ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Олимпиада Ломоносов 2015-2016 / 2 тур отборочного этапа по математике / Задания и решения
  • Задача №1.
    В слове ЛОМОНОСОВ замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы – разными цифрами так, чтобы получилось наибольшее возможное число, кратное `90`.

    Решение:
    ЛОМОНОСОВ`=bar(abcbdbebf)=N->max`.
    `N vdots 90 => N vdots 10, N vdots 9`.
    `N vdots 10 iff f=0`.
    `N vdots 9 iff a+b+c+b+d+b+e+b+f vdots 9`.
    `a+4b+c+d+e vdots 9`.
    По условию, `a,b,c,d,e,f` попарно различные цифры, поэтому `N->max` при `a=9,b=8,c=7,d=6, e->max`.
    Тогда, `9+32+7+6+e vdots 9 => e=9=a` - не подходит.
    Следовательно, `d=5 => e=1`.
    `N_max=987858180`.

    Ответ: `987858180`.

    Задача №1.
    В слове ЛОМОНОСОВ замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы – разными цифрами так, чтобы получилось наименьшее возможное девятизначное число, кратное `90`.

    Решение:
    ЛОМОНОСОВ`=bar(abcbdbebf)=N->min`, `a>=1`.
    `N vdots 90 => N vdots 10, N vdots 9`.
    `N vdots 10 iff f=0`.
    `N vdots 9 iff a+b+c+b+d+b+e+b+f vdots 9`.
    `a+4b+c+d+e vdots 9`.
    По условию, `a,b,c,d,e,f` попарно различные цифры, поэтому `N->min` при `a=1,b=2,c=3,d=4, e->min`.
    Тогда, `1+4*2+3+4+e vdots 9 => e-2 vdots 9`.
    `e!=2`, поэтому берем следующее значение `d`.
    `d=5 => e-1 vdots 9`, `но e!=1`.
    `d=6 => e vdots 9 => e=9`.
    `N_min=123262920`.

    Ответ: `123262920`.

    Задача №1.
    В слове ЛОМОНОСОВ замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы – разными цифрами так, чтобы получилось наибольшее возможное число, кратное `60`.

    Решение:
    ЛОМОНОСОВ`=bar(abcbdbebf)=N->max`.
    `N vdots 60 => N vdots 10, N vdots 4, N vdots 3`.
    `N vdots 10 iff f=0`.
    `N vdots 3 iff a+b+c+b+d+b+e+b+f vdots 3`.
    `N vdots 4 iff` число из последних двух цифр делится на `4`.
    Последняя цифра `0`, поэтому `b` должно быть четным.
    `a+4b+c+d+e vdots 3`.
    По условию, `a,b,c,d,e,f` попарно различные цифры, поэтому `N->max` при `a=9,b=8,c=7,d=6, e->max`.
    Тогда, `9+32+7+6+e vdots 3 => e vdots 3`.
    `e_max=3`.
    `N_max=987868380`.

    Ответ: `987868380`.

    Задача №1.
    В слове ЛОМОНОСОВ замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы – разными цифрами так, чтобы получилось наименьшее возможное девятизначное число, кратное `60`.

    Решение:
    ЛОМОНОСОВ`=bar(abcbdbebf)=N->min`.
    `N vdots 60 => N vdots 10, N vdots 4, N vdots 3`.
    `N vdots 10 iff f=0`.
    `N vdots 3 iff a+b+c+b+d+b+e+b+f vdots 3`.
    `N vdots 4 iff` число из последних двух цифр делится на `4`.
    Последняя цифра `0`, поэтому `b` должно быть четным.
    `a+4b+c+d+e vdots 3`.
    По условию, `a,b,c,d,e,f` попарно различные цифры, поэтому `N->min` при `a=1,b=2,c=3,d=4, e->min`.
    Тогда, `1+8+3+4+e vdots 3 => e-2 vdots 3`.
    `e_min=5`.
    `N_min=123242520`.

    Ответ: `123242520`.
  • Задача №2.
    Большие электронные часы на главной площади города показывают время от `00:00` до `23:59`. Какова вероятность того, что в случайный момент времени в течение суток хотя бы одна из четырех цифр на часах окажется цифрой `4`? Ответ дайте с точностью до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Всего наше событие состоит из `24` полных часов или `24*60=1440` полных минут.
    Первая цифра принимает значения `0, 1` и `2`.
    Вторая цифра может принимать значение `4` в двух случаях, каждый случай дает полный час или `60` минут.
    Рассмотрим последние две цифры, для этого возьмем произвольный полный час, кроме тех, что рассмотрены выше.
    Первая цифра принимает значение `4` в одном случае, который дает `10` полных минут.
    Вторая цифра принимает значение `4` в `6` случаях, каждый из которых дает `1` полную минуту. При этом один случай (`44`) надо исключить, поскольку он рассмотрен выше.
    Получили `10+5=15` полных минут, в течение которых на табло есть хотя бы одна цифра `4`.
    Общее количество всех минут с цифрой `4`: `2*60+22*15=450`.
    Вероятность события с цифрой `4`: `450/1440=0,3125 ~~ 0,31`.

    Ответ: `0,31`.

    Задача №2.
    Большие электронные часы на главной площади города показывают время от `00:00` до `23:59`. Какова вероятность того, что в случайный момент времени в течение суток хотя бы одна из четырех цифр на часах окажется цифрой `1`? Ответ дайте с точностью до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Всего наше событие состоит из `24` полных часов или `24*60=1440` полных минут.
    Первая цифра принимает значение `1` с `10:00` до `19:59`, т.е. `10` полных часов.
    Вторая цифра может принимать значение `1` в двух случах (за исключением случая, рассмотренного выше), каждый случай дает полный час или `60` минут.
    Рассмотрим последние две цифры, для этого возьмем произвольный полный час, кроме тех, что рассмотрены выше.
    Первая цифра принимает значение `1` в одном случае, который дает `10` полных минут.
    Вторая цифра принимает значение `1` в `6` случаях, каждый из которых дает `1` полную минуту. При этом один случай (`11`) надо исключить, поскольку он рассмотрен выше.
    Получили `10+5=15` полных минут, в течение которых на табло есть хотя бы одна цифра `1`.
    Общее количество всех минут с цифрой `1`: `12*60+12*15=900`.
    Вероятность события с цифрой `1`: `900/1440=0,625 ~~ 0,63`.

    Ответ: `0,63`.

    Задача №2.
    Большие электронные часы на главной площади города показывают время от `00:00` до `23:59`. Какова вероятность того, что в случайный момент времени в течение суток хотя бы одна из четырех цифр на часах окажется цифрой `5`? Ответ дайте с точностью до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Всего наше событие состоит из `24` полных часов или `24*60=1440` полных минут.
    Первая цифра принимает значения `0, 1` и `2`.
    Вторая цифра может принимать значение `5` в двух случаях, каждый случай дает полный час или `60` минут.
    Рассмотрим последние две цифры, для этого возьмем произвольный полный час, кроме тех, что рассмотрены выше.
    Первая цифра принимает значение `5` в одном случае, который дает `10` полных минут.
    Вторая цифра принимает значение `5` в `6` случаях, каждый из которых дает `1` полную минуту. При этом один случай (`55`) надо исключить, поскольку он рассмотрен выше.
    Получили `10+5=15` полных минут, в течение которых на табло есть хотя бы одна цифра `5`.
    Общее количество всех минут с цифрой `5`: `2*60+22*15=450`.
    Вероятность события с цифрой `5`: `450/1440=0,3125 ~~ 0,31`.

    Ответ: `0,31`.

    Задача №2.
    Большие электронные часы на главной площади города показывают время от `00:00` до `23:59`. Какова вероятность того, что в случайный момент времени в течение суток хотя бы одна из четырех цифр на часах окажется цифрой `0`? Ответ дайте с точностью до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Всего наше событие состоит из `24` полных часов или `24*60=1440` полных минут.
    Первая цифра принимает значение `0` с `00:00` до `09:59`, т.е. `10` полных часов.
    Вторая цифра может принимать значение `0` в двух случах (за исключением случая, рассмотренного выше), каждый случай дает полный час или `60` минут.
    Рассмотрим последние две цифры, для этого возьмем произвольный полный час, кроме тех, что рассмотрены выше.
    Первая цифра принимает значение `0` в одном случае, который дает `10` полных минут.
    Вторая цифра принимает значение `0` в `6` случаях, каждый из которых дает `1` полную минуту. При этом один случай (`00`) надо исключить, поскольку он рассмотрен выше.
    Получили `10+5=15` полных минут, в течение которых на табло есть хотя бы одна цифра `0`.
    Общее количество всех минут с цифрой `0`: `12*60+12*15=900`.
    Вероятность события с цифрой `0`: `900/1440=0,625 ~~ 0,63`.

    Ответ: `0,63`.

    Задача №2.
    Большие электронные часы на главной площади города показывают время от `00:00` до `23:59`. Какова вероятность того, что в случайный момент времени в течение суток хотя бы одна из четырех цифр на часах окажется цифрой `2`? Ответ дайте с точностью до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Всего наше событие состоит из `24` полных часов или `24*60=1440` полных минут.
    Первая цифра принимает значение `2` с `20:00` до `23:59`, т.е. `4` полных часов.
    Вторая цифра может принимать значение `2` в двух случах (за исключением случая, рассмотренного выше), каждый случай дает полный час или `60` минут.
    Рассмотрим последние две цифры, для этого возьмем произвольный полный час, кроме тех, что рассмотрены выше.
    Первая цифра принимает значение `2` в одном случае, который дает `10` полных минут.
    Вторая цифра принимает значение `2` в `6` случаях, каждый из которых дает `1` полную минуту. При этом один случай (`22`) надо исключить, поскольку он рассмотрен выше.
    Получили `10+5=15` полных минут, в течение которых на табло есть хотя бы одна цифра `2`.
    Общее количество всех минут с цифрой `2`: `6*60+18*15=630`.
    Вероятность события с цифрой `2`: `630/1440=0,4375 ~~ 0,44`.

    Ответ: `0,44`.

    Задача №2.
    Большие электронные часы на главной площади города показывают время от `00:00` до `23:59`. Какова вероятность того, что в случайный момент времени в течение суток хотя бы одна из четырех цифр на часах окажется цифрой `3`? Ответ дайте с точностью до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Всего наше событие состоит из `24` полных часов или `24*60=1440` полных минут.
    Первая цифра принимает значения `0, 1` и `2`.
    Вторая цифра может принимать значение `3` в трех случаях, каждый случай дает полный час или `60` минут.
    Рассмотрим последние две цифры, для этого возьмем произвольный полный час, кроме тех, что рассмотрены выше.
    Первая цифра принимает значение `3` в одном случае, который дает `10` полных минут.
    Вторая цифра принимает значение `3` в `6` случаях, каждый из которых дает `1` полную минуту. При этом один случай (`33`) надо исключить, поскольку он рассмотрен выше.
    Получили `10+5=15` полных минут, в течение которых на табло есть хотя бы одна цифра `3`.
    Общее количество всех минут с цифрой `3`: `3*60+21*15=495`.
    Вероятность события с цифрой `3`: `495/1440=0,34375 ~~ 0,34`.

    Ответ: `0,34`.
  • Задача №3.
    Решите неравенство `sqrt(7+8sin^2((pix)/12))>4cos^2((pix)/12)` .
    В ответ впишите сумму всех целочисленных решений, принадлежащих отрезку `[-12;25]`.

    Решение:
    Замена `4cos^2((pix)/12)=t, t in [0;4]`:
    `sqrt(7+2(4-t))>t`,
    `sqrt(15-2t)>t`.
    `t>=0` - можем возвести неравенство в квадрат.
    ОДЗ учитывать необходимости нет, поскольку `15-2t>t^2>=0`.
    `15-2t>t^2`,
    `t^2+2t<15`,
    `(t+1)^2<16`,
    `|t+1|<4 => t in (-5;3)`.
    Учтем `t in [0;4] => t in [0;3)`.
    `4cos^2((pix)/12)<3 => |cos((pix)/12)|<sqrt3/2`,
    `-sqrt3/2<cos((pix)/12)<sqrt3/2`.
    `pi/6+pik<(pix)/12<(5pi)/6+pik, k in ZZ`,
    `2+12k<x<10+12k, k in ZZ`,
    `x in ...uu(-22;-14)uu(-10;-2)uu(2;10)uu(14;22)uu(26;34)uu...`.
    По условию, `x in [-12;25] => x in (-10;-2)uu(2;10)uu(14;22)`.
    `sum_(x in ZZ)x=15+16+...+21=126`.

    Ответ: `126`.

    Задача №3.
    Решите неравенство `sqrt(7+8sin^2((pix)/18))>4cos^2((pix)/18)` .
    В ответ впишите сумму всех целочисленных решений, принадлежащих отрезку `[-18;35]`.

    Решение:
    Замена `4cos^2((pix)/18)=t, t in [0;4]`:
    `sqrt(7+2(4-t))>t`,
    `sqrt(15-2t)>t`.
    `t>=0` - можем возвести неравенство в квадрат.
    ОДЗ учитывать необходимости нет, поскольку `15-2t>t^2>=0`.
    `15-2t>t^2`,
    `t^2+2t<15`,
    `(t+1)^2<16`,
    `|t+1|<4 => t in (-5;3)`.
    Учтем `t in [0;4] => t in [0;3)`.
    `4cos^2((pix)/18)<3 => |cos((pix)/18)|<sqrt3/2`,
    `-sqrt3/2<cos((pix)/18)<sqrt3/2`.
    `pi/6+pik<(pix)/18<(5pi)/6+pik, k in ZZ`,
    `3+18k<x<15+18k, k in ZZ`,
    `x in ...uu(-33;-21)uu(-15;-3)uu(3;15)uu(21;33)uu...`.
    По условию, `x in [-18;35] => x in (-15;-3)uu(3;15)uu(21;33)`.
    `sum_(x in ZZ)x=22+23+...+32=297`.

    Ответ: `297`.

    Задача №3.
    Решите неравенство `sqrt(7+8cos^2((pix)/12))>4sin^2((pix)/12)` .
    В ответ впишите сумму всех целочисленных решений, принадлежащих отрезку `[-12;21]`.

    Решение:
    Замена `4sin^2((pix)/12)=t, t in [0;4]`:
    `sqrt(7+2(4-t))>t`,
    `sqrt(15-2t)>t`.
    `t>=0` - можем возвести неравенство в квадрат.
    ОДЗ учитывать необходимости нет, поскольку `15-2t>t^2>=0`.
    `15-2t>t^2`,
    `t^2+2t<15`,
    `(t+1)^2<16`,
    `|t+1|<4 => t in (-5;3)`.
    Учтем `t in [0;4] => t in [0;3)`.
    `4sin^2((pix)/12)<3 => |sin((pix)/12)|<sqrt3/2`,
    `-sqrt3/2<sin((pix)/12)<sqrt3/2`.
    `-pi/3+pik<(pix)/12<pi/3+pik, k in ZZ`,
    `-4+12k<x<4+12k, k in ZZ`,
    `x in ...uu(-16;-8)uu(-4;4)uu(8;16)uu(20;28)uu...`.
    По условию, `x in [-12;21] => x in [-12;-8)uu(-4;4)uu(8;16)uu(20;21]`.
    `sum_(x in ZZ)x=-12-..-9+9+...+15+21=13+14+15+21=63`.

    Ответ: `63`.

    Задача №3.
    Решите неравенство `sqrt(7+8cos^2((pix)/18))>4sin^2((pix)/18)` .
    В ответ впишите сумму всех целочисленных решений, принадлежащих отрезку `[-18;31]`.

    Решение:
    Замена `4sin^2((pix)/18)=t, t in [0;4]`:
    `sqrt(7+2(4-t))>t`,
    `sqrt(15-2t)>t`.
    `t>=0` - можем возвести неравенство в квадрат.
    ОДЗ учитывать необходимости нет, поскольку `15-2t>t^2>=0`.
    `15-2t>t^2`,
    `t^2+2t<15`,
    `(t+1)^2<16`,
    `|t+1|<4 => t in (-5;3)`.
    Учтем `t in [0;4] => t in [0;3)`.
    `4sin^2((pix)/18)<3 => |sin((pix)/18)|<sqrt3/2`,
    `-sqrt3/2<sin((pix)/18)<sqrt3/2`.
    `-pi/3+pik<(pix)/18<pi/3+pik, k in ZZ`,
    `-6+18k<x<6+18k, k in ZZ`,
    `x in ...uu(-24;-12)uu(-6;6)uu(12;24)uu(30;42)uu...`.
    По условию, `x in [-18;31] => x in [-18;-12)uu(-6;6)uu(12;24)uu(30;31]`.
    `sum_(x in ZZ)x=-18-..-13+13+...+23+31=19+..+23+31=136`.

    Ответ: `136`.
  • Задача №4.
    Первый член и знаменатель геометрической прогрессии одинаковы и равняются  `2^(k-2017)`. Найдите все целые значения `k`, при которых сумма первых нескольких членов этой прогрессии может равняться `2016`.
    В ответе укажите сумму всех таких значений `k`. Если таких значений `k` нет, то в ответе укажите `0`.

    Решение:
    `b_1=q=2^(k-2017), k in ZZ`.
    `S_n=2016`.
    `S_n=b_1+b_2+...+b_n=b_1+b_1q+...+b_1q^(n-1)=`
    `=q+q^2+...+q^n=q(1+q+...+q^(n-1))`.
    Пусть `k-2017=m, m in ZZ`.
    `2^m*(1+2^m+2^(2m)+...+2^((n-1)m))=2016=2^5*63`.
    `m>=1 => m=5; 1+2^m+2^(2m)+...+2^((n-1)m)=63`.
    `(2^(nm)-1)/(2^m-1)=63`,
    `2^(5n)-1=63*31=1953`,
    `2^(5n)=1954` - нет целых решений.
    `m=0 => n=2016`.
    `m<= -1` - левая часть уравнения не является целой.
    Итак, `m=0 => k=2017`.

    Ответ: `2017`.
    Примечание: по определению геометрической прогрессии, `q!=0`, при этом `q` может равняться `1`, получается постоянная прогрессия. Если `q!=1`, как правило, это указывают в условии задачи.

    Задача №4.
    Первый член и знаменатель геометрической прогрессии одинаковы и равняются  `2^(k-2014)`. Найдите все целые значения `k`, при которых сумма первых нескольких членов этой прогрессии может равняться `2016`.
    В ответе укажите сумму всех таких значений `k`. Если таких значений `k` нет, то в ответе укажите `0`.

    Решение:
    `b_1=q=2^(k-2014), k in ZZ`.
    `S_n=2016`.
    `S_n=b_1+b_2+...+b_n=b_1+b_1q+...+b_1q^(n-1)=`
    `=q+q^2+...+q^n=q(1+q+...+q^(n-1))`.
    Пусть `k-2014=m, m in ZZ`.
    `2^m*(1+2^m+2^(2m)+...+2^((n-1)m))=2016=2^5*63`.
    `m>=1 => m=5; 1+2^m+2^(2m)+...+2^((n-1)m)=63`.
    `(2^(nm)-1)/(2^m-1)=63`,
    `2^(5n)-1=63*31=1953`,
    `2^(5n)=1954` - нет целых решений.
    `m=0 => n=2016`.
    `m<= -1` - левая часть уравнения не является целой.
    Итак, `m=0 => k=2014`.

    Ответ: `2014`.
    Примечание: по определению геометрической прогрессии, `q!=0`, при этом `q` может равняться `1`, получается постоянная прогрессия. Если `q!=1`, как правило, это указывают в условии задачи.

    Задача №4.
    Первый член и знаменатель геометрической прогрессии одинаковы и равняются  `2^(k-2015)`. Найдите все целые значения `k`, при которых сумма первых нескольких членов этой прогрессии может равняться `2016`.
    В ответе укажите сумму всех таких значений `k`. Если таких значений `k` нет, то в ответе укажите `0`.

    Решение:
    `b_1=q=2^(k-2015), k in ZZ`.
    `S_n=2016`.
    `S_n=b_1+b_2+...+b_n=b_1+b_1q+...+b_1q^(n-1)=`
    `=q+q^2+...+q^n=q(1+q+...+q^(n-1))`.
    Пусть `k-2015=m, m in ZZ`.
    `2^m*(1+2^m+2^(2m)+...+2^((n-1)m))=2016=2^5*63`.
    `m>=1 => m=5; 1+2^m+2^(2m)+...+2^((n-1)m)=63`.
    `(2^(nm)-1)/(2^m-1)=63`,
    `2^(5n)-1=63*31=1953`,
    `2^(5n)=1954` - нет целых решений.
    `m=0 => n=2016`.
    `m<= -1` - левая часть уравнения не является целой.
    Итак, `m=0 => k=2015`.

    Ответ: `2015`.
    Примечание: по определению геометрической прогрессии, `q!=0`, при этом `q` может равняться `1`, получается постоянная прогрессия. Если `q!=1`, как правило, это указывают в условии задачи.

    Задача №4.
    Первый член и знаменатель геометрической прогрессии одинаковы и равняются  `2^(k-2016)`. Найдите все целые значения `k`, при которых сумма первых нескольких членов этой прогрессии может равняться `2016`.
    В ответе укажите сумму всех таких значений `k`. Если таких значений `k` нет, то в ответе укажите `0`.

    Решение:
    `b_1=q=2^(k-2016), k in ZZ`.
    `S_n=2016`.
    `S_n=b_1+b_2+...+b_n=b_1+b_1q+...+b_1q^(n-1)=`
    `=q+q^2+...+q^n=q(1+q+...+q^(n-1))`.
    Пусть `k-2017=m, m in ZZ`.
    `2^m*(1+2^m+2^(2m)+...+2^((n-1)m))=2016=2^5*63`.
    `m>=1 => m=5; 1+2^m+2^(2m)+...+2^((n-1)m)=63`.
    `(2^(nm)-1)/(2^m-1)=63`,
    `2^(5n)-1=63*31=1953`,
    `2^(5n)=1954` - нет целых решений.
    `m=0 => n=2016`.
    `m<= -1` - левая часть уравнения не является целой.
    Итак, `m=0 => k=2016`.

    Ответ: `2016`.
    Примечание: по определению геометрической прогрессии, `q!=0`, при этом `q` может равняться `1`, получается постоянная прогрессия. Если `q!=1`, как правило, это указывают в условии задачи.
  • Задача №5.
    Найдите площадь выпуклого многоугольника с вершинами в точках, координаты `(x;y)` которых являются целочисленными решениями уравнения `25x+72=25y+8xy`.

    Решение:
    `25x+72=25y+8xy`,
    `8xy-25x+25y-72=0`,
    `xy-25/8x+25/8y-9=0`,
    `(x+25/8)(y-25/8)+(25/8)^2-9=0`,
    `(x+25/8)(y-25/8)=9-(25/8)^2`,
    `(8x+25)(8y-25)=9*8^2-25^2`,
    `(8x+25)(8y-25)=-49`.
    `{(8x+25=1),(8y-25=-49):} => (x;y)=(-3;-3)`.
    `{(8x+25=7),(8y-25=-7):}` - нет целых решений.
    `{(8x+25=49),(8y-25=-1):} => (x;y)=(3;3)`.
    `{(8x+25=-1),(8y-25=49):}` - нет целых решений.
    `{(8x+25=-7),(8y-25=7):} => (x;y)=(-4;4)`.
    `{(8x+25=-49),(8y-25=1):}` - нет целых решений.
    Получили треугольник с вершинами `A(-3;-3), B(3;3), C(-4;4)`.
    `S_(ABC)=1/2|(x_1-x_3)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_3)|`.
    `S_(ABC)=1/2|1*(-1)-7*(-7)|=24`.

    Ответ: `24`.

    Задача №5.
    Найдите площадь выпуклого многоугольника с вершинами в точках, координаты `(x;y)` которых являются целочисленными решениями уравнения `17y+45=17x+5xy`.

    Решение:
    `17y+45=17x+5xy`,
    `5xy+17x-17y-45=0`,
    `xy+17/5x-17/5y-9=0`,
    `(x-17/5)(y+17/5)+(17/5)^2-9=0`,
    `(5x-17)(5y+17)=9*5^2-17^2`,
    `(5x-17)(5y+17)=-64`.
    Заметим, что сомножители одинаковой четности, а значит оба четные.
    Первый сомножитель дает остаток `3`, второй `2` при делении на `5`.
    `5x-17=+-2,+-4,+-8,+-16,+-32`.
    Подходят только значения `-2,8,-32`.
    `{(5x-17=-2),(5y+17=32):} => (x;y)=(3;3)`.
    `{(5x-17=8),(5y+17=-8):} => (x;y)=(5;-5)`.
    `{(5x-17=-32),(5y+17=2):} => (x;y)=(-3;-3)`.
    Получили треугольник с вершинами `A(-3;-3), B(3;3), C(5;-5)`.
    `S_(ABC)=1/2|(x_1-x_3)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_3)|`.
    `S_(ABC)=1/2|-8*8-(-2)*2|=30`.

    Ответ: `30`.

    Задача №5.
    Найдите площадь выпуклого многоугольника с вершинами в точках, координаты `(x;y)` которых являются целочисленными решениями уравнения `17x+45=17y+5xy`.

    Решение:
    Для упрощения переделки решения из другого варианта повернем оси `x,y` на `90^0`. Таким образом площадь многоугольника не изменится, но уравнение запишется в другом виде.
    `17y+45=17x+5xy`,
    `5xy+17x-17y-45=0`,
    `xy+17/5x-17/5y-9=0`,
    `(x-17/5)(y+17/5)+(17/5)^2-9=0`,
    `(5x-17)(5y+17)=9*5^2-17^2`,
    `(5x-17)(5y+17)=-64`.
    Заметим, что сомножители одинаковой четности, а значит оба четные.
    Первый сомножитель дает остаток `3`, второй `2` при делении на `5`.
    `5x-17=+-2,+-4,+-8,+-16,+-32`.
    Подходят только значения `-2,8,-32`.
    `{(5x-17=-2),(5y+17=32):} => (x;y)=(3;3)`.
    `{(5x-17=8),(5y+17=-8):} => (x;y)=(5;-5)`.
    `{(5x-17=-32),(5y+17=2):} => (x;y)=(-3;-3)`.
    Получили треугольник с вершинами `A(-3;-3), B(3;3), C(5;-5)`.
    `S_(ABC)=1/2|(x_1-x_3)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_3)|`.
    `S_(ABC)=1/2|-8*8-(-2)*2|=30`.

    Ответ: `30`.

    Задача №5.
    Найдите площадь выпуклого многоугольника с вершинами в точках, координаты `(x;y)` которых являются целочисленными решениями уравнения `13y+48=13x+3xy`.

    Решение:
    `13y+48=13x+3xy`,
    `3xy+13x-13y-48=0`,
    `xy+13/3x-13/3y-16=0`,
    `(x-13/3)(y+13/3)+(13/3)^2-16=0`,
    `(3x-13)(3y+13)=16*3^2-13^2`,
    `(3x-13)(3y+13)=-25`.
    Первый сомножитель дает остаток `2`, второй `1` при делении на `3`.
    `3x-13=+-1,+-5,+-25`.
    Подходят только значения `-1,5,-25`.
    `{(3x-13=-1),(3y+13=25):} => (x;y)=(4;4)`.
    `{(3x-13=5),(3y+13=-5):} => (x;y)=(6;-6)`.
    `{(3x-13=-25),(3y+13=1):} => (x;y)=(-4;-4)`.
    Получили треугольник с вершинами `A(-4;-4), B(4;4), C(6;-6)`.
    `S_(ABC)=1/2|(x_1-x_3)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_3)|`.
    `S_(ABC)=1/2|-10*10-(-2)*2|=48`.

    Ответ: `48`.

    Задача №5.
    Найдите площадь выпуклого многоугольника с вершинами в точках, координаты `(x;y)` которых являются целочисленными решениями уравнения `25y+72=25x+8xy`.

    Решение:
    `25y+72=25x+8xy`,
    `8xy-25y+25x-72=0`,
    `xy-25/8y+25/8x-9=0`,
    `(x-25/8)(y+25/8)+(25/8)^2-9=0`,
    `(x-25/8)(y+25/8)=9-(25/8)^2`,
    `(8x-25)(8y+25)=9*8^2-25^2`,
    `(8x-25)(8y+25)=-49`.
    `{(8y+25=1),(8x-25=-49):} => (x;y)=(-3;-3)`.
    `{(8y+25=7),(8x-25=-7):}` - нет целых решений.
    `{(8y+25=49),(8x-25=-1):} => (x;y)=(3;3)`.
    `{(8y+25=-1),(8x-25=49):}` - нет целых решений.
    `{(8y+25=-7),(8x-25=7):} => (x;y)=(4;-4)`.
    `{(8y+25=-49),(8x-25=1):}` - нет целых решений.
    Получили треугольник с вершинами `A(-3;-3), B(3;3), C(4;-4)`.
    `S_(ABC)=1/2|(x_1-x_3)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_3)|`.
    `S_(ABC)=1/2|-7*7-(-1)*1|=24`.

    Ответ: `24`.
  • Задача №6.
    Даны `2015` уравнений:
    `x_1+x_2=-1007`,
    `x_2+x_3=-1006`,
    `...`
    `x_1007+x_1008=-1`,
    `x_1008+x_1009=0`,
    `x_1009+x_1010=1`,
    `x_1010+x_1011=2`,
    `...`
    `x_2014+x_2015=1006`,
    `x_2015+x_1=1007`.
    Найдите `x_2014`.

    Решение:
    Сложим все уравнения:
    `2sum_(i=1)^2015x_i=0 => sum_(i=1)^2015x_i=0`.
    Сложим `1008` уравнений с нечетными номерами:
    `x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_2013+x_2014+x_2015+x_1=`
    `=-1007-1005-...-1+1+...+1005+1007=0`,
    `sum_(i=1)^2015x_i+x_1=0 => x_1=0 => x_2015=1007 => x_2014=-1`.

    Ответ: `-1`.

    Задача №6.
    Даны `2015` уравнений:
    `x_1+x_2=-1007`,
    `x_2+x_3=-1006`,
    `...`
    `x_1007+x_1008=-1`,
    `x_1008+x_1009=0`,
    `x_1009+x_1010=1`,
    `x_1010+x_1011=2`,
    `...`
    `x_2014+x_2015=1006`,
    `x_2015+x_1=1007`.
    Найдите `x_2015`.

    Решение:
    Сложим все уравнения:
    `2sum_(i=1)^2015x_i=0 => sum_(i=1)^2015x_i=0`.
    Сложим `1008` уравнений с нечетными номерами:
    `x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_2013+x_2014+x_2015+x_1=`
    `=-1007-1005-...-1+1+...+1005+1007=0`,
    `sum_(i=1)^2015x_i+x_1=0 => x_1=0 => x_2015=1007`.

    Ответ: `1007`.

    Задача №6.
    Даны `2015` уравнений:
    `x_1+x_2=-1007`,
    `x_2+x_3=-1006`,
    `...`
    `x_1007+x_1008=-1`,
    `x_1008+x_1009=0`,
    `x_1009+x_1010=1`,
    `x_1010+x_1011=2`,
    `...`
    `x_2014+x_2015=1006`,
    `x_2015+x_1=1007`.
    Найдите `x_2`.

    Решение:
    Сложим все уравнения:
    `2sum_(i=1)^2015x_i=0 => sum_(i=1)^2015x_i=0`.
    Сложим `1008` уравнений с нечетными номерами:
    `x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_2013+x_2014+x_2015+x_1=`
    `=-1007-1005-...-1+1+...+1005+1007=0`,
    `sum_(i=1)^2015x_i+x_1=0 => x_1=0 => x_2=-1007`.

    Ответ: `-1007`.

    Задача №6.
    Даны `2017` уравнений:
    `x_1+x_2=-2016`,
    `x_2+x_3=-2014`,
    `...`
    `x_1008+x_1009=-2`,
    `x_1009+x_1010=0`,
    `x_1010+x_1011=2`,
    `x_1011+x_1012=4`,
    `...`
    `x_2016+x_2017=2014`,
    `x_2017+x_1=2016`.
    Найдите `x_2`.

    Решение:
    Сложим все уравнения:
    `2sum_(i=1)^2017x_i=0 => sum_(i=1)^2017x_i=0`.
    Сложим `1009` уравнений с нечетными номерами:
    `x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_2015+x_2016+x_2017+x_1=`
    `=-2016-2012-...-4+0+4+...+2012+2016=0`,
    `sum_(i=1)^2017x_i+x_1=0 => x_1=0 => x_2=-2016`.

    Ответ: `-2016`.

    Задача №6.
    Даны `2017` уравнений:
    `x_1+x_2=-2016`,
    `x_2+x_3=-2014`,
    `...`
    `x_1008+x_1009=-2`,
    `x_1009+x_1010=0`,
    `x_1010+x_1011=2`,
    `x_1011+x_1012=4`,
    `...`
    `x_2016+x_2017=2014`,
    `x_2017+x_1=2016`.
    Найдите `x_2016`.

    Решение:
    Сложим все уравнения:
    `2sum_(i=1)^2017x_i=0 => sum_(i=1)^2017x_i=0`.
    Сложим `1009` уравнений с нечетными номерами:
    `x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_2015+x_2016+x_2017+x_1=`
    `=-2016-2012-...-4+0+4+...+2012+2016=0`,
    `sum_(i=1)^2017x_i+x_1=0 => x_1=0 => x_2017=2016 => x_2016=-2`.

    Ответ: `-2`.

    Задача №6.
    Даны `2017` уравнений:
    `x_1+x_2=-2016`,
    `x_2+x_3=-2014`,
    `...`
    `x_1008+x_1009=-2`,
    `x_1009+x_1010=0`,
    `x_1010+x_1011=2`,
    `x_1011+x_1012=4`,
    `...`
    `x_2016+x_2017=2014`,
    `x_2017+x_1=2016`.
    Найдите `x_2017`.

    Решение:
    Сложим все уравнения:
    `2sum_(i=1)^2017x_i=0 => sum_(i=1)^2017x_i=0`.
    Сложим `1009` уравнений с нечетными номерами:
    `x_1+x_2+x_3+x_4+...+x_2015+x_2016+x_2017+x_1=`
    `=-2016-2012-...-4+0+4+...+2012+2016=0`,
    `sum_(i=1)^2017x_i+x_1=0 => x_1=0 => x_2017=2016`.

    Ответ: `2016`.
  • Задача №7.
    На каждой из двух параллельных прямых, расстояние между которыми равно `2` см, отмечено по `11` точек с интервалом между соседними точками по `1` см. Из этих `22` точек нужно выбрать `10` так, чтобы каждые две из них отстояли друг от друга не менее чем на `2` см. Сколькими способами это можно сделать?

    Решение:
    Взаимное расположение точек на двух прямых роли не играет, поскольку расстояние между прямыми равно `2`, следовательно, расстояние между двумя любыми точками за разных прямых не меньше `2`.
    На одной прямой можно расположить максимум `6` точек (через одну), удовлетворяющих условию задачи.
    Всего точек `10`, поэтому на другой прямой их должно быть минимум `4`.
    Следовательно, на каждой прямой должно быть от `4` до `6` точек.
    Пусть на первой прямой `6` точек, на второй `4` точки. На первой прямой есть единственный способ расстановки точек.
    На второй `4` точки.
    `n_1,n_2,...,n_5` - количества невыбранных точек с краев и между выбранными точками.
    Тогда, `n_1>=0, n_5>=0, n_i>=1` для остальных `i`.
    `sum_(1<=i<=5)(n_i)=11-4=7`.
    `n_1+n_5+sum_(2<=i<=4)(n_i-1)=4`.
    Каждое слагаемое принимает целое неотрицательное значение.
    Количество различных решений равно `C_(5+4-1)^4=C_8^4=70`.
    Количество различных способов равно `1*70=70`.
    Если на первой прямой `4` точки, на второй `6`, аналогично получим `70*1=70` способов.
    Пусть на каждой прямой по `5` точек.
    `n_1,n_2,...,n_6` - количества невыбранных точек с краев и между выбранными точками.
    Тогда, `n_1>=0, n_6>=0, n_i>=1` для остальных `i`.
    `sum_(1<=i<=6)(n_i)=11-5=6`.
    `n_1+n_6+sum_(2<=i<=5)(n_i-1)=2`.
    Каждое слагаемое принимает целое неотрицательное значение.
    Количество различных решений равно `C_(6+2-1)^2=C_7^2=21`.
    Всего способов `21^2=441`.
    `sum=2*70+441=581`.

    Ответ: `581`.

    Задача №7.
    На каждой из двух параллельных прямых, расстояние между которыми равно `2` см, отмечено по `10` точек с интервалом между соседними точками по `1` см. Из этих `20` точек нужно выбрать `9` так, чтобы каждые две из них отстояли друг от друга не менее чем на `2` см. Сколькими способами это можно сделать?

    Решение:
    Взаимное расположение точек на двух прямых роли не играет, поскольку расстояние между прямыми равно `2`, следовательно, расстояние между двумя любыми точками за разных прямых не меньше `2`.
    На одной прямой можно расположить максимум `5` точек , удовлетворяющих условию задачи.
    Всего точек `9`, поэтому на другой прямой их должно быть минимум `4`.
    Возможны два случая расстановки точек (`5+4` и `4+5`), с одинаковым числом количеством способов в каждом случае.
    Пусть на прямой `5` точек, посчитаем количество способов:
    `4+2=6`. `4` способа двух подряд идущих невыбранных точек и `2` краевых способа, когда одна такая точка с конца.
    На второй прямой `4` точки.
    `n_1,n_2,...,n_5` - количества невыбранных точек с краев и между выбранными точками.
    Тогда, `n_1>=0, n_5>=0, n_i>=1` для остальных `i`.
    `sum_(1<=i<=5)(n_i)=10-4=6`.
    `n_1+n_5+sum_(2<=i<=4)(n_i-1)=3`.
    Каждое слагаемое принимает целое неотрицательное значение.
    Количество различных решений равно `C_(5+3-1)^3=C_7^3=35`.
    Количество различных способов равно `6*35=210`.
    Во втором случае также `210` способов.
    `sum=2*210=420`.

    Ответ: `420`.

    Задача №7.
    На каждой из двух параллельных прямых, расстояние между которыми равно `2` см, отмечено по `12` точек с интервалом между соседними точками по `1` см. Из этих `24` точек нужно выбрать `11` так, чтобы каждые две из них отстояли друг от друга не менее чем на `2` см. Сколькими способами это можно сделать?

    Решение:
    Взаимное расположение точек на двух прямых роли не играет, поскольку расстояние между прямыми равно `2`, следовательно, расстояние между двумя любыми точками за разных прямых не меньше `2`.
    На одной прямой можно расположить максимум `6` точек , удовлетворяющих условию задачи.
    Всего точек `11`, поэтому на другой прямой их должно быть минимум `5`.
    Возможны два случая расстановки точек (`6+5` и `5+6`), с одинаковым числом количеством способов в каждом случае.
    Пусть на прямой `6` точек, посчитаем количество способов:
    `5+2=7`. `5` способов двух подряд идущих невыбранных точек и `2` краевых способа, когда одна такая точка с конца.
    На второй прямой `5` точек.
    `n_1,n_2,...,n_6` - количества невыбранных точек с краев и между выбранными точками.
    Тогда, `n_1>=0, n_6>=0, n_i>=1` для остальных `i`.
    `sum_(1<=i<=6)(n_i)=12-5=7`.
    `n_1+n_6+sum_(2<=i<=5)(n_i-1)=3`.
    Каждое слагаемое принимает целое неотрицательное значение.
    Количество различных решений равно `C_(6+3-1)^3=C_8^3=56`.
    Количество различных способов равно `7*56=392`.
    Во втором случае также `392` способов.
    `sum=2*392=784`.

    Ответ: `784`.

    Задача №7.
    На каждой из двух параллельных прямых, расстояние между которыми равно `2` см, отмечено по `9` точек с интервалом между соседними точками по `1` см. Из этих `18` точек нужно выбрать `8` так, чтобы каждые две из них отстояли друг от друга не менее чем на `2` см. Сколькими способами это можно сделать?

    Решение:
    Взаимное расположение точек на двух прямых роли не играет, поскольку расстояние между прямыми равно `2`, следовательно, расстояние между двумя любыми точками за разных прямых не меньше `2`.
    На одной прямой можно расположить максимум `5` точек (через одну), удовлетворяющих условию задачи.
    Всего точек `8`, поэтому на другой прямой их должно быть минимум `3`.
    Следовательно, на каждой прямой должно быть от `3` до `5` точек.
    Пусть на первой прямой `5` точек, на второй `3` точки. На первой прямой есть единственный способ расстановки точек.
    На второй `3` точки.
    `n_1,n_2,...,n_4` - количества невыбранных точек с краев и между выбранными точками.
    Тогда, `n_1>=0, n_4>=0, n_i>=1` для остальных `i`.
    `sum_(1<=i<=4)(n_i)=9-3=6`.
    `n_1+n_4+sum_(2<=i<=3)(n_i-1)=4`.
    Каждое слагаемое принимает целое неотрицательное значение.
    Количество различных решений равно `C_(4+4-1)^4=C_7^4=35`.
    Количество различных способов равно `1*35=35`.
    Если на первой прямой `3` точки, на второй `5`, аналогично получим `35*1=35` способов.
    Пусть на каждой прямой по `4` точки.
    `n_1,n_2,...,n_5` - количества невыбранных точек с краев и между выбранными точками.
    Тогда, `n_1>=0, n_5>=0, n_i>=1` для остальных `i`.
    `sum_(1<=i<=5)(n_i)=9-4=5`.
    `n_1+n_5+sum_(2<=i<=4)(n_i-1)=2`.
    Каждое слагаемое принимает целое неотрицательное значение.
    Количество различных решений равно `C_(5+2-1)^2=C_6^2=15`.
    Всего способов `15^2=225`.
    `sum=2*35+225=581`.

    Ответ: `295`.
  • Задача №8.
    В треугольник `ABC` площади `25` вписана окружность с центром `O`, касающаяся сторон `AB, BC` и `AC` в точках `L, M` и `N` соответственно. При этом `AN:NC=3:7`.
    Найдите площадь треугольника `AND`, где `D` - точка пересечения прямых `AO` и `NM`. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, где `AN:NC=a:b, S_(ABC)=S, S_(AND)=S'`.
    `AN=ax, NC=bx, r` - радиус вписанной окружности.
    По условию, `pr=S`, где `p` - полупериметр.
    `/_A=2alpha, /_B=pi-2alpha-2beta, /_C=2beta`.
    `AC=(a+b)x, BC=(a+b)x*(sin2alpha)/(sin(2alpha+2beta)), AB=(a+b)x*(sin2beta)/(sin(2alpha+2beta))`.
    `p=1/2(AC+BC+AB)=1/2(a+b)x(1+(sin2alpha+sin2beta)/(sin(2alpha+2beta)))`.
    `1+(sin2alpha+sin2beta)/(sin(2alpha+2beta))=1+(cos(alpha-beta))/(cos(alpha+beta))=`
    `=(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta))/(cos(alpha+beta))=(2cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))`.
    `1/2(a+b)xr*(2cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))=S`,
    `xr=S/(a+b)*(cos(alpha+beta))/(cosalphacosbeta)`.
    `AO` является биссектрисой угла `A`.
    Тогда, `/_BAO=/_CAO=alpha, /_ONM=/_OMN=beta`.
    `/_AND=pi/2+beta, /_NOD=pi/2+alpha, /_ODN=pi/2-alpha-beta`.
    `S'=S_(AND)=1/2AN*NDsin/_AND=1/2*ax*NDcosbeta`.
    `DeltaNOD`: `ND=r*(cosalpha)/(cos(alpha+beta))`.
    `S'=1/2axr(cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))=a/(2a+2b)*S`.
    По условию, `S=25, a=3, b=7 => S'=3/20*25=15/4=3,75`.

    Ответ: `3,75`.

    Задача №8.
    В треугольник `ABC` площади `24` вписана окружность с центром `O`, касающаяся сторон `AB, BC` и `AC` в точках `L, M` и `N` соответственно. При этом `AN:NC=1:3`.
    Найдите площадь треугольника `AND`, где `D` - точка пересечения прямых `AO` и `NM`. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, где `AN:NC=a:b, S_(ABC)=S, S_(AND)=S'`.
    `AN=ax, NC=bx, r` - радиус вписанной окружности.
    По условию, `pr=S`, где `p` - полупериметр.
    `/_A=2alpha, /_B=pi-2alpha-2beta, /_C=2beta`.
    `AC=(a+b)x, BC=(a+b)x*(sin2alpha)/(sin(2alpha+2beta)), AB=(a+b)x*(sin2beta)/(sin(2alpha+2beta))`.
    `p=1/2(AC+BC+AB)=1/2(a+b)x(1+(sin2alpha+sin2beta)/(sin(2alpha+2beta)))`.
    `1+(sin2alpha+sin2beta)/(sin(2alpha+2beta))=1+(cos(alpha-beta))/(cos(alpha+beta))=`
    `=(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta))/(cos(alpha+beta))=(2cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))`.
    `1/2(a+b)xr*(2cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))=S`,
    `xr=S/(a+b)*(cos(alpha+beta))/(cosalphacosbeta)`.
    `AO` является биссектрисой угла `A`.
    Тогда, `/_BAO=/_CAO=alpha, /_ONM=/_OMN=beta`.
    `/_AND=pi/2+beta, /_NOD=pi/2+alpha, /_ODN=pi/2-alpha-beta`.
    `S'=S_(AND)=1/2AN*NDsin/_AND=1/2*ax*NDcosbeta`.
    `DeltaNOD`: `ND=r*(cosalpha)/(cos(alpha+beta))`.
    `S'=1/2axr(cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))=a/(2a+2b)*S`.
    По условию, `S=24, a=1, b=3 => S'=1/8*24=3`.

    Ответ: `3`.

    Задача №8.
    В треугольник `ABC` вписана окружность с центром `O`, касающаяся сторон `AB, BC` и `AC` в точках `L, M` и `N` соответственно. Прямые `AO` и `NM` пересекаются в точке `D`. При этом `AN:NC=1:2`, а площадь треугольника `AND` равна `2`.
    Найдите площадь треугольника `ABC`. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, где `AN:NC=a:b, S_(ABC)=S, S_(AND)=S'`.
    `AN=ax, NC=bx, r` - радиус вписанной окружности.
    По условию, `pr=S`, где `p` - полупериметр.
    `/_A=2alpha, /_B=pi-2alpha-2beta, /_C=2beta`.
    `AC=(a+b)x, BC=(a+b)x*(sin2alpha)/(sin(2alpha+2beta)), AB=(a+b)x*(sin2beta)/(sin(2alpha+2beta))`.
    `p=1/2(AC+BC+AB)=1/2(a+b)x(1+(sin2alpha+sin2beta)/(sin(2alpha+2beta)))`.
    `1+(sin2alpha+sin2beta)/(sin(2alpha+2beta))=1+(cos(alpha-beta))/(cos(alpha+beta))=`
    `=(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta))/(cos(alpha+beta))=(2cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))`.
    `1/2(a+b)xr*(2cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))=S`,
    `xr=S/(a+b)*(cos(alpha+beta))/(cosalphacosbeta)`.
    `AO` является биссектрисой угла `A`.
    Тогда, `/_BAO=/_CAO=alpha, /_ONM=/_OMN=beta`.
    `/_AND=pi/2+beta, /_NOD=pi/2+alpha, /_ODN=pi/2-alpha-beta`.
    `S'=S_(AND)=1/2AN*NDsin/_AND=1/2*ax*NDcosbeta`.
    `DeltaNOD`: `ND=r*(cosalpha)/(cos(alpha+beta))`.
    `S'=1/2axr(cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))=a/(2a+2b)*S`.
    По условию, `S'=2, a=1, b=2 => S=6/1*2=12`.

    Ответ: `12`.

    Задача №8.
    В треугольник `ABC` вписана окружность с центром `O`, касающаяся сторон `AB, BC` и `AC` в точках `L, M` и `N` соответственно. Прямые `AO` и `NM` пересекаются в точке `D`. При этом `AN:NC=1:3`, а площадь треугольника `AND` равна `3`.
    Найдите площадь треугольника `ABC`. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, где `AN:NC=a:b, S_(ABC)=S, S_(AND)=S'`.
    `AN=ax, NC=bx, r` - радиус вписанной окружности.
    По условию, `pr=S`, где `p` - полупериметр.
    `/_A=2alpha, /_B=pi-2alpha-2beta, /_C=2beta`.
    `AC=(a+b)x, BC=(a+b)x*(sin2alpha)/(sin(2alpha+2beta)), AB=(a+b)x*(sin2beta)/(sin(2alpha+2beta))`.
    `p=1/2(AC+BC+AB)=1/2(a+b)x(1+(sin2alpha+sin2beta)/(sin(2alpha+2beta)))`.
    `1+(sin2alpha+sin2beta)/(sin(2alpha+2beta))=1+(cos(alpha-beta))/(cos(alpha+beta))=`
    `=(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta))/(cos(alpha+beta))=(2cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))`.
    `1/2(a+b)xr*(2cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))=S`,
    `xr=S/(a+b)*(cos(alpha+beta))/(cosalphacosbeta)`.
    `AO` является биссектрисой угла `A`.
    Тогда, `/_BAO=/_CAO=alpha, /_ONM=/_OMN=beta`.
    `/_AND=pi/2+beta, /_NOD=pi/2+alpha, /_ODN=pi/2-alpha-beta`.
    `S'=S_(AND)=1/2AN*NDsin/_AND=1/2*ax*NDcosbeta`.
    `DeltaNOD`: `ND=r*(cosalpha)/(cos(alpha+beta))`.
    `S'=1/2axr(cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))=a/(2a+2b)*S`.
    По условию, `S'=3, a=1, b=3 => S=8/1*3=24`.

    Ответ: `24`.

    Задача №8.
    В треугольник `ABC` вписана окружность с центром `O`, касающаяся сторон `AB, BC` и `AC` в точках `L, M` и `N` соответственно. Прямые `AO` и `NM` пересекаются в точке `D`. При этом `AN:NC=2:3`, а площадь треугольника `AND` равна `4`.
    Найдите площадь треугольника `ABC`. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Решим задачу в общем случае, где `AN:NC=a:b, S_(ABC)=S, S_(AND)=S'`.
    `AN=ax, NC=bx, r` - радиус вписанной окружности.
    По условию, `pr=S`, где `p` - полупериметр.
    `/_A=2alpha, /_B=pi-2alpha-2beta, /_C=2beta`.
    `AC=(a+b)x, BC=(a+b)x*(sin2alpha)/(sin(2alpha+2beta)), AB=(a+b)x*(sin2beta)/(sin(2alpha+2beta))`.
    `p=1/2(AC+BC+AB)=1/2(a+b)x(1+(sin2alpha+sin2beta)/(sin(2alpha+2beta)))`.
    `1+(sin2alpha+sin2beta)/(sin(2alpha+2beta))=1+(cos(alpha-beta))/(cos(alpha+beta))=`
    `=(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta))/(cos(alpha+beta))=(2cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))`.
    `1/2(a+b)xr*(2cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))=S`,
    `xr=S/(a+b)*(cos(alpha+beta))/(cosalphacosbeta)`.
    `AO` является биссектрисой угла `A`.
    Тогда, `/_BAO=/_CAO=alpha, /_ONM=/_OMN=beta`.
    `/_AND=pi/2+beta, /_NOD=pi/2+alpha, /_ODN=pi/2-alpha-beta`.
    `S'=S_(AND)=1/2AN*NDsin/_AND=1/2*ax*NDcosbeta`.
    `DeltaNOD`: `ND=r*(cosalpha)/(cos(alpha+beta))`.
    `S'=1/2axr(cosalphacosbeta)/(cos(alpha+beta))=a/(2a+2b)*S`.
    По условию, `S'=4, a=2, b=3 => S=10/2*4=20`.

    Ответ: `20`.
  • Задача №9.
    Найдите все значения `a`, при каждом из которых существует единственное число, одновременно удовлетворяющее неравенствам  `(a-1)x^2+2ax+a+4 <= 0` и `ax^2+2(a+1)x+a+1 >= 0`.
    Выберите среди этих значений `a` наибольшее и наименьшее и в ответе укажите расстояние между ними (если такое значение единственно, в ответе укажите `0`), при необходимости округлив его до сотых.

    Решение:
    `a=1`: `{(2x+5<=0),(x^2+4x+2>=0):}` - общих решений бесконечно много.
    `a=0`: `{(-x^2+4<=0),(2x+1>=0):}` - общих решений бесконечно много.
    `a in (0;1): {((1-a)x^2-2ax-a-4>=0),(ax^2+2(a+1)x+a+1>=0):}`
    Обе параболы ветками верх, учитывая одинаковые знаки неравенств, получаем бесконечно много общих решений.
    `a>1`: решение первого неравенства представляет собой отрезок `[x_1;x_2]` (или точку при `x_1=x_2`), решение второго неравенства - объединение двух лучей `(-oo;x_3]uu[x_4;+oo)`.
    Единственное общее решение будет при `x_1=x_3, x_2<x_4` или `x_1>x_3, x_2=x_4`, в обоих случаях у наших квадратных трехчленов есть общий корень.
    Положим, `t` - общий корень.
    `{((a-1)t^2+2at+a+4=0),(at^2+2(a+1)t+a+1=0):}`
    Вычтем из второго уравнения первое:
    `t^2+2t-3=0 => t_1=1, t_2=-3`.
    `t=1 => a-1+2a+a+4=0 => a=-3/4` - не подходит под условие `a>1`.
    `t=-3 => 9a-9-6a+a+4=0 => a=5/4`.
    Проверка: `{(1/4x^2+5/2x+21/4<=0),(5/4x^2+9/2x+9/4>=0):}`
    `{(x^2+10x+21<=0),(5x^2+18x+9>=0):} => {(x in [-7;-3]), (x in [-oo;-3]uu[-3/5;+oo]):}`.
    `x in [=7;-3]` - не подходит.
    Особый случай: решение одного из неравенств состоит из одной точки, входящей в решения другого неравенства.
    `(a-1)x^2+2ax+a+4 <= 0`,
    `D/4=a^2-(a-1)(a+4)=0`,
    `a=4/3` - проверим.
    `1/3x^2+8/3x+16/3<=0 => x=-4`.
    `4/3x^2+14/3x+7/3>=0`,
    `64-4*14+7>0` - подходит.
    `a<0`:
    `{((1-a)x^2-2ax-a-4>=0),(-ax^2-2(a+1)x-a-1<=0):}`
    Рассуждаем аналогично случаю `a>1`, получаем `a=-3/4`.
    Проверка: `{(7/4x^2+3/2x-13/4>=0),(3/4x^2-1/2x-1/4<=0):}`
    `{(7x^2+6x-13>=0),(3x^2-2x-1<=0):} => {(x in (-oo;-13/7]uu[1;+oo)),(x in [-1/3;1]):}`.
    `x=1` - единственный корень.
    Особый случай:
    `-ax^2-2(a+1)x-a-1<=0`,
    `D/4=(a+1)^2-a(a+1)=a+1=0 => a=-1`.
    `x^2<=0 => x=0`.
    `(1-a)x^2-2ax-a-4>=0`,
    `2x^2+2x-3>=0`,
    `-3>0` - не подходит.

    Итак, нашли два значения `a=4/3;-3/4`.
    `delta=4/3-(-3/4)=4/3+3/4=25/12 ~~ 2,08`.

    Ответ: `2,08`.

    Задача №9.
    Найдите все значения `a`, при каждом из которых существует единственное число, одновременно удовлетворяющее неравенствам  `(a-2)x^2+2ax+a+8 <= 0` и `ax^2+2(a+2)x+a+2 >= 0`.
    Выберите среди этих значений `a` наибольшее и наименьшее и в ответе укажите расстояние между ними (если такое значение единственно, в ответе укажите `0`), при необходимости округлив его до сотых.

    Решение:
    `a=2`: `{(2x+10<=0),(2x^2+8x+4>=0):}` - общих решений бесконечно много.
    `a=0`: `{(-2x^2+8<=0),(4x+2>=0):}` - общих решений бесконечно много.
    `a in (0;2): {((2-a)x^2-2ax-a-8>=0),(ax^2+2(a+2)x+a+2>=0):}`
    Обе параболы ветками верх, учитывая одинаковые знаки неравенств, получаем бесконечно много общих решений.
    `a>2`: решение первого неравенства представляет собой отрезок `[x_1;x_2]` (или точку при `x_1=x_2`), решение второго неравенства - объединение двух лучей `(-oo;x_3]uu[x_4;+oo)`.
    Единственное общее решение будет при `x_1=x_3, x_2<x_4` или `x_1>x_3, x_2=x_4`, в обоих случаях у наших квадратных трехчленов есть общий корень.
    Положим, `t` - общий корень.
    `{((a-2)t^2+2at+a+8=0),(at^2+2(a+2)t+a+2=0):}`
    Вычтем из второго уравнения первое:
    `2t^2+4t-6=0 => t_1=1, t_2=-3`.
    `t=1 => a-2+2a+a+8=0 => a=-3/2` - не подходит под условие `a>1`.
    `t=-3 => 9a-18-6a+a+8=0 => a=5/2`.
    Проверка: `{(1/2x^2+5x+21/2<=0),(5/2x^2+9x+9/2>=0):}`
    `{(x^2+10x+21<=0),(5x^2+18x+9>=0):} => {(x in [-7;-3]), (x in [-oo;-3]uu[-3/5;+oo]):}`.
    `x in [=7;-3]` - не подходит.
    Особый случай: решение одного из неравенств состоит из одной точки, входящей в решения другого неравенства.
    `(a-2)x^2+2ax+a+8 <= 0`,
    `D/4=a^2-(a-2)(a+8)=0`,
    `a=8/3` - проверим.
    `2/3x^2+16/3x+32/3<=0 => x=-4`.
    `8/3x^2+28/3x+14/3>=0`,
    `64-4*14+7>0` - подходит.
    `a<0`:
    `{((2-a)x^2-2ax-a-8>=0),(-ax^2-2(a+2)x-a-2<=0):}`
    Рассуждаем аналогично случаю `a>2`, получаем `a=-3/2`.
    Проверка: `{(7/2x^2+3x-13/2>=0),(3/2x^2-x-1/2<=0):}`
    `{(7x^2+6x-13>=0),(3x^2-2x-1<=0):} => {(x in (-oo;-13/7]uu[1;+oo)),(x in [-1/3;1]):}`.
    `x=1` - единственный корень.
    Особый случай:
    `-ax^2-2(a+2)x-a-2<=0`,
    `D/4=(a+2)^2-a(a+2)=2(a+2)=0 => a=-2`.
    `x^2<=0 => x=0`.
    `(2-a)x^2-2ax-a-8>=0`,
    `4x^2+4x-6>=0`,
    `-6>0` - не подходит.

    Итак, нашли два значения `a=8/3;-3/2`.
    `delta=8/3-(-3/2)=8/3+3/2=25/6 ~~ 4,17`.

    Ответ: `4,17`.

    Задача №9.
    Найдите все значения `a`, при каждом из которых существует единственное число, одновременно удовлетворяющее неравенствам  `(a+2)x^2+2ax+a-8 >= 0` и `ax^2+2(a-2)x+a-2 <= 0`.
    Выберите среди этих значений `a` наибольшее и наименьшее и в ответе укажите расстояние между ними (если такое значение единственно, в ответе укажите `0`), при необходимости округлив его до сотых.

    Решение:
    Заменим `a` на `(-a)` и умножим оба неравенства на `(-1)`. Это для упрощения процесса переделки решения из другого варианта.
    `(a-2)x^2+2ax+a+8<=0, ax^2+2(a+2)x+a+2>=0`.
    `a=2`: `{(2x+10<=0),(2x^2+8x+4>=0):}` - общих решений бесконечно много.
    `a=0`: `{(-2x^2+8<=0),(4x+2>=0):}` - общих решений бесконечно много.
    `a in (0;2): {((2-a)x^2-2ax-a-8>=0),(ax^2+2(a+2)x+a+2>=0):}`
    Обе параболы ветками верх, учитывая одинаковые знаки неравенств, получаем бесконечно много общих решений.
    `a>2`: решение первого неравенства представляет собой отрезок `[x_1;x_2]` (или точку при `x_1=x_2`), решение второго неравенства - объединение двух лучей `(-oo;x_3]uu[x_4;+oo)`.
    Единственное общее решение будет при `x_1=x_3, x_2<x_4` или `x_1>x_3, x_2=x_4`, в обоих случаях у наших квадратных трехчленов есть общий корень.
    Положим, `t` - общий корень.
    `{((a-2)t^2+2at+a+8=0),(at^2+2(a+2)t+a+2=0):}`
    Вычтем из второго уравнения первое:
    `2t^2+4t-6=0 => t_1=1, t_2=-3`.
    `t=1 => a-2+2a+a+8=0 => a=-3/2` - не подходит под условие `a>1`.
    `t=-3 => 9a-18-6a+a+8=0 => a=5/2`.
    Проверка: `{(1/2x^2+5x+21/2<=0),(5/2x^2+9x+9/2>=0):}`
    `{(x^2+10x+21<=0),(5x^2+18x+9>=0):} => {(x in [-7;-3]), (x in [-oo;-3]uu[-3/5;+oo]):}`.
    `x in [=7;-3]` - не подходит.
    Особый случай: решение одного из неравенств состоит из одной точки, входящей в решения другого неравенства.
    `(a-2)x^2+2ax+a+8 <= 0`,
    `D/4=a^2-(a-2)(a+8)=0`,
    `a=8/3` - проверим.
    `2/3x^2+16/3x+32/3<=0 => x=-4`.
    `8/3x^2+28/3x+14/3>=0`,
    `64-4*14+7>0` - подходит.
    `a<0`:
    `{((2-a)x^2-2ax-a-8>=0),(-ax^2-2(a+2)x-a-2<=0):}`
    Рассуждаем аналогично случаю `a>2`, получаем `a=-3/2`.
    Проверка: `{(7/2x^2+3x-13/2>=0),(3/2x^2-x-1/2<=0):}`
    `{(7x^2+6x-13>=0),(3x^2-2x-1<=0):} => {(x in (-oo;-13/7]uu[1;+oo)),(x in [-1/3;1]):}`.
    `x=1` - единственный корень.
    Особый случай:
    `-ax^2-2(a+2)x-a-2<=0`,
    `D/4=(a+2)^2-a(a+2)=2(a+2)=0 => a=-2`.
    `x^2<=0 => x=0`.
    `(2-a)x^2-2ax-a-8>=0`,
    `4x^2+4x-6>=0`,
    `-6>0` - не подходит.

    Итак, нашли два значения `a=8/3;-3/2`. Не забудем умножить найденные значение на `(-1)`, поскольку в начале решения мы переворачивали `a`.
    `a=-8/3;3/2`.
    `delta=3/2-(-8/3)=8/3+3/2=25/6 ~~ 4,17`.

    Ответ: `4,17`.

    Задача №9.
    Найдите все значения `a`, при каждом из которых существует единственное число, одновременно удовлетворяющее неравенствам  `(2a-1)x^2+4ax+2a+4 <= 0` и `2ax^2+2(2a+1)x+2a+1 >= 0`.
    Выберите среди этих значений `a` наибольшее и наименьшее и в ответе укажите расстояние между ними (если такое значение единственно, в ответе укажите `0`), при необходимости округлив его до сотых.

    Решение:
    Для упрощения процесса переделки из другого варианта заменим `2a` на `a`.
    Тогда получим неравенства `(a-1)x^2+2ax+a+4 <= 0` и `ax^2+2(a+1)x+a+1 >= 0`.
    `a=1`: `{(2x+5<=0),(x^2+4x+2>=0):}` - общих решений бесконечно много.
    `a=0`: `{(-x^2+4<=0),(2x+1>=0):}` - общих решений бесконечно много.
    `a in (0;1): {((1-a)x^2-2ax-a-4>=0),(ax^2+2(a+1)x+a+1>=0):}`
    Обе параболы ветками верх, учитывая одинаковые знаки неравенств, получаем бесконечно много общих решений.
    `a>1`: решение первого неравенства представляет собой отрезок `[x_1;x_2]` (или точку при `x_1=x_2`), решение второго неравенства - объединение двух лучей `(-oo;x_3]uu[x_4;+oo)`.
    Единственное общее решение будет при `x_1=x_3, x_2<x_4` или `x_1>x_3, x_2=x_4`, в обоих случаях у наших квадратных трехчленов есть общий корень.
    Положим, `t` - общий корень.
    `{((a-1)t^2+2at+a+4=0),(at^2+2(a+1)t+a+1=0):}`
    Вычтем из второго уравнения первое:
    `t^2+2t-3=0 => t_1=1, t_2=-3`.
    `t=1 => a-1+2a+a+4=0 => a=-3/4` - не подходит под условие `a>1`.
    `t=-3 => 9a-9-6a+a+4=0 => a=5/4`.
    Проверка: `{(1/4x^2+5/2x+21/4<=0),(5/4x^2+9/2x+9/4>=0):}`
    `{(x^2+10x+21<=0),(5x^2+18x+9>=0):} => {(x in [-7;-3]), (x in [-oo;-3]uu[-3/5;+oo]):}`.
    `x in [=7;-3]` - не подходит.
    Особый случай: решение одного из неравенств состоит из одной точки, входящей в решения другого неравенства.
    `(a-1)x^2+2ax+a+4 <= 0`,
    `D/4=a^2-(a-1)(a+4)=0`,
    `a=4/3` - проверим.
    `1/3x^2+8/3x+16/3<=0 => x=-4`.
    `4/3x^2+14/3x+7/3>=0`,
    `64-4*14+7>0` - подходит.
    `a<0`:
    `{((1-a)x^2-2ax-a-4>=0),(-ax^2-2(a+1)x-a-1<=0):}`
    Рассуждаем аналогично случаю `a>1`, получаем `a=-3/4`.
    Проверка: `{(7/4x^2+3/2x-13/4>=0),(3/4x^2-1/2x-1/4<=0):}`
    `{(7x^2+6x-13>=0),(3x^2-2x-1<=0):} => {(x in (-oo;-13/7]uu[1;+oo)),(x in [-1/3;1]):}`.
    `x=1` - единственный корень.
    Особый случай:
    `-ax^2-2(a+1)x-a-1<=0`,
    `D/4=(a+1)^2-a(a+1)=a+1=0 => a=-1`.
    `x^2<=0 => x=0`.
    `(1-a)x^2-2ax-a-4>=0`,
    `2x^2+2x-3>=0`,
    `-3>0` - не подходит.

    Итак, нашли два значения `a=4/3;-3/4`.
    Поделим каждое число на `2` (в начале решения мы заменяли `2a` на `a`).
    a=2/3;-3/8.
    `delta=2/3-(-3/8)=2/3+3/8=25/24 ~~ 1,04`.

    Ответ: `1,04`.
  • Задача №10.
    В усеченной треугольной пирамиде `K_1L_1M_1KLM` ребро `KK_1` перпендикулярно плоскости большего основания `KLM`, `KL=KM=15,  LM=18` и `PP_1=60/7`, где `P` и `P_1` - середины отрезков `LM` и `L_1M_1` соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар.
    Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `O` - центр сферы, `KPP_1K_1` - прямоугольная трапеция.
    `H, H_1` - перепендикуляры из точки `O` на основания трапеции.
    `T` - перпендикуляр из точки `H` на `KL`, он равен `r` - радиусу сферы.
    `DeltaKTH ~ Delta KLP => KH=r*(KL)/(PL)=5/3r`.
    `HP=KP-KH=12-5/3r`.
    `KP=12` из прямоугольного треугольника `DeltaKLP`.
    Сфера касается прямой `P P_1`, пусть `X` - точка касания.
    `XP=PH, XP_1=P_1H_1` (касательные из одной точки).
    `P_1H_1=XP_1=P P_1-XP=P P_1-PH`.
    `DeltaH_1P_1O ~ DeltaHPO => (H_1O)/(P_1H_1)=(PH)/(HO)`,
    `r^2=PH*P_1H_1`,
    `r^2=(12-5/3r)(60/7-12+5/3r)`,
    `r_1=18/7, r_2=72/17`.
    `r_1*r_2=18/7*72/17 ~~ 10,89`.

    Ответ: `10,89`.

    Задача №10.
    В усеченной треугольной пирамиде `K_1L_1M_1KLM` ребро `KK_1` перпендикулярно плоскости большего основания `KLM`, `KL=KM=25,  LM=30` и `PP_1=100/7`, где `P` и `P_1` - середины отрезков `LM` и `L_1M_1` соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар.
    Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `O` - центр сферы, `KPP_1K_1` - прямоугольная трапеция.
    `H, H_1` - перепендикуляры из точки `O` на основания трапеции.
    `T` - перпендикуляр из точки `H` на `KL`, он равен `r` - радиусу сферы.
    `DeltaKTH ~ Delta KLP => KH=r*(KL)/(PL)=5/3r`.
    `HP=KP-KH=20-5/3r`.
    `KP=20` из прямоугольного треугольника `DeltaKLP`.
    Сфера касается прямой `P P_1`, пусть `X` - точка касания.
    `XP=PH, XP_1=P_1H_1` (касательные из одной точки).
    `P_1H_1=XP_1=P P_1-XP=P P_1-PH`.
    `DeltaH_1P_1O ~ DeltaHPO => (H_1O)/(P_1H_1)=(PH)/(HO)`,
    `r^2=PH*P_1H_1`,
    `r^2=(20-5/3r)(100/7-12+5/3r)`,
    `r_1=30/7, r_2=120/17`.
    `r_1*r_2=30/7*120/17 ~~ 30,25`.

    Ответ: `30,25`.

    Задача №10.
    В усеченной треугольной пирамиде `A_1B_1C_1ABC` ребро `A A_1` перпендикулярно плоскости большего основания `ABC`, `AB=AC=35,  BC=42` и `D D_1=20`, где `D` и `D_1` - середины отрезков `BC` и `B_1C_1` соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар.
    Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `O` - центр сферы, `ADD_1A_1` - прямоугольная трапеция.
    `H, H_1` - перепендикуляры из точки `O` на основания трапеции.
    `T` - перпендикуляр из точки `H` на `AB`, он равен `r` - радиусу сферы.
    `DeltaATH ~ Delta ABD => AH=r*(AB)/(DB)=5/3r`.
    `HD=AD-AH=28-5/3r`.
    `AD=28` из прямоугольного треугольника `DeltaABD`.
    Сфера касается прямой `D D_1`, пусть `X` - точка касания.
    `XD=DH, XD_1=D_1H_1` (касательные из одной точки).
    `D_1H_1=XD_1=D D_1-XD=D D_1-DH`.
    `DeltaH_1D_1O ~ DeltaHDO => (H_1O)/(D_1H_1)=(DH)/(HO)`,
    `r^2=DH*D_1H_1`,
    `r^2=(28-5/3r)(20-28+5/3r)`,
    `r_1=6, r_2=168/17`.
    `r_1*r_2=6*168/17 ~~ 59,29`.

    Ответ: `59,29`.

    Задача №10.
    В усеченной треугольной пирамиде `A_1B_1C_1ABC` ребро `A A_1` перпендикулярно плоскости большего основания `ABC`, `AB=AC=5,  BC=6` и `D D_1=20/7`, где `D` и `D_1` - середины отрезков `BC` и `B_1C_1` соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар.
    Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `O` - центр сферы, `ADD_1A_1` - прямоугольная трапеция.
    `H, H_1` - перепендикуляры из точки `O` на основания трапеции.
    `T` - перпендикуляр из точки `H` на `AB`, он равен `r` - радиусу сферы.
    `DeltaATH ~ Delta ABD => AH=r*(AB)/(DB)=5/3r`.
    `HD=AD-AH=4-5/3r`.
    `AD=4` из прямоугольного треугольника `DeltaABD`.
    Сфера касается прямой `D D_1`, пусть `X` - точка касания.
    `XD=DH, XD_1=D_1H_1` (касательные из одной точки).
    `D_1H_1=XD_1=D D_1-XD=D D_1-DH`.
    `DeltaH_1D_1O ~ DeltaHDO => (H_1O)/(D_1H_1)=(DH)/(HO)`,
    `r^2=DH*D_1H_1`,
    `r^2=(4-5/3r)(20/7-4+5/3r)`,
    `r_1=6/7, r_2=24/17`.
    `r_1*r_2=6/7*24/17 ~~ 1,21`.

    Ответ: `1,21`.

    Задача №10.
    В усеченной треугольной пирамиде `A_1B_1C_1ABC` ребро `A A_1` перпендикулярно плоскости большего основания `ABC`, `AB=AC=10,  BC=12` и `D D_1=40/7`, где `D` и `D_1` - середины отрезков `BC` и `B_1C_1` соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар.
    Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `O` - центр сферы, `ADD_1A_1` - прямоугольная трапеция.
    `H, H_1` - перепендикуляры из точки `O` на основания трапеции.
    `T` - перпендикуляр из точки `H` на `AB`, он равен `r` - радиусу сферы.
    `DeltaATH ~ Delta ABD => AH=r*(AB)/(DB)=5/3r`.
    `HD=AD-AH=8-5/3r`.
    `AD=8` из прямоугольного треугольника `DeltaABD`.
    Сфера касается прямой `D D_1`, пусть `X` - точка касания.
    `XD=DH, XD_1=D_1H_1` (касательные из одной точки).
    `D_1H_1=XD_1=D D_1-XD=D D_1-DH`.
    `DeltaH_1D_1O ~ DeltaHDO => (H_1O)/(D_1H_1)=(DH)/(HO)`,
    `r^2=DH*D_1H_1`,
    `r^2=(8-5/3r)(40/7-8+5/3r)`,
    `r_1=12/7, r_2=48/17`.
    `r_1*r_2=12/7*48/17 ~~ 4,84`.

    Ответ: `4,84`.

    Задача №10.
    В усеченной треугольной пирамиде `A_1B_1C_1ABC` ребро `A A_1` перпендикулярно плоскости большего основания `ABC`, `AB=AC=70,  BC=84` и `D D_1=40`, где `D` и `D_1` - середины отрезков `BC` и `B_1C_1` соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар.
    Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив результат до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `O` - центр сферы, `ADD_1A_1` - прямоугольная трапеция.
    `H, H_1` - перепендикуляры из точки `O` на основания трапеции.
    `T` - перпендикуляр из точки `H` на `AB`, он равен `r` - радиусу сферы.
    `DeltaATH ~ Delta ABD => AH=r*(AB)/(DB)=5/3r`.
    `HD=AD-AH=56-5/3r`.
    `AD=56` из прямоугольного треугольника `DeltaABD`.
    Сфера касается прямой `D D_1`, пусть `X` - точка касания.
    `XD=DH, XD_1=D_1H_1` (касательные из одной точки).
    `D_1H_1=XD_1=D D_1-XD=D D_1-DH`.
    `DeltaH_1D_1O ~ DeltaHDO => (H_1O)/(D_1H_1)=(DH)/(HO)`,
    `r^2=DH*D_1H_1`,
    `r^2=(56-5/3r)(40-56+5/3r)`,
    `r_1=12, r_2=336/17`.
    `r_1*r_2=12*336/17 ~~ 237,18`.

    Ответ:
    `237,18`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике