ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2015-2016 / Задания и решения
  • Задача №3-5.
    Диагонали трапеции `RSQT` с основаниями `RS` и `QT` пересекаются в точке `A` под прямым углом. Известно, что основание `RS` больше основания `QT` и угол `R` прямой. Биссектриса угла `RAT` пересекает `RT` в точке `U`, а прямая, проходящая через точку `U` параллельно `RS`, пересекает прямую `SQ` в точке `W`. Докажите, что `UW=RT`.

    Решение:
    image
    Прямоугольные треугольники `RTQ` и `RTA` подобны, поскольку один из острых углов общий.
    Аналогично, подобны прямоугольные треугольники `RTQ` и `ATQ`.
    Следовательно, прямоугольные треугольники `RTA` и `ATQ` также подобны.
    `/_RTA=/_TQA, /_ATQ=/_ART`.
    `(RT)/(QT)=(RA)/(AT)=(AT)/(AQ)=1/k`.
    По свойству биссектрисы `(AT)/(RA)=(TU)/(UR)=k`.
    `RA=x => AT=kx => RT=xsqrt(1+k^2)`.
    `AQ=k^2x, QT=xksqrt(1+k^2)`.
    `(AS)/(RA)=(AT)/(AQ)=1/k => AS=x/k`.
    `RS=x/ksqrt(1+k^2)`.
    `(RS)/(UX)=(RT)/(TU)=1+1/k=(k+1)/k`.
    `X` - точка пересечения `TS` и `UW`.
    Из треугольника `RTS`:
    `UX=RS*k/(k+1)=(xsqrt(1+k^2))/(k+1)`.
    `(QT)/(XW)=(SQ)/(SW)=1+(QW)/(SW)=1+k`.
    Из треугольника `SQT`:
    `XW=(QT)/(1+k)=(xksqrt(1+k^2))/(1+k)`.
    `UW=UX+XW=(xsqrt(1+k^2))/(1+k)(1+k)=xsqrt(1+k^2)=RT`.

    Ответ: доказано.
  • Задача №4-5.
    Укажите все натуральные `n>=2` такие, что число `1/n` записывается конечной десятичной дробью `0,bar(c_1c_2...c_k)` сумма цифр которой `c_1+c_2+...+c_k` равна `n`.

    Решение:
    `bar(xy)` означает десятичную запись числа.
    `1/n=0,bar(c_1c_2...c_k)`,
    `bar(c_1c_2...c_k)=c => 1/n=c/10^k => cn=10^k`.
    `n<=9k => c>=(10^k)/(9k)>(10^(k-1))/k>=10^(k-2) => c_2>=1`.
    `10^(k-2)c_2n<=10^k => c_2n<=100 => n<=100`.
    Делителями `n` могут быть только `2` и `5`.
    `n=2^a*5^b`: `2, 4, 8, 16, 32, 64`,
    `5, 10, 20, 40, 80`,
    `25, 50, 100`.
    `1/n`: `0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625`,
    `0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.0125`,
    `0.04, 0.02, 0.01`.
    Подходит только `n=8`.

    Ответ: `n=8`.
  • Задача №2-7.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифра одинаковы; вторая при этом обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(adabcd)`.
    Сколько нечетных чисел вида `bar(adabcd)` делятся на `5`?

    Решение:
    Число делится на `5`, если последняя цифра равна `0` или `5`.
    `d!=0`, иначе число четное.
    `d=5`: `a` может принимать `8` значений (от `1` до `9`, кроме `5`), `b` может принимать `8` значений (от `0` до `9`, кроме `a` и `5`), `c` может принимать `7` оставшихся значений.
    Всего `8*8*7=448` чисел.

    Ответ: `448`.
  • Задача №3-6.
    В треугольнике `GYN` сторона `GN` в два раза меньше стороны `YN`. На стороне `YN` выбрана точка `A` так, что угол `NGA` равен углу `NYG`. Прямая `GA` пересекает биссектрису внешнего угла при вершине `N` в точке `E`. Докажите, что угол `YEN` прямой.

    Решение:
    image
    Пусть `GN=x => YN=2x`.
    Треугольники `GYN` и `GAN` подобны по углам (один угол общий, `/_NYG=/_NGA`).
    `(GN)/(AN)=(YN)/(GN)=(GY)/(GA)=2 => AN=x/2`.
    `/_GNY=2beta => /_YNE=pi/2-beta`.
    `(AE)/(sin(pi/2-beta))=(x/2)/(sin/_GEN)`,
    `(GE)/(sin(pi/2+beta))=x/(sin/_GEN)`,
    `AE=1/2GE => AE=GA => GY=GE`.
    Треугольник `GYE` равнобедренный.
    Пусть `/_NYG=/_NGA=alpha`.
    `/_YAG=alpha+2beta, /_YGE=pi-2alpha-2beta => /_GYE=/_GEY=alpha+beta`.
    Следовательно, `/_NYE=beta => /_YEN=pi-(pi/2-beta)-beta=pi/2`.

    Ответ: доказано.
  • Задача №2-8.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифры одинаковы; вторая при это обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(abbbc)`.
    Сколько чисел вида `bar(abbbc)` делятся на `2`?

    Решение:
    Число делится на `2`, если последняя цифра четная - принимает значения `0, 2, 4, 6, 8`.
    `c` может принимать `5` значений, осталось найти количество чисел вида `bar(ab)`, при этом надо учесть, что `a,b` не равны `c`.
    `1<=a<=9, 0<=b<=9`.
    `c=0`: тогда `a` может принимать `9` значений, `b` - `8` значений (кроме `0` и `a`). Всего `9*8=72` числа нужного вида.
    `c!=0`: тогда `a` может принимать `8` значений, `b` - `8` значений (кроме `c` и `a`).
    Для каждого из остальных `c` будет `8*8=64` числа.
    Всего чисел `72+4*64=328`.

    Ответ: `328`.
  • Задача №1-7.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(-1;-1)` и `B(0;2)` лежат по одну сторону.
    `y=2x^2+4x`,
    `y=x^2/2-x-3/2`,
    `y=-x^2+2x-1`,
    `y=-x^2-4x-3`,
    `y=-x^2+3`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по одну сторону от нее при выполнении следующего условия:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))>0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Проверим все наши параболы:
    `y=2x^2+4x`: `(-1-2+4)(2-0)>0` - подходит.
    `y=x^2/2-x-3/2`: `(-1-1/2-1+3/2)(2+3/2)<0` - не подходит.
    `y=-x^2+2x-1`: `(-1+1+2+1)(2+1)>0` - подходит.
    `y=-x^2-4x-3`: `(-1+1-4+3)(2+3)<0` - не подходит.
    `y=-x^2+3`: `(-1+1-3)(2-3)>0` - подходит.

    Ответ: подходят `1,3` и `5` параболы.
  • Задача №4-6.
    Числа `S_1, S_2, ..., S_1008` таковы, что их сумма равна `2016^2`. Известно, что
    `(S_1)/(S_1+1)=(S_2)/(S_2+3)=(S_3)/(S_3+5)=...=(S_1008)/(S_1008+2015)`.
    Найдите `S_17`.

    Решение:
    Если `S_i=0 =>` все числа равны `0`, следовательно их сумма не может быть равна `2016^2`.
    Перевернем все дроби:
    `(S_1+1)/(S_1)=(S_2+3)/(S_2)=...=(S_1008+2015)/(S_1008)`,
    `1+1/(S_1)=1+3/(S_2)=...=1+2015/(S_1008)`,
    `S_1=(S_2)/3=...=(S_1008)/2015`.
    Все равенства можем записать в виде `S_i=(2i-1)S_1`.
    По условию, `S_1+S_2+...+S_1008=2016^2`,
    `S_1+3S_1+5S_1+...+2015S_1=2016^2`,
    `S_1(1+3+5+...+2015)=2016^2`.
    `1+2+3+...+2015=(2015*2016)/2=2015*1008`.
    `2+4+...+2014=2(1+2+...+1007)=1007*1008`.
    `1+3+5+...+2015=2015*1008-1007*1008=1008^2`.
    Тогда, `S_1=4 => S_17=33S_1=132`.

    Ответ: `132`.
  • Задача №4-7.
    На полоске написаны по порядку числа от `1` до `1606`. Полоску разрезали на несколько частей, и оказалось, что среднее арифметическое всех чисел первой части равно некоторому натуральному `N`, второй части — `2N`, третьей — `3N` и т.д. При каких `N` это возможно?

    Решение:
    Будем считать, что разрезы полоски проходят между числами и не разрезают их.
    Формула суммы арифметической прогрессии `S_n=(a_1+a_n)/2*n`.
    Из нее следует, что среднее арифметическое последовательных чисел `n,n+1,...,m` равно `(n+m)/2`.
    Пусть в первой части `k` чисел (от `1` до `k`).
    `k=1 => N=1 =>` каждая следующая часть состоит из `1` числа. Например, если во второй части больше `1` числа (`n>=2` - последнее число), то их среднее арфиметическое равно `(2+n)/2>=5/2>2`.
    `k>=2`: Среднее арифметическое равно `(1+k)/2`.
    По условию, `(1+k)/2=N` - натуральное число, поэтому `k` - нечетно.
    `k=2m+1 => N=m+1 => 2N=2m+2` - следующая часть состоит из одного числа `2m+2`.
    Пусть третья часть состоит из чисел `2m+3,...,n`.
    Среднее арифметическое:
    `(2m+3+n)/2=3N => n=6N-2m-3=4m+3`.
    В третьей части `2m+1` чисел. Аналогично, в четвертой части одно число, равное `4m+4`.
    Легко доказать, что в частях с нечетными номерами по 2m+1 чисел, в частях с четными номерами по `1` числу.
    Общее число частей не может быть нечетным, иначе получим, что общее количество чисел (`1606`) нечетно.
    Поэтому  у нас четное число частей, тогда `1606` делится на `2m+2`.
    `803=11*73` делится на `m+1=N => N=11,73,803`.

    Ответ: `N=1,11,73,803`.
  • Задача №4-8.
    Сумма чисел `a_1, a_2,..., a_1008` равна `2016^2`. Известно, что
    `(a_1)/(a_1+1)=(a_2)/(a_2+3)=(a_3)/(a_3+5)=...=(a_1008)/(a_1008+2015)`.
    Найдите `a_13`.

    Решение:
    Если `a_i=0 =>` все числа равны `0`, следовательно их сумма не может быть равна `2016^2`.
    Перевернем все дроби:
    `(a_1+1)/(a_1)=(a_2+3)/(a_2)=...=(a_1008+2015)/(a_1008)`,
    `1+1/(a_1)=1+3/(a_2)=...=1+2015/(a_1008)`,
    `a_1=(a_2)/3=...=(a_1008)/2015`.
    Все равенства можем записать в виде `a_i=(2i-1)a_1`.
    По условию, `a_1+a_2+...+a_1008=2016^2`,
    `a_1+3a_1+5a_1+...+2015a_1=2016^2`,
    `a_1(1+3+5+...+2015)=2016^2`.
    `1+2+3+...+2015=(2015*2016)/2=2015*1008`.
    `2+4+...+2014=2(1+2+...+1007)=1007*1008`.
    `1+3+5+...+2015=2015*1008-1007*1008=1008^2`.
    Тогда, `a_1=4 => a_13=25a_1=100`.

    Ответ: `100`.
  • Задача №3-7.
    В треугольнике `KIA` сторона `KA` меньше стороны `KI`, а точки `R` и `E` — основания перпендикуляров, опущенных на биссектрису угла `K` из точек `I` и `A` соответственно. Докажите, что прямые `IE`, `RA` и перпендикуляр к `KR`, восставленный в точке `K`, пересекаются в одной точке.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике