Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Ломоносов 2015-2016 / 2 тур отборочного этапа по математике / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Олимпиада Ломоносов 2015-2016. 2 тур отборочного этапа по математике. Задания и решения.


    Задания и решения 1 тура по математике выложены в другой теме (ссылка на тему).
    По результатам проведенного опроса (24 ноября опрос завершен) ожидаемый проходной балл 80 или 90.
  • Разминка
    1. Решите уравнение `(1-x)x=(x+1)(3-x)`. В ответе запишите сумму всех его корней.
    2. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна `5`, а длина проведённой к основанию высоты равна `3`. Найдите длину основания.

    Основное задание
    Задача №1.
    В слове ЛОМОНОСОВ замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы – разными цифрами так, чтобы получилось наибольшее возможное число, кратное `90`.
  • Задача №2.
    Большие электронные часы на главной площади города показывают время от `00:00` до `23:59`. Какова вероятность того, что в случайный момент времени в течение суток хотя бы одна из четырех цифр на часах окажется цифрой `4`? Ответ дайте с точностью до двух знаков после запятой.
  • Задача №3.
    Решите неравенство `sqrt(7+8sin^2((pix)/12))>4cos^2((pix)/12)` .
    В ответ впишите сумму всех целочисленных решений, принадлежащих отрезку `[-12;25]`.

  • Задача №4.
    Первый член и знаменатель геометрической прогрессии одинаковы и равняются  `2^(k-2017)`. Найдите все целые значения `k`, при которых сумма первых нескольких членов этой прогрессии может равняться `2016`.
    В ответе укажите сумму всех таких значений `k`. Если таких значений `k` нет, то в ответе укажите `0`.
  • Задача №5.
    Найдите площадь выпуклого многоугольника с вершинами в точках, координаты `(x;y)` которых являются целочисленными решениями уравнения `25x+72=25y+8xy`.
  • Задача №6.
    Даны `2015` уравнений:
    `x_1+x_2=-1007`,
    `x_2+x_3=-1006`,
    `...`
    `x_1007+x_1008=-1`,
    `x_1008+x_1009=0`,
    `x_1009+x_1010=1`,
    `x_1010+x_1011=2`,
    `...`
    `x_2014+x_2015=1006`,
    `x_2015+ x_1=1007`.
    Найдите `x_2014`.
  • Задача №7.
    На каждой из двух параллельных прямых, расстояние между которыми равно `2` см, отмечено по `11` точек с интервалом между соседними точками по `1` см. Из этих `22` точек нужно выбрать `10` так, чтобы каждые две из них отстояли друг от друга не менее чем на `2` см. Сколькими способами это можно сделать?
  • Задача №8.
    В треугольник `ABC` площади `25` вписана окружность с центром `O`, касающаяся сторон `AB, BC` и `AC` в точках `L, M` и `N` соответственно. При этом `AN:NC=3:7`.
    Найдите площадь треугольника `AND`, где `D` - точка пересечения прямых `AO` и `NM`. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
  • Задача №9.
    Найдите все значения `a`, при каждом из которых существует единственное число, одновременно удовлетворяющее неравенствам  `(a-1)x^2+2ax+a+4 <= 0` и `ax^2+2(a+1)x+a+1 >= 0`.
    Выберите среди этих значений `a` наибольшее и наименьшее и в ответе укажите расстояние между ними (если такое значение единственно, в ответе укажите `0`), при необходимости округлив его до сотых.
  • Задача №10.
    В усеченной треугольной пирамиде `K_1L_1M_1KLM` ребро `KK_1` перпендикулярно плоскости большего основания `KLM`, `KL=KM=15,  LM=18` и `PP_1=60/7`, где `P` и `P_1` - середины отрезков `LM` и `L_1M_1` соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар.
    Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.

    Внимание: частичные решения одного из вариантов 2 тура были доступны только подписчикам сайта. Форма подписки выше. Рассылки бесплатные.
    Полные решения всех вариантов выложены на следующей странице темы. Дата публикации - 29 ноября.
    info@olympiads.biz - почта для бронирования мест на платное прохождение отборочных этапов олимпиад Покори Воробьевы горы, Высшая проба и СПбГУ.

    Задания и решения 1 тура по математике выложены в другой теме (ссылка на тему).
    По результатам проведенного опроса (24 ноября опрос завершен) ожидаемый проходной балл 80 или 90.
    Олимпиада Ломоносов 2015-2016. 2 тур отборочного этапа по математике. Задания и решения.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике