Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Объединенная межвузовская математическая олимпиада 2015-2016 / «ОММО» 2016 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Объединенная межвузовская математическая олимпиада 2015-2016. «ОММО» 2016. Задания и решения по математике.

    Объединенная межвузовская математическая олимпиада 2015-2016


    Стартовала «Объединенная межвузовская математическая олимпиада» 2015-2016. В прошлом учебном году никаких принципиальных изменений не произошло. Уровень олимпиады остался прежним - 2-ой. Особенностью данной олимпиады является большое число участников (больше 5000 абитуриентов) и призеров (почти 1000). Критерии получения дипломов тоже достаточно низкие. В прошлом учебном году для диплома третьей степени было достаточно 4 задач (из 10), для второй степени - 7 задач, для 1 степени - 9 задач.
    Данная олимпиада дает льготы почти во все вузы, кроме, возможно МГУ и НИУ ВШЭ. При этом часто льгота бывает первого порядка, т.е. поступление без экзаменов на любые специальности, где профильный предмет - математика.
    Задания и решения олимпиады по математике «ОММО 2016» (отборочный этап) выкладываются на нашем форуме, в этой теме.

    Задания и решения олимпиады «ОММО» за прошлые годы


    Олимпиада «ОММО» 2013. Задания и решения отборочного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2013. Задания и решения всех вариантов очного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2014. Задания и решения отборочного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2014. Задания и решения всех вариантов очного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2015. Задания и решения всех вариантов очного тура.

    Олимпиада «ОММО» 2016. Отборочный этап.


    Отборочный этап Объединенной межвузовской олимпиады по математике проводится в заочной форме. Необходимо пройти регистрацию на сайте Единой регистрации олимпиад. После регистрации вам будут доступны 6 заданий. Время решения не ограничено. Достаточно ввести три правильных ответа, чтобы пройти на очный тур олимпиады. Полные решения отправлять нет необходимости. Задания отборочного этапа достаточно простые. Посмотрите задания и решения отборочного этапа олимпиады «ОММО» 2015 - Объединенная межвузовская олимпиада по математике 2013.
    Как правило, вариант заданий только один. Отборочный тур олимпиады «ОММО» - один из наиболее простых, в частности, этим объясняется столько большое число участников очного тура. Отборочный тур начинается в ноябре-декабре и завершается 31 января 2016 года.
    После успешного прохождения отборочного тура вы сможете пройти регистрацию на очный тур Объединенной межвузовской математической олимпиады 2015-2016. Места проведения олимпиады - Москва (до 10 различных мест проведения), Московская область и несколько регионов. Вы должны заранее выбрать место, где вы будете писать очный тур олимпиады.

    Объединенная межвузовская олимпиада по математике 2015-2016. Очный тур.


    Очный тур олимпиады ОММО 2016 состоится 7 февраля.
  • Задача №1.
    Петя вскапывает грядку на `8` минут дольше, чем если бы он делал это вместе с Васей, а Вася вскапывает грядку на `18` минут дольше, чем если бы он делал это вместе с Петей. За какое время они вскопают грядку, работая вместе? Ответ дайте в минутах. При необходимости округлите ответ с точностью до сотых.

    Решение:
    `1` - работа, `x,y` - производительности Пети и Васи.
    По условию, `{(1/x=1/(x+y)+8),(1/y=1/(x+y)+18):}`,
    `{(y/(x(x+y))=8),(x/(y(x+y))=18):}`.
    Перемножим равенства:
    `1/(x+y)^2=8*18=144`,
    `1/(x+y)=12`.
    Это и спрашивается в условии.

    Ответ: `12`.
  • Задача №2.
    У каждого составного числа от `1` до `100` нашли наименьший простой делитель. Найдите сумму обратных величин всех этих делителей. При необходимости округлите ответ с точностью до сотых.

    Решение:
    Рассматриваем составные числа вида `ab<=100`, где `a>b>=2`.
    Следовательно, `b^2<=100 => b<=10 => p<=7`, где `p` - наименьший простой делитель.
    Найдем количество всех найденных простых делителей из набора `{2,3,5,7}`.
    `2` получим из всех четных составных чисел: `4,6,...,100` - `49` чисел.
    `3` получим из всех составных нечетных чисел, которые делятся на `3`: `9,15,21,...,99` - `16` чисел.
    `5` получим из всех составных чисел, которые не делятся на `6`, но делятся на `5`: `25, 35, 55, 65, 85, 95` - `6` чисел. Числа вида `5p`, где `p<=20` - простое число, не меньшее `5`.
    `7`: `49,77,91` - `3` числа.
    Сумма обратных величин:
    `S=49*1/2+16*1/3+6*1/5+3*1/7 = 6607/210 ~~ 31,46`.

    Ответ: `31,46`.
  • Задача №3.
    В одной урне лежат `4` зеленых и `6` красных шариков, а в другой - `16` зеленых и `N` красных. Из каждой урны наугад вытаскивают по одному шарику. Вероятность того, что шарики окажутся одного цвета, равна `0,58`. Найдите `N`.

    Решение:
    Вероятность того, что оба шарика окажутся зелеными: `4/10*16/(N+16)`.
    Вероятность того, что оба шарика окажутся красными: `6/10*N/(N+16)`.
    `4/10*16/(N+16)+6/10*N/(N+16)=0,58`,
    `(32+3N)/(5(N+16))=29/50`,
    `(32+3N)/(N+16)=29/10`,
    `320+30N=29N+464`,
    `N=144`.

    Ответ: `144`.
  • Задача №4.
    Длины диагоналей ромба `ABCD` - различные целые числа. На сторонах `AB, BC, CD` и `DA` отмечены точки `P,Q,R,S` соответственно. Оказалось, что `PQRS` - квадрат со стороной `73`, причем `PQ` параллельно `AC`. Найдите длины диагоналей ромба `ABCD`. В ответе укажите большую из диагоналей.

    Решение:
    `AC=n, BD=k`, где `n<k` - целые числа.
    Пусть `alpha` - половина острого угла ромба, `x<y` - длины отрезков, на которые делят стороны ромба точки `P,Q,R,S`.
    По теореме синусов:
    `xcosalpha=ysinalpha=73/2`.
    `{(n/2=(x+y)sinalpha),(k/2=(x+y)cosalpha):}`,
    `{(xsinalpha=n/2-73/2),(ycosalpha=k/2-73/2):}`.
    Тогда, `tanalpha=(n-73)/73=73/(k-73)`.
    `(n-73)(k-73)=73^2`.
    `73<n<k => 0<n-73<k-73`.
    `73` - простое число, поэтому возможно только одно разложение:
    `{(n-73=1),(k-73=73^2):}`,
    `{(n=74),(k=5402):}`.

    Ответ: `5402`.
  • Задача №5.
    Задачник содержит `300` задач, пронумерованных от `1` до `300`. У учительницы есть магнитики с цифрами. В начале урока она их прикрепляет на доску так, чтобы образовались номера четырех задач, которые разбираются на уроке. Какое наименьшее число магнитиков должно быть у учительницы, чтобы она могла задать на уроке любые четыре задачи?

    Решение:
    Посчитаем минимальное число магнитиков с с цифрой `1`:
    `111, 112, 113, 114` - `9` магнитиков.
    `2`: `222,223,224,225` - `9`.
    `0`: `100, 200, 300, 10` - `7`.
    `3`: `33, 133, 233, 34` - `7`.
    `4`: `44, 144, 244, 45` - `7`.
    Для всех остальных цифр тоже потребуется по `7` магнитиков.
    Особый случай: магнитики с цифрами `6` и `9`. Достаточно `8` таких магнитиков.
    Минимальное число магнитиков: `9*2+7*6+8=68`.

    Ответ: `68`.
  • Задача №6.
    Достаточно высокая цилиндрическая бочка с диаметром основания `2` до краев заполнена водой. В нее погрузили куб с ребром `4` так, что одна из главных диагоналей куба лежит на оси цилиндра (см. рис.). Найдите объем вытесненной воды. При необходимости округлите ответ с точностью до сотых.
    image

    Решение:
    Если куб не полностью погружается в бочку (в нашем случае это так), то длина ребра куба не влияет на ответ.
    Проведем сечение цилиндра (параллельное основанию) через погруженную вершину куба.
    Получим цилиндр с диаметром основания `2`, в который вписана правильная треугольная пирамида, основание пирамиды лежит на основании цилиндра.
    Искомая величина - объем пирамиды.
    `V=1/3Sh`.
    Основание пирамиды - правильный треугольник, который вписан в окружность с радиусом `1`.
    `S=S_(Delta)=(3sqrt3)/4*1^2=(3sqrt3)/4`.
    Боковая грань пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой `sqrt3`.
    Катеты равны `sqrt(3/2)`.
    Основание высоты пирамиды совпадает с центром описанной окружности.
    Рассмотрим прямоугольный треугольник, сторонами которого являются высота пирамиды, радиус окружности и боковое ребро.
    `h=sqrt(3/2-1)=sqrt(1/2)`.
    `V=1/3*(3sqrt3)/4*sqrt(1/2)=1/4sqrt(3/2) ~~ 0,31`.

    Ответ: `0,31`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике