Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Открытая олимпиада школьников по математике 2015-2016 (ИТМО) / Задания и решения отборочного этапа


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Открытая олимпиада школьников по математике 2015-2016 вошла в перечень олимпиад этого года.
    Уровень - 2.

    Отборочный этап


    Отборочный этап проводится в дистанционной форме с 20 ноября по 10 декабря.
    Предлагается 10 заданий различной сложности и разного веса (от 1 до 5 баллов). Общая сумма баллов - 30.
    Предполгаемый проходной - 15+.
    Ниже выложены решения одного из вариантов + алгоритмы общих решений, по которым легко получить ответ своего варианта задания.
    Длительность отборочного этапа - 3 часа, время начала выполнения работы определяет сам абитуриент.
    Подробные решения не требуются, достаточно ответов, но ответы должны быть введены в соответствии с инструкциями (по каждому номеру есть своя инструкция по вводу ответа).
    Заметим, что сложность задач не совсем соответствует баллам за задачи. Например, 8-9 задачи простые, хотя стоят по 4 балла каждая.
    Начинайте с самых простых задач.

    Открытая олимпиада школьников по математике 2015-2016. Заключительный этап.


    Заключительный этап в очной форме будет проведен 20 марта (предварительная дата).
    Города проведения очного тура:
    Москва, Санкт-Петербург, Екатеринбург, Иркутск, Красноярск, Челябинск, Саратов, Саранск, Белогород.
    Тема будет дополняться при поступлении новой информации.
  • Задача №1 (1 балл).
    Дана функция `f(x)=(sqrt3x-1)/(x+sqrt3)`. Найдите `f(f(...(1)))` (`2013` раз).

    Решение:
    `f(1)=(sqrt3-1)/(1+sqrt3)=(sqrt3-1)^2/2=2-sqrt3`.
    `f(f(1))=(2sqrt3-3-1)/2=sqrt3-2`.
    `f(f(f(1)))=(3-2sqrt3-1)/(sqrt3-2+sqrt3)=(1-sqrt3)/(sqrt3-1)=-1`.
    `f(f(f(f(1))))=(-sqrt3-1)/(-1+sqrt3)=-(sqrt3+1)^2/2=-2-sqrt3`.
    `f(f(f(f(f(1)))))=(-2sqrt3-3-1)/(-2-sqrt3+sqrt3)=sqrt3+2`.
    `f(f(f(f(f(f(1))))))=(3+2sqrt3-1)/(sqrt3+2+sqrt3)=(sqrt3-1)/(sqrt3+1)=f(1)`.
    `f^6(1)=f(1) => f^(5n+1)(1)=f(1) => f^2011(1)=f(1)`,
    `f^2013(1)=f(f(f(1)))=-1`.

    Ответ: `-1`.

    Решение в общем случае:
    В других задачах другие функции `f(x)` и другие точки `t`.
    Надо брать последовательно значения `f(t), f(f(t)),...`, пока значения не начнут повторяться, получим цикл значений для `f^n(x)`.
  • Задача №2 (2 балла).
    На доске было написано число от нуля до двух включительно. Каждый из тридцати учеников класса подходил к доске, стирал написанное там на данный момент число `x` и писал вместо него `cos(pi/2x)`. При каком начальном значении числа итоговый результат будет минимальным? Если ответов несколько, укажите их в произвольном порядке через точку с запятой.

    Решение:
    `x=x_0 in [0;2] => pi/2x_0 in [0;pi] => x_1=cos(pi/2x_0) in [-1;1]`.
    `pi/2x_1 in [-pi/2;pi/2] => x_2=cos(pi/2x_1) in [0;1]`.
    `pi/2x_2 in [0;pi/2] => x_3=cos(pi/2x_2) in [0;1]`.
    Очевидно, что `x_n in [0;1]` при всех `n>=2`.
    Тогда, `min(x_30)=0`.
    `x_29=1, x_28=0,...,x_3=1,x_2=0, x_1=+-1, x=x_0=0;2`.

    Ответ: `0;2`.
  • Задача №3 (2 балла).
    Многочлен `P(x)` третьей степени, а также его первая, вторая и третья производные принимают при `x=-3` значение `1`. Найдите `P(0)`.

    Решение:
    `P(x)=ax^3+bx^2+cx+d`.
    `P(0)=d`.
    `P'''(x)=6a => 6a=1, a=1/6`.
    `P''(x)=6ax+2b`,
    `P''(-3)=-18a+2b=-3+2b=1`,
    `2b=4 => b=2`.
    `P'(x)=3ax^2+2bx+c`,
    `P'(-3)=27a-6b+c=9/2-12+c=1`,
    `c=17/2`.
    `P(-3)=1 => -27a+9b-3c+d=1`,
    `-9/2+18-51/2+d=1 => d=13`.

    Ответ: `13`.
  • Задача №4 (3 балла).
    В пространстве даны `36` различных векторов с натуральными координатами, начинающиеся в точке `(0;0;0)`. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех их координат?

    Решение:
    `(a,b,c)` - координаты наших векторов, где `a,b,c` - натуральные числа.
    Чтобы минимизировать сумму координат всех векторов, надо брать векторы с минимальной суммой координат, начиная с `3` (`1` вектор). Потом сумма равна `4` (`3` вектора), потом `5` (`6` векторов) и т.д., пока не выберем `36` векторов.
    Пусть `a+b+c=n, n>=3`.
    Легко доказать, что число натуральных решений этого уравнения равно `((n-2)(n-1))/2`.
    Если `n` пробегает все значения от `3` до `k`, то количество всех решений равно сумме
    `S=1+(2*3)/2+(3*4)/2+...+((k-2)(k-1))/2`. Это и есть количество векторов.
    По условию, `S=36`.
    `S=1+3+6+10+15+21+...`.
    Следовательно, `k=8`.
    Получили `1` вектор с суммой координат `3`, `3` вектора с суммой `4`, `6` векторов с суммой `5`, `10` векторов с суммой `6`, `15` векторов с суммой `7` и `1` вектор с суммой `8`.
    Общая сумма координат равна:
    `1*3+3*4+6*5+10*6+15*7+1*8=218`.

    Ответ: `218`.

    Решение (общий случай):
    `S` - количество векторов, `m` - минимальная сумма координат всех векторов.
    `S=20 => m=105`.
    `S=20+s, 1<=s<=15 => m=105+7s`.
    `S=35 => m=210`.
    `S=35+s, 1<=s<=21 => m=210+8s`.
    И так далее.
  • Задача №5 (3 балла).
    Даны равенства `log_ab + log_bc + log_ca = log_ba + log_cb + log_ac = -1,5`. Найдите `log_ab`.

    Если ответов несколько, укажите их в порядке возрастания через точку с запятой.

    Решение:
    Замена, `log_ab=x, log_bc=y`.
    Тогда, `log_ac=xy, log_ca=1/(xy), log_ba=1/x, log_cb=1/y`.
    `x+y+1/(xy)=1/x+1/y+xy`,
    `(xy(x+y)+1)/(xy)=(x+y+x^2y^2)/(xy)`,
    `xy(x+y)+1=x+y+x^2y^2`,
    `(xy)^2-1+(x+y)(1-xy)=0`,
    `(xy-1)(xy+1-x-y)=0`,
    `(xy-1)(x-1)(y-1)=0`.
    `log_ab=1` или `log_bc=1` или `log_ca=1`.
    Пусть `log_ab=1: 1+log_bc+log_cb=-1,5`.
    `log_bc+1/(log_bc)=-5/2 => log_bc=-2` или `-1/2`.
    Остальные случаи рассматриваем аналогично.
    Следовательно, `log_ab=-0,5;1;-2`.

    Ответ: `-0,5;1;-2`.

    Решение в общем случае:
    `log_ab + log_bc + log_ca = log_ba + log_cb + log_ac = t`.
    Обозначим `log_ab=x`.
    Тогда, `x=1` или является корнем уравнения `x+1/x=t-1`.
    `x^2-(t-1)x+1=0`,
    `x_(1,2)=(t-1+-sqrt(t^2-2t-3))/2`.
    В ответ записываем три числа `1,x_1,x_2`.
    Такие же ответы будут для любого другого логарифма (`log_ba, log_bc` и т.д.).
  • Задача №6 (3 балла).
    Даны четыре сферы радиуса `sqrt6/2-1`, попарно касающиеся друг друга внешним образом. Найдите радиус сферы, которой они все касаются внутренним образом.

    Решение в общем случае:
    Воспользуемся теоремой Декарта (Гугл в помощь).
    Пусть `r=1/k` - радиусы `4` сфер, `R=-1/x` - радиус искомой сферы.
    Тогда выполняется соотношение:
    `(x+4k)^2=3(x^2+4k^2)`,
    `2x^2-8xk-4k^2=0`,
    `x^2-4xk-2k^2=0`,
    `(x-2k)^2=6k^2`,
    `x=k(2-sqrt6)`.
    `-1/x=1/k*1/(sqrt6-2)=r/(sqrt6-2)`.
    `R=r/(sqrt6-2)`.
    По условию, `r=1/2(sqrt6-2) => R=1/2=0,5`.

    Ответ: `0,5`.
  • Задача №7 (3 балла).
    При каких значениях параметров `a` и `b`
    (`a` не равно `b`) множество значений функции `a(sqrt((a-x)(x-b))-b)`
    совпадает с областью её определения? В ответе укажите все возможные
    значения числа `a` в произвольном порядке через точку с запятой.

    Решение:
    `f(x)=a(sqrt((a-x)(x-b))-b)`.
    `Df=[a;b]` или `[b;a]`.
    График
    функции `sqrt((a-x)(x-b))` представляет собой горб над осью `X`, начало
    и конец горба в точках `a,b`, максимум в вершине `t` параболы
    `y=(a-x)(x-b)`.
    В зависимости от знака `a`, `Ef=[-ab;f(t)]` или `[f(t);-ab]`.
    При `a=0, Ef=0` - не подходит.
    `y=-x^2+x(a+b)-ab => t=(a+b)/2`.
    `{(a=-ab),(b=f(t)):}`,
    `a(|(a-b)/2|-b)=b`,
    `a!=0 => b=-1 => a|(a+1)/2|+a=-1 => a=-1`. Не подходит.
    `{(a=f(t)),(b=-ab):}`,
    `a(|(a-b)/2|-b)=a`,
    `a!=0 => |(a-b)/2|-b=1`.
    `b=0 => a=+-2`.
    `b!=0 => a=-1, |(-1-b)/2|-b=1 => b=-1`. Не подходит.

    Ответ: `-2;2`.
  • Задача №8 (4 балла).
    При каких значениях параметра `a` неравенство `(a^2-6a-7)|x|+(-a-19)sqrt(x^2-9)>0` не имеет решений? Ответ записать в виде промежутка. Если множество ответов состоит из нескольких промежутков, перечислить их через точку с запятой.

    Решение:
    `(a^2-6a-7)|x|>(a+19)sqrt(x^2-9)`.
    При `a^2-6a-7>0` неравенство всегда имеет решение `x=3`.
    Пусть `a^2-6a-7<=0 => a in [-1;7]`.
    Тогда, `a+19>0 => (a+19)sqrt(x^2-9)>=0>=(a^2-6a-7)|x|`.
    Поэтому неравенство решений не имеет.

    Ответ: `a in [-1;7]`.
  • Задача №9 (4 балла).
    В городе Джентль-сити живут `19` джентльменов, любые двое из которых либо дружат, либо враждуют. В какой-то момент каждый джентльмен попросил каждого из своих друзей послать открытку ненависти каждому из своих врагов (джентльмен А просит джентльмена В послать открытку всем врагам джентльмена В). Каждый из джентльменов выполнил все просьбы, при этом он посылал каждому из своих врагов такое количество открыток, сколько раз его об этом просили. Какое наибольшее количество открыток могло быть послано?

    Решение:
    Если у джентльмена `n` друзей, то врагов `18-n`.
    Всего этот джентльмен отправит `n(18-n)` открыток.
    Максимизируем число открыток отдельно взятого джентльмена.
    `n(18-n)<=1/4(n+18-n)^2=81`. Равенство возможно только при `n=9`.
    У каждого джентльмена не может быть ровно по `9` врагов и друзей, так говорит господин Граф.
    Возьмем правильный `19`-угольник с вершинами `A_1,A_2,...,A_19`.
    `A_1A_10, A_1A_11`, т.е. самые длинные диагонали, являются дружбами.
    `A_9, A_12` - тоже дружественные точки.
    `A_8,A_13` - следующая пара.
    `A_7, A_14` - следующая пара.
    `A_15` - последняя дружественная точка, итого `9`.
    Таким образом построим дружбы всех остальных точек, кроме `A_9, A_10, A_11`.
    Для них предложенный алгоритм не подойдет, поскольку это увеличит число дружб для других точек.
    Для `A_9, A_11` строим дружбы аналогично, кроме последней дружественной точки. Вместо нее объединяем точки дружбой. А последняя точка `A_10` останется с `8` дружественными точками.
    Итого, `18` джентльменов получили по `9` друзей и врагов, а у одного `8` друзей и `10` врагов.
    Всего открыток `18*81+80=19*81-1=1538`.

    Ответ: `1538`.

    Решение в общем случае:
    Всего `4N+3` джентльменов.
    Тогда каждый джентльмен отправит максимум `(2N+1)^2` открыток.
    Всего открыток `(4N+3)(2N+1)^2-1`.
  • Задача №10 (5 баллов).
    `ABCD` — трапеция с основаниями `AD = 16` и `BC = 8`. `O` — одна из точек пересечения окружностей, построенных на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, и эта точка лежит внутри трапеции. Треугольник `BCM` построен на стороне `BC` во внешнюю относительно трапеции сторону и подобен треугольнику `ADO` (вершины треугольников перечислены в том порядке, в котором они соответствуют друг другу). Прямая `OM` пересекает основания `BC` и `AD` в точках `K` и `L` соответственно. Известно, что `OK = 5, OL = 6`. Найдите наибольшее из возможных значений длины отрезка `BK`.

    Решение в общем случае:
    Пусть `AD=a, BC=b, OK=c, OL=d, c<d`.
    `BK=x`, надо найти наибольшее или наименьшее значение `BK`.
    Легко получить соотношение для `x`:
    `x(b-x)=cd*b/a`.
    В нашей задаче `a=16, b=8, c=5, d=6`.
    `x(8-x)=30*1/2=15`,
    `x(8-x)=15`,
    `x=3` или `x=5`.
    Поскольку спрашивают наибольшее значение, `x=5`.
    Если бы спрашивали наименьшее значение, то `x=3`.

    Ответ: `5`.
    Получаем квадратное уравнение вида
    `x(BC-x)=OK*OL*(BC)/(AD)`.
    Два решения `x_1<x_2`.
    Если спрашивают наибольшее значение `BK`, в ответ запишем `x_2`, если наименьшее значение, в ответ запишем `x_1`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике