Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Формула Единства / Третье тысячелетие / Задания и решения отборочного этапа
  • Внимание: задания и решения олимпиады Формула Единства 2016-2017 в другой теме (ссылка).


    Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Международная математическая олимпиада "Формула Единства / Третье тысячелетие" 2015-2016.
    Олимпиада вошла в утвержденный перечень текущего 2015-2016 учебного года, присвоен третий уровень.
    Отборочный этап уже стартовал и завершается 12 ноября. Проводится в заочной форме. Регистрация участников производится на сайте олимпиады СПбГУ.
    Заключительный этап будет проведен в феврале, в очной форме, на нескольких региональных площадках.
    В топике публикуются задания и решения отборочного этапа 2015-2016.
  • Задача №1. Формула Единства / Третье тысячелетие.
    Багз Банни и Кролик Роджер поспорили, кто из них быстрее прыгает. Чтобы выяснить это, они решили провести соревнование: каждый должен прыжками преодолеть `50`-метровую дистанцию, затем развернуться и вернуться к месту старта. Известно, что Багз Банни прыгает на `50` см, а Роджер на `60` см, но за то время, за которое Багз делает `6` прыжков, Роджер делает `5`. Кто же из кроликов финиширует первым?

    Решение:
    За условную единицу времени Багз Банни пройдет `3` метра (`6` прыжков по `0.5` метра), Кролик Роджер пройдет `3` метра (`5` прыжков по `0.6` метра).
    Через каждые три метра оба персонажа будут оказываться в одной точке, при условии, что начали прыгать вместе. Следовательно, через `48` метров они оказались в одной точке, назовем ее точкой `A`. Прошло `16` условных единиц времени.
    Из условия это явно не следует, но можем считать, что длины прыжков фиксированы. Тогда, оставшиеся два метра Багз Банни пройдет за `4` прыжка (`4*0.5=2`), потратив на это `2/3` условных единицы времени, а Роджер пройдет тоже за `4` прыжка (`3*0.6<2<4*0.6`), но потратит на это `4/5` условных единицы времени.
    Через `1` единицу времени после точки `A` Багз Банни окажется в `1` метра от поворота до `A`, а Роджер в `1.8` метрах до `A`. Через еще `16` единиц времени, Багз Банни будет в `1` метре до финиша, а Роджер в `1.8` метрах до финиша. Еще через `1/3` единицы времени Багз Банни финиширует, а Роджер в этот момент окажется в воздухе (во время прыжка), ровно за `0.8` метра до финиша.
    Поэтому Багз Банни финиширует первым.

    Задача простая. Суть в том, что в силу теоретико-числовых моментов, Роджеру надо пройти на `0.8` метров больше, чтобы преодолеть ту же дистанцию.

    Ответ: Багз Банни.
  • Задача №2.
    При каких `n` можно разрезать квадрат на `n` подобных прямоугольников, не все из которых равны?

    Решение:
    1. `n=2`, `a` - длина стороны квадрата.
    Разрезание на два равных прямоугольника не подходит по условию задачи.
    Положим, что разрезали на два неравных прямоугольника, тогда `(a,b)` - стороны меньшего прямоугольника, `(a,a-b)` - стороны большего прямоугольника.
    `b<a/2 => b<a-b => b/(a-b)<1=a/a`.
    Подобие может быть только по другим сторонам:
    `a/(a-b)=b/a => a^2=ab-b^2 => a^2-ab+b^2=0` - решений нет, поскольку левая часть всегда положительна.
    Итак, при `n=2` такое разрезание невозможно.
    2. `n=3`.
    Положим, что такое разрезание возможно.
    Пусть `k` - коэффициент отношения сторон всех прямоугольников. Он одинаков для всех в силу их подобия.
    За `1` можем взять сторону одного из прямоугольников, тогда `k` - длина другой стороны.
    По длине `k` приложим второй прямоугольник, другая сторона которого будет равна `k^2`.
    К обоим прямоугольникам по общей длине `1+k^2` приложим третий, другая сторона которого будет равна `k(1+k^2)`.
    В совокупности они образуют прямоугольник со сторонами `(1+k^2, k+k(1+k^2))`.
    Условие для превращение в квадрат:
    `1+k^2=k+k+k^3`,
    `k^3-k^2+2k-1=0`.
    Пусть `f(k)=k^3-k^2+2k-1`:
    `f(1)=1>0`.
    `f(1/2)=1/8-1/4+1-1=-1/8<0`.
    Следовательно, есть действительный корень `k in (1/2;1)`.
    При таком `k` получаем требуемое разбиение на `3` подобных прямоугольника, два из которых точно не равны, поскольку `k!=1`.
    3. `n=4`.
    `k` - коэффициент отношения сторон.
    Два первых прямоугольника `(1,k)` примыкают друг к другу, образуя прямоугольник `(1,2k)`.
    По длине `2k` приложим третий прямоугольник, вторая сторона которого будет равна `2k^2`.
    По общей длине `1+2k^2` приложим четвертый прямоугольник, вторая сторона которого будет равна `k(1+2k^2)`.
    В совокупности они образуют прямоугольник со сторонами `(1+2k^2, 2k+k(1+2k^2))`.
    `1+2k^2=2k+k+2k^3`,
    `2k^3-2k^2+3k-1=0`,
    `f(1/3)=2/27-2/9+1-1<0`,
    `f(1/2)=2/8-2/4+3/2-1=-1/4+1/2>0`.
    Следовательно, есть действительный корень `k in (1/3;1/2)`.
    Первые два прямоугольника равны между собой, но не равным остальным двум при таком `k`.
    4. `n>=5`.
    a. Пусть `n=2m, m>=3`.
    Квадрат разобьем на `m` равных прямоугольников, проведя `m-1` вертикальных линий.
    Проведем одну горизонтальную линию в верхней части квадрата, так чтобы в верхней части получить `m` лежачих прямоугольников, в остальной части квадрата - `m` стоячих прямоугольников.
    `(1,k)` - стороны маленьких прямоугольников, `(k,k^2)` - стороны больших.
    В сопокупности получим прямоугольник со сторонами `(mk,1+k^2)`.
    `1+k^2=mk`,
    `k^2-mk+1=0`.
    При любом `m>=3` всегда есть корень `k>1`, а значит разбили квадрат на две группы подобных, но неравных прямоугольников.
    b. `n=2m-1, m>=3`.
    Действуем аналогично, только маленьких прямоугольников будет `m-1`, а больших - `m`.
    `(1,k)` - стороны маленьких, `((m-1)/mk,(m-1)/mk^2)` - стороны больших прямоугольников.
    `1+(m-1)/mk^2=(m-1)k`,
    `k^2-mk+m/(m-1)=0`.
    При любом `m>=3` всегда есть корень `k>1`.

    Ответ: при любом `n>=3`.
  • Задача №3.
    Существуют ли такие натуральные числа `a` и `b`, что
    `НОК(a,b)=НОК(a+2015,b+2016)`.

    Решение:
    1. Существуют, но угадать не получится, поэтому будем конструировать.
    Введем обозначения `НОК(a,b)=[a,b], НОД(a,b)=(a,b)`.
    Лемма: `(a,b)*[a,b]=ab`.
    Доказательство следует из определений НОК и НОД, но лемму можно использовать и без доказательства.
    Лемма позволяет свести наше уравнение к типовому уравнению в целых числах.
    2. Положим, `(a,b)=d_1, (a+2015,b+2016)=d_2`, где `d_(1,2) in NN`.
    Тогда `(ab)/(d_1)=((a+2015)(b+2016))/(d_2)`,
    `d_2*ab=d_1*(a+2015)(b+2016)`,
    `(d_1-d_2)ab+2016d_1a+2015d_1b+2015*2015d_1=0`.
    Очевидно, что `d_1<d_2`.
    Поделим уравнение на `(d_2-d_1)`:
    `ab-(2016d_1)/(d_2-d_1)a-(2015d_1)/(d_2-d_1)-(2015*2016d_1)/(d_2-d_1)=0`,
    `(a-(2015d_1)/(d_2-d_1))(b-(2016d_1)/(d_2-d_1))=(2015*2016d_1^2)/(d_2-d_1)+(2015*2016d_1)/(d_2-d_1)`.
    Умножим обе части равенства на такое минимальное число, при котором все дроби превращаются в целые числа, и таким образом получим типовое уравнение в целых числах.
    3. Построим решение `(a,b)`.
    Пусть `d_2-d_1=1`:
    `(a-2015d_1)(b-2016d_1)=2015*2016d_1(d_1+1)`.
    Пусть `d_1=1`:
    `(a-2015)(b-2016)=2015*2016*2`.
    Например, есть серия решений `(a,b)=(2015+n,2016+k)`, где `nk=2*2015*2016*2=2^6*3^2*5*7*13*31`.
    Осталось подобрать такие `n,k` при которых `d_1=1, d_2=2`.
    Например, `(n,k)=(2^3*3^2*7,2^3*5*13*31) => (a,b)=(2519,18136)`.
    Новые решения можно получить подставляя другие значения `d_(1,2)`.

    Ответ: да, например, `(a,b)=(2519,18136)`.
  • Задача №4.
    В треугольнике `ABC` угол `B` равен `30^0`, а угол `C` равен `105^0`. Точка `D` - середина стороны `BC`. Найдите угол `BAD`.

    Решение:

    Пусть `BD=DC=a => BC=2a`.
    По условию, `/_B=30^0, /_C=105^0, /_A=45^0`.
    По теореме синусов:
    `AB=BC*(sin105^0)/(sin45^0)=a(sqrt3+1)`,
    `AC=BC*(sin30^0)/(sin45^0)=asqrt2`.
    Формула медианы:
    `AD=1/2sqrt(2AB^2+2AC^2-BC^2)=`
    `=1/2sqrt(2AB^2+4a^2-4a^2)=(AB)/sqrt2`.
    По теореме косинусов:
    `cos/_BAD=(AB^2+AD^2-BD^2)/(2AB*AD)=`
    `=(AB^2+1/2AB^2-BD^2)/(sqrt2*AB^2)=(3/2AB^2-BD^2)/(sqrt2*AB^2)=`
    `=3/(2sqrt2)-1/sqrt2*((BD)/(AB))^2=3/(2sqrt2)-1/sqrt2*(1/(sqrt3+1))^2=`
    `=3/(2sqrt2)-((sqrt3-1)^2)/(4sqrt2)=(6-(sqrt3-1)^2)/(4sqrt2)=`
    `=(2+2sqrt3)/(4sqrt2)=(sqrt3+1)/(2sqrt2)=1/sqrt2*(sqrt3)/2+1/2*1/sqrt2=`
    `=sin45^0*cos30^0+sin30^0*cos45^0=sin75^0=cos15^0 => /_BAD=15^0`.

    Ответ: `/_BAD=15^0`.
    Примечание: приведено вычислительное решение, существует и простое геометрическое решение.
  • Задача №5.
    В каждой целочисленной точке плоскости растет дерево диаметром `10^(-6)`. Дровосек срубил дерево, стоящее в точке `(0,0)`, и встал в центр пенька. Ограничена ли часть плоскости, которую он сумеет увидеть? Считайте каждое дерево бесконечной цилиндрической колонной, ось симметрии которой проходит через целочисленную точку плоскости.
  • Задача №6.
    Приведите пример четырех положительных чисел, которые не могут служить радиусами четырех попарно касающихся сфер.

    Решение:
    Например, подходят числа `10,10,10` и `1`.
    Действительно, с такими радиусами возможен только один случай касания сфер:
    три сферы радиуса `10` попарно касаются друг друга внешним образом и внешним образом касаются сферы с радиусом `1`. Случаи внутреннего касания исключены.
    Предположим, что такое касание сфер с указанными радиусами возможно.
    Пусть `A,B,C` - центры шаров радиуса `10`, `D` - центр шара радиуса `1`.
    Линия центров двух касающихся шаров проходит через их точку касания.
    Следовательно, ребра пирамиды `ABCD` равны `DA=DB=DC=10+1=11, AB=BC=AC=2*10=20`.
    Пусть `P` - центр равностороннего треугольника `ABC => PA=(2sqrt3)/3*10`.
    Чтобы шар радиуса `1` касался трех шаров радиуса `10`, должно выполняться условие `DA>PA`.
    `11>(2sqrt3)/3*10 => 33>20sqrt3 => 1089>1200` - противоречие.

    Ответ: `10,10,10,1`.
  • Задача №7.
    Хорошо известно, что `3^2+4^2=5^2`. Менее известно, что `10^2+11^2+12^2=13^2+14^2`. А для любого ли натурального `k` существует `2k+1` последовательных натуральных чисел таких, что сумма квадратов первых `k+1` из них равна сумме квадратов последних `k`?

    Решение:
    Пусть утверждение верно для некоторых `k`, найдем все такие `k`.
    `{n,n+1,...,n+k,...,n+2k} - 2k+1` последовательных чисел.
    Тогда `n^2+(n+1)^2+...+(n+k)^2=`
    `(n+k+1)^2+(n+k+2)^2+...+(n+2k)^2`.
    Раскроем все скобки и приведем подобные в обоих частях равенства:
    `(k+1)n^2+2n(1+2+...+k)+(1^2+2^2+...+k^2)=`
    `=kn^2+2n(k+1+k+2+...+2k)+((k+1)^2+...+(2k)^2)`.
    Найдем суммы:
    `1+2+...+k=(k(k+1))/2`,
    `k+1+k+2+...+2k=(k(k+1+2k))/2=(k(3k+1))/2`.
    Их разность равна `k^2`.
    Найдем суммы квадратов, используя известную формулу:
    `1^2+2^2+...+k^2=(k(k+1)(2k+1))/6`.
    Тогда, `(k+1)^2+...+(2k)^2=`
    `=1^2+2^2+...+(2k)^2-(1^2+2^2+...+k^2)=`
    `=(2k(2k+1)(4k+1))/6-(k(k+1)(2k+1))/6`.
    Таким образом, получаем квадратное уравнение относительно `n`:
    `n^2-2nk^2+(k(k+1)(2k+1))/6=(2k(2k+1)(4k+1))/6-(k(k+1)(2k+1))/6`,
    `n^2-2nk^2=(2k(2k+1)(4k+1))/6-(2k(k+1)(2k+1))/6`,
    `n^2-2nk^2=(2k(2k+1)(4k+1-k-1))/6`,
    `n^2-2nk^2=k^2(2k+1)`.
    Дополним левую часть до полного квадрата:
    `(n-k^2)^2=k^4+2k^3+k^2`,
    `(n-k^2)=(k^2+k)^2`,
    `n=2k^2+k` или `n=-k`, второй корень не подходит.

    Итак, для любого натурального `k` нашли удовлетворяющий условию задачи набор из `2k+1` натуральных последовательных чисел, начинающихся с `2k^2+k`.

    Ответ: да, для любого `k in NN`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике