Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2015-2016 / Задания и решения / МГУ им. М.В. Ломоносова
  • Тестовое задание (3 часа)
    1 (5 баллов). Решите неравенство
    `(sqrt(x/gamma+(alpha+2))-x/gamma-alpha)/(x^2+ax+b)>=0`
    `alpha=4`
    `gamma=3`
    `a=-14`
    `b=48`.
    2 (5 баллов). Решите уравнение
    `cos^2 6x-sin^2 3x-(1-cosx)/|1-cosx|=0`
    В ответе укажите число, равное сумме корней уравнения, принадлежащих отрезку `A=[2pi(m-1/4);2pi(m+1/8)], m=-8`, при необходимости округлив это число до двух знаков после запятой.
    3 (5 баллов). В треугольнике `ABC` проведены медианы `B B_1=m_b, C C_1=m_c, A A_1=m_a`, которые пересекаются в точке `O`. Найдите площадь `S=S_(DeltaCOA_1)`, если `m_a=14, m_b=15, m_c=18`.
    4 (5 баллов). Решите систему
    `{(z^4+xz+yz-b=0),(x^2+y^2+2a(y-x)+2a^2=0):}`
    `a=8, b=20`
    Вычислите значение выражения `x_k^2+y_k^2+z_k^2` для каждого решения `(x_k,y_k,z_k)` системы и найдите среди них минимальное.
    Если решений нет, либо решений бесконечно много, в поле ответов укажите цифру `0`.
    5 (5 баллов). Владелец библиотеки решил подарить на Новый год своим брату и сестре по одной книге. Он составил список из `a=93` книг, подходящих для брата, и список из `b=81` книг, подходящих для сестры. Внутри каждого списка все книги попарно различны. При этом имеется ровно одна книга, попавшая в оба списка. Сколькими способами он может сделать свой подарок так, чтобы брат и сестра получили разные книги?

    Творческое задание (165 часов)
    1 (10 баллов). На соревнованиях по бегу нужно пробежать дистанцию в `3` одинаковых круга, при этом круг содержит целое число километров. Тренер заметил, что второй круг спортсмен пробежал за `t=26` минут. За сколько минут спортсмен пробежит всю дистанцию, если время прохождения им каждого километра, начиная со второго, увеличивается в арифметической прогрессии?
    2 (10 баллов). В подземелье у гномов в один ряд стоят `N` сундуков с сокровищами: некоторые из них закрыты, некоторые – открыты. Гном по имени Открывай проходит вдоль ряда и открывает каждый сундук, который до этого был закрыт. Затем гном по имени Закрывай подходит к каждому второму сундуку и, если он открыт, закрывает его. Потом гном Открывай подходит к каждому третьему сундуку и, если от закрыт, открывает его. Затем гном Закрывай подходит к каждому четвёртому сундуку и, если он открыт, закрывает его, и так далее. Всего вместе гномы Закрывай и Открывай сделали `N=2024` проходов вдоль ряда. Сколько сундуков окажутся после этого закрытыми?
    3 (10 баллов). К равнобедренному треугольнику `ABC` с основанием `AC` достроили другой ранобедренный треугольник `CBD` с основанием `CD` так, что оба треугольника не имеют общих точек кроме точек стороны `BC`.
    Точка `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью описанной вокруг треугольника `ABC`. Найдите отношение `DE` к радиусу описанной вокруг треугольника `ABC` окружности, если `cos/_CBD=delta/2=3/4`. В ответе укажите найденное отношение, при необходимости округлив его до двух знаков после запятой.
    4 (10 баллов). Сколько решений в целых числах имеет уравнение
    `sqrtx+sqrty=sqrtN`,
    если `N=2205`.
    5 (10 баллов). Решите уравнение:
    `(1−cosx)(2+sinx+4cosx)+5(1+cosx)(2−sinx+2cosx)=0`
    В ответе запишите сумму всех корней на промежутке `A=[2pim;2pim+pi], m=1010`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.  
    6 (10 баллов). Четырёхугольная призма `PQRSP_​1​​Q_​1​​R_​1​​S_​1`​​ с одинаковыми рёбрами, равными `a`, вписана в пирамиду `SABC` так, что точка `S_​1`​​ лежит на `SA`, точка `P` лежит на `SB`, точка `R` лежит на `SC`, точка `Q_​1`​​ принадлежит плоскости `ABC`.
    Найдите ребро пирамиды `SA`, если известно, что `SB=b, SC=c`.
    `a=4, b=15, c=14`.
    При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    7 (10 баллов). Назовём натуральное число `m` замечательным, если существует такое натуральное число `k`, не превосходящее `N`, что `f(m,k)` - полный квадрат некоторого натурального числа. Здесь применяется стандартное обозначение: `[t]` - наибольшее целое число, не превосходящее `t`.
    `N=2015, f(m,k)=m^2-k+([cos(2m)])^2-2m*[cos(2m)]`.
    Если замечательных чисел конечное число, в ответ запишите их сумму; если замечательных чисел нет или их бесконечно много, в ответе запишите цифру `0`.

    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2015-2016. Задания и решения отборочного этапа по математике.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике