыми?

    Решение:
    `1,2,3,...,2016` - все сундуки.
    Возьмем сундук `№1`. Если он был закрыт, то Открывай его открыл при первом проходе. Если он был открыт, то остался открытым.
    При следующих проходах открывают-закрывают сундуки начиная со `2`-го, поэтому `1` сундук остается открытым.
    Возьмем сундук `№2`. После первого прохода он будет открыт, после второго закрыт и останется дальше закрытым, поскольку следующие проходы начинаются с `3`-го сундука.
    Возьмем сундук с номером `2n+1<2016`. После `2n+1`-го прохода сундук открытый (Открывай откроет сундук, если он был закрыт и оставит открытым, если сундук был открыт).
    При следующих проходах открывают-закрывают сундуки начиная с `2n+2`-го, поэтому `2n+1` сундук остается открытым. 
    Возьмем сундук с номером `2n<=2016`. По тем же рассуждением, этот сундук будет всегда закрыт после `2n`-го прохода.
    Всего `1008` сундуков с нечетными номерами  и `1008` сундуков с четными номерами.
    После всех проходов закрытыми останутся только сундуки с четными номерами - всего `1008` сундуков.

    Ответ: `1008`.

    Задача №2.
    В подземелье у гномов в один ряд стоят `N` сундуков с сокровищами: некоторые из них закрыты, некоторые – открыты. Гном по имени Открывай проходит вдоль ряда и открывает каждый сундук, который до этого был закрыт. Затем гном по имени Закрывай подходит к каждому второму сундуку и, если он открыт, закрывает его. Потом гном Открывай подходит к каждому третьему сундуку и, если от закрыт, открывает его. Затем гном Закрывай подходит к каждому четвёртому сундуку и, если он открыт, закрывает его, и так далее. Всего вместе гномы Закрывай и Открывай сделали `N=2033` проходов вдоль ряда. Сколько сундуков окажутся после этого закрытыми?

    Решение:
    Докажем два факта: после всех `2033` проходов все сундуки с нечетными номерами (`1,3,5,...,2033`) будут открыты, а сундуки с четными номерами (`2,4,6,...,2032`) будут закрыты.
    Пусть сделано `2i+1` проходов. Тогда `2i+1` сундук будет открыт после `2i+1` прохода. Если он был закрыт после `2i` проходов, то откроется после последнего прохода. Если он был открыт после `2i` проходов, то останется открытым после последнего прохода.
    Следующие прохода на `2i+1` сундук не влияют, поскольку сундуки изменяются с `2i+2` сундука.
    Такие же рассуждения верны для `2i`, только сундуки останутся закрытыми.
    Итак, после `2033` проходов останутся закрытыми сундуки `2,4,6,...,2032` - всего `1016` сундуков.

    Ответ: `1016`.

    Задача №2.
    В подземелье у гномов в один ряд стоят `N` сундуков с сокровищами: некоторые из них закрыты, некоторые – открыты. Гном по имени Открывай проходит вдоль ряда и открывает каждый сундук, который до этого был закрыт. Затем гном по имени Закрывай подходит к каждому второму сундуку и, если он открыт, закрывает его. Потом гном Открывай подходит к каждому третьему сундуку и, если от закрыт, открывает его. Затем гном Закрывай подходит к каждому четвёртому сундуку и, если он открыт, закрывает его, и так далее. Всего вместе гномы Закрывай и Открывай сделали `N=2024` проходов вдоль ряда. Сколько сундуков окажутся после этого закрытыми?

    Решение:
    После `2n`-го прохода сундук с номером `2n` окажется закрытым, вне зависимости от того, был он раньше закрыт или нет.
    Следующие проходы уже не касаются этого сундука. Это верно для всех `2n<=N`.
    Аналогично, сундук с номером `2n+1` окажется открытым после `2n+1`-го прохода.
    Таким образом, все сундуки с номерами `2,4,...,2024` окажутся закрытыми, а сундуки с номерами `1,3,...,2023` окажутся открытыми.
    Всего получили `1012` закрытых сундуков после `2024` проходов.

    Ответ: `1012`.

    Задача №2.
    В подземелье у гномов в один ряд стоят `N` сундуков с сокровищами: некоторые из них закрыты, некоторые – открыты. Гном по имени Открывай проходит вдоль ряда и открывает каждый сундук, который до этого был закрыт. Затем гном по имени Закрывай подходит к каждому второму сундуку и, если он открыт, закрывает его. Потом гном Открывай подходит к каждому третьему сундуку и, если от закрыт, открывает его. Затем гном Закрывай подходит к каждому четвёртому сундуку и, если он открыт, закрывает его, и так далее. Всего вместе гномы Закрывай и Открывай сделали `N=2035` проходов вдоль ряда. Сколько сундуков окажутся после этого закрытыми?

    Решение:
    Докажем два факта: после всех `2035` проходов все сундуки с нечетными номерами (`1,3,5,...,2035`) будут открыты, а сундуки с четными номерами (`2,4,6,...,2034`) будут закрыты.
    Пусть сделано `2i+1` проходов. Тогда `2i+1` сундук будет открыт после `2i+1` прохода. Если он был закрыт после `2i` проходов, то откроется после последнего прохода. Если он был открыт после 2i проходов, то останется открытым после последнего прохода.
    Следующие прохода на `2i+1` сундук не влияют, поскольку сундуки изменяются с `2i+2` сундука.
    Такие же рассуждения верны для `2i`, только сундуки останутся закрытыми.
    Итак, после `2035` проходов останутся закрытыми сундуки `2,4,6,...,2034` - всего `1017` сундуков.

    Ответ: `1017`.

    Задача №2.
    В подземелье у гномов в один ряд стоят `N` сундуков с сокровищами: некоторые из них закрыты, некоторые – открыты. Гном по имени Открывай проходит вдоль ряда и открывает каждый сундук, который до этого был закрыт. Затем гном по имени Закрывай подходит к каждому второму сундуку и, если он открыт, закрывает его. Потом гном Открывай подходит к каждому третьему сундуку и, если от закрыт, открывает его. Затем гном Закрывай подходит к каждому четвёртому сундуку и, если он открыт, закрывает его, и так далее. Всего вместе гномы Закрывай и Открывай сделали `N=2023` проходов вдоль ряда. Сколько сундуков окажутся после этого закрытыми?

    Решение:
    `1,2,3,...,2023` - все сундуки.
    Возьмем сундук `№1`. Если он был закрыт, то Открывай его открыл при первом проходе. Если он был открыт, то остался открытым.
    При следующих проходах открывают-закрывают сундуки начиная со `2`-го, поэтому `1` сундук остается открытым.
    Возьмем сундук `№2`. После первого прохода он будет открыт, после второго закрыт и останется дальше закрытым, поскольку следующие проходы начинаются с `3`-го сундука.
    Возьмем сундук с номером `2n+1<=2023`. После `2n+1`-го прохода сундук открытый (Открывай откроет сундук, если он был закрыт и оставит открытым, если сундук был открыт).
    При следующих проходах открывают-закрывают сундуки начиная с `2n+2`-го, поэтому `2n+1` сундук остается открытым. 
    Возьмем сундук с номером `2n<2023`. По тем же рассуждением, этот сундук будет всегда закрыт после `2n`-го прохода.
    Всего `1012` сундуков с нечетными номерами  и `1011` сундуков с четными номерами.
    После всех проходов закрытыми останутся только сундуки с четными номерами - всего `1011` сундуков.

    Ответ: `1011`.

    Задача №2.
    В подземелье у гномов в один ряд стоят `N` сундуков с сокровищами: некоторые из них закрыты, некоторые – открыты. Гном по имени Открывай проходит вдоль ряда и открывает каждый сундук, который до этого был закрыт. Затем гном по имени Закрывай подходит к каждому второму сундуку и, если он открыт, закрывает его. Потом гном Открывай подходит к каждому третьему сундуку и, если от закрыт, открывает его. Затем гном Закрывай подходит к каждому четвёртому сундуку и, если он открыт, закрывает его, и так далее. Всего вместе гномы Закрывай и Открывай сделали `N=2030` проходов вдоль ряда. Сколько сундуков окажутся после этого закрытыми?

    Решение:
    После `2n`-го прохода сундук с номером `2n` окажется закрытым, вне зависимости от того, был он раньше закрыт или нет.
    Следующие проходы уже не касаются этого сундука. Это верно для всех `2n<=2030`.
    Аналогично, сундук с номером `2n+1` окажется открытым после `2n+1`-го прохода.
    Таким образом, все сундуки с номерами `2,4,...,2030` окажутся закрытыми, а сундуки с номерами `1,3,...,2029` окажутся открытыми.
    Всего получили `1015` закрытых сундуков после `2030` проходов.

    Ответ: `1015`.

    Задача №2.
    В подземелье у гномов в один ряд стоят `N` сундуков с сокровищами: некоторые из них закрыты, некоторые – открыты. Гном по имени Открывай проходит вдоль ряда и открывает каждый сундук, который до этого был закрыт. Затем гном по имени Закрывай подходит к каждому второму сундуку и, если он открыт, закрывает его. Потом гном Открывай подходит к каждому третьему сундуку и, если от закрыт, открывает его. Затем гном Закрывай подходит к каждому четвёртому сундуку и, если он открыт, закрывает его, и так далее. Всего вместе гномы Закрывай и Открывай сделали `N=2019` проходов вдоль ряда. Сколько сундуков окажутся после этого закрытыми?

    Решение:
    Докажем два факта: после всех `2019` проходов все сундуки с нечетными номерами (`1,3,5,...,2019`) будут открыты, а сундуки с четными номерами (`2,4,6,...,2018`) будут закрыты.
    Пусть сделано `2i+1` проходов. Тогда `2i+1` сундук будет открыт после `2i+1` прохода. Если он был закрыт после `2i` проходов, то откроется после последнего прохода. Если он был открыт после 2i проходов, то останется открытым после последнего прохода.
    Следующие прохода на `2i+1` сундук не влияют, поскольку сундуки изменяются с `2i+2` сундука.
    Такие же рассуждения верны для `2i`, только сундуки останутся закрытыми.
    Итак, после `2019` проходов останутся закрытыми сундуки `2,4,6,...,2018` - всего `1009` сундуков.

    Ответ: `1009`.
  • Задача №3.
    К равнобедренному треугольнику `ABC` с основанием `AC` достроили другой ранобедренный треугольник `CBD` с основанием `CD` так, что оба треугольника не имеют общих точек кроме точек стороны `BC`.
    Точка `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью описанной вокруг треугольника `ABC`. Найдите отношение `DE` к радиусу описанной вокруг треугольника `ABC` окружности, если `cos/_CBD=5/8`. В ответе укажите найденное отношение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `/_A=/_C=alpha, /_CBD=beta, O` - центр описанной вокруг `ABC` окружности, `R` - радиус окружности.
    image
    Первый случай: `alpha>=beta/2`.
    `/_ABD=/_B+/_CBD=pi-2alpha+beta`.
    `AB=BC=BD => /_BAD=/_BDA=1/2(pi-/_ABD)=alpha-beta/2`.
    `/_AOB=2/_C=2alpha`,
    `AO=OB => /_BAO=1/2(pi-2alpha)=pi/2-alpha`.
    `/_EAO=/_BAD-/_BAO=alpha-beta/2-pi/2+alpha=2alpha-beta/2-pi/2`.
    Или `/_EAO=/_BAO-/_BAD=pi/2+beta/2-2alpha`, если центр окружности лежит ниже прямой `AE`. На дальнейшие рассуждения это не повлияет.
    `AB=2R*sinalpha`,
    `AE=2R*cos(2alpha-beta/2-pi/2)=2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `AD=AB*(sin(2alpha-beta))/(sin(alpha-beta/2))=2AB*cos(alpha-beta/2)=`
    `=4R*sinalphacos(alpha-beta/2)=2R*sin(beta/2)+2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `DE=AD-AE=2R*sin(beta/2) => (DE)/R=2sin(beta/2)`.
    Если `alpha=beta/2 =>` точка `B` совпадает с точкой `E`, все остальные рассуждения такие же.
    image
    Второй случай: `alpha<beta/2`.
    `/_ABD=2pi-/_B-beta=pi+2alpha-beta`.
    `/_BAD=/_BDA=beta/2-alpha`.
    `/_AOB=2/_C=2alpha`,
    `/_BAO=pi/2-alpha`,
    `/_EAO=/_BAO+/_DAB=pi/2-alpha+beta/2-alpha=pi/2+beta/2-2alpha`.
    `AB=2R*sinalpha`,
    `AE=2R*cos(pi/2+beta/2-2alpha)=2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `AD=AB*(sin(beta-2alpha))/(sin(beta/2-alpha))=4R*sinalphacos(beta/2-alpha)=`
    `=2R*sin(beta/2)+2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `DE=AD-AE=2R*sin(beta/2)`.
    Особый случай: `alpha=beta/4`. Тогда точка `E` совпадает с точкой `A, DE=AD`, отношение такое же.
    `alpha<beta/4`, тогда точка `E` находится левее точки `A` на прямой `AD`. Рассуждения такие же, только угол `2alpha-beta/2` меняется на угол `beta/2-2alpha`.
    `(DE)/(R)=2sin(beta/2)`, где `cosbeta=5/8`.
    `1-2sin^2(beta/2)=5/8 => sin^2(beta/2)=3/16`.
    `sin(beta/2)=sqrt3/4 => (DE)/(R)=sqrt3/2 ~~ 0,866`.

    Ответ: `0,87`.

    Задача №3.
    К равнобедренному треугольнику `ABC` с основанием `AC` достроили другой ранобедренный треугольник `CBD` с основанием `CD` так, что оба треугольника не имеют общих точек кроме точек стороны `BC`.
    Точка `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью описанной вокруг треугольника `ABC`. Найдите отношение `CE` к радиусу описанной вокруг треугольника `ABC` окружности, если `cos/_CBD=5/7`. В ответе укажите найденное отношение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Пусть `AB=BC=BD=x`.
    `DeltaBCD`: `CD^2=x^2+x^2-2x^2*cos/_CBD=2x^2(1-5/7)=4/7x^2`.
    `CD=(2x)/sqrt7`.
    Пусть `/_ABC=2beta`.
    Построим окружность с центром в точке `B` и проходящую через точки `A,C,D`. Такую окружность можно построить в силу `AB=BC=BD`.
    Тогда `/_ADC=1/2/_ABC=beta`.
    `/_AEC=/_ABC=2beta` (опираются на одну хорду).
    Тогда `/_CED=pi-2beta => /_DCE=beta`.
    `DeltaCED` равнобедренный, `CE=DE=t`.
    `CD^2=2t^2-2t^2cos/_CED=2t^2(1+cos(2beta))=4t^2cos^2beta`.
    `CD=2tcosbeta => t=(CD)/(2cosbeta)=x/(sqrt7cosbeta)`.
    `DeltaABC`: `R=(AB)/(2sin(pi/2-beta))=x/(2cosbeta)`.
    `(CE)/R=t/R=(2cosbeta)/(sqrt7cosbeta)=2/sqrt7`.
    `2/sqrt7=0,7559...`.

    Ответ: `0,76`.

    Задача №3.
    К равнобедренному треугольнику `ABC` с основанием `AC` достроили другой ранобедренный треугольник `CBD` с основанием `CD` так, что оба треугольника не имеют общих точек кроме точек стороны `BC`.
    Точка `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью описанной вокруг треугольника `ABC`. Найдите отношение `CD` к радиусу описанной вокруг треугольника `ABC` окружности, если `cos/_DCE=7/9` и `cos/_CBD=11/12`. В ответе укажите найденное отношение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Обозначим `AB=BC=BD=a`, `/_ABC=beta`.
    Из `DeltaBCD` по теореме косинусов:
    `CD^2=a^2+a^2-2a^2*cos/_CBD=2a^2(1-11/12)=1/6a^2`.
    `CD=a/(sqrt6)`.
    Построим окружность с центром в точке `B` и проходящую через точки `A,C,D`. `AB=BC=BD` - радиусы.
    Тогда `/_ADC=1/2/_ABC=beta/2`.
    `/_AEC=/_ABC=beta` (опираются на одну хорду).
    Тогда `/_CED=pi-beta => /_DCE=beta/2 => cos(beta/2)=7/9`.
    Из `DeltaABC` по теореме синусов:
    `R=(AB)/(2sin(pi/2-beta/2))=a/(2cos(beta/2))`.
    `(CD)/R=(a/(sqrt6))/(a/(2cos(beta/2)))=(cos(beta/2))/sqrt3=7/(9sqrt(3/2))`.
    `(CD)/R=7/(9sqrt(3/2))=0,635...`.

    Ответ: `0,64`.

    Задача №3.
    К равнобедренному треугольнику `ABC` с основанием `AC` достроили другой ранобедренный треугольник `CBD` с основанием `CD` так, что оба треугольника не имеют общих точек кроме точек стороны `BC`.
    Точка `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью описанной вокруг треугольника `ABC`. Найдите отношение `DE` к радиусу описанной вокруг треугольника `ABC` окружности, если `cos/_CBD=5/7`. В ответе укажите найденное отношение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Пусть `AB=BC=BD=x`.
    `DeltaBCD`: `CD^2=x^2+x^2-2x^2*cos/_CBD=2x^2(1-5/7)=4/7x^2`.
    `CD=(2x)/sqrt7`.
    Пусть `/_ABC=2beta`.
    Построим окружность с центром в точке `B` и проходящую через точки `A,C,D`. Такую окружность можно построить в силу `AB=BC=BD`.
    Тогда `/_ADC=1/2/_ABC=beta`.
    `/_AEC=/_ABC=2beta` (опираются на одну хорду).
    Тогда `/_CED=pi-2beta => /_DCE=beta`.
    `DeltaCED` равнобедренный, `CE=DE=t`.
    `CD^2=2t^2-2t^2cos/_CED=2t^2(1+cos(2beta))=4t^2cos^2beta`.
    `CD=2tcosbeta => t=(CD)/(2cosbeta)=x/(sqrt7cosbeta)`.
    `DeltaABC`: `R=(AB)/(2sin(pi/2-beta))=x/(2cosbeta)`.
    `(DE)/R=t/R=(2cosbeta)/(sqrt7cosbeta)=2/sqrt7`.
    `2/sqrt7=0,7559...`.

    Ответ: `0,76`.

    Задача №3.
    К равнобедренному треугольнику `ABC` с основанием `AC` достроили другой ранобедренный треугольник `CBD` с основанием `CD` так, что оба треугольника не имеют общих точек кроме точек стороны `BC`.
    Точка `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью описанной вокруг треугольника `ABC`. Найдите отношение `CD` к радиусу описанной вокруг треугольника `ABC` окружности, если `cos/_DCE=5/6` и `cos/_CBD=10/11`. В ответе укажите найденное отношение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Обозначим `AB=BC=BD=a`, `/_ABC=beta`.
    Из `DeltaBCD` по теореме косинусов:
    `CD^2=a^2+a^2-2a^2*cos/_CBD=2a^2(1-10/11)=2/11a^2`.
    `CD=(asqrt2)/sqrt11`.
    Построим окружность с центром в точке `B` и проходящую через точки `A,C,D`. `AB=BC=BD` - радиусы.
    Тогда `/_ADC=1/2/_ABC=beta/2`.
    `/_AEC=/_ABC=beta` (опираются на одну хорду).
    Тогда `/_CED=pi-beta => /_DCE=beta/2 => cos(beta/2)=5/6`.
    Из `DeltaABC` по теореме синусов:
    `R=(AB)/(2sin(pi/2-beta/2))=a/(2cos(beta/2))`.
    `(CD)/R=((asqrt2)/sqrt11)/(a/(2cos(beta/2)))=(cos(beta/2))/sqrt22=5/3sqrt(2/11)`.
    `(CD)/R=5/3sqrt(2/11)=0,710...`.

    Ответ: `0,71`.

    Задача №3.
    К равнобедренному треугольнику `ABC` с основанием `AC` достроили другой ранобедренный треугольник `CBD` с основанием `CD` так, что оба треугольника не имеют общих точек кроме точек стороны `BC`.
    Точка `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью описанной вокруг треугольника `ABC`. Найдите отношение `CD` к радиусу описанной вокруг треугольника `ABC` окружности, если `cos/_DCE=5/6` и `cos/_CBD=10/11`. В ответе укажите найденное отношение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    По условию `AB=BC=BD=a`.
    `DeltaBCD` (теорема косинусов):
    `CD^2=a^2+a^2-2a^2*cos/_CBD=2/11a^2 => CD=(asqrt2)/sqrt11`.
    Рассмотрим окружность проходящую через точки `A,C,D`, с центром в точке `B` и радиусом `a`.
    Значит `/_ADC=1/2/_ABC`.
    Равны углы `/_AEC=/_ABC`, поскольку они опираются на одну хорду.
    Тогда `/_CED=pi-/_ABC => /_DCE=1/2/_ABC => cos(1/2/_ABC)=5/6`.
    `DeltaABC` (теорема синусов):
    `R=(AB)/(2sin(pi/2-1/2/_ABC))=a/(2cos(1/2/_ABC))`.
    `(CD)/R=(a/sqrt11)/(a/(2cos(1/2/_ABC)))=(2cos(1/2/_ABC))/sqrt11=5/3sqrt(2/11)`.
    `(CD)/R=5/3sqrt(2/11)=0,710...`.

    Ответ: `0,71`.

    Задача №3.
    К равнобедренному треугольнику `ABC` с основанием `AC` достроили другой ранобедренный треугольник `CBD` с основанием `CD` так, что оба треугольника не имеют общих точек кроме точек стороны `BC`.
    Точка `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью описанной вокруг треугольника `ABC`. Найдите отношение `CE` к радиусу описанной вокруг треугольника `ABC` окружности, если `cos/_CBD=5/8`. В ответе укажите найденное отношение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Пусть `AB=BC=BD=x`.
    `DeltaBCD`: `CD^2=x^2+x^2-2x^2*cos/_CBD=2x^2(1-5/8)=3/4x^2`.
    `CD=xsqrt(3/4)`.
    Пусть `/_ABC=2beta`.
    Построим окружность с центром в точке `B` и проходящую через точки `A,C,D`. Такую окружность можно построить в силу `AB=BC=BD`.
    Тогда `/_ADC=1/2/_ABC=beta`.
    `/_AEC=/_ABC=2beta` (опираются на одну хорду).
    Тогда `/_CED=pi-2beta => /_DCE=beta`.
    `DeltaCED` равнобедренный, `CE=DE=t`.
    `CD^2=2t^2-2t^2cos/_CED=2t^2(1+cos(2beta))=4t^2cos^2beta`.
    `CD=2tcosbeta => t=(CD)/(2cosbeta)=(xsqrt(3/4))/(2cosbeta)`.
    `DeltaABC`: `R=(AB)/(2sin(pi/2-beta))=x/(2cosbeta)`.
    `(CE)/R=t/R=sqrt(3/4)`.
    `sqrt(3/4)=0,8660...`.

    Ответ: `0,87`.



    Задача №3.
    К равнобедренному треугольнику `ABC` с основанием `AC` достроили другой ранобедренный треугольник `CBD` с основанием `CD` так, что оба треугольника не имеют общих точек кроме точек стороны `BC`.
    Точка `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью описанной вокруг треугольника `ABC`. Найдите отношение `DE` к радиусу описанной вокруг треугольника `ABC` окружности, если `cos/_CBD=6/7`. В ответе укажите найденное отношение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `/_A=/_C=alpha, /_CBD=beta, O` - центр описанной вокруг `ABC` окружности, `R` - радиус окружности.
    image
    Первый случай: `alpha>=beta/2`.
    `/_ABD=/_B+/_CBD=pi-2alpha+beta`.
    `AB=BC=BD => /_BAD=/_BDA=1/2(pi-/_ABD)=alpha-beta/2`.
    `/_AOB=2/_C=2alpha`,
    `AO=OB => /_BAO=1/2(pi-2alpha)=pi/2-alpha`.
    `/_EAO=/_BAD-/_BAO=alpha-beta/2-pi/2+alpha=2alpha-beta/2-pi/2`.
    Или `/_EAO=/_BAO-/_BAD=pi/2+beta/2-2alpha`, если центр окружности лежит ниже прямой `AE`. На дальнейшие рассуждения это не повлияет.
    `AB=2R*sinalpha`,
    `AE=2R*cos(2alpha-beta/2-pi/2)=2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `AD=AB*(sin(2alpha-beta))/(sin(alpha-beta/2))=2AB*cos(alpha-beta/2)=`
    `=4R*sinalphacos(alpha-beta/2)=2R*sin(beta/2)+2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `DE=AD-AE=2R*sin(beta/2) => (DE)/R=2sin(beta/2)`.
    Если `alpha=beta/2 =>` точка `B` совпадает с точкой `E`, все остальные рассуждения такие же.
    image
    Второй случай: `alpha<beta/2`.
    `/_ABD=2pi-/_B-beta=pi+2alpha-beta`.
    `/_BAD=/_BDA=beta/2-alpha`.
    `/_AOB=2/_C=2alpha`,
    `/_BAO=pi/2-alpha`,
    `/_EAO=/_BAO+/_DAB=pi/2-alpha+beta/2-alpha=pi/2+beta/2-2alpha`.
    `AB=2R*sinalpha`,
    `AE=2R*cos(pi/2+beta/2-2alpha)=2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `AD=AB*(sin(beta-2alpha))/(sin(beta/2-alpha))=4R*sinalphacos(beta/2-alpha)=`
    `=2R*sin(beta/2)+2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `DE=AD-AE=2R*sin(beta/2)`.
    Особый случай: `alpha=beta/4`. Тогда точка `E` совпадает с точкой `A, DE=AD`, отношение такое же.
    `alpha<beta/4`, тогда точка `E` находится левее точки `A` на прямой `AD`. Рассуждения такие же, только угол `2alpha-beta/2` меняется на угол `beta/2-2alpha`.
    `(DE)/(R)=2sin(beta/2)`, где `cosbeta=6/7`.
    `1-2sin^2(beta/2)=6/7 => sin^2(beta/2)=1/14`.
    `sin(beta/2)=1/sqrt14 => (DE)/(R)=sqrt(2/7) ~~ 0,534`.

    Ответ: `0,53`.


    Задача №3.
    К равнобедренному треугольнику `ABC` с основанием `AC` достроили другой ранобедренный треугольник `CBD` с основанием `CD` так, что оба треугольника не имеют общих точек кроме точек стороны `BC`.
    Точка `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью описанной вокруг треугольника `ABC`. Найдите отношение `DE` к радиусу описанной вокруг треугольника `ABC` окружности, если `cos/_CBD=3/4`. В ответе укажите найденное отношение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `/_A=/_C=alpha, /_CBD=beta, O` - центр описанной вокруг `ABC` окружности, `R` - радиус окружности.
    image
    Первый случай: `alpha>=beta/2`.
    `/_ABD=/_B+/_CBD=pi-2alpha+beta`.
    `AB=BC=BD => /_BAD=/_BDA=1/2(pi-/_ABD)=alpha-beta/2`.
    `/_AOB=2/_C=2alpha`,
    `AO=OB => /_BAO=1/2(pi-2alpha)=pi/2-alpha`.
    `/_EAO=/_BAD-/_BAO=alpha-beta/2-pi/2+alpha=2alpha-beta/2-pi/2`.
    Или `/_EAO=/_BAO-/_BAD=pi/2+beta/2-2alpha`, если центр окружности лежит ниже прямой `AE`. На дальнейшие рассуждения это не повлияет.
    `AB=2R*sinalpha`,
    `AE=2R*cos(2alpha-beta/2-pi/2)=2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `AD=AB*(sin(2alpha-beta))/(sin(alpha-beta/2))=2AB*cos(alpha-beta/2)=`
    `=4R*sinalphacos(alpha-beta/2)=2R*sin(beta/2)+2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `DE=AD-AE=2R*sin(beta/2) => (DE)/R=2sin(beta/2)`.
    Если `alpha=beta/2 =>` точка `B` совпадает с точкой `E`, все остальные рассуждения такие же.
    image
    Второй случай: `alpha<beta/2`.
    `/_ABD=2pi-/_B-beta=pi+2alpha-beta`.
    `/_BAD=/_BDA=beta/2-alpha`.
    `/_AOB=2/_C=2alpha`,
    `/_BAO=pi/2-alpha`,
    `/_EAO=/_BAO+/_DAB=pi/2-alpha+beta/2-alpha=pi/2+beta/2-2alpha`.
    `AB=2R*sinalpha`,
    `AE=2R*cos(pi/2+beta/2-2alpha)=2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `AD=AB*(sin(beta-2alpha))/(sin(beta/2-alpha))=4R*sinalphacos(beta/2-alpha)=`
    `=2R*sin(beta/2)+2R*sin(2alpha-beta/2)`.
    `DE=AD-AE=2R*sin(beta/2)`.
    Особый случай: `alpha=beta/4`. Тогда точка `E` совпадает с точкой `A, DE=AD`, отношение такое же.
    `alpha<beta/4`, тогда точка `E` находится левее точки `A` на прямой `AD`. Рассуждения такие же, только угол `2alpha-beta/2` меняется на угол `beta/2-2alpha`.
    `(DE)/(R)=2sin(beta/2)`, где `cosbeta=3/4`.
    `1-2sin^2(beta/2)=3/4 => sin^2(beta/2)=1/8`.
    `sin(beta/2)=1/sqrt8 => (DE)/(R)=1/sqrt2 ~~ 0,707`.

    Ответ: `0,71`.
  • Задача №4.
    Сколько решений в целых числах имеет уравнение:
    `sqrtx+sqrty=sqrtN`,
    если `N=2016`.

    Решение:
    `x,y` - неотрицательные целые числа, при этом `x<=2016, y<=2016`.
    `sqrtx=sqrt2016-sqrty`.
    Обе части уравнения неотрицательны, возведем уравнение в квадрат:
    `x=2016+y-2sqrt(2016y)`,
    `24sqrt(14y)=2016+y-x`,
    `sqrt(14y)=(2016+y-x)/24=a/b`, где `a,b in NN`.
    `14y=(a^2)/(b^2) => a` делится на `b`, поскольку левая часть является целой.
    Следовательно, `sqrt(14y)` целое число, поэтому `14y=z^2`, где `z in ZZ`.
    `z^2` делится на `2` и `7`, значит `z` делится на `2` и `7`.
    `z=14t, t in ZZ`.
    `14y=196t^2 => y=14t^2, t in ZZ`.
    Аналогично получим, что `x=14s^2`, где `s in ZZ`.
    `|s|sqrt14+|t|sqrt14=sqrt2016`,
    `(|s|+|t|)sqrt14=12sqrt14`,
    `|s|+|t|=12`.
    Можем учитывать только неотрицательные значения `s,t`, поскольку `x=14s^2, y=14t^2`.
    `s+t=12`.
    В неотрицательных числах это уравнение имеет `13` решений `(s,t)`, каждое из которых дает одно решение `(x,y)`.
    Всего `13` решений `(x,y)`.

    Ответ: `13`.

    Задача №4.
    Сколько решений в целых числах имеет уравнение:
    `sqrtx+sqrty=sqrtN`,
    если `N=3179`.

    Решение:
    `x,y` - неотрицательные целые числа, при этом `x<=3179, y<=3179`.
    `sqrtx=sqrt3179-sqrty`.
    Обе части уравнения неотрицательны, возведем уравнение в квадрат:
    `x=3179+y-2sqrt(3179y)`,
    `34sqrt(11y)=3179+y-x`,
    `sqrt(11y)=(3179+y-x)/34=a/b`, где `a,b in NN`.
    `11y=(a^2)/(b^2) => a` делится на `b`, поскольку левая часть является целой.
    Следовательно, `sqrt(11y)` целое число, поэтому `11y=z^2`, где `z in ZZ`.
    `z^2` делится на `11`, значит `z` делится на `11`.
    `z=11t, t in ZZ`.
    `11y=121t^2 => y=11t^2, t in ZZ`.
    Аналогично получим, что `x=11s^2`, где `s in ZZ`.
    `|s|sqrt11+|t|sqrt11=sqrt3179`,
    `(|s|+|t|)sqrt11=17sqrt11`,
    `|s|+|t|=17`.
    Можем учитывать только неотрицательные значения `s,t`, поскольку `x=11s^2, y=11t^2`.
    `s+t=17`.
    В неотрицательных числах это уравнение имеет `18` решений `(s,t)`, каждое из которых дает одно решение `(x,y)`.
    Всего `18` решений `(x,y)`.

    Ответ: `18`.

    Задача №4.
    Сколько решений в целых числах имеет уравнение:
    `sqrtx+sqrty=sqrtN`,
    если `N=2925`.

    Решение:
    ОДЗ: `x in [0;2925], y in [0;2925]`.
    `2925=15^2*13`.
    `sqrtx+sqrty=15sqrt13`,
    `sqrty=15sqrt13-sqrtx`.
    Возведение в квадрат не дает лишних корней на ОДЗ.
    `y=2925-30sqrt(13x)+x`,
    `30sqrt(13x)=x-y+2925`,
    `sqrt(13x)=(x-y+2925)/30` - рациональное число.
    Значит, `13x` является точным квадратом рационального числа.
    Но `13x` целое число, поэтому это число является точным квадратом целого числа.
    `13` - простое число, поэтому `13x` будет точным квадратом `iff x=13z^2`, где `z` - целое число. Можем сказать, что `z` - неотрицательно.
    `|z|sqrt13+sqrty=15sqrt13`,
    `sqrty=(15-z)sqrt13`,
    `y=13(15-z)^2`.
    Нашли все пары `(x;y)=(13z^2;13(15-z)^2)`.
    Учитывая ОДЗ и неотрицательность `z` получим, что `z in [0;15]`, это дает нам ровно `16` целых пар `(x;y)`.

    Ответ: `16`.

    Задача №4.
    Сколько решений в целых числах имеет уравнение:
    `sqrtx+sqrty=sqrtN`,
    если `N=2940`.

    Решение:
    `sqrtx+sqrty=sqrt2940 => x,y in [0;2940]`.
    `sqrtx+sqrty=14sqrt15`.
    `sqrtx=14sqrt15-sqrty>=0` при `y in [0;2940]`.
    `x=2940-28sqrt(15y)+y`,
    `28sqrt(15y)=2940+y-x`.
    Правая часть уравнения целое число, поскольку `x,y` - целые.
    Пусть `(2940+y-x)/28=z>=0 => 15y=z^2`.
    `15y` целое число, поэтому `2940+y-x vdots 28 => z` - целое.
    `z^2 vdots 3;5 => z vdots 3;5 => z=15t => y=15t^2`, где `t` - целое.
    `sqrtx=14sqrt15-|t|sqrt15, |t|<=14`.
    `x=15(14-|t|^2), y=15t^2`.
    Для `t=0` существует одно решение `(x;y)`.
    Для каждого из пар `t=+-1,+-2,...,+-14` тоже существует по одному решению `(x;y)`.
    Получили `15` решений `(x;y)`.

    Ответ: `15`.

    Задача №4.
    Сколько решений в целых числах имеет уравнение:
    `sqrtx+sqrty=sqrtN`,
    если `N=5508`.

    Решение:
    `sqrtx+sqrty=sqrt5508 => x,y in [0;5508]`.
    `sqrtx+sqrty=18sqrt17`.
    `sqrtx=18sqrt17-sqrty>=0` при `y in [0;5508]`.
    `x=5508-36sqrt(17y)+y`,
    `36sqrt(17y)=5508+y-x`.
    Правая часть уравнения целое число, поскольку `x,y` - целые.
    Пусть `(5508+y-x)/36=z>=0 => 17y=z^2`.
    `17y` целое число, поэтому `5508+y-x vdots 36 => z` - целое.
    `z^2 vdots 17 => z vdots 17 => z=17t => y=17t^2`, где `t` - целое.
    `sqrtx=18sqrt17-|t|sqrt17, |t|<=18`.
    `x=17(18-|t|^2), y=17t^2`.
    Для `t=0` существует одно решение `(x;y)`.
    Для каждого из пар `t=+-1,+-2,...,+-18` тоже существует по одному решению `(x;y)`.
    Получили `19` решений `(x;y)`.

    Ответ: `19`.

    Задача №4.
    Сколько решений в целых числах имеет уравнение:
    `sqrtx+sqrty=sqrtN`,
    если `N=2925`.

    Решение:
    `N=2925 => sqrtx+sqrty=sqrt2925`.
    ОДЗ `x,y>=0`.
    `sqrt2925-sqrty=sqrtx>=0 => y<=2925`.
    Аналогично, `x<=2925`.
    `sqrty=sqrt2925-sqrtx` - возведем в квадрат неотрицательные части уравнения.
    `y=2925-2sqrt(2925x)+x`.
    `2925=225*13=15^2*13`.
    `y=2925-30sqrt(13x)+x => sqrt(13x)=(2925+x-y)/30`.
    `13x=((2925+x-y)/30)^2` - значит `2925+x-y` делится на `30`, поскольку левая часть равенства `13x` - целое число.
    `13x=n^2, n` - целое.
    `n=13k => x=13k^2, k` - целое.
    `sqrty=15sqrt13-|k|sqrt13`,
    `sqrty=(15-|k|)sqrt13>=0 => |k|<=15`.
    `y=13(15-|k|)^2`.
    `|k|=0 => (x;y)=(0;2925)`.
    `|k|=1 => (x;y)=(13;2548)`.
    `...`
    `|k|=15 => (x;y)=(2925;0)`. Получили `16` пар решений `(x;y)`.

    Ответ: `16`.

    Задача №4.
    Сколько решений в целых числах имеет уравнение:
    `sqrtx+sqrty=sqrtN`,
    если `N=2527`.

    Решение:
    `N=2527 => sqrtx+sqrty=sqrt2527`.
    ОДЗ `x,y>=0`.
    `sqrt2527-sqrty=sqrtx>=0 => y<=2527`.
    Аналогично, `x<=2527`.
    `sqrty=sqrt2527-sqrtx` - возведем в квадрат неотрицательные части уравнения.
    `y=2527-2sqrt(2527x)+x`.
    `2527=361*7=19^2*7`.
    `y=2527-38sqrt(7x)+x => sqrt(7x)=(2527+x-y)/38`.
    `7x=((2527+x-y)/38)^2` - значит `2527+x-y` делится на `38`, поскольку левая часть равенства `7x` - целое число.
    `7x=n^2, n` - целое.
    `n=7k => x=7k^2, k` - целое.
    `sqrty=19sqrt7-|k|sqrt7`,
    `sqrty=(19-|k|)sqrt7>=0 => |k|<=19`.
    `y=7(19-|k|)^2`.
    `|k|=0 => (x;y)=(0;2527)`.
    `|k|=1 => (x;y)=(7;2268)`.
    `...`
    `|k|=19 => (x;y)=(2527;0)`. Получили `20` пар решений `(x;y)`.

    Ответ: `20`.

    Задача №4.
    Сколько решений в целых числах имеет уравнение:
    `sqrtx+sqrty=sqrtN`,
    если `N=2816`.

    Решение:
    ОДЗ: `x in [0;2816], y in [0;2816]`.
    `2816=16^2*11`.
    `sqrtx+sqrty=16sqrt11`,
    `sqrty=16sqrt11-sqrtx`.
    Возведение в квадрат не дает лишних корней на ОДЗ.
    `y=2816-32sqrt(11x)+x`,
    `32sqrt(11x)=x-y+2816`,
    `sqrt(11x)=(x-y+2816)/32` - рациональное число.
    Значит, `11x` является точным квадратом рационального числа.
    Но `11x` целое число, поэтому это число является точным квадратом целого числа.
    `11` - простое число, поэтому `11x` будет точным квадратом `iff x=11z^2`, где `z` - целое число. Можем сказать, что `z` - неотрицательно.
    `|z|sqrt11+sqrty=16sqrt11`,
    `sqrty=(16-z)sqrt11`,
    `y=11(16-z)^2`.
    Нашли все пары `(x;y)=(11z^2;11(16-z)^2)`.
    Учитывая ОДЗ и неотрицательность `z` получим, что `z in [0;16]`, это дает нам ровно `17` целых пар `(x;y)`.

    Ответ:
    `17`.

    Задача №4.
    Сколько решений в целых числах имеет уравнение:
    `sqrtx+sqrty=sqrtN`,
    если `N=2366`.

    Решение:
    `sqrtx+sqrty=sqrt2366`.
    ОДЗ: `0<=x,y<=2366`.
    `sqrtx=13sqrt14-sqrty`. Возведение в квадрат не дает лишних корней на ОДЗ.
    `x=2366-26sqrt(14y)+y`.
    `26sqrt(14y)=n, n` - целый.
    `14y=(n/26)^2` - левая часть целая, значит `n vdots 26`.
    Левая часть делится на `14=2*7` (произведение простых чисел), поэтому `(n/26) vdots 14`.
    Тогда `y=14k^2, k` - целый.
    `x=(13sqrt14-|k|sqrt14)^2=14(13-|k|)^2`.
    `(x;y)=(14(13-|k|)^2;14k^2)`.
    `x,y>=0 => |k|<=13`.
    Каждому целому значение `|k|` соответствует одна пара целых `(x;y)`.

    Ответ: `14`.

    Задача №4.
    Сколько решений в целых числах имеет уравнение:
    `sqrtx+sqrty=sqrtN`,
    если `N=2205`.

    Решение:
    `sqrtx+sqrty=sqrt2205`.
    ОДЗ: `0<=x,y<=2205`.
    `sqrtx=21sqrt5-sqrty`. Возведение в квадрат не дает лишних корней на ОДЗ.
    `x=2205-42sqrt(5y)+y`.
    `42sqrt(5y)=n, n` - целый.
    `5y=(n/42)^2` - левая часть целая, значит `n vdots 42`.
    Левая часть делится на `5`, поэтому `(n/42) vdots 5`.
    Тогда `y=5k^2, k` - целый.
    `x=(21sqrt5-|k|sqrt5)^2=5(21-|k|)^2`.
    `(x;y)=(5(21-|k|)^2;5k^2)`.
    `x,y>=0 => |k|<=21`.
    Каждому целому значение `|k|` соответствует одна пара целых `(x;y)`.

    Ответ: `22`.
  • Задача №5.
    Решите уравнение:
    `(1−cosx)(2+sinx+4cosx)+5(1+cosx)(2−sinx+2cosx)=0`
    В ответе запишите сумму всех корней на промежутке `A=[2pim;2pim+pi], m=1009`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    `2+sinx+4cosx=sinx+cosx+3cosx+2=p+q`.
    `2-sinx+2cosx=-sinx-cosx+3cosx+2=-p+q`.
    Уравнение запишется в виде:
    `(1-cosx)(p+q)+(5+5cosx)(-p+q)=0`,
    `p+q-pcosx-qcosx-5p+5q-5pcosx+5qcosx=0`,
    `6q-4p-6pcosx+4qcosx=0`,
    `3q-2p-3pcosx+2qcosx=0`,
    `q(2cosx+3)-p(3cosx+2)=0`,
    `q(2cosx+3)-pq=0`,
    `q(2cosx+3-p)=0`,
    `(3cosx+2)(2cosx+3-sinx-cosx)=0`,
    `(3cosx+2)(3-sinx+cosx)=0`.
    Получили совокупность двух уравнений:
    `3cosx+2=0` и `sinx-cosx=3`.
    Второе уравнение корней не имеет, поскольку `|sinx|<=1, |cosx|<=1 => sinx-cosx<=2`.
    `cosx=-2/3`.
    `x=+-arccos(-2/3)+2pik, k in ZZ`.
    По условию, `A=[2018pi;2019pi]`.
    Оценим `arccos(-2/3)`.
    `-1/sqrt2<-2/3<-1/2`,
    `(2pi)/3<arccos(-2/3)<(3pi)/4`, поскольку на отрезке `[pi/2;pi]` функция `y=cosx` убывает.
    Тогда, `-arccos(-2/3)+2pi*1009<2018pi, -arccos(-2/3)+2pi*1010>2019pi`.
    Подходит только `x=arccos(-2/3)+2018pi`.
    Использование инженерного калькулятора дает приблизительный ответ `x ~~ 6342,0344`.
    Округляем до двух знаков после запятой: `6342,03`.

    Ответ: `6342,03`.

    Задача №5.
    Решите уравнение:
    `(1−cosx)(2+sinx+4cosx)+5(1+cosx)(2−sinx+2cosx)=0`
    В ответе запишите сумму всех корней на промежутке `A=[2pim;2pim+pi], m=1012`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    Заметим, что `2+sinx+4cosx=3cosx+2+sinx+cosx`,
    `2-sinx+2cosx=3cosx+2-sinx-cosx`.
    Раскроем скобки:
    `(1-cosx)(3cosx+2)+(1-cosx)(sinx+cosx)+`
    `+(5+5cosx)(3cosx+2)-(5+5cosx)(sinx+cosx)=0`,
    `(3cosx+2)(6+4cosx)+(sinx+cosx)(1-cosx-5-5cosx)=0`,
    `2(3cosx+2)(3+2cosx)-2(sinx+cosx)(3cosx+2)=0`,
    `2(3cosx+2)(3+2cosx-sinx-cosx)=0`,
    `2(3cosx+2)(3-sinx+cosx)=0`.
    Второй множитель дает уравнение `sinx-cosx=3`.
    `1-sin2x=9 => sin2x=-8` - решений нет.
    `3cosx+2=0`,
    `cosx=-2/3 => x=+-arccos(-2/3)+2pin, n in ZZ`.
    `-1< -2/3 <0 => pi/2 < arccos(-2/3) <pi`.
    `m=2012 => A=[2024pi;2025pi]` - на отрезке находится только один корень `x=arccos(-2/3)+2024pi`.
    `-2/3` не является табличным значением, получить точное значение `arccos(-2/3)` можно только используя калькулятор.
    `x=arccos(-2/3)+2024pi ~~ 6360,88405...`.

    Ответ: `6360,88`.

    Задача №5.
    Решите уравнение:
    `(1−cosx)(2+sinx+4cosx)+5(1+cosx)(2−sinx+2cosx)=0`
    В ответе запишите сумму всех корней на промежутке `A=[2pim;2pim+pi], m=1010`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    Замена `3cosx+2=y`.
    `(1-cosx)(y+sinx+cosx)+5(1+cosx)(y-sinx-cosx)=0`.
    Раскроем скобки и приведем подобные:
    `y(1-cosx+5(1+cosx))+(sinx+cosx)(1-cosx-5(1+cosx))=0`,
    `y(4cosx+6)-(sinx+cosx)(6cosx+4)=0`,
    `2y(2cosx+3)-2y(sinx+cosx)=0`,
    `2y(cosx-sinx+3)=0 => y=0` или `cosx-sinx=-3`.
    `cosx-sinx>=-2`, поэтому второе уравнение не имеет корней.
    `y=0 => 3cosx+2=0 => cosx=-2/3 => x=+-arccos(-2/3)+2pin, n in ZZ`.
    На отрезке `[pi/2;pi]` функция `y=cosx` убывает, при этом `-1<-2/3<0 => pi/2<arccos(-2/3)<pi`.
    По условию, `x in [2020pi;2021pi]`. В этот отрезок попадает только один корень `x=arccos(-2/3)+2020pi`.
    По теореме Калькулятора, `arccos(-2/3)+2020pi=6348,317684...`.

    Ответ: `6348,32`.

    Задача №5.
    Решите уравнение:
    `(1−cosx)(2+sinx+4cosx)+5(1+cosx)(2−sinx+2cosx)=0`
    В ответе запишите сумму всех корней на промежутке `A=[2pim;2pim+pi], m=1010`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    Заметим, что `2+sinx+4cosx=3cosx+2+sinx+cosx`,
    `2-sinx+2cosx=3cosx+2-sinx-cosx`.
    Раскроем скобки:
    `(1-cosx)(3cosx+2)+(1-cosx)(sinx+cosx)+`
    `+(5+5cosx)(3cosx+2)-(5+5cosx)(sinx+cosx)=0`,
    `(3cosx+2)(6+4cosx)+(sinx+cosx)(1-cosx-5-5cosx)=0`,
    `2(3cosx+2)(3+2cosx)-2(sinx+cosx)(3cosx+2)=0`,
    `2(3cosx+2)(3+2cosx-sinx-cosx)=0`,
    `2(3cosx+2)(3-sinx+cosx)=0`.
    Второй множитель дает уравнение `sinx-cosx=3`.
    `1-sin2x=9 => sin2x=-8` - решений нет.
    `3cosx+2=0`,
    `cosx=-2/3 => x=+-arccos(-2/3)+2pin, n in ZZ`.
    `-1< -2/3 <0 => pi/2 < arccos(-2/3) <pi`.
    `m=2010 => A=[2020pi;2021pi]` - на отрезке находится только один корень `x=arccos(-2/3)+2020pi`.
    `-2/3` не является табличным значением, получить точное значение `arccos(-2/3)` можно только используя калькулятор.
    `x=arccos(-2/3)+2020pi ~~ 6348,317684...`.

    Ответ: `6348,32`.

    Задача №5.
    Решите уравнение:
    `(1−cosx)(2+sinx+4cosx)+5(1+cosx)(2−sinx+2cosx)=0`
    В ответе запишите сумму всех корней на промежутке `A=[2pim;2pim+pi], m=1012`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    `2+sinx+4cosx=sinx+cosx+3cosx+2=p+q`.
    `2-sinx+2cosx=-sinx-cosx+3cosx+2=-p+q`.
    Уравнение запишется в виде:
    `(1-cosx)(p+q)+(5+5cosx)(-p+q)=0`,
    `p+q-pcosx-qcosx-5p+5q-5pcosx+5qcosx=0`,
    `6q-4p-6pcosx+4qcosx=0`,
    `3q-2p-3pcosx+2qcosx=0`,
    `q(2cosx+3)-p(3cosx+2)=0`,
    `q(2cosx+3)-pq=0`,
    `q(2cosx+3-p)=0`,
    `(3cosx+2)(2cosx+3-sinx-cosx)=0`,
    `(3cosx+2)(3-sinx+cosx)=0`.
    Получили совокупность двух уравнений:
    `3cosx+2=0` и `sinx-cosx=3`.
    Второе уравнение корней не имеет, поскольку `|sinx|<=1, |cosx|<=1 => sinx-cosx<=2`.
    `cosx=-2/3`.
    `x=+-arccos(-2/3)+2pik, k in ZZ`.
    По условию, `A=[2024pi;2025pi]`.
    Оценим `arccos(-2/3)`.
    `-1/sqrt2<-2/3<-1/2`,
    `(2pi)/3<arccos(-2/3)<(3pi)/4`, поскольку на отрезке `[pi/2;pi]` функция `y=cosx` убывает.
    Тогда, `-arccos(-2/3)+2pi*1012<2024pi, -arccos(-2/3)+2pi*1013>2025pi`.
    Подходит только `x=arccos(-2/3)+2024pi`.
    Использование инженерного калькулятора дает приблизительный ответ `x ~~ 6360,884`.
    Округляем до двух знаков после запятой: `6360,88`.

    Ответ: `6360,88`.

    Задача №5.
    Решите уравнение:
    `(1−cosx)(2+sinx+4cosx)+5(1+cosx)(2−sinx+2cosx)=0`
    В ответе запишите сумму всех корней на промежутке `A=[2pim;2pim+pi], m=1011`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    Заметим, что `2+sinx+4cosx=3cosx+2+sinx+cosx`,
    `2-sinx+2cosx=3cosx+2-sinx-cosx`.
    Раскроем скобки:
    `(1-cosx)(3cosx+2)+(1-cosx)(sinx+cosx)+`
    `+(5+5cosx)(3cosx+2)-(5+5cosx)(sinx+cosx)=0`,
    `(3cosx+2)(6+4cosx)+(sinx+cosx)(1-cosx-5-5cosx)=0`,
    `2(3cosx+2)(3+2cosx)-2(sinx+cosx)(3cosx+2)=0`,
    `2(3cosx+2)(3+2cosx-sinx-cosx)=0`,
    `2(3cosx+2)(3-sinx+cosx)=0`.
    Второй множитель дает уравнение `sinx-cosx=3`.
    `1-sin2x=9 => sin2x=-8` - решений нет.
    `3cosx+2=0`,
    `cosx=-2/3 => x=+-arccos(-2/3)+2pin, n in ZZ`.
    `-1< -2/3 <0 => pi/2 < arccos(-2/3) <pi`.
    `m=2011 => A=[2022pi;2023pi]` - на отрезке находится только один корень `x=arccos(-2/3)+2022pi`.
    `-2/3` не является табличным значением, получить точное значение `arccos(-2/3)` можно только используя калькулятор.
    `x=arccos(-2/3)+2022pi ~~ 6354,601...`.

    Ответ: `6354,60`.

    Задача №5.
    Решите уравнение:
    `(1−cosx)(2+sinx+4cosx)+5(1+cosx)(2−sinx+2cosx)=0`
    В ответе запишите сумму всех корней на промежутке `A=[2pim;2pim+pi], m=1009`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    Заменим `2+3cosx=t`:
    `(1-cosx)(t+sinx+cosx)+5(1+cosx)(t-sinx-cosx)=0`,
    `t(1-cosx+5+5cosx)+(sinx+cosx)(1-cosx-5-5cosx)=0`,
    `t(3+2cosx)-t(sinx+cosx)=0`,
    `t(3+cosx-sinx)=0`.
    Второй сомножитель явно больше нуля, корней не дает.
    `2+3cosx=0 => x=+-arccos(-2/3)+2pin, n` - целый.
    `-2/3 in (-1;0) => arccos(-2/3) in (pi/2;pi)`.
    Дан отрезок `A=[2018pi;2019pi]`, в него попадет только один корень `x=arccos(-2/3)+2018pi`.
    Значение не табличное, чтобы посчитать с точностью двух знаков после запятой, используем все подручные средства.
    `x~~6342,03`.

    Ответ: `6342,03`.

    Задача №5.

    Решите уравнение:
    `(1−cosx)(2+sinx+4cosx)+5(1+cosx)(2−sinx+2cosx)=0`
    В ответе запишите сумму всех корней на промежутке `A=[2pim;2pim+pi], m=1013`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    Заменим `2+3cosx=t`:
    `(1-cosx)(t+sinx+cosx)+5(1+cosx)(t-sinx-cosx)=0`,
    `t(1-cosx+5+5cosx)+(sinx+cosx)(1-cosx-5-5cosx)=0`,
    `t(3+2cosx)-t(sinx+cosx)=0`,
    `t(3+cosx-sinx)=0`.
    Второй сомножитель явно больше нуля, корней не дает.
    `2+3cosx=0 => x=+-arccos(-2/3)+2pin, n` - целый.
    `-2/3 in (-1;0) => arccos(-2/3) in (pi/2;pi)`.
    Дан отрезок `A=[2026pi;2027pi]`, в него попадет только один корень `x=arccos(-2/3)+2026pi`.
    Значение не табличное, чтобы посчитать с точностью двух знаков после запятой, используем все подручные средства.
    `x~~6367,17`.

    Ответ: `6367,17`.

    Задача №6.
    Четырёхугольная призма `PQRSP_1Q_1R_1S_1`​​ с одинаковыми рёбрами, равными `a`, вписана в пирамиду `SABC` так, что точка `S_1`​​ лежит на `SA`, точка `P` лежит на `SB`, точка `R` лежит на `SC`, точка `Q_1`​​ принадлежит плоскости `ABC`.
    Найдите ребро пирамиды `SA`, если известно, что `SB=b, SC=c`.
    `a=4, b=15, c=14`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Пусть продолжение `AQ_1` пересекает `BC` в точке `A_1`.
    В плоскости `SAQ` лежит параллелограмм `S S_1Q_1Q`.
    Биссектриса `SQ` пересекает `BC` тоже в точке `A_1`.
    `(Q_1Q)/(SA)=(QA_1)/(SA_1)`.
    Для нахождения последнего отношения проведем `CX` параллельно `PR`, `X` - точка пересечения с `SA_1`, дальше по теореме Менелая.
    `(S S_1)/(SA)=(Q_1Q)/(SA)=(QA_1)/(SA_1)=(A_1Q_1)/(A_1A)`.
    `(S_(BQ_1C))/(S_(ABC))=(h_(BQ_1C))/(h_(ABC))=(A_1Q_1)/(A_1A)`.
    Аналогично, `(SP)/(SB)=(B_1Q_1)/(B_1B)=(S_(AQ_1C))/(S_(ABC))`.
    `(SR)/(SC)=(S_(AQ_1B))/(S_(ABC))`.
    Тогда,
    `(S S_1)/(SA)+(SP)/(SB)+(SR)/(SC)=(S_(BQ_1C))/(S_(ABC))+(S_(AQ_1C))/(S_(ABC))+(S_(AQ_1B))/(S_(ABC))=(S_(ABC))/(S_(ABC))=1`.
    `a/(SA)+a/b+a/c=1`,
    `1/(SA)+1/b+1/c=1/a`,
    `1/(SA)=1/a-1/b-1/c=(bc-ab-ac)/(abc)`,
    `SA=(abc)/(bc-ab-ac)`.
    По условию, `a=4, b=15, c=14`:
    `SA=(4*15*14)/(15*14-4(15+14))=840/(210-116)=840/94=420/47`.
    `SA=8,93617...`.

    Ответ: `8,94`.

    Задача №6.
    Четырёхугольная призма `PQRSP_1Q_1R_1S_1`​​ с одинаковыми рёбрами, равными `a`, вписана в пирамиду `SABC` так, что точка `S_1`​​ лежит на `SA`, точка `P` лежит на `SB`, точка `R` лежит на `SC`, точка `Q_1`​​ принадлежит плоскости `ABC`.
    Найдите ребро пирамиды `SA`, если известно, что `SB=b, SC=c`.
    `a=5, b=17, c=14`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Пусть продолжение `AQ_1` пересекает `BC` в точке `A_1`.
    В плоскости `SAQ` лежит параллелограмм `S S_1Q_1Q`.
    Биссектриса `SQ` пересекает `BC` тоже в точке `A_1`.
    `(Q_1Q)/(SA)=(QA_1)/(SA_1)`.
    Для нахождения последнего отношения проведем `CX` параллельно `PR`, `X` - точка пересечения с `SA_1`, дальше по теореме Менелая.
    `(S S_1)/(SA)=(Q_1Q)/(SA)=(QA_1)/(SA_1)=(A_1Q_1)/(A_1A)`.
    `(S_(BQ_1C))/(S_(ABC))=(h_(BQ_1C))/(h_(ABC))=(A_1Q_1)/(A_1A)`.
    Аналогично, `(SP)/(SB)=(B_1Q_1)/(B_1B)=(S_(AQ_1C))/(S_(ABC))`.
    `(SR)/(SC)=(S_(AQ_1B))/(S_(ABC))`.
    Тогда,
    `(S S_1)/(SA)+(SP)/(SB)+(SR)/(SC)=(S_(BQ_1C))/(S_(ABC))+(S_(AQ_1C))/(S_(ABC))+(S_(AQ_1B))/(S_(ABC))=(S_(ABC))/(S_(ABC))=1`.
    `a/(SA)+a/b+a/c=1`,
    `1/(SA)+1/b+1/c=1/a`,
    `1/(SA)=1/a-1/b-1/c=(bc-ab-ac)/(abc)`,
    `SA=(abc)/(bc-ab-ac)`.
    По условию, `a=5, b=17, c=14`:
    `SA=(5*17*14)/(17*14-5(17+14))=1190/(238-155)=1190/83`.
    `SA=14,3373...`.

    Ответ: `14,34`.

    Задача №6.
    Четырёхугольная призма `PQRSP_1Q_1R_1S_1`​​ с одинаковыми рёбрами, равными `a`, вписана в пирамиду `SABC` так, что точка `S_1`​​ лежит на `SA`, точка `P` лежит на `SB`, точка `R` лежит на `SC`, точка `Q_1`​​ принадлежит плоскости `ABC`.
    Найдите ребро пирамиды `SA`, если известно, что `SB=b, SC=c`.
    `a=5, b=15, c=17`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Сечением пирамиды плоскостью `RQ Q_1R_1` является `DeltaRED`.
    `R R_1||S S_1 => RE||SA`, аналогично `RD||SB, ED||AB`.
    `RD||SB => DeltaRCD ~ DeltaSCB`.
    `(RD)/(SB)=(RC)/(SC)`,
    `(RD)/b=(c-a)/c => RD=(b(c-a))/c`.
    `R R_1||Q Q_1 => DeltaRED ~ DeltaQ Q_1D`.
    `(RE)/(Q Q_1)=(RD)/(QD)=(RD)/(RD-a)`,
    `RE=a*(b(c-a))/(b(c-a)-ac)=(ab(c-a))/(bc-ab-ac)`.
    `R R_1||S S_1 => DeltaREC ~ DeltaSAC`.
    `(SA)/(RE)=(SC)/(RC)`.
    `SA=RE*c/(c-a)=(abc)/(bc-a(b+c))`.
    `a=5, b=17, c=17`.
    `SA=(5*15*17)/(15*17-5*(15+17))=1275/95 ~~ 13,42`.

    Ответ: `13,42`.

    Задача №6.
    Четырёхугольная призма `PQRSP_1Q_1R_1S_1`​​ с одинаковыми рёбрами, равными `a`, вписана в пирамиду `SABC` так, что точка `S_1`​​ лежит на `SA`, точка `P` лежит на `SB`, точка `R` лежит на `SC`, точка `Q_1`​​ принадлежит плоскости `ABC`.
    Найдите ребро пирамиды `SA`, если известно, что `SB=b, SC=c`.
    `a=5, b=15, c=14`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Сечением пирамиды плоскостью `RQ Q_1R_1` является `DeltaRED`.
    `R R_1||S S_1 => RE||SA`, аналогично `RD||SB, ED||AB`.
    `RD||SB => DeltaRCD ~ DeltaSCB`.
    `(RD)/(SB)=(RC)/(SC)`,
    `(RD)/b=(c-a)/c => RD=(b(c-a))/c`.
    `R R_1||Q Q_1 => DeltaRED ~ DeltaQ Q_1D`.
    `(RE)/(Q Q_1)=(RD)/(QD)=(RD)/(RD-a)`,
    `RE=a*(b(c-a))/(b(c-a)-ac)=(ab(c-a))/(bc-ab-ac)`.
    `R R_1||S S_1 => DeltaREC ~ DeltaSAC`.
    `(SA)/(RE)=(SC)/(RC)`.
    `SA=RE*c/(c-a)=(abc)/(bc-a(b+c))`.
    `a=5, b=17, c=14`.
    `SA=(5*15*14)/(15*14-5*(15+14))=1050/65 ~~ 16,15`.

    Ответ: `16,15`.

    Задача №6.
    Четырёхугольная призма `PQRSP_1Q_1R_1S_1`​​ с одинаковыми рёбрами, равными `a`, вписана в пирамиду `SABC` так, что точка `S_1`​​ лежит на `SA`, точка `P` лежит на `SB`, точка `R` лежит на `SC`, точка `Q_1`​​ принадлежит плоскости `ABC`.
    Найдите ребро пирамиды `SA`, если известно, что `SB=b, SC=c`.
    `a=5, b=16, c=19`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Пусть продолжение `AQ_1` пересекает `BC` в точке `A_1`.
    В плоскости `SAQ` лежит параллелограмм `S S_1Q_1Q`.
    Биссектриса `SQ` пересекает `BC` тоже в точке `A_1`.
    `(Q_1Q)/(SA)=(QA_1)/(SA_1)`.
    Для нахождения последнего отношения провести `CX` параллельно `PR`, `X` - точка пересечения с `SA_1`, дальше по теореме Менелая.
    `(S S_1)/(SA)=(Q_1Q)/(SA)=(QA_1)/(SA_1)=(A_1Q_1)/(A_1A)`.
    `(S_(BQ_1C))/(S_(ABC))=(h_(BQ_1C))/(h_(ABC))=(A_1Q_1)/(A_1A)`.
    Аналогично, `(SP)/(SB)=(B_1Q_1)/(B_1B)=(S_(AQ_1C))/(S_(ABC))`.
    `(SR)/(SC)=(S_(AQ_1B))/(S_(ABC))`.
    Тогда,
    `(S S_1)/(SA)+(SP)/(SB)+(SR)/(SC)=(S_(BQ_1C))/(S_(ABC))+(S_(AQ_1C))/(S_(ABC))+(S_(AQ_1B))/(S_(ABC))=(S_(ABC))/(S_(ABC))=1`.
    `a/(SA)+a/b+a/c=1`,
    `1/(SA)+1/b+1/c=1/a`,
    `1/(SA)=1/a-1/b-1/c=(bc-ab-ac)/(abc)`,
    `SA=(abc)/(bc-ab-ac)`.
    По условию, `a=5, b=16, c=19`:
    `SA=(5*16*19)/(16*19-5(16+19))=1520/(304-175)=1520/129`.
    `SA=11,7829...`.

    Ответ: `11,78`.

    Задача №7.
    Назовём натуральное число `m` замечательным, если существует такое натуральное число `k`, не превосходящее `N`, что `f(m,k)` - полный квадрат некоторого натурального числа. Здесь применяется стандартное обозначение: `[t]` - наибольшее целое число, не превосходящее `t`.
    `N=2015, f(m,k)=m^2-k+([cos(2m)])^2-2m*[cos(2m)]`.
    Если замечательных чисел конечное число, в ответ запишите их сумму; если замечательных чисел нет или их бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    `f(m,k)=m^2-k+([cos(2m)])^2-2m*[cos(2m)]`,
    `f(m,k)=(m-[cos(2m)])^2-k`.
    Пусть `k<=2015` и `(m-[cos(2m)])^2-k` - полный квадрат натурального числа. Найдем все такие `m`.
    `(m-[cos(2m)])^2-k=n^2`,
    `n<m-[cos(2m)] => n<=m-[cos(2m)]-1`,
    `(m-[cos(2m)])^2-2015<=n^2<=(m-[cos(2m)]-1)^2`,
    `2(m-[cos(2m)])<=2016`,
    `m-[cos(2m)]<=1008`.
    Если верно последнее неравенство, то для таких `m` найдется натуральный `k<=2015`, что `f(m,k)=n^2`, где `n=m-[cos(2m)]-1`.
    Если таких `m` нет, тогда `f(m,k)` не будет квадратом натурального числа.
    `m<=1008+[cos(2m)]`.
    `m>=1010 => 1010<=m<=1008+[cos(2m)]<=1009` - решений нет.
    `m=1009`: `1009<=1008+[cos2018]<1009`. Равенство выполняется только при `2018=2pik => pi=1009/k` - противоречие, поскольку `pi` - иррациональное число.
    `1<=m<=1007` - всегда верно.
    Особые случаи `m=1008;1`.
    `m=1` особый случай, поскольку в этом случае `n` может не быть натуральным.
    `m=1`: `n=-[cos2]=1`, поскольку `pi/2<2<pi => -1<cos2<0 => [cos2]=-1`.
    `m=1008`: `0<=[cos2016]`.
    `641pi+pi/2<2016<642pi`,
    `1008/321<pi<4032/1283`,
    `p ~~ 3,1416`, поэтому все неравенства верны, значит `0<cos2016<1 => [cos2016]=0`.
    Подходят `m=1,2,...,1008`.
    Сумма всех `m` равна `(1+1008)/2*1008=508536` (по формуле суммы арифметической прогрессии).

    Ответ: `508536`.

    Задача №7.
    Назовём натуральное число `m` замечательным, если существует такое натуральное число `k`, не превосходящее `N`, что `f(m,k)` - полный квадрат некоторого натурального числа. Здесь применяется стандартное обозначение: `[t]` - наибольшее целое число, не превосходящее `t`.
    `N=2015, f(m,k)=m^2-k+([cos(4m)])^2+2m*[cos(4m)]`.
    Если замечательных чисел конечное число, в ответ запишите их сумму; если замечательных чисел нет или их бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    Выделим полный квадрат в `f(m,k)`:
    `m^2-k+([cos(4m)])^2+2m*[cos(4m)]=(m+[cos(4m)])^2-k`.
    По условию, `k in [1;2015]`, поэтому `f(m,k) in [(m+[cos(4m)])^2-2015;(m+[cos(4m)])^2-1]`.
    По определению, `[cos(4m)]` является целым числом.
    `m` замечательный, если в в этом отрезке лежит точный квадрат `(m+[cos(4m)]-1)^2`.
    Следующий больший точный квадрат `(m+[cos(4m)])^2` уже вне этого отрезка.
    Следующий меньший точный квадрат `(m+[cos(4m)]-2)^2` можем не рассматривать, достаточно одного квадрата.
    `(m+[cos(4m)])^2-2015<=(m+[cos(4m)]-1)^2<=(m+[cos(4m)])^2-1`.
    Правая часть неравенства выполняется всегда.
    `2(m+[cos(4m)])<=2016 => m+[cos(4m)]<=1008`.
    `m` замечательный, если `m+[cos(4m)]<=1008` и `m+[cos(4m)]-1>=1`.
    `2<=m+[cos(4m)]<=1008`.
    `|cos(4m)|<=1 => [cos(4m)]=0;+-1`.
    Тогда `m+1>=2` и `m-1<=1008 => m in [1;1009]`.
    Очевидно, подходят все `m in [3;1007]`.
    `m=1 => cos(4)=1 => 4=2pin` - противоречие, таких целых `n` нет.
    `m=2`: `2pi+pi/2<8<3pi => cos8<0` - не подходит.
    `m=1008`: `1283pi<4032<1283pi+pi/2 => -1<cos4032<0` - подходит.
    `m=1009`: `1284pi+pi/2<4036<1285pi => cos4036<0` - подходит.
    `3+4+5+...+1009=(3+1009)/2*1007=509542`.

    Ответ: `509542`.

    Задача №7.
    Назовём натуральное число `m` замечательным, если существует такое натуральное число `k`, не превосходящее `N`, что `f(m,k)` - полный квадрат некоторого натурального числа. Здесь применяется стандартное обозначение: `[t]` - наибольшее целое число, не превосходящее `t`.
    `N=2015, f(m,k)=m^2-k+([cosm])^2-2m*[cosm]`.
    Если замечательных чисел конечное число, в ответ запишите их сумму; если замечательных чисел нет или их бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    `m^2-2m*[cosm]+([cosm])^2=(m-[cosm])^2`,
    `f(m,k)=(m-[cosm])^2-k in [(m-[cosm])^2-2015;(m-[cosm])^2-1]`.
    `[cosm]=-1;0;1 => m-[cosm] in ZZ`.
    Пусть `m` замечательный `=> f(m,k)=M^2, M in NN`.
    `M^2<=(m-[cosm])^2-1<(m-[cosm])^2 => M<m-[cosm]`.
    `M, m-[cosm] in ZZ => M<=m-[cosm]-1`.
    `M=m-[cosm]-1` подходит, если верно неравенство `M^2>=(m-[cosm])^2-2015`.
    Если верно обратное неравенство, тогда `f(m,k)` окажется между двумя соседними точными квадратами при всех натуральных `k<=2015`, поэтому `m` не будет замечательным.
    `(m-[cosm]-1)^2>=(m-[cosm])^2-2015`,
    `m-[cosm]<=1008`.
    При этом `m-[cosm]-1>=1 => m-[cosm]>=2`, поскольку `M` - натуральный.
    `m=1`: `0<1<pi/2 => 0<cos1<1 => m-[cosm]=1`. Не годится.
    `m=2`: `pi/2<2<pi => -1<cos2<0 => m-[cosm]=3`. Годится.
    `3<=m<=1007`. Годятся все значения.
    `m=1008`: `320,5pi<1008<321pi => -1<cos1008<0 => m-[cosm]=1009`. Не годится.
    `m=1009`: `1009-[cos1009]<=1008 => cos1009=1 => 1009=2pin`. Нет решений.
    `m>=1010`. Нет решений.
    `sum_(m=2)^1007m=(1007*1008)/2-1=507527`.

    Ответ: `507527`.

    Задача №7.
    Назовём натуральное число `m` замечательным, если существует такое натуральное число `k`, не превосходящее `N`, что `f(m,k)` - полный квадрат некоторого натурального числа. Здесь применяется стандартное обозначение: `[t]` - наибольшее целое число, не превосходящее `t`.
    `N=2017, f(m,k)=m^2-k+([cosm])^2+2m*[cosm]`.
    Если замечательных чисел конечное число, в ответ запишите их сумму; если замечательных чисел нет или их бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    `m^2+2m*[cosm]+([cosm])^2=(m+[cosm])^2`,
    `f(m,k)=(m+[cosm])^2-k in [(m+[cosm])^2-2017;(m+[cosm])^2-1]`.
    `[cosm]=-1;0;1 => m+[cosm] in ZZ`.
    Пусть `m` замечательный `=> f(m,k)=M^2, M in NN`.
    `M^2<=(m+[cosm])^2-1<(m+[cosm])^2 => M<m+[cosm]`.
    `M, m+[cosm] in ZZ => M<=m+[cosm]-1`.
    `M=m+[cosm]-1` подходит, если верно неравенство `M^2>=(m+[cosm])^2-2017`.
    Если верно обратное неравенство, тогда `f(m,k)` окажется между двумя соседними точными квадратами при всех натуральных `k<=2017`, поэтому `m` не будет замечательным.
    `(m+[cosm]-1)^2>=(m+[cosm])^2-2017`,
    `m+[cosm]<=1009`.
    При этом `m+[cosm]-1>=1 => m+[cosm]>=2`, поскольку `M` - натуральный.
    `m=1`: `0<1<pi/2 => 0<cos1<1 => m+[cosm]=1`. Не годится.
    `m=2`: `pi/2<2<pi => -1<cos2<0 => m+[cosm]=1`. Не годится.
    `3<=m<=1009`. Годятся все значения.
    `m=1010`: `321pi<1010<321pi+pi/2 => -1<cos1010<0 => m+[cosm]=1009`. Годится.
    `m>=1011`. Нет решений.
    `sum_(m=3)^1009m=(1010*1011)/2-1-2=510552`.

    Ответ: `510552`.

    Задача №7.
    Назовём натуральное число `m` замечательным, если существует такое натуральное число `k`, не превосходящее `N`, что `f(m,k)` - полный квадрат некоторого натурального числа. Здесь применяется стандартное обозначение: `[t]` - наибольшее целое число, не превосходящее `t`.
    `N=2017, f(m,k)=m^2-k+([sinm])^2+2m*[sinm]`.
    Если замечательных чисел конечное число, в ответ запишите их сумму; если замечательных чисел нет или их бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    `m^2+2m*[sinm]+([sinm])^2=(m+[sinm])^2`,
    `f(m,k)=(m+[sinm])^2-k in [(m+[sinm])^2-2017;(m+[sinm])^2-1]`.
    `[sinm]=-1;0;1 => m+[sinm] in ZZ`.
    Пусть `m` замечательный `=> f(m,k)=M^2, M in NN`.
    `M^2<=(m+[sinm])^2-1<(m+[sinm])^2 => M<m+[sinm]`.
    `M, m+[sinm] in ZZ => M<=m+[sinm]-1`.
    `M=m+[sinm]-1` подходит, если верно неравенство `M^2>=(m+[sinm])^2-2017`.
    Если верно обратное неравенство, тогда `f(m,k)` окажется между двумя соседними точными квадратами при всех натуральных `k<=2017`, поэтому `m` не будет замечательным.
    `(m+[sinm]-1)^2>=(m+[sinm])^2-2017`,
    `m+[sinm]<=1009`.
    При этом `m+[sinm]-1>=1 => m+[sinm]>=2`, поскольку `M` - натуральный.
    `m=1`: `0<1<pi/2 => 0<sin1<1 => m+[sinm]=1`. Не годится.
    `m=2`: `pi/2<2<pi => 0<sin2<1 => m+[sinm]=2`. Годится.
    `3<=m<=1009`. Годятся все значения.
    `m=1010`: `321pi<1010<321pi+pi/2 => -1<sin1010<0 => m+[sinm]=1009`. Годится.
    `m>=1011`. Нет решений.
    `sum_(m=3)^1010m=(1010*1011)/2-1=510554`.

    Ответ: `510554`.

    Задача №7.
    Назовём натуральное число `m` замечательным, если существует такое натуральное число `k`, не превосходящее `N`, что `f(m,k)` - полный квадрат некоторого натурального числа. Здесь применяется стандартное обозначение: `[t]` - наибольшее целое число, не превосходящее `t`.
    `N=2017, f(m,k)=m^2-k+([cosm])^2+2m*[cosm]`.
    Если замечательных чисел конечное число, в ответ запишите их сумму; если замечательных чисел нет или их бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    `-1<=cosm<=1 => [cosm] in {-1;0;1}`.
    `[cosm]=1 iff cosm=1 iff m=2pik, k in ZZ`, что противоречит иррациональности `pi`.
    Итак, `[cosm] in {-1;0}`.
    `f(m,k)=(m+[cosm])^2-k`, где `k` пробегает натуральные значения от `1` до `2017`.
    `(m+[cosm])^2-2017<=f(m,k)<=(m+[cosm])^2-1`.
    `(m+[cosm])^2-1<(m+[cosm])^2`, поэтому `(m+[cosm]-1)^2` - максимальный точный квадрат, которому может равняться `f(m,k)`.
    Если `(m+[cosm]-1)^2<(m+[cosm])^2-2017`, то `(n-1)^2<f(m,k)<n^2` (`n` - целый), поэтому не может равняться точному квадрату.
    Если `(m+[cosm]-1)^2>=(m+[cosm])^2-2017`, то `f(m,k)=(m+[cosm]-1)^2` при некотором натуральном `k in [1;2017]`.
    `2018>=2(m+[cosm])`,
    `1009>=m+[cosm]`, но `[cosm] in {-1;0} => m<=1009`.
    `m+[cosm]-1>=1 =>m+[cosm]>=2`.
    Если `m in [3;1008]`, то оба неравенства очевидно выполняются. Остальные значения проверим вручную.
    `m=1009 => m+[cosm]=1009+[cos1009]<=1009` - верно.
    `m=1010 => 1010+[cos1010]<=1009 => cos1010<0`. Проверим:
    `321pi<1010<321pi+pi/2 => cos1010<0`. Верно.
    `m>=1011` - нет решений.
    `m=1` - не подходит.
    `m=2 => 2+[cos2]>=2 => cos2>0`, но `pi/2<2<pi` - не подходит.
    Все целые `m`: `3,4,5,...,1009,1010`.
    Сумма равна `(3+1010)/2*1008=510552`.

    Ответ: `510552`.

    Задача №7.
    Назовём натуральное число `m` замечательным, если существует такое натуральное число `k`, не превосходящее `N`, что `f(m,k)` - полный квадрат некоторого натурального числа. Здесь применяется стандартное обозначение: `[t]` - наибольшее целое число, не превосходящее `t`.
    `N=2015, f(m,k)=m^2-k+([cos(2m)])^2+2m*[cos(2m)]`.
    Если замечательных чисел конечное число, в ответ запишите их сумму; если замечательных чисел нет или их бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    Выделим полный квадрат в `f(m,k)`:
    `m^2-k+([cos(2m)])^2+2m*[cos(2m)]=(m+[cos(2m)])^2-k`.
    По условию, `k in [1;2015]`, поэтому `f(m,k) in [(m+[cos(2m)])^2-2015;(m+[cos(2m)])^2-1]`.
    По определению, `[cos(2m)]` является целым числом.
    `m` замечательный, если в в этом отрезке лежит точный квадрат `(m+[cos(2m)]-1)^2`.
    Следующий больший точный квадрат `(m+[cos(2m)])^2` уже вне этого отрезка.
    Следующий меньший точный квадрат `(m+[cos(2m)]-2)^2` можем не рассматривать, достаточно одного квадрата.
    `(m+[cos(2m)])^2-2015<=(m+[cos(2m)]-1)^2<=(m+[cos(2m)])^2-1`.
    Правая часть неравенства выполняется всегда.
    `2(m+[cos(2m)])<=2016 => m+[cos(2m)]<=1008`.
    `m` замечательный, если `m+[cos(2m)]<=1008` и `m+[cos(2m)]-1>=1`.
    `2<=m+[cos(2m)]<=1008`.
    `|cos(2m)|<=1 => [cos(2m)]=0;+-1`.
    Тогда `m+1>=2` и `m-1<=1008 => m in [1;1009]`.
    Очевидно, подходят все `m in [3;1007]`.
    `m=1 => cos(2)=1 => 2=2pin` - противоречие, таких целых `n` нет.
    `m=2`: `pi<4<3/2pi => cos4<0` - не подходит.
    `m=1008`: `641pi+pi/2<2016<642pi => 0<cos2016<1` - подходит.
    `m=1009`: `642pi<2018<642pi+pi/2 => 0<cos4036<1` - не подходит.
    `3+4+5+...+1008=(3+1008)/2*1006=508533`.

    Ответ: `508533`.

    Задача №7.
    Назовём натуральное число `m` замечательным, если существует такое натуральное число `k`, не превосходящее `N`, что `f(m,k)` - полный квадрат некоторого натурального числа. Здесь применяется стандартное обозначение: `[t]` - наибольшее целое число, не превосходящее `t`.
    `N=2017, f(m,k)=m^2-k+([cos2m])^2+2m*[cos2m]`.
    Если замечательных чисел конечное число, в ответ запишите их сумму; если замечательных чисел нет или их бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Решение:
    `-1<=cos2m<=1 => [cos2m] in {-1;0;1}`.
    `[cos2m]=1 iff cos2m=1 iff m=2pik, k in ZZ`, что противоречит иррациональности `pi`.
    Итак, `[cos2m] in {-1;0}`.
    `f(m,k)=(m+[cos2m])^2-k`, где `k` пробегает натуральные значения от `1` до `2017`.
    `(m+[cos2m])^2-2017<=f(m,k)<=(m+[cos2m])^2-1`.
    `(m+[cos2m])^2-1<(m+[cos2m])^2`, поэтому `(m+[cos2m]-1)^2` - максимальный точный квадрат, которому может равняться `f(m,k)`.
    Если `(m+[cos2m]-1)^2<(m+[cos2m])^2-2017`, то `(n-1)^2<f(m,k)<n^2` (`n` - целый), поэтому не может равняться точному квадрату.
    Если `(m+[cos2m]-1)^2>=(m+[cos2m])^2-2017`, то `f(m,k)=(m+[cos2m]-1)^2` при некотором натуральном `k in [1;2017]`.
    `2018>=2(m+[cos2m])`,
    `1009>=m+[cos2m]`, но `[cos2m] in {-1;0} => m<=1009`.
    `m+[cos2m]-1>=1 =>m+[cos2m]>=2`.
    Если `m in [3;1008]`, то оба неравенства очевидно выполняются. Остальные значения проверим вручную.
    `m=1009 => m+[cos2m]=1009+[cos2018]<=1009` - верно.
    `m=1010 => 1010+[cos2020]<=1009 => cos2020<0`. Проверим:
    `642pi+pi/2<2020<643pi => cos2020<0`. Верно.
    `m>=1011` - нет решений.
    `m=1` - не подходит.
    `m=2 => 2+[cos4]>=2 => cos4>0`, но `pi<4<3/2pi` - не подходит.
    Все целые `m`: `3,4,5,...,1009,1010`.
    Сумма равна `(3+1010)/2*1008=510552`.

    Ответ: `510552`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике