Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Физтех 2016 по математике / Онлайн этап интернет олимпиады / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.



    Олимпиада Физтех 2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Открытая интернет олимпиада Физтех 2016 по математике. Задания и решения онлайн этапа. Регистрация на олимпиаду уже началась на официальном сайте. Сроки проведения - с 1 ноября до 15 января.

    В данной теме выложены частичные решения онлайн этапа (заочный тур) олимпиады Физтех 2015-2016 года (олимпиада Физтех 2016).

    Задания и решения всех этапов (отборочные и очные) за прошлые годы (2009-2014 годы), а также иная дополнительная информация - выложены в разделе Олимпиада Физтех.
  • Задача №3. Сумма корней.
    Найдите сумму действительных корней всех квадратных трехчленов вида
    `y=x^2+px+82`, где `p` принимает все целые значения от `-11` до `31`.

    Решение:
    1. Решим квадратное уравнение в общем случае, для всех `p`:
    `x^2+px+82=0`.
    `D=p^2-328`.
    Уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте.
    `p^2-328>=0`,
    `p^2>=328 iff |p|>=2sqrt82`,
    `p in (-oo;-2sqrt82]uu[2sqrt82;+oo)`.
    2. По условию, `p in [-11;31]`, пересечем этот отрезок с полученными интервалами. Для этого оценим `2sqrt82`:
    `324<328<361 => 18<2sqrt82<19`.
    Следовательно,
    `-19<-2sqrt82<-18<-11<18<2sqrt82<19<31`.
    Тогда, `p in [2sqrt82;31]`.
    В силу того, что `p in ZZ`, получаем окончательные значения `p in [19;31]`.
    3. Чтобы найти сумму корней для всех полученных значений `p`, воспользуемся теоремой Виета.
    `x_1+x_2=-p`.
    Тогда, сумма всех корней является суммой всех целых значений `(-p)`  взятых из отрезка `[19;31]`.
    `sumx=-19-20-21-...-31=-(19+31)/2*13=-325`.
    Воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии.

    Ответ: `-325`.

    Задача №3. Сумма корней.
    Найдите сумму действительных корней всех квадратных трехчленов вида `y=x^2+px+75`, где `p` принимает все целые значения от `-13` до `29`.

    Решение:
    1. Решим квадратное уравнение в общем случае, для всех `p`:
    `x^2+px+75=0`.
    `D=p^2-300`.
    Уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте.
    `p^2-300>=0`,
    `p^2>=300 iff |p|>=10sqrt3`,
    `p in (-oo;-10sqrt3]uu[10sqrt3;+oo)`.
    2. По условию, `p in [-13;29]`, пересечем этот отрезок с полученными интервалами. Для этого оценим `10sqrt3`:
    `289<300<324 => 17<10sqrt3<18`.
    Следовательно,
    `-18<-10sqrt3<-17<-13<17<10sqrt3<18<29`.
    Тогда, `p in [10sqrt3;29]`.
    В силу того, что `p in ZZ`, получаем окончательные значения `p in [18;29]`.
    3. Чтобы найти сумму корней для всех полученных значений `p`, воспользуемся теоремой Виета.
    `x_1+x_2=-p`.
    Тогда, сумма всех корней является суммой всех целых значений `(-p)`  взятых из отрезка `[18;29]`.
    `sumx=-18-19-20-21-...-29=-(18+29)/2*12=-282`.
    Воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии.

    Ответ: `-282`.

    Задача №3. Сумма корней.
    Найдите сумму действительных корней всех квадратных трехчленов вида `y=x^2+px+101`, где `p` принимает все целые значения от `-30` до `9`.

    Решение:
    1. Решим квадратное уравнение в общем случае, для всех `p`:
    `x^2+px+101=0`.
    `D=p^2-404`.
    Уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте.
    `p^2-404>=0`,
    `p^2>=404 iff |p|>=2sqrt101`,
    `p in (-oo;-2sqrt101]uu[2sqrt101;+oo)`.
    2. По условию, `p in [-30;9]`, пересечем этот отрезок с полученными интервалами. Для этого оценим `2sqrt101`:
    `400<404<441 => 20<2sqrt101<21`.
    Следовательно,
    `-30<-21<-2sqrt101<-20<9<20<2sqrt101<21`.
    Тогда, `p in [-30;-2sqrt101]`.
    В силу того, что `p in ZZ`, получаем окончательные значения `p in [-30;-21]`.
    3. Чтобы найти сумму корней для всех полученных значений `p`, воспользуемся теоремой Виета.
    `x_1+x_2=-p`.
    Тогда, сумма всех корней является суммой всех целых значений `(-p)`  взятых из отрезка `[-30;-21]`.
    `sumx=30+29+...+21=(30+21)/2*10=255`.
    Воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии.

    Ответ: `255`.

    Задача №3. Сумма корней.
    Найдите сумму действительных корней всех квадратных трехчленов вида `y=x^2+px+122`, где `p` принимает все целые значения от `-35` до `17`.

    Решение:
    1. Решим квадратное уравнение в общем случае, для всех `p`:
    `x^2+px+122=0`.
    `D=p^2-488`.
    Уравнение имеет действительные корни при неотрицательном дискриминанте.
    `p^2-488>=0`,
    `p^2>=488 iff |p|>=2sqrt122`,
    `p in (-oo;-2sqrt122]uu[2sqrt122;+oo)`.
    2. По условию, `p in [-35;17]`, пересечем этот отрезок с полученными интервалами. Для этого оценим `2sqrt122`:
    `484<488<529 => 22<2sqrt122<23`.
    Следовательно,
    `-35<-23<-2sqrt122<-22<17<22<2sqrt122<23`.
    Тогда, `p in [-35;-2sqrt122]`.
    В силу того, что `p in ZZ`, получаем окончательные значения `p in [-35;-23]`.
    3. Чтобы найти сумму корней для всех полученных значений `p`, воспользуемся теоремой Виета.
    `x_1+x_2=-p`.
    Тогда, сумма всех корней является суммой всех целых значений `(-p)`  взятых из отрезка `[-35;-23]`.
    `sumx=35+34+...+23=(35+23)/2*13=377`.
    Воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии.

    Ответ: `377`.
  • Задача №2. Среднее арифметическое.
    Среднее арифметическое четырнадцати различных натуральных чисел равно `19`. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из этих чисел.

    Решение:
    1. Числа обозначим как `n_i`, где `n_i in NN` при всех `i=1,2,...,14` и `n_i!=n_j` при всех `i!=j`.
    По условию, `(sum_(i=1)^14n_i)/14=19`.
    Без ограничения общности можем считать, что числа возрастают:
    `n_1<n_2<...<n_14`.
    Требуется найти минимальное значение `n_14`.
    Для удобства возьмем `n_14=n`.
    2. Очевидно неравенство `n_i<=n-(14-i)` для всех `i=1,2,...,14`.
    Тогда, `sum_(i=1)^14n_i<=14n-(1+2+...+13)`.
    `14*19<=14n-(13*14)/2`,
    `n>=19+13/2=25 1/2`.
    `n in NN => n>=26`.
    3. Построим пример для `n=26`.
    Остальные числа идут с шагом `1` (кроме одного числа), а их сумма равна `14*19`. Если суммы крайних попарных слагаемых будут равны `38`, то пример построен:
    `12+26, 13+25, 14+24, 15+23, 16+22, 17+21, 18+20`.

    Ответ: `26`.

    Задача №2. Среднее арифметическое.
    Среднее арифметическое двенадцати различных натуральных чисел равно `17`. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из этих чисел.

    Решение:
    1. Числа обозначим как `n_i`, где `n_i in NN` при всех `i=1,2,...,12` и `n_i!=n_j` при всех `i!=j`.
    По условию, `(sum_(i=1)^12n_i)/12=17`.
    Без ограничения общности можем считать, что числа возрастают:
    `n_1<n_2<...<n_12`.
    Требуется найти минимальное значение `n_12`.
    Для удобства возьмем `n_12=n`.
    2. Очевидно неравенство `n_i<=n-(12-i)` для всех `i=1,2,...,12`.
    Тогда, `sum_(i=1)^12n_i<=12n-(1+2+...+11)`.
    `12*17<=12n-(11*12)/2`,
    `n>=17+11/2=22 1/2`.
    `n in NN => n>=23`.
    3. Построим пример для `n=23`.
    Остальные числа идут с шагом `1` (кроме одного числа), а их сумма равна `12*17`. Если суммы крайних попарных слагаемых будут равны `34`, то пример построен:
    `11+23, 12+22, 13+21, 14+20, 15+19, 16+18`.

    Ответ: `23`.

    Задача №2. Среднее арифметическое.
    Среднее арифметическое десяти различных натуральных чисел равно `15`. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из этих чисел.

    Решение:
    1. Числа обозначим как `n_i`, где `n_i in NN` при всех `i=1,2,...,12` и `n_i!=n_j` при всех `i!=j`.
    По условию, `(sum_(i=1)^10n_i)/10=15`.
    Без ограничения общности можем считать, что числа возрастают:
    `n_1<n_2<...<n_10`.
    Требуется найти минимальное значение `n_10`.
    Для удобства возьмем `n_10=n`.
    2. Очевидно неравенство `n_i<=n-(10-i)` для всех `i=1,2,...,10`.
    Тогда, `sum_(i=1)^10n_i<=10n-(1+2+...+9)`.
    `10*15<=10n-(9*10)/2`,
    `n>=15+9/2=19 1/2`.
    `n in NN => n>=20`.
    3. Построим пример для `n=20`.
    Остальные числа идут с шагом `1` (кроме одного числа), а их сумма равна `10*15`. Если суммы крайних попарных слагаемых будут равны `30`, то пример построен:
    `10+20, 11+19, 12+18, 13+17, 14+16`.

    Ответ: `20`.

    Задача №2. Среднее арифметическое.
    Среднее арифметическое шестнадцати различных натуральных чисел равно `21`. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из этих чисел.

    Решение:
    1. Числа обозначим как `n_i`, где `n_i in NN` при всех `i=1,2,...,16` и `n_i!=n_j` при всех `i!=j`.
    По условию, `(sum_(i=1)^16n_i)/16=21`.
    Без ограничения общности можем считать, что числа возрастают:
    `n_1<n_2<...<n_16`.
    Требуется найти минимальное значение `n_16`.
    Для удобства возьмем `n_16=n`.
    2. Очевидно неравенство `n_i<=n-(16-i)` для всех `i=1,2,...,16`.
    Тогда, `sum_(i=1)^16n_i<=16n-(1+2+...+15)`.
    `16*21<=16n-(15*16)/2`,
    `n>=21+15/2=28 1/2`.
    `n in NN => n>=29`.
    3. Построим пример для `n=29`.
    Остальные числа идут с шагом `1` (кроме одного числа), а их сумма равна `16*21`. Если суммы крайних попарных слагаемых будут равны `42`, то пример построен:
    `13+29, 14+28, 15+27, 16+26, 17+25, 18+24, 19+23, 20+22`.

    Ответ: `29`.
  • Задача №1. Конфеты.
    В классе `17` мальчиков и `12` девочек. К Новому Году учительница раздала ребятам конфеты (каждому хотя бы по одной), причем всем мальчикам досталось поровну конфет, и всем девочкам досталось поровну конфет. Оказалось, что существует лишь один способ раздачи (так, чтобы раздать все конфеты). Какое наибольшее число конфет могло быть у учительницы?

    Решение:
    1. Пусть по `a` конфет получил каждый мальчик, по `b` конфет получила каждая девочка, а всего конфет `n`.
    По условию, `17a+12b=n`, где `a,b,n in NN`.
    Требуется найти максимальное `n`, при котором существует единственное решение уравнения `(a;b)` в натуральных числах.
    2. Положим, `(a;b)` - единственное решение уравнения.
    Тогда верно равенство `17a+12b=n`.
    Преобразуем это равенство:
    `17(a-12)+12(b+17)=n`,
    `17(a+12)+12(b-17)=n`.
    Получили новые пары целых решений `(a-12;b+17)` и `(a+12;b-17)`.
    В силу единственности решения `(a;b)`, должны выполниться следующие условия:
    `{(a-12<=0),(b-17<=0):} iff {(a<=12),(b<=17):}`.
    Следовательно, `n<=17*12+12*17=2*12*17`.
    3. Докажем, что при `n=2*12*17` выполняется условие единственности решения.
    `17a+12b=2*12*17`,
    `12b=17(24-a) => 12b vdots 17 => b vdots 17`, при этом `a<24`.
    Аналогично, `a vdots 12`, при этом `b<34`.
    Тогда, `a=12, b=17`, других решений нет.
    `n_max=408`.

    Ответ: `408`.

    Задача №1. Конфеты.
    В классе `13` мальчиков и `16` девочек. К Новому Году учительница раздала ребятам конфеты (каждому хотя бы по одной), причем всем мальчикам досталось поровну конфет, и всем девочкам досталось поровну конфет. Оказалось, что существует лишь один способ раздачи (так, чтобы раздать все конфеты). Какое наибольшее число конфет могло быть у учительницы?

    Решение:
    1. Пусть по `a` конфет получил каждый мальчик, по `b` конфет получила каждая девочка, а всего конфет `n`.
    По условию, `13a+16b=n`, где `a,b,n in NN`.
    Требуется найти максимальное `n`, при котором существует единственное решение уравнения `(a;b)` в натуральных числах.
    2. Положим, `(a;b)` - единственное решение уравнения.
    Тогда верно равенство `13a+16b=n`.
    Преобразуем это равенство:
    `13(a-16)+16(b+13)=n`,
    `13(a+16)+16(b-13)=n`.
    Получили новые пары целых решений `(a-16;b+13)` и `(a+16;b-13)`.
    В силу единственности решения `(a;b)`, должны выполниться следующие условия:
    `{(a-16<=0),(b-13<=0):} iff {(a<=16),(b<=13):}`.
    Следовательно, `n<=13*16+16*13=2*16*13`.
    3. Докажем, что при `n=2*16*13` выполняется условие единственности решения.
    `13a+16b=2*16*13`,
    `16b=13(32-a) => 16b vdots 13 => b vdots 13`, при этом `a<32`.
    Аналогично, `a vdots 16`, при этом `b<26`.
    Тогда, `a=16, b=13`, других решений нет.
    `n_max=416`.

    Ответ: `416`.

    Задача №1. Конфеты.
    В классе `15` мальчиков и `14` девочек. К Новому Году учительница раздала ребятам конфеты (каждому хотя бы по одной), причем всем мальчикам досталось поровну конфет, и всем девочкам досталось поровну конфет. Оказалось, что существует лишь один способ раздачи (так, чтобы раздать все конфеты). Какое наибольшее число конфет могло быть у учительницы?

    Решение:
    1. Пусть по `a` конфет получил каждый мальчик, по `b` конфет получила каждая девочка, а всего конфет `n`.
    По условию, `15a+14b=n`, где `a,b,n in NN`.
    Требуется найти максимальное `n`, при котором существует единственное решение уравнения `(a;b)` в натуральных числах.
    2. Положим, `(a;b)` - единственное решение уравнения.
    Тогда верно равенство `15a+14b=n`.
    Преобразуем это равенство:
    `15(a-14)+14(b+15)=n`,
    `15(a+14)+14(b-15)=n`.
    Получили новые пары целых решений `(a-14;b+15)` и `(a+14;b-15)`.
    В силу единственности решения `(a;b)`, должны выполниться следующие условия:
    `{(a-14<=0),(b-15<=0):} iff {(a<=14),(b<=15):}`.
    Следовательно, `n<=15*14+14*15=2*14*15`.
    3. Докажем, что при `n=2*14*15` выполняется условие единственности решения.
    `15a+14b=2*14*15`,
    `14b=15(28-a) => 14b vdots 15 => b vdots 15`, при этом `a<28`.
    Аналогично, `a vdots 14`, при этом `b<30`.
    Тогда, `a=14, b=15`, других решений нет.
    `n_max=420`.

    Ответ: `420`.

    Задача №1. Конфеты.
    В классе `11` мальчиков и `18` девочек. К Новому Году учительница раздала ребятам конфеты (каждому хотя бы по одной), причем всем мальчикам досталось поровну конфет, и всем девочкам досталось поровну конфет. Оказалось, что существует лишь один способ раздачи (так, чтобы раздать все конфеты). Какое наибольшее число конфет могло быть у учительницы?

    Решение:
    1. Пусть по `a` конфет получил каждый мальчик, по `b` конфет получила каждая девочка, а всего конфет `n`.
    По условию, `11a+18b=n`, где `a,b,n in NN`.
    Требуется найти максимальное `n`, при котором существует единственное решение уравнения `(a;b)` в натуральных числах.
    2. Положим, `(a;b)` - единственное решение уравнения.
    Тогда верно равенство `11a+18b=n`.
    Преобразуем это равенство:
    `11(a-18)+18(b+11)=n`,
    `11(a+18)+18(b-11)=n`.
    Получили новые пары целых решений `(a-18;b+11)` и `(a+18;b-11)`.
    В силу единственности решения `(a;b)`, должны выполниться следующие условия:
    `{(a-18<=0),(b-11<=0):} iff {(a<=18),(b<=11):}`.
    Следовательно, `n<=11*18+18*11=2*18*11`.
    3. Докажем, что при `n=2*18*11` выполняется условие единственности решения.
    `11a+18b=2*18*11`,
    `18b=11(36-a) => 18b vdots 11 => b vdots 11`, при этом `a<36`.
    Аналогично, `a vdots 18`, при этом `b<22`.
    Тогда, `a=18, b=11`, других решений нет.
    `n_max=396`.

    Ответ: `396`.
  • Задача №4. Площадь треугольника.
    На сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC` взяты соответственно точки `N` и `M`. Отрезки `AM` и `CN` пересекаются в точке `P`. Найдите площадь треугольника `ABC`, если известно, что площади треугольников `ANP`, `CMP` и `CPA` равны соотвественно `5, 7, 6`.

    Решение:
    1. У треугольников `ANP` и `CPA` общая высота, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований `=> (CP)/(PN)=6/5`.
    Аналогично, `(AP)/(PM)=6/7`.
    2. Теорема Менелая:
    `(CP)/(PN)*(AN)/(AB)*(BM)/(MC)=1 => (AN)/(AB)*(BM)/(MC)=5/6`.
    `(AP)/(PM)*(MC)/(BC)*(BN)/(AN)=1 => (MC)/(BC)*(BN)/(AN)=7/6`.
    Положим, `(AB)/(AN)=x, (BC)/(MC)=y`.
    Тогда из равенств получаем систему:
    `{(1/x*(y-1)=5/6),(1/y*(x-1)=7/6):}`,
    `{(y-1=5/6x),(x-1=7/6y):}`.
    `y=5/6x+1 => x=7/6(5/6x+1)+1`,
    `x=35/36x+13/6 => x/36=13/6 => x=78`.
    `y=5/6x+1=66`.
    3. Теперь понятен примерный рисунок задачи. Углы `/_A, /_C` близки к `90^0`, угол `/_B` близок к `0`.
    Аналогично пункту `1`:
    `(S_(BPC))/(S_(CPM))=(BC)/(MC)=66 => S_(BPC)=66*7=462`.
    `(S_(APB))/(S_(APN))=(AB)/(AN)=78 => S_(APB)=78*5=390`.
    `S_(ABC)=S_(BPC)+S_(APB)+S_(APC)=462+390+6=858`.

    Ответ: `858`.

    Задача №4. Площадь треугольника.
    На сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC` взяты соответственно точки `N` и `M`. Отрезки `AM` и `CN` пересекаются в точке `P`. Найдите площадь треугольника `ABC`, если известно, что площади треугольников `ANP`, `CMP` и `CPA` равны соотвественно `8, 10, 9`.

    Решение:
    1. У треугольников `ANP` и `CPA` общая высота, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований `=> (CP)/(PN)=9/8`.
    Аналогично, `(AP)/(PM)=9/10`.
    2. Теорема Менелая:
    `(CP)/(PN)*(AN)/(AB)*(BM)/(MC)=1 => (AN)/(AB)*(BM)/(MC)=8/9`.
    `(AP)/(PM)*(MC)/(BC)*(BN)/(AN)=1 => (MC)/(BC)*(BN)/(AN)=10/9`.
    Положим, `(AB)/(AN)=x, (BC)/(MC)=y`.
    Тогда из равенств получаем систему:
    `{(1/x*(y-1)=8/9),(1/y*(x-1)=10/9):}`,
    `{(y-1=8/9x),(x-1=10/9y):}`.
    `y=8/9x+1 => x=10/9(8/9x+1)+1`,
    `x=80/81x+19/9 => x/81=19/9 => x=171`.
    `y=8/9x+1=153`.
    3. Теперь понятен примерный рисунок задачи. Углы `/_A, /_C` близки к `90^0`, угол `/_B` близок к `0`.
    Аналогично пункту `1`:
    `(S_(BPC))/(S_(CPM))=(BC)/(MC)=153 => S_(BPC)=153*10=1530`.
    `(S_(APB))/(S_(APN))=(AB)/(AN)=171 => S_(APB)=171*8=1368`.
    `S_(ABC)=S_(BPC)+S_(APB)+S_(APC)=1530+1368+9=2907`.

    Ответ: `2907`.

    Задача №4. Площадь треугольника.
    На сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC` взяты соответственно точки `N` и `M`. Отрезки `AM` и `CN` пересекаются в точке `P`. Найдите площадь треугольника `ABC`, если известно, что площади треугольников `ANP`, `CMP` и `CPA` равны соотвественно `6, 8, 7`.

    Решение:
    1. У треугольников `ANP` и `CPA` общая высота, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований `=> (CP)/(PN)=7/6`.
    Аналогично, `(AP)/(PM)=7/8`.
    2. Теорема Менелая:
    `(CP)/(PN)*(AN)/(AB)*(BM)/(MC)=1 => (AN)/(AB)*(BM)/(MC)=6/7`.
    `(AP)/(PM)*(MC)/(BC)*(BN)/(AN)=1 => (MC)/(BC)*(BN)/(AN)=8/7`.
    Положим, `(AB)/(AN)=x, (BC)/(MC)=y`.
    Тогда из равенств получаем систему:
    `{(1/x*(y-1)=6/7),(1/y*(x-1)=8/7):}`,
    `{(y-1=6/7x),(x-1=8/7y):}`.
    `y=6/7x+1 => x=8/7(6/7x+1)+1`,
    `x=48/49x+15/7 => x/49=15/7 => x=105`.
    `y=6/7x+1=91`.
    3. Теперь понятен примерный рисунок задачи. Углы `/_A, /_C` близки к `90^0`, угол `/_B` близок к `0`.
    Аналогично пункту `1`:
    `(S_(BPC))/(S_(CPM))=(BC)/(MC)=91 => S_(BPC)=91*8=728`.
    `(S_(APB))/(S_(APN))=(AB)/(AN)=105 => S_(APB)=105*6=630`.
    `S_(ABC)=S_(BPC)+S_(APB)+S_(APC)=728+630+7=1365`.

    Ответ: `1365`.

    Задача №4. Площадь треугольника.
    На сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC` взяты соответственно точки `N` и `M`. Отрезки `AM` и `CN` пересекаются в точке `P`. Найдите площадь треугольника `ABC`, если известно, что площади треугольников `ANP`, `CMP` и `CPA` равны соотвественно `7, 9, 8`.

    Решение:
    1. У треугольников `ANP` и `CPA` общая высота, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований `=> (CP)/(PN)=8/7`.
    Аналогично, `(AP)/(PM)=8/9`.
    2. Теорема Менелая:
    `(CP)/(PN)*(AN)/(AB)*(BM)/(MC)=1 => (AN)/(AB)*(BM)/(MC)=7/8`.
    `(AP)/(PM)*(MC)/(BC)*(BN)/(AN)=1 => (MC)/(BC)*(BN)/(AN)=9/8`.
    Положим, `(AB)/(AN)=x, (BC)/(MC)=y`.
    Тогда из равенств получаем систему:
    `{(1/x*(y-1)=7/8),(1/y*(x-1)=9/8):}`,
    `{(y-1=7/8x),(x-1=9/8y):}`.
    `y=7/8x+1 => x=9/8(7/8x+1)+1`,
    `x=63/64x+17/8 => x/64=17/8 => x=136`.
    `y=7/8x+1=120`.
    3. Теперь понятен примерный рисунок задачи. Углы `/_A, /_C` близки к `90^0`, угол `/_B` близок к `0`.
    Аналогично пункту `1`:
    `(S_(BPC))/(S_(CPM))=(BC)/(MC)=120 => S_(BPC)=120*9=1080`.
    `(S_(APB))/(S_(APN))=(AB)/(AN)=136 => S_(APB)=136*7=952`.
    `S_(ABC)=S_(BPC)+S_(APB)+S_(APC)=1080+952+8=2040`.

    Ответ: `2040`.
  • Задача №8. Наибольшее значение выражения.
    Найти наибольшее значение выражения `x^3y-5y^2x^2`, если `0<=x<=3` и `0<=y<=3`.

    Решение:
    1. Положим, `f=f(x,y)=x^3y-5y^2x^2`.
    `f(3,1/5)=27/5-9/5=18/5>0 => f_max>0`.
    Следовательно, мы можем рассматривать те значения `x,y` при которых `f>0`.
    2. `x^3y-5y^2x^2>0`, поделим на `x^2y!=0`:
    `x>5y => y<x/5<=3/5`.
    Преобразуем `f=x^3(y-(5y^2)/x)`.
    Оба сомножителя положительны, при этом `x^3->max` при `x->max` и `y-(5y^2)/x -> max` при `x->max` для любого постоянного `y`, следовательно можем взять максимальное значение `x`.
    3.  `x=3`.
    `f(y)=27y-45y^2`,
    Вершины параболы `y_max=(-b)/(2a)=27/90=3/10 in (0;3/5)`.
    Тогда, `f_max=(27*3)/10-(45*9)/100=81/10-81/20=81/20=4.05`.

    Ответ: `4.05`.

    Задача №8. Наибольшее значение выражения.
    Найти наибольшее значение выражения `x^3y-6y^2x^2`, если `0<=x<=3` и `0<=y<=3`.

    Решение:
    1. Положим, `f=f(x,y)=x^3y-6y^2x^2`.
    `f(3,1/6)=27/6-9/6=18/6>0 => f_max>0`.
    Следовательно, мы можем рассматривать те значения `x,y` при которых `f>0`.
    2. `x^3y-6y^2x^2>0`, поделим на `x^2y!=0`:
    `x>6y => y<x/6<=3/6`.
    Преобразуем `f=x^3(y-(6y^2)/x)`.
    Оба сомножителя положительны, при этом `x^3->max` при `x->max` и `y-(6y^2)/x -> max` при `x->max` для любого постоянного `y`, следовательно можем взять максимальное значение `x`.
    3.  `x=3`.
    `f(y)=27y-54y^2`,
    Вершины параболы `y_max=(-b)/(2a)=27/108=1/4 in (0;3/6)`.
    Тогда, `f_max=27/4-54/16=108/16-54/16=54/16=3.375`.

    Ответ: `3.375`.

    Задача №8. Наибольшее значение выражения.
    Найти наибольшее значение выражения `x^3y-3y^2x^2`, если `0<=x<=3` и `0<=y<=3`.

    Решение:
    1. Положим, `f=f(x,y)=x^3y-3y^2x^2`.
    `f(3,1/3)=27/3-9/3=18/3>0 => f_max>0`.
    Следовательно, мы можем рассматривать те значения `x,y` при которых `f>0`.
    2. `x^3y-3y^2x^2>0`, поделим на `x^2y!=0`:
    `x>3y => y<x/3<=3/3`.
    Преобразуем `f=x^3(y-(3y^2)/x)`.
    Оба сомножителя положительны, при этом `x^3->max` при `x->max` и `y-(3y^2)/x -> max` при `x->max` для любого постоянного `y`, следовательно можем взять максимальное значение `x`.
    3.  `x=3`.
    `f(y)=27y-27y^2`,
    Вершины параболы `y_max=(-b)/(2a)=27/54=1/2 in (0;1)`.
    Тогда, `f_max=27/2-27/4=27/4=6.75`.

    Ответ: `6.75`.

    Задача №8. Наибольшее значение выражения.
    Найти наибольшее значение выражения `x^3y-2y^2x^2`, если `0<=x<=3` и `0<=y<=3`.

    Решение:
    1. Положим, `f=f(x,y)=x^3y-2y^2x^2`.
    `f(3,1/2)=27/2-9/2=18/2>0 => f_max>0`.
    Следовательно, мы можем рассматривать те значения `x,y` при которых `f>0`.
    2. `x^3y-2y^2x^2>0`, поделим на `x^2y!=0`:
    `x>2y => y<x/2<=3/2`.
    Преобразуем `f=x^3(y-(2y^2)/x)`.
    Оба сомножителя положительны, при этом `x^3->max` при `x->max` и `y-(2y^2)/x -> max` при `x->max` для любого постоянного `y`, следовательно можем взять максимальное значение `x`.
    3.  `x=3`.
    `f(y)=27y-18y^2`,
    Вершины параболы `y_max=(-b)/(2a)=27/36=3/4 in (0;3/2)`.
    Тогда, `f_max=81/4-81/8=81/8=10.125`.

    Ответ: `10.125`.
  • Задача №12. Хитрый подсчет.
    Пусть `f(n)` - целое число, ближайшее к `sqrtn`. Обозначим через `g(n)=1/(f(n))`. Найдите сумму `g(43)+g(44)+...+g(1600)`.

    Решение:
    1. Пусть `S_n=g(1)+g(2)+...+g(n)`.
    Докажем две следующие формулы для всех натуральных `n`:
    `S_(n^2)=2n-1, S_(n^2+n)=2n`.
    Для доказательства достаточно понять, какие значения принимает `f(n)` в зависимости от `n`.
    Все натуральные числа `n` можно разбить на группы вида `A(k)`.
    `A(k)={k^2-k+1,k^2-k+2,...,k^2,k^2+1,...,k^2+k}`.
    Действительно, `A(1)={1,2}`,
    `A(k+1)={k^2+k+1,...,(k+1)^2,...,k^2+3k+2}`.
    Таким образом, множества `A(k)` покрывают все множество натуральных чисел, без перекрытий.
    Заметим, количество элементов `A(k)` равно `2k` для каждого `k`.
    2. Лемма: `f(x)=k` для всех `x in A(k)`.
    Это следует из двух неравенств и определения `f(x)`.
    `k-sqrt(k^2-k+1)<sqrt(k^2-k+1)-(k-1)`,
    `sqrt(k^2+k)-k<(k+1)-sqrt(k^2+k)`.
    Если верны оба неравенства, тогда крайние элементы `A(k)` ближе к `k`, чем к соседним целым числам, и поэтому функция `f` от этих элементов равна `k`.
    Проверим:
    `2k-1<2sqrt(k^2-k+1)`,
    `4k^2-4k+1<4k^2-4k+4`- верно.
    `2sqrt(k^2+k)<2k+1`,
    `4k^2+4k<4k^2+4k+1` - верно. Лемма доказана.
    3. Таким образом `g(k)` на множестве `A(k)` принимает значение `1/k` (`2k` раз), и сумма ее значений на каждом `A(k)` равна `2k*1/k=2`.
    Берем `k` от `1` до `n`, получаем `S_(n^2+n)=2+2+...+2=2n`.
    Как следствие, `S_(n^2)=2n-1`, поскольку на множестве
    `{n^2+1,...,n^2+n}` функция `g(x)` принимает значение `1/n` ровно `n` раз.
    4. Посчитаем искомую сумму.
    `g(43)+g(44)+...+g(1600)=S_1600-S_42=`
    `=S_(40^2)-S_(6^2+6)=2*40-1-2*6=67`.

    Ответ: `67`.

    Задача №12. Хитрый подсчет.
    Пусть `f(n)` - целое число, ближайшее к `sqrtn`. Обозначим через `g(n)=1/(f(n))`. Найдите сумму `g(343)+g(344)+...+g(1681)`.

    Решение:
    1. Пусть `S_n=g(1)+g(2)+...+g(n)`.
    Докажем две следующие формулы для всех натуральных `n`:
    `S_(n^2)=2n-1, S_(n^2+n)=2n`.
    Для доказательства достаточно понять, какие значения принимает `f(n)` в зависимости от `n`.
    Все натуральные числа `n` можно разбить на группы вида `A(k)`.
    `A(k)={k^2-k+1,k^2-k+2,...,k^2,k^2+1,...,k^2+k}`.
    Действительно, `A(1)={1,2}`,
    `A(k+1)={k^2+k+1,...,(k+1)^2,...,k^2+3k+2}`.
    Таким образом, множества `A(k)` покрывают все множество натуральных чисел, без перекрытий.
    Заметим, количество элементов `A(k)` равно `2k` для каждого `k`.
    2. Лемма: `f(x)=k` для всех `x in A(k)`.
    Это следует из двух неравенств и определения `f(x)`.
    `k-sqrt(k^2-k+1)<sqrt(k^2-k+1)-(k-1)`,
    `sqrt(k^2+k)-k<(k+1)-sqrt(k^2+k)`.
    Если верны оба неравенства, тогда крайние элементы `A(k)` ближе к `k`, чем к соседним целым числам, и поэтому функция `f` от этих элементов равна `k`.
    Проверим:
    `2k-1<2sqrt(k^2-k+1)`,
    `4k^2-4k+1<4k^2-4k+4`- верно.
    `2sqrt(k^2+k)<2k+1`,
    `4k^2+4k<4k^2+4k+1` - верно. Лемма доказана.
    3. Таким образом `g(k)` на множестве `A(k)` принимает значение `1/k` (`2k` раз), и сумма ее значений на каждом `A(k)` равна `2k*1/k=2`.
    Берем `k` от `1` до `n`, получаем `S_(n^2+n)=2+2+...+2=2n`.
    Как следствие, `S_(n^2)=2n-1`, поскольку на множестве
    `{n^2+1,...,n^2+n}` функция `g(x)` принимает значение `1/n` ровно `n` раз.
    4. Посчитаем искомую сумму.
    `g(343)+g(344)+...+g(1681)=S_1681-S_342=`
    `=S_(41^2)-S_(18^2+18)=2*41-1-2*18=45`.

    Ответ: `45`.

    Задача №12. Хитрый подсчет.
    Пусть `f(n)` - целое число, ближайшее к `sqrtn`. Обозначим через `g(n)=1/(f(n))`. Найдите сумму `g(211)+g(212)+...+g(2025)`.

    Решение:
    1. Пусть `S_n=g(1)+g(2)+...+g(n)`.
    Докажем две следующие формулы для всех натуральных `n`:
    `S_(n^2)=2n-1, S_(n^2+n)=2n`.
    Для доказательства достаточно понять, какие значения принимает `f(n)` в зависимости от `n`.
    Все натуральные числа `n` можно разбить на группы вида `A(k)`.
    `A(k)={k^2-k+1,k^2-k+2,...,k^2,k^2+1,...,k^2+k}`.
    Действительно, `A(1)={1,2}`,
    `A(k+1)={k^2+k+1,...,(k+1)^2,...,k^2+3k+2}`.
    Таким образом, множества `A(k)` покрывают все множество натуральных чисел, без перекрытий.
    Заметим, количество элементов `A(k)` равно `2k` для каждого `k`.
    2. Лемма: `f(x)=k` для всех `x in A(k)`.
    Это следует из двух неравенств и определения `f(x)`.
    `k-sqrt(k^2-k+1)<sqrt(k^2-k+1)-(k-1)`,
    `sqrt(k^2+k)-k<(k+1)-sqrt(k^2+k)`.
    Если верны оба неравенства, тогда крайние элементы `A(k)` ближе к `k`, чем к соседним целым числам, и поэтому функция `f` от этих элементов равна `k`.
    Проверим:
    `2k-1<2sqrt(k^2-k+1)`,
    `4k^2-4k+1<4k^2-4k+4`- верно.
    `2sqrt(k^2+k)<2k+1`,
    `4k^2+4k<4k^2+4k+1` - верно. Лемма доказана.
    3. Таким образом `g(k)` на множестве `A(k)` принимает значение `1/k` (`2k` раз), и сумма ее значений на каждом `A(k)` равна `2k*1/k=2`.
    Берем `k` от `1` до `n`, получаем `S_(n^2+n)=2+2+...+2=2n`.
    Как следствие, `S_(n^2)=2n-1`, поскольку на множестве
    `{n^2+1,...,n^2+n}` функция `g(x)` принимает значение `1/n` ровно `n` раз.
    4. Посчитаем искомую сумму.
    `g(211)+g(212)+...+g(2025)=S_2025-S_210=`
    `=S_(45^2)-S_(14^2+14)=2*45-1-2*14=61`.

    Ответ: `61`.

    Задача №12. Хитрый подсчет.
    Пусть `f(n)` - целое число, ближайшее к `sqrtn`. Обозначим через `g(n)=1/(f(n))`. Найдите сумму `g(111)+g(112)+...+g(1681)`.

    Решение:
    1. Пусть `S_n=g(1)+g(2)+...+g(n)`.
    Докажем две следующие формулы для всех натуральных `n`:
    `S_(n^2)=2n-1, S_(n^2+n)=2n`.
    Для доказательства достаточно понять, какие значения принимает `f(n)` в зависимости от `n`.
    Все натуральные числа `n` можно разбить на группы вида `A(k)`.
    `A(k)={k^2-k+1,k^2-k+2,...,k^2,k^2+1,...,k^2+k}`.
    Действительно, `A(1)={1,2}`,
    `A(k+1)={k^2+k+1,...,(k+1)^2,...,k^2+3k+2}`.
    Таким образом, множества `A(k)` покрывают все множество натуральных чисел, без перекрытий.
    Заметим, количество элементов `A(k)` равно `2k` для каждого `k`.
    2. Лемма: `f(x)=k` для всех `x in A(k)`.
    Это следует из двух неравенств и определения `f(x)`.
    `k-sqrt(k^2-k+1)<sqrt(k^2-k+1)-(k-1)`,
    `sqrt(k^2+k)-k<(k+1)-sqrt(k^2+k)`.
    Если верны оба неравенства, тогда крайние элементы `A(k)` ближе к `k`, чем к соседним целым числам, и поэтому функция `f` от этих элементов равна `k`.
    Проверим:
    `2k-1<2sqrt(k^2-k+1)`,
    `4k^2-4k+1<4k^2-4k+4`- верно.
    `2sqrt(k^2+k)<2k+1`,
    `4k^2+4k<4k^2+4k+1` - верно. Лемма доказана.
    3. Таким образом `g(k)` на множестве `A(k)` принимает значение `1/k` (`2k` раз), и сумма ее значений на каждом `A(k)` равна `2k*1/k=2`.
    Берем `k` от `1` до `n`, получаем `S_(n^2+n)=2+2+...+2=2n`.
    Как следствие, `S_(n^2)=2n-1`, поскольку на множестве
    `{n^2+1,...,n^2+n}` функция `g(x)` принимает значение `1/n` ровно `n` раз.
    4. Посчитаем искомую сумму.
    `g(111)+g(112)+...+g(1681)=S_1681-110=`
    `=S_(41^2)-S_(10^2+10)=2*41-1-2*10=61`.

    Ответ: `61`.
  • Задача №6. Система уравнений.
    Для каждого решения `x,y,z` системы уравнений
    `{(sinx+siny=2cosz),(siny+sinz=2cosx),(sinz+sinx=2cosy):}`
    на числовой прямой покрашена точка `x+y+z`. Сколько покрашенных точек попадает в интервал `(-(5pi)/4;(13pi)/2)`?

    Решение:
    1. Вычтем из первого уравнения второе:
    `sinx-sinz=2cosz-2cosx`,
    `2sin((x-z)/2)cos((x+z)/2)+4sin((z-x)/2)sin((z+x)/2)=0`,
    `sin((x-z)/2)*(cos((x+z)/2)-2sin((x+z)/2))=0`.
    Первое уравнение дает корни `(x-z)/2=pik, x-z=2pik, k in ZZ`.
    Второе уравнение: `cos((x+z)/2)-2sin((x+z)/2)=0`,
    `tan((x+z)/2)=1/2 => (x+z)/2=arctan(1/2)+pik, x+z=2arctan(1/2)+2pik, k in ZZ`.
    Система симметрична относительно всех переменных, поэтому для других переменных будут такие же соотношения.
    2. Дальнейшие рассуждения разобьем на случаи, в зависимости от того, сколько разностей принимает значение `2pik, k in ZZ`.
    a. Две разности.
    Без ограничения общности можем считать, что `x-z=2pik, y-z=2pin, k, n in ZZ`.
    Тогда, `x-y=2pi(k-n)=2pikm, m in ZZ`, а значит это случай трех разностей.
    `x=z+2pik, y=z+2pin`. Подставим в первое уравнение.
    `2sinz=2cosz => sinz=cosz => tanz=1 => z=pi/4+pim, m in ZZ`.
    Тогда, `x+y+z=(3pi)/4+pik, k in ZZ`.
    b. Одна разность.
    Без ограничения общности `x-z=2pik, k in ZZ`.
    Тогда из остальных двух уравнений следуют равенства:
    `y+z=2arctan(1/2)+2pin, x+y=2arctan(1/2)+2pim, n, m in ZZ`.
    `x=z+2pik, y=-z+2arctan(1/2)+2pin, k,n in ZZ`. Подставим в первое уравнение.
    `sinz+sin(-z+2arctan(1/2))=2cosz`,
    `sinz+4/5cosz-3/5sinz=2cosz`,
    `2/5sinz=6/5cosz`,
    `sinz=3cosz => tanz=3, z=arctan3+pim, m in ZZ`.
    `x+y+z=2arctan(1/2)+arctan3+pin, n in ZZ.`
    `2arctan(1/2)+arctan3 ~~ 0.69 pi`.
    `x+y+z ~~ 0.69pi+pin, n in ZZ`.
    c. Нет таких разностей.
    Тогда `{(x+y=2arctan(1/2)+2pik),(y+z=2arctan(1/2)+2pin),(z+x=2arctan(1/2)+2pim):}`, где `k,n,m in ZZ`.
    Сложим все три уравнения: `x+y+z=3arctan(1/2)+pim, m in ZZ`.
    Теперь однозначно можно найти `x,y,z`, при этом у них одинаковая четность при коэффициентах `pi`.
    `3arctan(1/2) ~~ 0.44pi`.
    `x+y+z=0.44pi+pim, m in ZZ`.
    3. Подсчет количества точек. Получили три серии:
    `x+y+z=0.75pi+pik, k in ZZ`,
    `x+y+z ~~ 0.69pi+pin, n in ZZ`,
    `x+y+z ~~ 0.44pi+pim, m in ZZ`.
    Интервал `(-(5pi)/4;(13pi)/2)=(-1.25pi;6.5pi)`.
    `k=-1,0,1,2,3,4,5` - `7` точек,
    `n=-1,0,1,2,3,4,5` - `7` точек,
    `m=-1,0,1,2,3,4,5,6` - `8` точек.
    Всего `22` покрашенные точки.

    Ответ: `22`.

    Задача №6. Система уравнений.
    Для каждого решения `x,y,z` системы уравнений
    `{(sinx+siny=2cosz),(siny+sinz=2cosx),(sinz+sinx=2cosy):}`
    на числовой прямой покрашена точка `x+y+z`. Сколько покрашенных точек попадает в интервал `(-(pi)/4;(17pi)/2)`?

    Решение:
    1. Вычтем из первого уравнения второе:
    `sinx-sinz=2cosz-2cosx`,
    `2sin((x-z)/2)cos((x+z)/2)+4sin((z-x)/2)sin((z+x)/2)=0`,
    `sin((x-z)/2)*(cos((x+z)/2)-2sin((x+z)/2))=0`.
    Первое уравнение дает корни `(x-z)/2=pik, x-z=2pik, k in ZZ`.
    Второе уравнение: `cos((x+z)/2)-2sin((x+z)/2)=0`,
    `tan((x+z)/2)=1/2 => (x+z)/2=arctan(1/2)+pik, x+z=2arctan(1/2)+2pik, k in ZZ`.
    Система симметрична относительно всех переменных, поэтому для других переменных будут такие же соотношения.
    2. Дальнейшие рассуждения разобьем на случаи, в зависимости от того, сколько разностей принимает значение `2pik, k in ZZ`.
    a. Две разности.
    Без ограничения общности можем считать, что `x-z=2pik, y-z=2pin, k, n in ZZ`.
    Тогда, `x-y=2pi(k-n)=2pikm, m in ZZ`, а значит это случай трех разностей.
    `x=z+2pik, y=z+2pin`. Подставим в первое уравнение.
    `2sinz=2cosz => sinz=cosz => tanz=1 => z=pi/4+pim, m in ZZ`.
    Тогда, `x+y+z=(3pi)/4+pik, k in ZZ`.
    b. Одна разность.
    Без ограничения общности `x-z=2pik, k in ZZ`.
    Тогда из остальных двух уравнений следуют равенства:
    `y+z=2arctan(1/2)+2pin, x+y=2arctan(1/2)+2pim, n, m in ZZ`.
    `x=z+2pik, y=-z+2arctan(1/2)+2pin, k,n in ZZ`. Подставим в первое уравнение.
    `sinz+sin(-z+2arctan(1/2))=2cosz`,
    `sinz+4/5cosz-3/5sinz=2cosz`,
    `2/5sinz=6/5cosz`,
    `sinz=3cosz => tanz=3, z=arctan3+pim, m in ZZ`.
    `x+y+z=2arctan(1/2)+arctan3+pin, n in ZZ.`
    `2arctan(1/2)+arctan3 ~~ 0.69 pi`.
    `x+y+z ~~ 0.69pi+pin, n in ZZ`.
    c. Нет таких разностей.
    Тогда `{(x+y=2arctan(1/2)+2pik),(y+z=2arctan(1/2)+2pin),(z+x=2arctan(1/2)+2pim):}`, где `k,n,m in ZZ`.
    Сложим все три уравнения: `x+y+z=3arctan(1/2)+pim, m in ZZ`.
    Теперь однозначно можно найти `x,y,z`, при этом у них одинаковая четность при коэффициентах `pi`.
    `3arctan(1/2) ~~ 0.44pi`.
    `x+y+z=0.44pi+pim, m in ZZ`.
    3. Подсчет количества точек. Получили три серии:
    `x+y+z=0.75pi+pik, k in ZZ`,
    `x+y+z ~~ 0.69pi+pin, n in ZZ`,
    `x+y+z ~~ 0.44pi+pim, m in ZZ`.
    Интервал `(-(pi)/4;(17pi)/2)=(-0.25pi;8.5pi)`.
    `k=0,1,2,3,4,5,6,7` - `8` точек,
    `n=0,1,2,3,4,5,6,7` - `8` точек,
    `m=0,1,2,3,4,5,6,7,8` - `9` точек.
    Всего `25` покрашенных точек.

    Ответ: `25`.

    Задача №6. Система уравнений.
    Для каждого решения `x,y,z` системы уравнений
    `{(sinx+siny=2cosz),(siny+sinz=2cosx),(sinz+sinx=2cosy):}`
    на числовой прямой покрашена точка `x+y+z`. Сколько покрашенных точек попадает в интервал `(-(3pi)/2;(27pi)/4)`?

    Решение:
    1. Вычтем из первого уравнения второе:
    `sinx-sinz=2cosz-2cosx`,
    `2sin((x-z)/2)cos((x+z)/2)+4sin((z-x)/2)sin((z+x)/2)=0`,
    `sin((x-z)/2)*(cos((x+z)/2)-2sin((x+z)/2))=0`.
    Первое уравнение дает корни `(x-z)/2=pik, x-z=2pik, k in ZZ`.
    Второе уравнение: `cos((x+z)/2)-2sin((x+z)/2)=0`,
    `tan((x+z)/2)=1/2 => (x+z)/2=arctan(1/2)+pik, x+z=2arctan(1/2)+2pik, k in ZZ`.
    Система симметрична относительно всех переменных, поэтому для других переменных будут такие же соотношения.
    2. Дальнейшие рассуждения разобьем на случаи, в зависимости от того, сколько разностей принимает значение `2pik, k in ZZ`.
    a. Две разности.
    Без ограничения общности можем считать, что `x-z=2pik, y-z=2pin, k, n in ZZ`.
    Тогда, `x-y=2pi(k-n)=2pikm, m in ZZ`, а значит это случай трех разностей.
    `x=z+2pik, y=z+2pin`. Подставим в первое уравнение.
    `2sinz=2cosz => sinz=cosz => tanz=1 => z=pi/4+pim, m in ZZ`.
    Тогда, `x+y+z=(3pi)/4+pik, k in ZZ`.
    b. Одна разность.
    Без ограничения общности `x-z=2pik, k in ZZ`.
    Тогда из остальных двух уравнений следуют равенства:
    `y+z=2arctan(1/2)+2pin, x+y=2arctan(1/2)+2pim, n, m in ZZ`.
    `x=z+2pik, y=-z+2arctan(1/2)+2pin, k,n in ZZ`. Подставим в первое уравнение.
    `sinz+sin(-z+2arctan(1/2))=2cosz`,
    `sinz+4/5cosz-3/5sinz=2cosz`,
    `2/5sinz=6/5cosz`,
    `sinz=3cosz => tanz=3, z=arctan3+pim, m in ZZ`.
    `x+y+z=2arctan(1/2)+arctan3+pin, n in ZZ.`
    `2arctan(1/2)+arctan3 ~~ 0.69 pi`.
    `x+y+z ~~ 0.69pi+pin, n in ZZ`.
    c. Нет таких разностей.
    Тогда `{(x+y=2arctan(1/2)+2pik),(y+z=2arctan(1/2)+2pin),(z+x=2arctan(1/2)+2pim):}`, где `k,n,m in ZZ`.
    Сложим все три уравнения: `x+y+z=3arctan(1/2)+pim, m in ZZ`.
    Теперь однозначно можно найти `x,y,z`, при этом у них одинаковая четность при коэффициентах `pi`.
    `3arctan(1/2) ~~ 0.44pi`.
    `x+y+z=0.44pi+pim, m in ZZ`.
    3. Подсчет количества точек. Получили три серии:
    `x+y+z=0.75pi+pik, k in ZZ`,
    `x+y+z ~~ 0.69pi+pin, n in ZZ`,
    `x+y+z ~~ 0.44pi+pim, m in ZZ`.
    Интервал `(-(3pi)/2;(27pi)/4)=(-1.5pi;6.75pi)`.
    `k=-2,-1,0,1,2,3,4,5` - `8` точек,
    `n=-2,-1,0,1,2,3,4,5,6` - `9` точек,
    `m=-1,0,1,2,3,4,5,6` - `8` точек.
    Всего `25` покрашенных точек.

    Ответ: `25`.

    Задача №6. Система уравнений.
    Для каждого решения `x,y,z` системы уравнений
    `{(sinx+siny=2cosz),(siny+sinz=2cosx),(sinz+sinx=2cosy):}`
    на числовой прямой покрашена точка `x+y+z`. Сколько покрашенных точек попадает в интервал `(-(pi)/2;(35pi)/4)`?

    Решение:
    1. Вычтем из первого уравнения второе:
    `sinx-sinz=2cosz-2cosx`,
    `2sin((x-z)/2)cos((x+z)/2)+4sin((z-x)/2)sin((z+x)/2)=0`,
    `sin((x-z)/2)*(cos((x+z)/2)-2sin((x+z)/2))=0`.
    Первое уравнение дает корни `(x-z)/2=pik, x-z=2pik, k in ZZ`.
    Второе уравнение: `cos((x+z)/2)-2sin((x+z)/2)=0`,
    `tan((x+z)/2)=1/2 => (x+z)/2=arctan(1/2)+pik, x+z=2arctan(1/2)+2pik, k in ZZ`.
    Система симметрична относительно всех переменных, поэтому для других переменных будут такие же соотношения.
    2. Дальнейшие рассуждения разобьем на случаи, в зависимости от того, сколько разностей принимает значение `2pik, k in ZZ`.
    a. Две разности.
    Без ограничения общности можем считать, что `x-z=2pik, y-z=2pin, k, n in ZZ`.
    Тогда, `x-y=2pi(k-n)=2pikm, m in ZZ`, а значит это случай трех разностей.
    `x=z+2pik, y=z+2pin`. Подставим в первое уравнение.
    `2sinz=2cosz => sinz=cosz => tanz=1 => z=pi/4+pim, m in ZZ`.
    Тогда, `x+y+z=(3pi)/4+pik, k in ZZ`.
    b. Одна разность.
    Без ограничения общности `x-z=2pik, k in ZZ`.
    Тогда из остальных двух уравнений следуют равенства:
    `y+z=2arctan(1/2)+2pin, x+y=2arctan(1/2)+2pim, n, m in ZZ`.
    `x=z+2pik, y=-z+2arctan(1/2)+2pin, k,n in ZZ`. Подставим в первое уравнение.
    `sinz+sin(-z+2arctan(1/2))=2cosz`,
    `sinz+4/5cosz-3/5sinz=2cosz`,
    `2/5sinz=6/5cosz`,
    `sinz=3cosz => tanz=3, z=arctan3+pim, m in ZZ`.
    `x+y+z=2arctan(1/2)+arctan3+pin, n in ZZ.`
    `2arctan(1/2)+arctan3 ~~ 0.69 pi`.
    `x+y+z ~~ 0.69pi+pin, n in ZZ`.
    c. Нет таких разностей.
    Тогда `{(x+y=2arctan(1/2)+2pik),(y+z=2arctan(1/2)+2pin),(z+x=2arctan(1/2)+2pim):}`, где `k,n,m in ZZ`.
    Сложим все три уравнения: `x+y+z=3arctan(1/2)+pim, m in ZZ`.
    Теперь однозначно можно найти `x,y,z`, при этом у них одинаковая четность при коэффициентах `pi`.
    `3arctan(1/2) ~~ 0.44pi`.
    `x+y+z=0.44pi+pim, m in ZZ`.
    3. Подсчет количества точек. Получили три серии:
    `x+y+z=0.75pi+pik, k in ZZ`,
    `x+y+z ~~ 0.69pi+pin, n in ZZ`,
    `x+y+z ~~ 0.44pi+pim, m in ZZ`.
    Интервал `(-(pi)/2;(35pi)/4)=(-0.5pi;8.75pi)`.
    `k=-1,0,1,2,3,4,5,6,7` - `9` точек,
    `n=-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8` - `10` точек,
    `m=0,1,2,3,4,5,6,7,8` - `9` точек.
    Всего `28` покрашенных точек.

    Ответ: `28`.
  • Задача №9. Конус в призме.
    Даны правильная треугольная призма `ABCA_1B_1C_1` и конус, вершина которого лежит в точке `A`, а окружность основания проходит через точки `B_1` и `C_1`. Известно, что точки `B` и `C` лежат на боковой поверхности конуса. Найдите угол между образующей конуса и его высотой, если `AB = 5, AB_1=7`. В ответ запишите квадрат тангенса найденного угла.

    Решение:
    Положим, `r` - радиус основания конуса, `h` - высота, `alpha` - угол между образующей и высотой.
    По условию, `AB=5, AB_1=7`.
    Продолжим ребро `AB` за точку `B`, отложив отрезок `BM=2`.
    Аналогично продолжим ребро `AC` за точку `C`, отложив отрезок `CN=2`.
    Тогда `AM=AN=AB_1=7`. Следовательно, точки `M,N` лежат на окружности основания конуса.
    Таким образом окружность основания конуса описана вокруг равнобедренной трапеции `MNB_1C_1` с основаниями `B_1C_1=5, MN=7` и боковыми сторонами `NC_1, MB_1`.
    `NC_1=MB_1=sqrt(B_1B^2+BM^2)=sqrt(AB_1^2-AB^2+BM^2)=sqrt(49-25+4)=2sqrt7.`
    Пусть `C_1K` - высота трапеции.
    Тогда:
    `KN=1/2(MN-B_1C_1)=1/2(7-5)=1`,
    `KM=1/2(MN+B_1C_1)=1/2(7+5)=6`,
    `C_1K=sqrt(C_1N^2-KN^2)=sqrt(28-1)=3sqrt3`,
    `C_1M=sqrt(C_1K^2+KM^2)=sqrt(27+36)=3sqrt7`,
    `sin/_MNC_1=(C_1K)/(C_1N)=(3sqrt3)/(2sqrt7)=3/2sqrt(3/7)`,
    `r=(C_1M)/(2sin/_MNC_1)=3sqrt7*1/3sqrt(7/3)=7/sqrt3`,
    `h=sqrt(AM^2-r^2)=sqrt(49-49/3)=7sqrt(2/3)`.
    `tanalpha=r/h=7/sqrt3*1/7sqrt(3/2)=1/sqrt2`.
    `tan^2alpha=1/2=0.5`.

    Ответ: `0.5`.

    Задача №9. Конус в призме.
    Даны правильная треугольная призма `ABCA_1B_1C_1` и конус, вершина которого лежит в точке `A`, а окружность основания проходит через точки `B_1` и `C_1`. Известно, что точки `B` и `C` лежат на боковой поверхности конуса. Найдите угол между образующей конуса и его высотой, если `AB = 7, AB_1=17`. В ответ запишите квадрат тангенса найденного угла.

    Решение:
    Положим, `r` - радиус основания конуса, `h` - высота, `alpha` - угол между образующей и высотой.
    По условию, `AB=7, AB_1=17`.
    Продолжим ребро `AB` за точку `B`, отложив отрезок `BM=10`.
    Аналогично продолжим ребро `AC` за точку `C`, отложив отрезок `CN=10`.
    Тогда `AM=AN=AB_1=17`. Следовательно, точки `M,N` лежат на окружности основания конуса.
    Таким образом окружность основания конуса описана вокруг равнобедренной трапеции `MNB_1C_1` с основаниями `B_1C_1=7, MN=17` и боковыми сторонами `NC_1, MB_1`.
    `NC_1=MB_1=sqrt(B_1B^2+BM^2)=sqrt(AB_1^2-AB^2+BM^2)=sqrt(289-49+100)=2sqrt85.`
    Пусть `C_1K` - высота трапеции.
    Тогда:
    `KN=1/2(MN-B_1C_1)=1/2(17-7)=5`,
    `KM=1/2(MN+B_1C_1)=1/2(17+7)=12`,
    `C_1K=sqrt(C_1N^2-KN^2)=sqrt(340-25)=3sqrt35`,
    `C_1M=sqrt(C_1K^2+KM^2)=sqrt(315+144)=3sqrt51`,
    `sin/_MNC_1=(C_1K)/(C_1N)=(3sqrt35)/(2sqrt85)=3/2sqrt(7/17)`,
    `r=(C_1M)/(2sin/_MNC_1)=3sqrt51*1/3sqrt(17/7)=17sqrt(3/7)`,
    `h=sqrt(AM^2-r^2)=sqrt(289-289*3/7)=17sqrt(4/7)`.
    `tanalpha=r/h=17sqrt(3/7)*1/17sqrt(7/4)=sqrt(3/4)`.
    `tan^2alpha=3/4=0.75`.

    Ответ: `0.75`.

    Задача №9. Конус в призме.
    Даны правильная треугольная призма `ABCA_1B_1C_1` и конус, вершина которого лежит в точке `A`, а окружность основания проходит через точки `B_1` и `C_1`. Известно, что точки `B` и `C` лежат на боковой поверхности конуса. Найдите угол между образующей конуса и его высотой, если `AB = 7, AB_1=8`. В ответ запишите квадрат тангенса найденного угла.

    Решение:
    Положим, `r` - радиус основания конуса, `h` - высота, `alpha` - угол между образующей и высотой.
    По условию, `AB=7, AB_1=8`.
    Продолжим ребро `AB` за точку `B`, отложив отрезок `BM=1`.
    Аналогично продолжим ребро `AC` за точку `C`, отложив отрезок `CN=1`.
    Тогда `AM=AN=AB_1=8`. Следовательно, точки `M,N` лежат на окружности основания конуса.
    Таким образом окружность основания конуса описана вокруг равнобедренной трапеции `MNB_1C_1` с основаниями `B_1C_1=7, MN=8` и боковыми сторонами `NC_1, MB_1`.
    `NC_1=MB_1=sqrt(B_1B^2+BM^2)=sqrt(AB_1^2-AB^2+BM^2)=sqrt(64-49+1)=4.`
    Пусть `C_1K` - высота трапеции.
    Тогда:
    `KN=1/2(MN-B_1C_1)=1/2(8-7)=1/2`,
    `KM=1/2(MN+B_1C_1)=1/2(8+7)=15/2`,
    `C_1K=sqrt(C_1N^2-KN^2)=sqrt(16-1/4)=3/2sqrt7`,
    `C_1M=sqrt(C_1K^2+KM^2)=sqrt(63/4+225/4)=6sqrt2`,
    `sin/_MNC_1=(C_1K)/(C_1N)=(3/2sqrt7)/4=3/8sqrt7`,
    `r=(C_1M)/(2sin/_MNC_1)=6sqrt2*4/3sqrt(1/7)=8sqrt(2/7)`,
    `h=sqrt(AM^2-r^2)=sqrt(64-64*2/7)=8sqrt(5/7)`.
    `tanalpha=r/h=8sqrt(2/7)*1/8sqrt(7/5)=sqrt(2/5)`.
    `tan^2alpha=2/5=0.4`.

    Ответ: `0.4`.

    Задача №9. Конус в призме.
    Даны правильная треугольная призма `ABCA_1B_1C_1` и конус, вершина которого лежит в точке `A`, а окружность основания проходит через точки `B_1` и `C_1`. Известно, что точки `B` и `C` лежат на боковой поверхности конуса. Найдите угол между образующей конуса и его высотой, если `AB = 1, AB_1=5`. В ответ запишите квадрат тангенса найденного угла.

    Решение:
    Положим, `r` - радиус основания конуса, `h` - высота, `alpha` - угол между образующей и высотой.
    По условию, `AB=1, AB_1=5`.
    Продолжим ребро `AB` за точку `B`, отложив отрезок `BM=4`.
    Аналогично продолжим ребро `AC` за точку `C`, отложив отрезок `CN=4`.
    Тогда `AM=AN=AB_1=5`. Следовательно, точки `M,N` лежат на окружности основания конуса.
    Таким образом окружность основания конуса описана вокруг равнобедренной трапеции `MNB_1C_1` с основаниями `B_1C_1=1, MN=5` и боковыми сторонами `NC_1, MB_1`.
    `NC_1=MB_1=sqrt(B_1B^2+BM^2)=sqrt(AB_1^2-AB^2+BM^2)=sqrt(25-1+16)=2sqrt10.`
    Пусть `C_1K` - высота трапеции.
    Тогда:
    `KN=1/2(MN-B_1C_1)=1/2(5-1)=2`,
    `KM=1/2(MN+B_1C_1)=1/2(5+1)=3`,
    `C_1K=sqrt(C_1N^2-KN^2)=sqrt(40-4)=6`,
    `C_1M=sqrt(C_1K^2+KM^2)=sqrt(36+9)=3sqrt5`,
    `sin/_MNC_1=(C_1K)/(C_1N)=6/(2sqrt10)=3sqrt(1/10)`,
    `r=(C_1M)/(2sin/_MNC_1)=3sqrt5*1/6sqrt10=5/sqrt2`,
    `h=sqrt(AM^2-r^2)=sqrt(25-25/2)=5/sqrt2`.
    `tanalpha=r/h=1`.
    `tan^2alpha=1`.

    Ответ: `1`.
  • Задача №11. Ленивый машинист.
    В депо три пути для формирования составов. Пути расположены с севера на юг. На пути №1 стоит состав из `32` вагонов. За одну операцию маневрирования тепловоз может перевезти один вагон с любого пути на любой другой путь. Причем он может брать и ставить вагоны только с одной (южной) стороны. За какое наименьшее количество операций тепловоз сможет собрать все вагоны на пути №1 в порядке, обратном исходному?

    Решение:
    1. Решим задачу в общем случае, где `k` - число вагонов.
    Из условия следует, что первый путь должен быть полностью освобожден, иначе мы не сможем на первое место с севера поставить самый южный вагон.
    На это потребуется минимум `k` операций.
    2. В конечном итоге все вагоны снова должны быть собраны на первом пути, на это потребуется еще минимум `k` операций.
    3. Для расстановки вагонов в обратном порядке потребуется минимум `k-2` операций.
    Докажем это:
    a. После того, как все вагоны покинули первый путь, они оказались в нужном нам порядке, если не учитывать пути или условно объединить `2-3` пути.
    b. Поскольку все вагоны оказались не на первом пути, условие задачи не выполнено, поэтому потребуется их "почти" полностью комбинировать на `2-3` путях, чтобы на третьем этапе они оказались на первом пути в нужном порядке.
    c. "Почти" означает - кроме тех вагонов, которые мы можем перекидывать на первый путь при их расстановке на `2-3` путях (из предыдущего пункта).
    d. Очевидно, что таких вагонов не может быть больше `2` - число путей, на которых мы расставляем вагоны. Поэтому минимальное число операций равно `k-2`.
    4. Построим пример с `3k-2` операций:
    Первый вагон переводим на второй путь.
    Остальные вагоны на третий путь.
    Первый вагон на первый путь.
    Вагоны с последнего по третий - на второй путь.
    Второй вагон на первый путь.
    Все остальные вагоны с третьего на первый путь.
    Всего операций `1+k-1+1+k-2+1+k-2=3k-2`.

    В нашем примере `k=32 => 3k-2=94`.

    Ответ: `94`.

    Задача №11. Ленивый машинист.
    В депо три пути для формирования составов. Пути расположены с севера на юг. На пути №1 стоит состав из `27` вагонов. За одну операцию маневрирования тепловоз может перевезти один вагон с любого пути на любой другой путь. Причем он может брать и ставить вагоны только с одной (южной) стороны. За какое наименьшее количество операций тепловоз сможет собрать все вагоны на пути №1 в порядке, обратном исходному?

    Решение:
    1. Решим задачу в общем случае, где `k` - число вагонов.
    Из условия следует, что первый путь должен быть полностью освобожден, иначе мы не сможем на первое место с севера поставить самый южный вагон.
    На это потребуется минимум `k` операций.
    2. В конечном итоге все вагоны снова должны быть собраны на первом пути, на это потребуется еще минимум `k` операций.
    3. Для расстановки вагонов в обратном порядке потребуется минимум `k-2` операций.
    Докажем это:
    a. После того, как все вагоны покинули первый путь, они оказались в нужном нам порядке, если не учитывать пути или условно объединить `2-3` пути.
    b. Поскольку все вагоны оказались не на первом пути, условие задачи не выполнено, поэтому потребуется их "почти" полностью комбинировать на `2-3` путях, чтобы на третьем этапе они оказались на первом пути в нужном порядке.
    c. "Почти" означает - кроме тех вагонов, которые мы можем перекидывать на первый путь при их расстановке на `2-3` путях (из предыдущего пункта).
    d. Очевидно, что таких вагонов не может быть больше `2` - число путей, на которых мы расставляем вагоны. Поэтому минимальное число операций равно `k-2`.
    4. Построим пример с `3k-2` операций:
    Первый вагон переводим на второй путь.
    Остальные вагоны на третий путь.
    Первый вагон на первый путь.
    Вагоны с последнего по третий - на второй путь.
    Второй вагон на первый путь.
    Все остальные вагоны с третьего на первый путь.
    Всего операций `1+k-1+1+k-2+1+k-2=3k-2`.

    В нашем примере `k=27 => 3k-2=79`.

    Ответ: `79`.

    Задача №11. Ленивый машинист.
    В депо три пути для формирования составов. Пути расположены с севера на юг. На пути №1 стоит состав из `34` вагонов. За одну операцию маневрирования тепловоз может перевезти один вагон с любого пути на любой другой путь. Причем он может брать и ставить вагоны только с одной (южной) стороны. За какое наименьшее количество операций тепловоз сможет собрать все вагоны на пути №1 в порядке, обратном исходному?

    Решение:
    1. Решим задачу в общем случае, где `k` - число вагонов.
    Из условия следует, что первый путь должен быть полностью освобожден, иначе мы не сможем на первое место с севера поставить самый южный вагон.
    На это потребуется минимум `k` операций.
    2. В конечном итоге все вагоны снова должны быть собраны на первом пути, на это потребуется еще минимум `k` операций.
    3. Для расстановки вагонов в обратном порядке потребуется минимум `k-2` операций.
    Докажем это:
    a. После того, как все вагоны покинули первый путь, они оказались в нужном нам порядке, если не учитывать пути или условно объединить `2-3` пути.
    b. Поскольку все вагоны оказались не на первом пути, условие задачи не выполнено, поэтому потребуется их "почти" полностью комбинировать на `2-3` путях, чтобы на третьем этапе они оказались на первом пути в нужном порядке.
    c. "Почти" означает - кроме тех вагонов, которые мы можем перекидывать на первый путь при их расстановке на `2-3` путях (из предыдущего пункта).
    d. Очевидно, что таких вагонов не может быть больше `2` - число путей, на которых мы расставляем вагоны. Поэтому минимальное число операций равно `k-2`.
    4. Построим пример с `3k-2` операций:
    Первый вагон переводим на второй путь.
    Остальные вагоны на третий путь.
    Первый вагон на первый путь.
    Вагоны с последнего по третий - на второй путь.
    Второй вагон на первый путь.
    Все остальные вагоны с третьего на первый путь.
    Всего операций `1+k-1+1+k-2+1+k-2=3k-2`.

    В нашем примере `k=34 => 3k-2=100`.

    Ответ: `100`.

    Задача №11. Ленивый машинист.
    В депо три пути для формирования составов. Пути расположены с севера на юг. На пути №1 стоит состав из `25` вагонов. За одну операцию маневрирования тепловоз может перевезти один вагон с любого пути на любой другой путь. Причем он может брать и ставить вагоны только с одной (южной) стороны. За какое наименьшее количество операций тепловоз сможет собрать все вагоны на пути №1 в порядке, обратном исходному?

    Решение:
    1. Решим задачу в общем случае, где `k` - число вагонов.
    Из условия следует, что первый путь должен быть полностью освобожден, иначе мы не сможем на первое место с севера поставить самый южный вагон.
    На это потребуется минимум `k` операций.
    2. В конечном итоге все вагоны снова должны быть собраны на первом пути, на это потребуется еще минимум `k` операций.
    3. Для расстановки вагонов в обратном порядке потребуется минимум `k-2` операций.
    Докажем это:
    a. После того, как все вагоны покинули первый путь, они оказались в нужном нам порядке, если не учитывать пути или условно объединить `2-3` пути.
    b. Поскольку все вагоны оказались не на первом пути, условие задачи не выполнено, поэтому потребуется их "почти" полностью комбинировать на `2-3` путях, чтобы на третьем этапе они оказались на первом пути в нужном порядке.
    c. "Почти" означает - кроме тех вагонов, которые мы можем перекидывать на первый путь при их расстановке на `2-3` путях (из предыдущего пункта).
    d. Очевидно, что таких вагонов не может быть больше `2` - число путей, на которых мы расставляем вагоны. Поэтому минимальное число операций равно `k-2`.
    4. Построим пример с `3k-2` операций:
    Первый вагон переводим на второй путь.
    Остальные вагоны на третий путь.
    Первый вагон на первый путь.
    Вагоны с последнего по третий - на второй путь.
    Второй вагон на первый путь.
    Все остальные вагоны с третьего на первый путь.
    Всего операций `1+k-1+1+k-2+1+k-2=3k-2`.

    В нашем примере `k=25 => 3k-2=73`.

    Ответ: `73`.
  • Задача №10. Клуб путешественников.
    В клубе собрались `13` путешественников. Когда зашел разговор о стране `N`, оказалось, что вместе любые `6` путешественников побывали во всех городах страны `N` (то есть каждый город посетил хоть один из этих `6` путешественников), а любые `5` - нет (то есть найдется город, в котором не был ни один из этих `5` путешественников). При каком минимальном количестве городов в стране `N` это могло быть?

    Решение:
    1. Пусть `n` - количество городов в `N`.
    Возьмем любую пятерку путешественников. Для них существует минимум один город, который не посещен ни одним из них.
    Пусть это будет город `N`-ск. Тогда для другой пятерки это должен быть другой город, иначе можно составить такую шестерку, которая не посетила город `N`-ск.
    Всего разных пятерок `C_13^5=(13!)/(5!*8!)=(9*10*11*12*13)/(1*2*3*4*5)=1287`, это и есть минимально возможное число городов в `N`.
    2. Каждый присутствует в `C_12^4=495` пятерках, следовательно каждый не посетил минимум `495` городов, посетив максимум `n-495` городов.
    Всего путешествий максимум `13(n-495)`.
    С другой стороны, их минимум `8n`:
    Каждый город посетили по крайней мере `8` путешественников.
    Если найдется некий город `N`-ск, в котором побывало не более `7` путешественников, то остальные образуют шестерку, которая не побывала во всех городах страны, таким образом нарушается условие задачи.
    Тогда `8n<=13(n-495) => 5n>=6435 => n>=1287`.
    3. Таким образом `n=1287`, если все неравенства обращаются в равенства, что равносильно выполнению следующих условий:
    a. Каждый не посетил `495` городов и посетил `792` города.
    b. В каждом городе побывало ровно `8` путешественников.
    c. Каждая пятерка не посетила ровно `1` город.
    d. Остальные `8` посетили этот город.
    4. Построим пример с выполнением всех условий задачи.
    Всего городов `1287`.
    `C_13^8=1287` - количество восьмерок из `13`. Пусть каждый город посетила своя восьмерка.
    Тогда для каждого города есть своя пятерка, которая не посетила этот город, а следовательно, не побывала во всех городах `N`.
    Все пятерки разные, поскольку восьмерки разные, значит всего пятерок `1287=C_13^5`, поэтому для всех пятерок из `13` путешественников выполняется условие задачи.
    Каждая шестерка посетила все города `N`, поскольку какие то пять их них посетили все города, кроме `N`-ска, а другая пятерка посетила все города, кроме `M`-ска (`N!=M`).

    Ответ: `1287`.

    Задача №10. Клуб путешественников.
    В клубе собрались `11` путешественников. Когда зашел разговор о стране `N`, оказалось, что вместе любые `6` путешественников побывали во всех городах страны `N` (то есть каждый город посетил хоть один из этих `6` путешественников), а любые `5` - нет (то есть найдется город, в котором не был ни один из этих `5` путешественников). При каком минимальном количестве городов в стране `N` это могло быть?

    Решение:
    1. Пусть `n` - количество городов в `N`.
    Возьмем любую пятерку путешественников. Для них существует минимум один город, который не посещен ни одним из них.
    Пусть это будет город `N`-ск. Тогда для другой пятерки это должен быть другой город, иначе можно составить такую шестерку, которая не посетила город `N`-ск.
    Всего разных пятерок `C_11^5=(11!)/(5!*6!)=(7*8*9*10*11)/(1*2*3*4*5)=462`, это и есть минимально возможное число городов в `N`.
    2. Каждый присутствует в `C_10^4=210` пятерках, следовательно каждый не посетил минимум `210` городов, посетив максимум `n-210` городов.
    Всего путешествий максимум `11(n-210)`.
    С другой стороны, их минимум `6n`:
    Каждый город посетили по крайней мере `6` путешественников.
    Если найдется некий город `N`-ск, в котором побывало не более `5` путешественников, то остальные образуют шестерку, которая не побывала во всех городах страны, таким образом нарушается условие задачи.
    Тогда `6n<=11(n-210) => 5n>=2310 => n>=462`.
    3. Таким образом `n=462`, если все неравенства обращаются в равенства, что равносильно выполнению следующих условий:
    a. Каждый не посетил `210` городов и посетил `252` города.
    b. В каждом городе побывало ровно `6` путешественников.
    c. Каждая пятерка не посетила ровно `1` город.
    d. Остальные `6` посетили этот город.
    4. Построим пример с выполнением всех условий задачи.
    Всего городов `462`.
    `C_11^6=462` - количество шестерок из `11`. Пусть каждый город посетила своя шестерка.
    Тогда для каждого города есть своя пятерка, которая не посетила этот город, а следовательно, не побывала во всех городах `N`.
    Все пятерки разные, поскольку шестерки разные, значит всего пятерок `462=C_11^5`, поэтому для всех пятерок из `11` путешественников выполняется условие задачи.
    Каждая шестерка посетила все города `N`, поскольку какие то пять их них посетили все города, кроме `N`-ска, а другая пятерка посетила все города, кроме `M`-ска (`N!=M`).

    Ответ: `462`.

    Задача №10. Клуб путешественников.
    В клубе собрались `12` путешественников. Когда зашел разговор о стране `N`, оказалось, что вместе любые `7` путешественников побывали во всех городах страны `N` (то есть каждый город посетил хоть один из этих `7` путешественников), а любые `6` - нет (то есть найдется город, в котором не был ни один из этих `6` путешественников). При каком минимальном количестве городов в стране `N` это могло быть?

    Решение:
    1. Пусть `n` - количество городов в `N`.
    Возьмем любую `6`-ку путешественников. Для них существует минимум один город, который не посещен ни одним из них.
    Пусть это будет город `N`-ск. Тогда для другой `6`-ки это должен быть другой город, иначе можно составить такую `7`-ку, которая не посетила город `N`-ск.
    Всего разных `6`-ок `C_12^6=(12!)/(6!*6!)=(7*8*9*10*11*12)/(1*2*3*4*5*6)=924`, это и есть минимально возможное число городов в `N`.
    2. Каждый присутствует в `C_11^5=462` `6`-ах, следовательно каждый не посетил минимум `462` городов, посетив максимум `n-462` городов.
    Всего путешествий максимум `12(n-462)`.
    С другой стороны, их минимум `6n`:
    Каждый город посетили по крайней мере `6` путешественников.
    Если найдется некий город `N`-ск, в котором побывало не более `5` путешественников, то остальные образуют `7`-ку, которая не побывала во всех городах страны, таким образом нарушается условие задачи.
    Тогда `6n<=12(n-462) => 6n>=12*462 => n>=924`.
    3. Таким образом `n=924`, если все неравенства обращаются в равенства, что равносильно выполнению следующих условий:
    a. Каждый не посетил `462` городов и посетил `462` города.
    b. В каждом городе побывало ровно `6` путешественников.
    c. Каждая `6`-ка не посетила ровно `1` город.
    d. Остальные `6` посетили этот город.
    4. Построим пример с выполнением всех условий задачи.
    Всего городов `924`.
    `C_12^6=924` - количество `6`-ок из `12`. Пусть каждый город посетила своя `6`-ка.
    Тогда для каждого города есть своя `6`-ка, которая не посетила этот город, а следовательно, не побывала во всех городах `N`.
    Все `6`-ки разные, поскольку `6`-ки разные, значит всего `6`-ок `924=C_12^6`, поэтому для всех `6`-ок из `12` путешественников выполняется условие задачи.
    Каждая `7`-ка посетила все города `N`, поскольку какие то `6` их них посетили все города, кроме `N`-ска, а другая `6`-ка посетила все города, кроме `M`-ска (`N!=M`).

    Ответ: `924`.

    Задача №10. Клуб путешественников.
    В клубе собрались `14` путешественников. Когда зашел разговор о стране `N`, оказалось, что вместе любые `7` путешественников побывали во всех городах страны `N` (то есть каждый город посетил хоть один из этих `7` путешественников), а любые `6` - нет (то есть найдется город, в котором не был ни один из этих `6` путешественников). При каком минимальном количестве городов в стране `N` это могло быть?

    Решение:
    1. Пусть `n` - количество городов в `N`.
    Возьмем любую `6`-ку путешественников. Для них существует минимум один город, который не посещен ни одним из них.
    Пусть это будет город `N`-ск. Тогда для другой `6`-ки это должен быть другой город, иначе можно составить такую `7`-ку, которая не посетила город `N`-ск.
    Всего разных `6`-ок `C_14^6=(14!)/(8!*6!)=(9*10*11*12*13*14)/(1*2*3*4*5*6)=3003`, это и есть минимально возможное число городов в `N`.
    2. Каждый присутствует в `C_13^5=1287` `6`-ах, следовательно каждый не посетил минимум `1716` городов, посетив максимум `n-1716` городов.
    Всего путешествий максимум `14(n-1716)`.
    С другой стороны, их минимум `6n`:
    Каждый город посетили по крайней мере `6` путешественников.
    Если найдется некий город `N`-ск, в котором побывало не более `5` путешественников, то остальные образуют `7`-ку, которая не побывала во всех городах страны, таким образом нарушается условие задачи.
    Тогда `6n<=14(n-1716) => 8n>=14*1716 => n>=3003`.
    3. Таким образом `n=3003`, если все неравенства обращаются в равенства, что равносильно выполнению следующих условий:
    a. Каждый не посетил `1716` городов и посетил `1287` городов.
    b. В каждом городе побывало ровно `8` путешественников.
    c. Каждая `6`-ка не посетила ровно `1` город.
    d. Остальные `8` посетили этот город.
    4. Построим пример с выполнением всех условий задачи.
    Всего городов `3003`.
    `C_14^8=3003` - количество `8`-ок из `12`. Пусть каждый город посетила своя `8`-ка.
    Тогда для каждого города есть своя `6`-ка, которая не посетила этот город, а следовательно, не побывала во всех городах `N`.
    Все `6`-ки разные, поскольку `8`-ки разные, значит всего `6`-ок `3003=C_14^6`, поэтому для всех `6`-ок из `12` путешественников выполняется условие задачи.
    Каждая `7`-ка посетила все города `N`, поскольку какие то `6` их них посетили все города, кроме `N`-ска, а другая `6`-ка посетила все города, кроме `M`-ска (`N!=M`).

    Ответ: `3003`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике