ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Олимпиада Физтех 2016 по математике / Онлайн этап интернет олимпиады / Задания и решения
  • Задача №7. Ограниченная область.
    На плоскости проведены `3` семейства по `5` прямых трех разных направлений, причем прямые различных направлений пересекаются. Какое наибольшее количество ограниченный областей вырезают они из плоскости?

    Решение:
    1. Посчитаем количество всех областей, количество неограниченных областей, тогда сможем получить количество ограниченных областей.
    Можем все прямые построить так, чтобы никаких три не пересекались в одной точке.
    a. `5` прямых первого семейства делят плоскость на `6` (неограниченных) плоскостей.
    b. Все `5` прямых второго семейства пересекают все `5` прямых первого семейства.
    Следовательно, каждая из прямых первого семейства делится на `6` частей, а каждая из прямых второго семейства увеличивает вдвое количество тех областей, через которые она пройдет.
    Таким образом, получаем `36` областей (`6` первоначальных и `5` раз по `6` новых областей).
    c. Каждая прямая третьего семейства пересечет все `10` прямых первых двух семейств и поделится этими прямыми на `11` частей, увеличивая количество областей на `11`.
    Таким образом, всего получаем `91` областей (`36` первоначальных и `5` раз по `11` областей).
    2. Рассмотрим окружность, которая содержит точки пересечения всех `15` прямых.
    Каждая такая прямая пересечет окружность в двух точках, которые в совокупности поделят окружность на `30` дуг.
    Любая такая дуга соответствует одной неграниченной области.
    Следовательно, число ограниченных областей равно `91-30=61`.

    Ответ: `61`.

    Задача №7. Ограниченная область.
    На плоскости проведены `3` семейства по `6` прямых трех разных направлений, причем прямые различных направлений пересекаются. Какое наибольшее количество ограниченный областей вырезают они из плоскости?

    Решение:
    1. Посчитаем количество всех областей, количество неограниченных областей, тогда сможем получить количество ограниченных областей.
    Можем все прямые построить так, чтобы никаких три не пересекались в одной точке.
    a. `6` прямых первого семейства делят плоскость на `7` (неограниченных) плоскостей.
    b. Все `6` прямых второго семейства пересекают все `6` прямых первого семейства.
    Следовательно, каждая из прямых первого семейства делится на `7` частей, а каждая из прямых второго семейства увеличивает вдвое количество тех областей, через которые она пройдет.
    Таким образом, получаем `49` областей (`7` первоначальных и `6` раз по `7` новых областей).
    c. Каждая прямая третьего семейства пересечет все `12` прямых первых двух семейств и поделится этими прямыми на `13` частей, увеличивая количество областей на `13`.
    Таким образом, всего получаем `127` областей (`49` первоначальных и `6` раз по `13` областей).
    2. Рассмотрим окружность, которая содержит точки пересечения всех `18` прямых.
    Каждая такая прямая пересечет окружность в двух точках, которые в совокупности поделят окружность на `36` дуг.
    Любая такая дуга соответствует одной неграниченной области.
    Следовательно, число ограниченных областей равно `127-36=91`.

    Ответ: `91`.

    Задача №7. Ограниченная область.
    На плоскости проведены `3` семейства по `7` прямых трех разных направлений, причем прямые различных направлений пересекаются. Какое наибольшее количество ограниченный областей вырезают они из плоскости?

    Решение:
    1. Посчитаем количество всех областей, количество неограниченных областей, тогда сможем получить количество ограниченных областей.
    Можем все прямые построить так, чтобы никаких три не пересекались в одной точке.
    a. `7` прямых первого семейства делят плоскость на `8` (неограниченных) плоскостей.
    b. Все `7` прямых второго семейства пересекают все `7` прямых первого семейства.
    Следовательно, каждая из прямых первого семейства делится на `8` частей, а каждая из прямых второго семейства увеличивает вдвое количество тех областей, через которые она пройдет.
    Таким образом, получаем `64` области (`8` первоначальных и `7` раз по `8` новых областей).
    c. Каждая прямая третьего семейства пересечет все `14` прямых первых двух семейств и поделится этими прямыми на `15` частей, увеличивая количество областей на `15`.
    Таким образом, всего получаем `169` областей (`64` первоначальных и `7` раз по `15` областей).
    2. Рассмотрим окружность, которая содержит точки пересечения всех `21` прямой.
    Каждая такая прямая пересечет окружность в двух точках, которые в совокупности поделят окружность на `42` дуги.
    Любая такая дуга соответствует одной неграниченной области.
    Следовательно, число ограниченных областей равно `169-42=127`.

    Ответ: `127`.

    Задача №7. Ограниченная область.
    На плоскости проведены `3` семейства по `8` прямых трех разных направлений, причем прямые различных направлений пересекаются. Какое наибольшее количество ограниченный областей вырезают они из плоскости?

    Решение:
    1. Посчитаем количество всех областей, количество неограниченных областей, тогда сможем получить количество ограниченных областей.
    Можем все прямые построить так, чтобы никаких три не пересекались в одной точке.
    a. `8` прямых первого семейства делят плоскость на `9` (неограниченных) плоскостей.
    b. Все `8` прямых второго семейства пересекают все `8` прямых первого семейства.
    Следовательно, каждая из прямых первого семейства делится на `9` частей, а каждая из прямых второго семейства увеличивает вдвое количество тех областей, через которые она пройдет.
    Таким образом, получаем `81` область (`9` первоначальных и `8` раз по `9` новых областей).
    c. Каждая прямая третьего семейства пересечет все `16` прямых первых двух семейств и поделится этими прямыми на `17` частей, увеличивая количество областей на `17`.
    Таким образом, всего получаем `217` областей (`81` первоначальных и `8` раз по `17` областей).
    2. Рассмотрим окружность, которая содержит точки пересечения всех `24` прямых.
    Каждая такая прямая пересечет окружность в двух точках, которые в совокупности поделят окружность на `48` дуг.
    Любая такая дуга соответствует одной неграниченной области.
    Следовательно, число ограниченных областей равно `217-48=169`.

    Ответ: `169`.
  • Задача №5. Сфера в параллелепипеде.
    Дан прямоугольный параллелепипед `ABCDA_1B_1C_1D_1` с ребрами `AD=4,AB=1, A A_1=1`. Внутри параллелепипеда расположена сфера, касающаяся трех граней с вершиной `A`, и касающаяся диагонали `B_1D.` Найдите радиус сферы.

    Решение:
    1. Решим задачу в общем случае, где `AD=x, AB=A A_1=y`.
    `R` - искомый радиус сферы.
    Введем систему координаты с началом в вершине `A`.
    Сфера касается каждой из трех плоскостей координат, поэтому `O(R,R,R)` - координаты ее центра.
    `D(x,0,0), B_1(0,y,y) => vec(OD)={x-R,-R,-R}, vec(OB_1)={-R,R-y,R-y}`.
    2. Площадь `DeltaB_1DO` найдем через векторное произведение:
    `i(x-R)*(-R)-i*(x-R)*(-R)=0`,
    `j(x-R)(y-R)-j*(-R)*(-R)=(-R(x+y)+xy)j`,
    `k*(-R)*(-R)-k*(x-R)(y-R)=(R(x+y)-xy)k`.
    `vec(t)={0,-R(x+y)+xy,R(x+y)-xy)}`.
    `S_(B_1DO)=1/2|vec(t)|=1/2sqrt((-R(x+y)+xy)^2+(R(x+y)-xy))^2)=`
    `=1/sqrt2|R(x+y)-xy|`.
    3. `h_(B_1OD)=R, B_1D=sqrt(x^2+2y^2) => S_(B_1DO)=1/2Rsqrt(x^2+2y^2)`.
    `1/2Rsqrt(x^2+2y^2)=1/sqrt2|R(x+y)-xy|`,
    `Rsqrt(x^2/2+y^2)=|R(x+y)-xy|`.
    a. `Rsqrt(x^2/2+y^2)=R(x+y)-xy`,
    `R=(xy)/(x+y-sqrt(x^2/2+y^2))`.
    Тогда `R >(xy)/(x+y-sqrt(y^2))=y` чего явно не может быть.
    b. `Rsqrt(x^2/2+y^2)=-R(x+y)+xy`,
    `R=(xy)/(x+y+sqrt(x^2/2+y^2))`.
    4. По условию, `x=4, y=1`.
    `R=4/(5+sqrt(8+1))=1/2`.

    Ответ: `0.5`.

    Задача №5. Сфера в параллелепипеде.
    Дан прямоугольный параллелепипед `ABCDA_1B_1C_1D_1` с ребрами `AD=12,AB=7, A A_1=7`. Внутри параллелепипеда расположена сфера, касающаяся трех граней с вершиной `A`, и касающаяся диагонали `B_1D.` Найдите радиус сферы.

    Решение:
    1. Решим задачу в общем случае, где `AD=x, AB=A A_1=y`.
    `R` - искомый радиус сферы.
    Введем систему координаты с началом в вершине `A`.
    Сфера касается каждой из трех плоскостей координат, поэтому `O(R,R,R)` - координаты ее центра.
    `D(x,0,0), B_1(0,y,y) => vec(OD)={x-R,-R,-R}, vec(OB_1)={-R,R-y,R-y}`.
    2. Площадь `DeltaB_1DO` найдем через векторное произведение:
    `i(x-R)*(-R)-i*(x-R)*(-R)=0`,
    `j(x-R)(y-R)-j*(-R)*(-R)=(-R(x+y)+xy)j`,
    `k*(-R)*(-R)-k*(x-R)(y-R)=(R(x+y)-xy)k`.
    `vec(t)={0,-R(x+y)+xy,R(x+y)-xy)}`.
    `S_(B_1DO)=1/2|vec(t)|=1/2sqrt((-R(x+y)+xy)^2+(R(x+y)-xy))^2)=`
    `=1/sqrt2|R(x+y)-xy|`.
    3. `h_(B_1OD)=R, B_1D=sqrt(x^2+2y^2) => S_(B_1DO)=1/2Rsqrt(x^2+2y^2)`.
    `1/2Rsqrt(x^2+2y^2)=1/sqrt2|R(x+y)-xy|`,
    `Rsqrt(x^2/2+y^2)=|R(x+y)-xy|`.
    a. `Rsqrt(x^2/2+y^2)=R(x+y)-xy`,
    `R=(xy)/(x+y-sqrt(x^2/2+y^2))`.
    Тогда `R >(xy)/(x+y-sqrt(y^2))=y` чего явно не может быть.
    b. `Rsqrt(x^2/2+y^2)=-R(x+y)+xy`,
    `R=(xy)/(x+y+sqrt(x^2/2+y^2))`.
    4. По условию, `x=12, y=7`.
    `R=(12*7)/(12+7+sqrt(72+49))=84/30=14/5=2.8`.

    Ответ: `2.8`.

    Задача №5. Сфера в параллелепипеде.
    Дан прямоугольный параллелепипед `ABCDA_1B_1C_1D_1` с ребрами `AD=6,AB=3.5, A A_1=3.5`. Внутри параллелепипеда расположена сфера, касающаяся трех граней с вершиной `A`, и касающаяся диагонали `B_1D.` Найдите радиус сферы.

    Решение:
    1. Решим задачу в общем случае, где `AD=x, AB=A A_1=y`.
    `R` - искомый радиус сферы.
    Введем систему координаты с началом в вершине `A`.
    Сфера касается каждой из трех плоскостей координат, поэтому `O(R,R,R)` - координаты ее центра.
    `D(x,0,0), B_1(0,y,y) => vec(OD)={x-R,-R,-R}, vec(OB_1)={-R,R-y,R-y}`.
    2. Площадь `DeltaB_1DO` найдем через векторное произведение:
    `i(x-R)*(-R)-i*(x-R)*(-R)=0`,
    `j(x-R)(y-R)-j*(-R)*(-R)=(-R(x+y)+xy)j`,
    `k*(-R)*(-R)-k*(x-R)(y-R)=(R(x+y)-xy)k`.
    `vec(t)={0,-R(x+y)+xy,R(x+y)-xy)}`.
    `S_(B_1DO)=1/2|vec(t)|=1/2sqrt((-R(x+y)+xy)^2+(R(x+y)-xy))^2)=`
    `=1/sqrt2|R(x+y)-xy|`.
    3. `h_(B_1OD)=R, B_1D=sqrt(x^2+2y^2) => S_(B_1DO)=1/2Rsqrt(x^2+2y^2)`.
    `1/2Rsqrt(x^2+2y^2)=1/sqrt2|R(x+y)-xy|`,
    `Rsqrt(x^2/2+y^2)=|R(x+y)-xy|`.
    a. `Rsqrt(x^2/2+y^2)=R(x+y)-xy`,
    `R=(xy)/(x+y-sqrt(x^2/2+y^2))`.
    Тогда `R >(xy)/(x+y-sqrt(y^2))=y` чего явно не может быть.
    b. `Rsqrt(x^2/2+y^2)=-R(x+y)+xy`,
    `R=(xy)/(x+y+sqrt(x^2/2+y^2))`.
    4. По условию, `x=6, y=3.5`.
    `R=21/(9.5+sqrt(18+12.25))=21/(9.5+5.5)=21/15=7/5=1.4`.

    Ответ: `1.4`.

    Задача №5. Сфера в параллелепипеде.
    Дан прямоугольный параллелепипед `ABCDA_1B_1C_1D_1` с ребрами `AD=12,AB=3, A A_1=3`. Внутри параллелепипеда расположена сфера, касающаяся трех граней с вершиной `A`, и касающаяся диагонали `B_1D.` Найдите радиус сферы.

    Решение:
    1. Решим задачу в общем случае, где `AD=x, AB=A A_1=y`.
    `R` - искомый радиус сферы.
    Введем систему координаты с началом в вершине `A`.
    Сфера касается каждой из трех плоскостей координат, поэтому `O(R,R,R)` - координаты ее центра.
    `D(x,0,0), B_1(0,y,y) => vec(OD)={x-R,-R,-R}, vec(OB_1)={-R,R-y,R-y}`.
    2. Площадь `DeltaB_1DO` найдем через векторное произведение:
    `i(x-R)*(-R)-i*(x-R)*(-R)=0`,
    `j(x-R)(y-R)-j*(-R)*(-R)=(-R(x+y)+xy)j`,
    `k*(-R)*(-R)-k*(x-R)(y-R)=(R(x+y)-xy)k`.
    `vec(t)={0,-R(x+y)+xy,R(x+y)-xy)}`.
    `S_(B_1DO)=1/2|vec(t)|=1/2sqrt((-R(x+y)+xy)^2+(R(x+y)-xy))^2)=`
    `=1/sqrt2|R(x+y)-xy|`.
    3. `h_(B_1OD)=R, B_1D=sqrt(x^2+2y^2) => S_(B_1DO)=1/2Rsqrt(x^2+2y^2)`.
    `1/2Rsqrt(x^2+2y^2)=1/sqrt2|R(x+y)-xy|`,
    `Rsqrt(x^2/2+y^2)=|R(x+y)-xy|`.
    a. `Rsqrt(x^2/2+y^2)=R(x+y)-xy`,
    `R=(xy)/(x+y-sqrt(x^2/2+y^2))`.
    Тогда `R >(xy)/(x+y-sqrt(y^2))=y` чего явно не может быть.
    b. `Rsqrt(x^2/2+y^2)=-R(x+y)+xy`,
    `R=(xy)/(x+y+sqrt(x^2/2+y^2))`.
    4. По условию, `x=12, y=3`.
    `R=36/(15+sqrt(72+9))=3/2`.

    Ответ: `1.5`.
  • Лишние слагаемые
    В сумме `31+32+33+...+100` нужно вычеркнуть несколько слагаемых так, чтобы получившаяся сумма стала равна `4489`. Сколькими способами это можно сделать?

    Решение:
    1. `31+32+33+...+100=(31+100)/2*70=4585`.
    Воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии.
    Разница `Delta=4585-4489=96`.
    2. Вычеркивается `n` слагаемых `a_1<a_2<...<a_n in [31;100]`.
    `a_i>=31 => 96=a_1+...+a_n>na_1>=31n`,
    `31n<96 => n<=3`.
    a. `n=1 => a_1=96` - `1` способ.
    b. `n=2 => a_1+a+2=96`:
    `2a_1<96 => a_1<48 => a_1<=47`.
    `a_1 in [31;47]` - `17` способов.
    c. `n=3 => a_1+a_2+a_3=96`.
    `a_1+a_2+a_3>=31+32+33=96` - `1` способ.
    Всего получили `1+17+1=19` способов.

    Ответ: `19`.

    Лишние слагаемые
    В сумме `32+32+33+...+100` нужно вычеркнуть несколько слагаемых так, чтобы получившаяся сумма стала равна `4455`. Сколькими способами это можно сделать?

    Решение:
    1. `32+33+34+...+100=(32+100)/2*69=4554`.
    Воспользовались формулой суммы арифметической прогрессии.
    Разница `Delta=4554-4455=99`.
    2. Вычеркивается `n` слагаемых `a_1<a_2<...<a_n in [32;100]`.
    `a_i>=32 => 99=a_1+...+a_n>na_1>=32n`,
    `32n<99 => n<=3`.
    a. `n=1 => a_1=99` - `1` способ.
    b. `n=2 => a_1+a+2=99`:
    `2a_1<99 => a_1<=49`.
    `a_1 in [32;49]` - `18` способов.
    c. `n=3 => a_1+a_2+a_3=99`.
    `a_1+a_2+a_3>=32+33+34=99` - `1` способ.
    Всего получили `1+18+1=20` способов.

    Ответ: `20`.
  • Треугольник в параболе
    В параболу `y=0,5x^2` вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси `Ox`. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу?

    Решение:
    Пусть абсцисса правой точки гипотенузы равны `x/2, x>0`. Тогда абсцисса левой точки равна `-x/2`, в силу симметрии параболы относительно оси `Oy` и параллельности гипотенузы оси `Ox`.
    Координаты концов гипотенузы: `(-x/2;x^2/8), (x/2;x^2/8)`.
    `x` - длина гипотенузы.
    Пусть `(t;t^2/2)` - координаты третьей точки, при этом `|t|<x/2`.
    Длины катетов:
    `a=sqrt((x/2+t)^2+(x^2/8-t^2/2)^2), b=sqrt((x/2-t)^2+(x^2/8-t^2/2)^2)`.
    Искомая высота `h=x^2/8-t^2/2` (разница ординат вершины и гипотенузы, поскольку высота параллельна оси `Oy`).
    Теорема Пифагора:
    `a^2+b^2=x^2`,
    `(x/2+t)^2+(x^2/8-t^2/2)^2+(x/2-t)^2+(x^2/8-t^2/2)^2=x^2`,
    `x^2/2+2t^2+2(x^2/8-t^2/2)^2=x^2`,
    `(x^2/8-t^2/2)^2-x^2/4+t^2=0`,
    `(x^2/8-t^2/2)(x^2/8-t^2/2-2)=0`.
    Первый сомножитель всегда положительный, поскольку `x/2>|t|`.
    Следовательно, `x^2/8-t^2/2=2 => h=2`.

    Ответ: `2`.

    Треугольник в параболе
    В параболу `y=4x^2` вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси `Ox`. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу?

    Решение:
    Пусть абсцисса правой точки гипотенузы равны `x/2, x>0`. Тогда абсцисса левой точки равна `-x/2`, в силу симметрии параболы относительно оси `Oy` и параллельности гипотенузы оси `Ox`.
    Координаты концов гипотенузы: `(-x/2;x^2), (x/2;x^2)`.
    `x` - длина гипотенузы.
    Пусть `(t;4t^2)` - координаты третьей точки, при этом `|t|<x/2`.
    Длины катетов:
    `a=sqrt((x/2+t)^2+(x^2-4t^2/2)^2), b=sqrt((x/2-t)^2+(x^2-4t^2/2)^2)`.
    Искомая высота `h=x^2-4t^2` (разница ординат вершины и гипотенузы, поскольку высота параллельна оси `Oy`).
    Теорема Пифагора:
    `a^2+b^2=x^2`,
    `(x/2+t)^2+(x^2-4t^2/2)^2+(x/2-t)^2+(x^2-4t^2/2)^2=x^2`,
    `x^2/2+2t^2+2(x^2-4t^2/2)^2=x^2`,
    `(x^2-4t^2/2)^2-x^2/4+t^2=0`,
    `(x^2-4t^2/2)(x^2-4t^2/2-1/4)=0`.
    Первый сомножитель всегда положительный, поскольку `x/2>|t|`.
    Следовательно, `x^2-4t^2/2=1/4 => h=0.25`.

    Ответ: `0.25`.
  • Число `N`
    Сколько существует натуральных чисел `N` со следующим свойством: если к числу `N` справа приписать число `6125`, то полученное число будет делиться на исходное число `N`?

    Решение:
    По условию, `bar(N6125) vdots N`.
    `bar(N6125)=10^4*N+6125 vdots N => 6125 vdots N`.
    Осталось найти число различных натуральных делителей числа `6125`.
    `6125=5^3*7^2 => phi(6125)=(3+1)(2+1)=12`.
    Воспользовались формулой числа делителей, но можно легко все делители выписать.

    Ответ:
    `12`.

    Число `N`
    Сколько существует натуральных чисел `N` со следующим свойством: если к числу `N` справа приписать число `3375`, то полученное число будет делиться на исходное число `N`?

    Решение:
    По условию, `bar(N3375) vdots N`.
    `bar(N3375)=10^4*N+3375 vdots N => 3375 vdots N`.
    Осталось найти число различных натуральных делителей числа `3375`.
    `3375=3^3*5^3 => phi(3375)=(3+1)(3+1)=16`.
    Воспользовались формулой числа делителей, но можно легко все делители выписать.

    Ответ: `16`.
  • Параметр
    При каком значении параметра `c` числа найдется такой угол `alpha`, что числа `sinalpha` и `cosalpha` являются корнями квадратного уравнения `5x^2-3x+c=0`?

    Решение:
    Т. Виета: `sinalpha+cosalpha=3/5, sinalpha*cosalpha=c/5`.
    `1+sin2alpha=9/25 => sin2alpha=-16/25`.
    Из второго равенства `sin2alpha=c/10`,
    `c/10=-16/25 => c=-160/25=-6.4`.

    Ответ: `-6.4`.
  • Среднее арифметическое
    Рассматриваются всевозможные пятизначные числа, в которых цифры `9, 7, 3, 1, 0` используются по одному разу. Найдите среднее арифметическое этих чисел. Ответ округлите до целого.

    Решение:
    Рассмотрим все числа, в том числе с первой цифрой `0`. Всего чисел `5!`.
    Тогда в каждом разряде все цифры появляются одинаковое количество раз.
    Среднее значение разряда равно `(9+7+3+1+0)/5=4`.
    Среднее арифметическое всех таких чисел равно `44444`.
    Сумма всех чисел равна `5!*44444`.
    Рассмотрим всех четырехзначные числа с цифрами `9,7,3,1`.
    Аналогично, сумма всех таких чисел равна `4!*5555`.
    Разность сумм `Delta=5!*44444-4!*5555`.
    Всего искомых чисел `4*4!`.
    Среднее арифметическое:
    `(5!*44444-4!*5555)/(4*4!)=(5*44444)/4-5555/4=55555-1388.75=54166.25`.
    Округляем до целого - `54166`.

    Ответ: `54166`.
  • Функциональное уравнение
    Про функцию `f(x)` и некоторое положительное число `c` известно, что `f(x+c)=(sqrt3f(x)+1)/(sqrt3-f(x))` при всех значениях `x`. При каком наименьшем целом значении `k` из интервала `(31;60)` можно утверждать, что `f(x+kc)=f(x)` при всех `x`?

    Решение:
    "Угадаем" функцию `f(x)` используя известное тригонометрическое тождество.
    `tan(alpha+beta)=(tanalpha+tanbeta)/(1-tanalpha*tanbeta)`.
    `tan(x+pi/6)=(tanx+1/sqrt3)/(1-1/sqrt3tanx)=(sqrt3tanx+1)/(sqrt3-tanx)`.
    `f(x)=tanx, c=pi/6`.
    По условию, `f(x+kc)=f(x)`.
    `tan(x+(pik)/6)=tanx`.
    Следовательно, `(pik)/6` кратен наименьшему периоду `pi` функции `y=tanx`.
    `k vdots 6, k in (31;60) => k_min=36`.

    Ответ: `36`.

    Функциональное уравнение
    Про функцию `f(x)` и некоторое положительное число `c` известно, что `f(x+c)=(sqrt3f(x)+1)/(sqrt3-f(x))` при всех значениях `x`. При каком наименьшем целом значении `k` из интервала `(25;50)` можно утверждать, что `f(x+kc)=f(x)` при всех `x`?

    Решение:
    "Угадаем" функцию `f(x)` используя известное тригонометрическое тождество.
    `tan(alpha+beta)=(tanalpha+tanbeta)/(1-tanalpha*tanbeta)`.
    `tan(x+pi/6)=(tanx+1/sqrt3)/(1-1/sqrt3tanx)=(sqrt3tanx+1)/(sqrt3-tanx)`.
    `f(x)=tanx, c=pi/6`.
    По условию, `f(x+kc)=f(x)`.
    `tan(x+(pik)/6)=tanx`.
    Следовательно, `(pik)/6` кратен наименьшему периоду `pi` функции `y=tanx`.
    `k vdots 6, k in (25;50) => k_min=30`.

    Ответ: `30`.
  • Равнобокая трапеция
    Равнобокая трапеция `ABCD` вписана в окружность `Omega`. Пусть `M` - середина боковой стороны `AB`, `K` - точка на окружности такая, что прямая `MK` параллельна основаниям трапеции `AD` и `BC`. Найдите радиус окружности `Omega`, если `BC = 5, AD = 21, MK = 3`. В ответ запишите квадрат радиуса.

    Решение:
    image
    1.
    По теореме о пересекающихся хордах:
    `AM*MB=KM*ML`.
    `KM=NL=3, MN=(BC+AD)/2=13 => ML=MN+NL=16`.
    `AM=MB => AM^2=3*16=48`.
    `AM=4sqrt3 => AB=8sqrt3`.
    2. Из `DeltaABE`:
    `BE^2=AB^2-AE^2=192-64=128 => BE=8sqrt2`.
    `sinalpha=(BE)/(AB)=sqrt(2/3)`.
    `DeltaBED`: `a^2=BE^2+ED^2=128+169=297 => a=sqrt297`.
    3. `R=a/(2sinalpha)=(sqrt297)/(sqrt(8/3))`,
    `R^2=297*3/8=111.375`.

    Ответ: `111.375`.

    Равнобокая трапеция
    Равнобокая трапеция `ABCD` вписана в окружность `Omega`. Пусть `M` - середина боковой стороны `AB`, `K` - точка на окружности такая, что прямая `MK` параллельна основаниям трапеции `AD` и `BC`. Найдите радиус окружности `Omega`, если `BC = 13, AD = 17, MK = 4`. В ответ запишите квадрат радиуса.

    Решение:
    image
    1.
    По теореме о пересекающихся хордах:
    `AM*MB=KM*ML`.
    `KM=NL=4, MN=(BC+AD)/2=15 => ML=MN+NL=19`.
    `AM=MB => AM^2=4*19=76`.
    `AM=2sqrt19 => AB=4sqrt19`.
    2. Из `DeltaABE`:
    `BE^2=AB^2-AE^2=304-4=300 => BE=10sqrt3`.
    `sinalpha=(BE)/(AB)=5/2sqrt(3/19)`.
    `DeltaBED`: `a^2=BE^2+ED^2=300+225=525 => a=5sqrt21`.
    3. `R=a/(2sinalpha)=(sqrt21)/(sqrt(3/19))`,
    `R^2=7*19=133`.

    Ответ: `133`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике