ДВИ по математике в МГУ (21 июля 2017 - резервный день)

18.07.2017. Поступили материалы ДВИ по математике.
Подключение платное, тариф Light (30 тыс. руб.), Стандарт (40 тыс. руб.).
dvi@olympiads.biz - для вопросов и заявок.
Олимпиада Росатом 2015-2016 по математике (НИЯУ МИФИ) / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    В этой теме опубликованы некоторые задания и решения отборочного этапа этого года. Все остальные задания и решения находятся в теме прошлого года (Олимпиада Росатом 2014-2015 по математике).

    В этой теме публикуются задания и решения отборочного этапа (онлайн) олимпиады Росатом 2015-2016 по математике.
    Внимание: в утвержденном перечне олимпиад этого года, олимпиада Росатом 2015-2016 по математике получила второй уровень (в прошло году был третий уровень), что дает победителям и призерам олимпиады более существенные льготы при поступлении в ведущие вузы РФ.
    Задания прошлых лет:
    Олимпиада Росатом 2014-2015 по математике - задания и решения дистанционного отборочного тура.
    Олимпиада Росатом 2013-2014 по математике - задания и решения очного тура.
    Олимпиада Росатом 2013-2014 по физике - задания и решения очного тура.

    Олимпиада Росатом 2015-2016 по математике. Отборочный этап.


    Есть несколько независимых отборочных этапов, часть проводятся в очной форме - олимпиада Кондратьева, олимпиада Савельева, отборочные этапы в регионах. Достаточно успешно пройти любой из этих туров, чтобы принять участие в финальном туре.
    Дистанционный отборочный тур проводится на официальном сайте НИЯУ МИФИ в декабре-январе, регистрация участников уже стартовала. Время прохождения тура определяет сам абитуриент, длительность тура - 2 часа, в течение которых необходимо решить 6 задач различной сложности, 4 из которых приближены к школьной программе, остальные олимпиадного характера.
    Развернутые решения не требуются, достаточно числовых ответов.
    Порог прохождения на заключительный тур меняется каждый год, но в прошлом учебном году он стал максимальным - 12 баллов из 12, т.е. все ответы должны были быть верными.

    Топик будет пополняться заданиями и решениями дистанционного отборочного этапа, а также другой полезной информацией, по мере ее поступления. Следите за обновлениями, либо подписывайтесь на рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике.

    Внимание: полные решения рассылаются только подписчикам сайта. Рассылки бесплатные, подписаться на них вы можете на этой странице (верхняя часть страницы).
    У наших подписчиков есть возможность получить индивидуальные решения нескольких задач своего варианта. Для этого достаточно выполнить следующие действия:
    1. Подписаться на наши рассылки.
    2. Нажать на кнопку Сохранить Вконтакте в верхней левой части текущей страницы (запись должна появиться на вашей стене). 



    В этой теме опубликованы некоторые задания и решения отборочного этапа этого года. Все остальные задания и решения находятся в теме прошлого года (Олимпиада Росатом 2014-2015 по математике).
  • А когда будут решения Росавтом  - отборочного тура?

  • Задача №2-28.
    Сколько решений имеет уравнение `sin^8x+cos^8x=97/128` на отрезке `[0;pi/2]`.

    Решение:
    `sin^8x+cos^8x=97/128`,
    `(sin^4x+cos^4x)^2-2sin^4xcos^4x=97/128`,
    `(1-2sin^2xcos^2x)^2-2sin^4xcos^4x=97/128`.
    Замена `sin^2xcos^2x=t, t in [0;1/4]`.
    `(1-2t)^2-2t^2=97/128`,
    `2t^2-4t+31/128=0`,
    `t^2-2t+31/256=0`,
    `(t-1)^2=225/256`,
    `|t-1|=15/16 => t_1=1/16, t_2=31/16`. Второй корень не подходит.
    `sin^2xcos^2x=1/16`,
    `sin^2(2x)=1/4`,
    `sin2x=+-1/2`.
    `x in [0;pi/2] => 2x in [0;pi]`.
    `1/2`: `2x=pi/6, (5pi)/6`.
    `-1/2`: нет таких значений.

    Ответ: `2`.
  • Задача №2-29.
    Длина наибольшей стороны равнобедренной трапеции равна `13`, а ее периметр - `28`. Найти длину боковой стороны, если ее площадь равна `27`?

    Решение:
    Пусть боковая сторона равна `13`. Тогда сумма двух оснований равна `2`.
    Положим, `x` - верхнее (меньшее) основание, `2-x` - нижнее основание.
    Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и нижним основанием трапеции.
    Гипотенуза равна `13`, катет `1/2(2-x-x)=1-x`.
    Другой катет (высота трапеции) равен `sqrt(169-(1-x)^2)`.
    `S_(трап.)=1/2*2*sqrt(169-(1-x)^2)<sqrt169=13<27`. Противоречие.
    Поэтому, наибольшей стороной является нижнее основание.
    Пусть `x` - верхнее основание, `y` - боковая сторона.
    `x+2y+13=28 => x+2y=15`.
    Из того же треугольника:
    `h=sqrt(y^2-1/4(13-x)^2)`.
    `S=1/2*(x+13)*sqrt(y^2-1/4(13-x)^2)=27`.
    Решаем систему: `x=y=5`.

    Ответ: `5`.
  • Задача №2-30.
    Найти наименьшее число прямых на плоскости, разбивающих квадрат на `75` частей.

    Решение:
    Квадрат роли не играет, можем заменить квадрат на плоскость.
    `n` прямых, которые пересекаются в максимальном количестве точек, разбивают прямую на `(n(n+1))/2+1` частей. Легко доказать по индукции.
    По условию, `(n(n+1))/2+1>=75`,
    `n(n+1)>=148`,
    `n>=12`.
    Осталось построить пример с `n=12`.
    `12` прямых могут разбить плоскость на `79` частей. Мы можем уменьшить количество частей на любую величину уменьшением количества точек пересечения прямых.

    Ответ: `12`.
  • Задача №2-31.
    Найти сумму пятнадцати членов последовательности `a_n=1/((n+1)sqrtn+nsqrt(n+1))`.

    Решение:
    `a_n=1/(sqrt(n(n+1))(sqrt(n+1)+sqrtn))=(sqrt(n+1)-sqrtn)/sqrt(n(n+1))`. Умножили и поделили дробь на сопряженное выражение.
    `a_n=1/sqrtn-1/sqrt(n+1)`.
    `a_1+a_2+...+a_15=1-1/sqrt2+1/sqrt2-1/sqrt3+...+1/sqrt15-1/sqrt16=1-1/4=3/4`.

    Ответ: `0.75`.
  • Задача №3-27.
    Найти наибольшее значение выражения `x^2y^2z^2u`, если `x,y,z` и `u` положительные числа, для которых `2x+xy+z+yzu=4`.

    Решение:
    Неравество о среднем арифметическом и среднем геометрическом:
    `(a+b+c+d)/4>=root(4)(abcd)` для неотрицательных `a,b,c,d`.
    Равенство возможно только при `a=b=c=d`.
    Тогда, `4=2x+xy+z+yzu>=4root(4)(2x^2y^2z^2u)`,
    `2x^2y^2z^2u<=1 => max(x^2y^2z^2u)=1/2`.
    Максимум достигается при `2x=xy=z=yzu=1`,
    `x=1/2, y=2, z=1, u=1/2`.

    Ответ: `0.5`.
  • Задача №3-28.
    Сколько пар целых чисел `(x;y)` являются решениями уравнения `x^2+xy+y^2=x^2y^2`?

    Решение:
    `x^2+xy+y^2=x^2y^2`,
    `(x+y)^2=x^2y^2+xy`,
    `xy(xy+1)=(x+y)^2`.
    Пусть `x=0 => y=0`. Верно и обратное. Получили пару `(0;0)`.
    Пусть `xy=-1 => x=-y => (x;y)=(1;-1), (-1;1)`.
    Для остальных целых `x,y`, пара `xy` и `xy+1` не имеет общих делителей.
    Тогда, `|xy|=m^2, |xy+1|=n^2`, где `m,n` ненулевые целые числа.
    Нет таких ненулвых точных квадратов, разность которых равна `1`. Других решений нет.

    Ответ: `3`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике