ОММО 2019
Условия и ответы ОММО (все варианты).
info@olympiads.biz - почта для подключения следующих олимпиад.

Отборочный этап олимпиады школьников СПбГУ по математике 2015-2016 / Задания и решения
  • Задача №1-10.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(-2,2)` и `B(3,1)` лежат по разные стороны.
    `y=x^2+4x+4`,
    `y=2x^2-2x+7`,
    `y=-x^2+6x+7`,
    `y=-x^2`,
    `y=-x^2/2-x+5/2`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по разные стороны от нее при выполнении следующего условия:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))<0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Положительный знак будет в тех случаях, когда обе точки лежат над (внутри) или под (вне) параболой.
    Проверим все наши параболы:
    `y=x^2+4x+4`: `(2-4+8-4)(1-9-12-4)<0` - подходит.
    `y=2x^2-2x+7`: `(2-8-4-7)(1-18+6-7)>0` - не подходит.
    `y=-x^2+6x+7`: `(2+4+12-7)(1+9-18-7)<0` - подходит.
    `y=-x^2`: `(2+4)(1+9)>0` - не подходит.
    `y=-x^2/2-x+5/2`: `(2+2-2-5/2)(1+9/2+3-5/2)<0` - подходит.

    Ответ: подходят `1,3` и `5` параболы.
  • Задача №1-11.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(2;0)` и `B(4;2)` лежат по одну сторону.
    `y=-2x^2+16x+29`,
    `y=x^2/2-3x+7/2`,
    `y=2x^2-12x+17`,
    `y=-x^2+5`,
    `y=-x^2/4+2x-1`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по одну сторону от нее при выполнении следующего условия:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))>0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Проверим все наши параболы:
    `y=-2x^2+16x+29`: `(0+8-32-29)(2+32-64-29)>0` - подходит.
    `y=x^2/2-3x+7/2`: `(0-2+6-7/2)(2-8+12-7/2)>0` - подходит.
    `y=2x^2-12x+17`: `(0-8+24-17)(2-32+48-17)<0` - не подходит.
    `y=-x^2+5`: `(0+4-5)(2+16-5)<0` - не подходит.
    `y=-x^2/4+2x-1`: `(0+1-4+1)(2+4-8+1)>0` - подходит.

    Ответ: подходят `1,2` и `5` параболы.
  • Задача №2-14.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифры одинаковы; вторая при это обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(bcacb)`.
    Сколько чисел вида `bar(bcacb)` делятся на `2`?

    Решение:
    Число делится на `2`, если последняя цифра четная - принимает значения `0, 2, 4, 6, 8`.
    `b` может принимать `4` значения (кроме `0`), осталось найти количество чисел вида `bar(ac)`, при этом надо учесть, что `a,c` не равны `b`.
    `0<=a,c<=9`.
    `b=2`: тогда `a` может принимать `9` значений, `c` - `8` значений (кроме `b` и `a`). Всего `9*8=72` числа нужного вида.
    Для каждого из остальных `b` тоже будет `9*8=72` числа.
    Всего чисел `4*72=288`.

    Ответ: `288`.
  • Задача №2-15.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифра одинаковы; вторая при этом обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(abcba)`.
    Сколько чисел вида `bar(abcba)` делятся на `5`?

    Решение:
    Число делится на `5`, если последняя цифра равна `0` или `5`.
    `a!=0`, иначе число не пятизначное.
    `a=5`: `b` может принимать `9` значений (от `0` до `9`, кроме `5`), `c` может принимать `8` значений (от `0` до `9`, кроме `b` и `5`).
    Всего `9*8=72` числа.

    Ответ: `72`.
  • Задача №2-16.
    Будем говорить, что число имеет вид `bar(aba)`, если у него первая и третья цифра одинаковы; вторая при этом обязана быть другой. Например, `101` и `292` имеют такой вид, а `222` и `123` не имеют.
    Аналогичным образом определим вид числа `bar(a a abc)`.
    Сколько четных чисел вида `bar(a a abc)` делятся на `5`?

    Решение:
    Число делится на `5`, если последняя цифра равна `0` или `5`.
    `c!=5`, иначе число не четное.
    `c=0`: `a` может принимать `9` значений (от `1` до `9`), `b` может принимать `8` значений (кроме `b` и `0`).
    Всего `9*8=72` числа.

    Ответ: `72`.
  • Задача №1-12.
    Из указанных ниже парабол выберите те, по отношению к которым точки `A(0;-2)` и `B(2;2)` лежат по одну сторону.
    `y=x^2`,
    `y=x^2/2-x+1/2`,
    `y=x^2/2-x-1/2`,
    `y=-2x^2-4x-1`,
    `y=-x^2+5`.

    Решение:
    Пусть нам дана парабола `y=f(x)`.
    Точки `A(x_1;y_1), B(x_2;y_2)` будут лежать по одну сторону от нее при выполнении следующего условия:
    `(y_1-f(x_1))(y_2-f(x_2))>0`.
    Равенство будет в том случае, если одна из точек лежит на параболе, что не подходит по условию.
    Проверим все наши параболы:
    `y=x^2`: `(-2-0)(2-4)>0` - подходит.
    `y=x^2/2-x+1/2`: `(-2-1/2)(2-2+2-1/2)<0` - не подходит.
    `y=x^2/2-x-1/2`: `(-2+1/2)(2-2+2+1/2)<0` - не подходит.
    `y=-2x^2-4x-1`: `(-2+1)(2+8+8+1)<0` - не подходит.
    `y=-x^2+5`: `(-2-5)(2+4-5)<0` - не подходит.

    Ответ: подходит `1` парабола.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике