ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2015-2016 / Задания и решения
  • Задача №4-3.
    Числа `S_1, S_2, ..., S_1008` таковы, что их сумма равна `1008^2`. Известно, что
    `(S_1)/(S_1+1)=(S_2)/(S_2+3)=(S_3)/(S_3+5)=...=(S_1008)/(S_1008+2015)`.
    Найдите `S_17`.

    Решение:
    Положим, `a_n=S_n+2n-1` для всех `n=1,2,...,1008`.
    `(a_1-1)/(a_1)=(a_2-3)/(a_2)=(a_3-5)/(a_3)=...=(a_1008-2015)/(a_1008)`.
    `(a_k-2k+1)/(a_k)=(a_n-2n+1)/(a_n)`,
    `1-(2k-1)/(a_k)=1-(2n-1)/(a_n)`,
    `(a_n)/(a_k)=(2n-1)/(2k-1)`.
    В частности, `(a_n)/(a_1)=(2n-1)/1 => a_n=(2n-1)a_1`.
    По условию, `S_1+S_2+...+S_1008=1008^2`:
    `a_1+a_2+...a_1008=1008^2+1+3+...+2015`.
    Используем известную формулу `1+3+5+...+2k-1=k^2`.
    `a_1+a_2+...+a_1008=1008^2+1008^2=2*1008^2`,
    `a_1+3a_1+...+2015a_1=2*1008^2`,
    `1008^2*a_1=2*1008^2 => a_1=2 => a_17=33a_1=66`.
    `S_17=a_17-33=33`.

    Ответ: `33`.

    Решение 2:
    `(S_1+1)/(S_1)=(S_2+3)/(S_2)=(S_3+5)/(S_3)=...=(S_1008+2015)/(S_1008)`,
    `1+(2n-1)/(S_n)=1+1/(S_1) => S_n=(2n-1)S_1`.
    `S_1+S_2+S_3+...+S_1008=1008^2`,
    `S_1+3S_1+5S_1+...+2015S_1=1008^2`,
    `S_1*(1+3+5+...+2015)=1008^2`.
    Используем известную формулу `1+3+5+...+2k-1=k^2`.
    `S_1*1008^2=1008^2 => S_1=1 => S_17=33`.

    Ответ: `33`.
  • Задача №1-4.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(-1;2)` и `B(1;1)` лежат по одну сторону.
    `y=-x^2/4-x/2+11/4`,
    `y=x^2+4x+2`,
    `y=x^2-1`,
    `y=-x^2/2+2`,
    `y=-x^2/2+2x-1`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по одну сторону от нее при выполнении следующего условия:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))>0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Проверим все наши параболы:
    `y=-x^2/4-x/2+11/4`: `(2+1/4-1/2-11/4)(1+1/4+1/2-11/4)>0` - подходит.
    `y=x^2+4x+2`: `(2-1+4-2)(1-1-4-2)<0` - не подходит.
    `y=x^2-1`: `(2-1+1)(1-1+1)>0` - подходит.
    `y=-x^2/2+2`: `(2+1/2-2)(1+1/2-2)<0` - не подходит.
    `y=-x^2/2+2x-1`: `(2+1/2+2+1)(1+1/2-2+1)>0` - подходит.

    Ответ: подходят `1,3` и `5` параболы.
  • Задача №2-4.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифра одинаковы; вторая при этом обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(adbcda)`.
    Сколько чисел вида `bar(adbcda)` делятся на `5`?

    Решение:
    Число делится на `5`, если последняя цифра равна `0` или `5`.
    `a!=0`, иначе число не пятизначное.
    `a=5`: `d` может принимать `9` значений (от `0` до `9`, кроме `5`), `b` может принимать `8` значений, `c` может принимать `7` значений.
    Всего `9*8*7=504` числа.

    Ответ: `504`.
  • Задача №3-3.
    В треугольнике `HWO` сторона `HW` больше стороны `HO`, а точки `D` и `F` — основания перпендикуляров, опущенных на биссектрису угла `H` из точек `W` и `O` соответственно. Докажите, что прямые `WF, DO` и перпендикуляр к `HD`, восставленный в точке `H`, пересекаются в одной точке.

    Решение:
    `Ox` - биссектриса угла `H`, `Oy` - восстановленный перпендикуляр.
    `(x_1;y_1)` - координаты точки `W`, `(x_2;y_2)` - координаты точки `O`,
    `(x_1;0)` - координаты точки `D`, `(x_2;0)` - координаты точки `F`.
    `(x_1)/(y_1)=(x_2)/(y_2)=-1`, поскольку тангенс угла наклона прямых `HW` и `HO` отличается на `-1`.
    Уравнение прямой `WF`: `y=x*(y_1)/(x_1-x_2)-(x_2y_1)/(x_1-x_2)`.
    Уравнение прямой `OD`: `y=x*(y_2)/(x_2-x_1)-(x_1y_2)/(x_2-x_1)`.
    Найдем точки пересечения этих прямых с `Oy`:
    `WF`: `x=0 => y=-(x_2y_1)/(x_1-x_2)`,
    `OD`: `x=0 => y=-(x_1y_2)/(x_2-x_1)`.
    Но `(x_1)/(y_1)=(x_2)/(y_2)=-1 =>` ординаты точек пересечения совпадают.
    Доказано.

    Ответ: доказано.
  • Задача №3-4.
    В треугольнике `XYZ` сторона `YZ` в два раза больше стороны `XZ`. На стороне `YZ` выбрана точка `W` так, что углы `ZXW` и `ZYX` равны. Прямая `XW` пересекает биссектрису внешнего угла при вершине `Z` в точке `A`. Докажите, что угол `YAZ` прямой.

    Решение:
    image
    Пусть `XZ=x => YZ=2x`.
    Треугольники `XYZ` и `XWZ` подобны по углам (один угол общий, `/_ZYX=/_ZXW`).
    `(XZ)/(WZ)=(YZ)/(XZ)=(XY)/(XW)=2 => WZ=x/2`.
    `/_XZY=2beta => /_YZA=pi/2-beta`.
    `(WA)/(sin(pi/2-beta))=(x/2)/(sin/_XAZ)`,
    `(XA)/(sin(pi/2+beta))=x/(sin/_XAZ)`,
    `WA=1/2XA => WA=XW => XY=XA`.
    Треугольник `XYA` равнобедренный.
    Пусть `/_ZYX=/_ZXW=alpha`.
    `/_YWX=alpha+2beta, /_YXA=pi-2alpha-2beta => /_XYA=/_XAY=alpha+beta`.
    Следовательно, `/_ZYA=beta => /_YAZ=pi-(pi/2-beta)-beta=pi/2`.

    Ответ: доказано.
  • Задача №4-4.
    Докажите, что для каждого нечётного `k>1` найдутся три взаимно простых в совокупности натуральных числа `A, B, C` таких, что `A^2+2B^2+4C^2=3^k`.

    Решение:
    `k=2n+1, A=3^n => 3^(2n)+2B^2+4C^2=3^(2n+1)`,
    `B^2+2C^2=3^(2n)`.
    Покажем, что для любого натурального `m` найдутся такие `a,b`, для которых выполняется равенство `a^2+2b^2=3^m`.
    `m=1 => a=1,b=1`.
    Пусть `a^2+2b^2=3^(m-1) => (a-2b)^2+2(a+b)^2=3a^2+6b^2=3^m`, или `(a+2b)^2+2(a-b)^2=3^m`.
    Чтобы выполнилось условие взаимной простоты (в совокупности) чисел `A,B,C`, достаточно, чтобы `a,b` не делились на `3`.
    В зависимости от остатков `a,b` выбираем пару `(|a-2b|,a+b)` или пару `(a+2b,|a-b|)`. Первая пара не делится на `3`, если `a,b` дают одинаковые остатки при делении на `3`, вторая пара не делится на `3`, если `a,b` дают разные остатки.
    `|a-2b|, |a-b|` не равны `0`, поскольку при выборе подходящей пары, эти числа не делятся на `3`, а значит не равны `0`.
    Таким образом, по индукции можем построить необходимое решение `(A,B,C)` для любого натурального `n`.

    Ответ: доказано.
  • Задача №1-5.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(-3,0)` и `B(3,3)` лежат по разные стороны.
    `y=-x^2-6x-6`,
    `y=x^2/2+2x+4`,
    `y=-2x^2+12x-16`,
    `y=-x^2+1`,
    `y=x^2/2-x+1/2`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по разные стороны от нее при выполнении следующего условия:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))<0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Положительный знак будет в тех случаях, когда обе точки лежат над (внутри) или под (вне) параболой.
    Проверим все наши параболы:
    `y=-x^2-6x-6`: `(0+9-18+6)(3+9+18+6)<0` - подходит.
    `y=x^2/2+2x+4`: `(0-9/2+6-4)(3-9/2-6-4)>0` - не подходит.
    `y=-2x^2+12x-16`: `(0+18+36+16)(3+18-36+16)>0` - не подходит.
    `y=-x^2+1`: `(0+9-1)(3+9-1)>0` - не подходит.
    `y=x^2/2-x+1/2`: `(0-9/2-3-1/2)(3-9/2+3-1/2)<0` - подходит.

    Ответ: подходят `1` и `5` параболы.
  • Задача №2-5.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифра одинаковы; вторая при этом обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(bacbad)`.
    Сколько четных чисел вида `bar(bacbad)` делятся на `5`?

    Решение:
    Число делится на `5`, если последняя цифра равна `0` или `5`.
    `d!=5`, иначе число не четное.
    `d=0`: `b` может принимать `9` значений (от `1` до `9`), `a` может принимать `8` значений (кроме `b` и `0`), `c` может принимать `7` значений.
    Всего `9*8*7=504` числа.

    Ответ: `504`.
  • Задача №1-6.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(-2,-2)` и `B(4,3)` лежат по разные стороны.
    `y=-x^2-2x-1`,
    `y=-x^2/2+3x-4`,
    `y=-x^2+10x-22`,
    `y=-x^2-2x+3`,
    `y=-x^2/2+3x+7/2`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по разные стороны от нее при выполнении следующего условия:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))<0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Положительный знак будет в тех случаях, когда обе точки лежат над (внутри) или под (вне) параболой.
    Проверим все наши параболы:
    `y=-x^2-2x-1`: `(-2+4-4+1)(3+16+8+1)<0` - подходит.
    `y=-x^2/2+3x-4`: `(-2+2+6+4)(3+8-12+4)>0` - не подходит.
    `y=-x^2+10x-22`: `(-2+4+20+22)(3+16-40+22)>0` - не подходит.
    `y=-x^2-2x+3`: `(-2+4-4-3)(3+16+8-3)<0` - подходит.
    `y=-x^2/2+3x+7/2`: `(-2+2+6-7/2)(3+8-12-7/2)<0` - подходит.

    Ответ: подходят `1,4` и `5` параболы.
  • Задача №2-6.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифра одинаковы; вторая при этом обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(bccca)`.
    Сколько нечетных чисел вида `bar(bccca)` делятся на `5`?

    Решение:
    Число делится на `5`, если последняя цифра равна `0` или `5`.
    `a!=0`, иначе число четное.
    `a=5`: `b` может принимать `8` значений (от `1` до `9`, кроме `5`), `c` может принимать `8` значений (от `0` до `9`, кроме `b` и `5`).
    Всего `8*8=64` числа.

    Ответ: `64`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике