ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2015-2016 / Задания и решения
  • Задача №2-9.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифры одинаковы; вторая при это обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(ab badc)`.
    Сколько чисел вида `bar(ab badc)` делятся на `2`?

    Решение:
    Число делится на `2`, если последняя цифра четная - принимает значения `0, 2, 4, 6, 8`.
    `c` может принимать `5` значений, осталось найти количество чисел вида `bar(abd)`, при этом надо учесть, что `a,b,d` не равны `c`.
    `1<=a<=9`, `0<=b,d<=9`.
    `c=0`: тогда `a` может принимать `9` значений, `b` - `8` значений (кроме `0` и `a`), `d` - `7` значений (кроме `0,a,b`). Всего `9*8*7=504` чисел нужного вида.
    Для каждого из остальных `c` будет `8*8*7=448` чисел.
    Всего чисел `504+4*448=2296`.

    Ответ: `2296`.
  • Задача №2-10.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифры одинаковы; вторая при это обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(ab bca)`.
    Сколько чисел вида `bar(ab bca)` делятся на `2`?

    Решение:
    Число делится на `2`, если последняя цифра четная - принимает значения `0, 2, 4, 6, 8`.
    `a` может принимать `4` значения (кроме `0`), осталось найти количество чисел вида `bar(bc)`, при этом надо учесть, что `b,c` не равны `a`.
    `0<=b,c<=9`.
    `a=2`: тогда `b` может принимать `9` значений, `c` - `8` значений (кроме `b` и `a`). Всего `9*8=72` числа нужного вида.
    Для каждого из остальных `a` тоже будет `9*8=72` числа.
    Всего чисел `4*72=288`.

    Ответ: `288`.
  • Задача №2-11.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифры одинаковы; вторая при это обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(ca ab b)`.
    Сколько чисел вида `bar(ca ab b)` делятся на `2`?

    Решение:
    Число делится на `2`, если последняя цифра четная - принимает значения `0, 2, 4, 6, 8`.
    `b` может принимать `5` значений, осталось найти количество чисел вида `bar(ca)`, при этом надо учесть, что `a,c` не равны `b`.
    `1<=c<=9, 0<=a<=9`.
    `b=0`: тогда `c` может принимать `9` значений, `a` - `8` значений (кроме `0` и `c`). Всего `9*8=72` числа нужного вида.
    `b!=0`: тогда `c` может принимать `8` значений, `a` - `8` значений (кроме `c` и `a`).
    Для каждого из остальных `b` будет `8*8=64` числа.
    Всего чисел `72+4*64=328`.

    Ответ: `328`.
  • Задача №4-9.
    На полоске написаны по порядку числа от `1` до `1598`. Полоску разрезали на несколько частей, и оказалось, что среднее арифметическое всех чисел первой части равно некоторому натуральному `n`, второй части — `2n`, третьей — `3n` и т.д. При каких `n` это возможно?

    Решение:
    Будем считать, что разрезы полоски проходят между числами и не разрезают их.
    Формула суммы арифметической прогрессии `S_n=(a_1+a_n)/2*n`.
    Из нее следует, что среднее арифметическое последовательных чисел `p,p+1,...,m` равно `(p+m)/2`.
    Пусть в первой части `k` чисел (от `1` до `k`).
    `k=1 => n=1 =>` каждая следующая часть состоит из `1` числа. Например, если во второй части больше `1` числа (`p>=2` - последнее число), то их среднее арфиметическое равно `(2+p)/2>=5/2>2`.
    `k>=2`: Среднее арифметическое равно `(1+k)/2`.
    По условию, `(1+k)/2=n` - натуральное число, поэтому `k` - нечетно.
    `k=2m+1 => n=m+1 => 2n=2m+2` - следующая часть состоит из одного числа `2m+2`.
    Пусть третья часть состоит из чисел `2m+3,...,p`.
    Среднее арифметическое:
    `(2m+3+p)/2=3n => n=6n-2m-3=4m+3`.
    В третьей части `2m+1` чисел. Аналогично, в четвертой части одно число, равное `4m+4`.
    Легко доказать, что в частях с нечетными номерами по `2m+1` чисел, в частях с четными номерами по `1` числу.
    Общее число частей не может быть нечетным, иначе получим, что общее количество чисел (`1598`) нечетно.
    Поэтому  у нас четное число частей, тогда `1598` делится на `2m+2`.
    `799=17*47` делится на `m+1=n => n=17,47,799`.

    Ответ: `n=1,17,47,799`.
  • Задача №3-8.
    В выпуком четырёхугольнике `KLNM` с равными углами `LKM` и `LNM` биссектриса угла `KLN` делит сторону `NM` пополам. Известно, что сторона `MN` в три раза больше стороны `KM`. Найдите отношение `(KL)/(LN)`.

    Решение:
    image
    `LA` - биссектриса угла `KLN`, тогда `NA=AM=3x, KM=2x`.
    Через точку `A` проведем прямую, параллельную `KM`. Эта прямая пересекает `KL` в точке `B`.
    `/_LBA=/_LKM=/_LNM, /_BLA=/_NLA => /_LAB=/_LAN`.
    Треугольники `LAB` и `LAN` подобны.
    `LA` - общая сторона, поэтому треугольники равны.
    `LN=LB => (KL)/(LN)=(KL)/(LB)=1+(KB)/(LB)`.
    Пусть `/_LKM=/_LNM=alpha, /_KLA=/_NLA=beta`.
    Тогда, `/_LAB=/_LAN=pi-alpha-beta, /_BAN=2pi-2alpha-2beta, /_BAM=2alpha+2beta-pi`.
    Треугольник `BAM`: `/_ABM=/_AMB=pi/2-1/2/_BAM=pi-alpha-beta`.
    `/_KBM=pi-alpha-(pi-alpha-beta)=beta`.
    Треугольники `BKM` и `BAL` подобны.
    `(KB)/(LB)=(KM)/(AB)=(2x)/(3x)=2/3`.
    `(KL)/(LN)=1+2/3=5/3`.

    Ответ: `5/3`.
  • Задача №1-8.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(-3;3)` и `B(2;1)` лежат по одну сторону.
    `y=x^2/2+2x+4`,
    `y=-x^2/4+x+3`,
    `y=-x^2+1`,
    `y=-x^2/2+3x-5/2`,
    `y=x^2+6x+9`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по одну сторону от нее при выполнении следующего условия:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))>0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Проверим все наши параболы:
    `y=x^2/2+2x+4`: `(3-9/2+6-4)(1-2-4-4)<0` - не подходит.
    `y=-x^2/4+x+3`: `(3+9/4+3-3)(1+1-2-3)<0` - не подходит.
    `y=-x^2+1`: `(3+9-1)(1+4-1)>0` - подходит.
    `y=-x^2/2+3x-5/2`: `(3+9/2+9+5/2)(1+2-6+5/2)<0` - не подходит.
    `y=x^2+6x+9`: `(3-9+18-9)(1-4-12-9)<0` - не подходит.

    Ответ: подходит `3` парабола.
  • Задача №1-9.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(-1,3)` и `B(1,-1)` лежат по разные стороны.
    `y=x^2+1`,
    `y=x^2/2+2x+5`,
    `y=-x^2+2x+2`,
    `y=-2x^2-8x-8`,
    `y=2x^2+8x+8`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по разные стороны от нее при выполнении следующего условия:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))<0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Положительный знак будет в тех случаях, когда обе точки лежат над (внутри) или под (вне) параболой.
    Проверим все наши параболы:
    `y=x^2+1`: `(3-1-1)(-1-1-1)>0` - не подходит.
    `y=x^2/2+2x+5`: `(3-1/2+2-5)(-1-1/2-2-5)>0` - не подходит.
    `y=-x^2+2x+2`: `(3+1+2-2)(-1+1-2-2)<0` - подходит.
    `y=-2x^2-8x-8`: `(3+2-8+8)(-1+2+8+8)>0` - не подходит.
    `y=2x^2+8x+8`: `(3-2+8-8)(-1-2-8-8)<0` - подходит.

    Ответ: подходят `3` и `5` параболы.
  • Задача №3-7.
    В треугольнике `KIA` сторона `KA` меньше стороны `KI`, а точки `R` и `E` — основания перпендикуляров, опущенных на биссектрису угла `K` из точек `I` и `A` соответственно. Докажите, что прямые `IE`, `RA` и перпендикуляр к `KR`, восставленный в точке `K`, пересекаются в одной точке.

    Решение:
    `Ox` - биссектриса угла `K`, `Oy` - восстановленный перпендикуляр.
    `(x_1;y_1)` - координаты точки `I`, `(x_2;y_2)` - координаты точки `A`,
    `(x_1;0)` - координаты точки `R`, `(x_2;0)` - координаты точки `E`.
    `(x_1)/(y_1)=(x_2)/(y_2)=-1`, поскольку тангенс угла наклона прямых `KI` и `KA` отличается на `-1`.
    Уравнение прямой `IE`: `y=x*(y_1)/(x_1-x_2)-(x_2y_1)/(x_1-x_2)`.
    Уравнение прямой `AR`: `y=x*(y_2)/(x_2-x_1)-(x_1y_2)/(x_2-x_1)`.
    Найдем точки пересечения этих прямых с `Oy`:
    `IE`: `x=0 => y=-(x_2y_1)/(x_1-x_2)`,
    `AR`: `x=0 => y=-(x_1y_2)/(x_2-x_1)`.
    Но `(x_1)/(y_1)=(x_2)/(y_2)=-1 =>` ординаты точек пересечения совпадают.
    Доказано.

    Ответ: доказано.
  • Задача №2-12.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифры одинаковы; вторая при это обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(adbacb)`.
    Сколько чисел вида `bar(adbacb)` делятся на `2`?

    Решение:
    Число делится на `2`, если последняя цифра четная - принимает значения `0, 2, 4, 6, 8`.
    `b` может принимать `5` значений, осталось найти количество чисел вида `bar(acd)`, при этом надо учесть, что `a,c,d` не равны `b`.
    `1<=a<=9`, `0<=c,d<=9`.
    `b=0`: тогда `a` может принимать `9` значений, `c` - `8` значений (кроме `0` и `a`), `d` - `7` значений (кроме `0,a,c`). Всего `9*8*7=504` чисел нужного вида.
    Для каждого из остальных `b` будет `8*8*7=448` чисел.
    Всего чисел `504+4*448=2296`.

    Ответ: `2296`.
  • Задача №2-13.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифра одинаковы; вторая при этом обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(cabc c)`.
    Сколько чисел вида `bar(cabc c)` делятся на `5`?

    Решение:
    Число делится на `5`, если последняя цифра равна `0` или `5`.
    `c!=0`, иначе число не пятизначное.
    `c=5`: `a` может принимать `9` значений (от `0` до `9`, кроме `5`), `b` может принимать `8` значений (от `0` до `9`, кроме `a` и `5`).
    Всего `9*8=72` числа.

    Ответ:
    `72`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике