Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2015-2016 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2015-2016. Задания и решения.
  • Задача №4-1.
    Пусть `k>=2` - натуральное число. Предположим, что число `1/k` записывается конечной десятичной дробью `0,bar(a_1a_2...a_n)`,
    сумма цифр которой `a_1+a_2+...+a_n` равна `k`. Найдите все такие `k`.

    Решение:
    `bar(xy)` означает десятичную запись числа.
    `1/k=0,bar(a_1a_2...a_n)`,
    `bar(a_1a_2...a_n)=a => 1/k=a/10^n => ak=10^n`.
    `k<=9n => a>=(10^n)/(9n)>(10^(n-1))/n>=10^(n-2) => a_2>=1`.
    `10^(n-2)a_2k<=10^n => a_2k<=100 => k<=100`.
    Делителями `k` могут быть только `2` и `5`.
    `k=2^a*5^b`: `2, 4, 8, 16, 32, 64`,
    `5, 10, 20, 40, 80`,
    `25, 50, 100`.
    `1/k`: `0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625`,
    `0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.0125`,
    `0.04, 0.02, 0.01`.
    Подходит только `k=8`.

    Ответ: `k=8`.
  • Задача №1-1.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(0;3)` и `B(5;0)` лежат по разные стороны.
    `y=x^2+4x+4`,
    `y=-x^2+2x`,
    `y=2x^2-4x+5`,
    `y=x^2/2-2x+2`,
    `y=-x^2+10x-24`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по разные стороны от нее при выполнении следующих условий:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))<0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Положительный знак будет в тех случаях, когда обе точки лежат над (внутри) или под (вне) параболой.
    Проверим все наши параболы:
    `y=x^2+4x+4`: `(3-4)(0-49)>0` - не подходит.
    `y=-x^2+2x`: `(3-0)(0+25-10)>0` - не подходит.
    `y=2x^2-4x+5`: `(3-5)(0-35)>0` - не подходит.
    `y=x^2/2-2x+2`: `(3-2)(0-25/2+10-2)<0` - подходит.
    `y=-x^2+10x-24`: `(3+24)(0+25-50+24)<0` - подходит.

    Ответ: подходят `4` и `5` параболы.
  • Задача №2-1.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифры одинаковы; вторая при это обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(aabcdd)`.
    Сколько чисел вида `bar(aabcdd)` делятся на `2`?

    Решение:
    Число делится на `2`, если последняя цифра четная - принимает значения `0, 2, 4, 6, 8`.
    `d` может принимать `5` значений, осталось найти количество чисел вида `bar(aabc)`, при этом надо учесть, что `a,b,c` не равны `d`.
    `1<=a<=9, 0<=b,c<=9`.
    `d=0`: тогда `a` может принимать `9` значений, `b` - `8` значений (кроме `0` и `a`), `c` - `7` значений (кроме `0,a,b`). Всего `9*8*7=504` чисел нужного вида.
    Для каждого из остальных `d` будет `8*8*7` чисел.
    Всего чисел `504+4*8*8*7=2296`.

    Ответ: `2296`.
  • Задача №3-1.
    Диагонали трапеции `OIUA` с основаниями `OI` и `UA` пересекаются в точке `E` под прямым углом. Известно, что сторона `UA` меньше стороны `OI` и угол `O` прямой. Биссектриса угла `OEA` пересекает `OA` в точке `K`, а прямая, проходящая через точку `K` параллельно `OI`, пересекает прямую `IU` в точке `L`. Докажите, что `KL` и `OA` равны.

    Решение:
    image
    Пусть `(AK)/(KO)=(AE)/(EO)=k`. Равенство следует из свойства биссектрис.
    `X` - точка пересечения `AI` и `KL`.
    `(KX)/(OI)=(AK)/(AO) => KX=OI*(AK)/(AO)`,
    `(LX)/(UA)=(IL)/(IU)=(KO)/(AO) => LX=UA*(KO)/(AO)`,
    `(AK)/(AO)=k/(1+k), (KO)/(AO)=1/(1+k)`.
    `KL=KX+LX=(OI*k)/(1+k)+(UA)/(1+k)=(k*OI+UA)/(1+k)`.
    Треугольники `EOI` и `EAU` подобны.
    `(OI)/(UA)=(EI)/(EA)=(EO)/(EU)=n`.
    `EA=x, EU=y => EO=ny, EI=nx`.
    `AO=sqrt(x^2+n^2y^2)`.
    `UA=sqrt(x^2+y^2), OI=nsqrt(x^2+y^2)`.
    Используем две разные формулы трапеции:
    `(x+nx)(y+ny)=2S_(OIUA)=(n+1)sqrt((x^2+y^2)(x^2+n^2y^2))`,
    `xy(n+1)=sqrt((x^2+y^2)(x^2+n^2y^2))`,
    `x^2y^2n^2+2x^2y^2n+x^2y^2=x^4+x^2y^2n^2+x^2y^2+y^4n^2`,
    `2x^2y^2n=x^4+y^4n^2 => (x^2-y^2n)^2=0 => x^2=y^2n`.
    Тогда, `AO=ysqrt(n^2+n), UA=ysqrt(n+1), OI=nysqrt(n+1)`.
    `k=(AE)/(EO)=x/(ny)=1/sqrtn`.
    `KL=(y(1+sqrtn)sqrt(n+1))/(1+1/sqrtn)=ysqrt(n^2+n)=AO`.
    Что и требовалось доказать.

    Ответ: доказано.
    Примечание: скорее всего, есть простое геометрическое решение.
  • Задача №4-2.
    Докажите, что для каждого нечётного `K>1` найдутся три взаимно простых в совокупности натуральных числа `X, Y, Z` таких, что `X^2+2Y^2+4Z^2=3^K`.

    Решение:
    `K=2k+1 => X^2+2Y^2+4Z^2=3^(2k+1)`.
    `X=3^k => 2Y^2+4Z^2=2*3^(2k)`,
    `Y^2+2Z^2=3^(2k)`.
    Покажем, что для любого натурального `n` найдутся такие `a,b`, для которых выполняется равенство `a^2+2b^2=3^n`.
    `n=1 => a=1,b=1`.
    Пусть `a^2+2b^2=3^(n-1) => (a-2b)^2+2(a+b)^2=3a^2+6b^2=3^n`, или `(a+2b)^2+2(a-b)^2=3^n`.
    Чтобы выполнилось условие взаимной простоты (в совокупности) чисел `X,Y,Z`, достаточно, чтобы `a,b` не делились на `3`.
    В зависимости от остатков `a,b` выбираем пару `(|a-2b|,a+b)` или пару `(a+2b,|a-b|)`. Первая пара не делится на `3`, если `a,b` дают одинаковые остатки при делении на `3`, вторая пара не делится на `3`, если `a,b` дают разные остатки.
    `|a-2b|, |a-b|` не равны `0`, поскольку при выборе подходящей пары, эти числа не делятся на `3`, а значит не равны `0`.
    Таким образом, по индукции можем построить необходимое решение `(X,Y,Z)` для любого натурального `k`.

    Ответ: доказано.
  • Задача №3-2.
    У выпукого четырёхугольника `PQRS` с равными углами `QPS` и `QRS` биссектриса угла `PQR` проходит через середину стороны `RS`. Известно, что `RS=3PS`. Найдите отношение `(PQ)/(QR)`.

    Решение:
    image
    `QA` - биссектриса угла `PQR`, тогда `RA=AS=3x, PS=2x`.
    Через точку `A` проведем прямую, параллельную `PS`. Эта прямая пересекает `PQ` в точке `B`.
    `/_QBA=/_QPS=/_QRS, /_BQA=/_RQA => /_QAB=/_QAR`.
    Треугольники `QAB` и `QAR` подобны.
    `QA` - общая сторона, поэтому треугольники равны.
    `QR=QB => (PQ)/(QR)=(PQ)/(QB)=1+(PB)/(QB)`.
    Пусть `/_QPS=/_QRS=alpha, /_PQA=/_RQA=beta`.
    Тогда, `/_QAB=/_QAR=pi-alpha-beta, /_BAR=2pi-2alpha-2beta, /_BAS=2alpha+2beta-pi`.
    Треугольник `BAS`: `/_ABS=/_ASB=pi/2-1/2/_BAS=pi-alpha-beta`.
    `/_PBS=pi-alpha-(pi-alpha-beta)=beta`.
    Треугольники `BPS` и `BAQ` подобны.
    `(PB)/(QB)=(PS)/(AB)=(2x)/(3x)=2/3`.
    `(PQ)/(QR)=1+2/3=5/3`.

    Ответ: `5/3`.
  • Задача №2-2.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифра одинаковы; вторая при этом обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(abdbc c)`.
    Сколько чисел вида `bar(abdbc c)` делятся на `5`?

    Решение:
    Число делится на `5`, если последняя цифра равна `0` или `5`.
    `c` может принимать `2` значения.
    `c=0`: найдем количество чисел вида `bar(abdb)`, где `a,b,d` не равны `0`.
    a может принимать `9` значений (от `1` до `9`), `b` может принимать `8` значений (кроме `0` и `a`), `d` может принимать `7` значений.
    Всего `9*8*7=504` чисел.
    `c=5`: `a` может принимать `8` значений, `b` может принимать `8` значений, `d` может принимать `7` значений.
    Всего `8*8*7=448` чисел.
    `504+448=952` чисел.

    Ответ: `952`.
  • Задача №1-2.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(-3,5)` и `B(2,1)` лежат по разные стороны.
    `y=-x^2`,
    `y=x^2/2-x+7/2`,
    `y=-x^2-4x-1`,
    `y=2x^2-12x+19`,
    `y=x^2+4x+6`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по разные стороны от нее при выполнении следующих условий:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))<0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Положительный знак будет в тех случаях, когда обе точки лежат над (внутри) или под (вне) параболой.
    Проверим все наши параболы:
    `y=-x^2`: `(5+9)(1+4)>0` - не подходит.
    `y=x^2/2-x+7/2`: `(5-9/2-3-7/2)(1-2+2-7/2)>0` - не подходит.
    `y=-x^2-4x-1`: `(5+9-12+1)(1+4+8+1)>0` - не подходит.
    `y=2x^2-12x+19`: `(5-18-36-19)(1-8+24-19)>0` - не подходит.
    `y=x^2+4x+6`: `(5-9+12-6)(1-4-8-6)<0` - подходит.

    Ответ: подходит `5` парабола.
  • Задача №1-3.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(-3;0)` и `B(0;-1)` лежат по одну сторону.
    `y=x^2/4+x/2-7/4`,
    `y=-x^2-6x-8`,
    `y=x^2/2+2x+1`,
    `y=-x^2`,
    `y=-x^2-4x`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по одну сторону от нее при выполнении следующего условия:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))>0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Проверим все наши параболы:
    `y=x^2/4+x/2-7/4`: `(0-9/4+3/2+7/4)(-1+7/4)>0` - подходит.
    `y=-x^2-6x-8`: `(0+9-18+8)(-1+8)<0` - не подходит.
    `y=x^2/2+2x+1`: `(0-9/2+6-1)(-1-1)<0` - не подходит.
    `y=-x^2`: `(0+9)(-1-0)<0` - не подходит.
    `y=-x^2-4x`: `(0+9-12)(-1-0)>0` - подходит.

    Ответ: подходят `1` и `5` параболы.
  • Задача №2-3.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифры одинаковы; вторая при это обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(bcadab)`.
    Сколько чисел вида `bar(bcadab)` делятся на `2`?

    Решение:
    Число делится на `2`, если последняя цифра четная - принимает значения `0, 2, 4, 6, 8`.
    `b` может принимать `4` значения (кроме `0`), осталось найти количество чисел вида `bar(cada)`, при этом надо учесть, что `a,d,c` не равны `b`.
    `0<=a,d,c<=9`.
    `b=2`: тогда `a` может принимать `9` значений, `d` - `8` значений (кроме `0` и `a`), `c` - `7` значений (кроме `0,a,d`). Всего `9*8*7=504` чисел нужного вида.
    Для каждого из остальных `b` будет `9*8*7` чисел.
    Всего чисел `4*504=2016`.

    Ответ: `2016`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике