Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Московская Математическая Олимпиада (ММО) 2015-2016 / Задания и решения заочного тура


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Отборочный этап Московской Математической Олимпиады (ММО) 2015-2016. Задания и решения.
    Заочный тур!
  • Задача №1.
    Петя вскапывает грядку на `8` минут дольше, чем если бы он делал это вместе с Васей, а Вася вскапывает грядку на `18` минут дольше, чем если бы он делал это вместе с Петей. За какое время они вскопают грядку, работая вместе? Ответ дайте в минутах. При необходимости округлите ответ с точностью до сотых.

    Решение:
    `1` - работа, `x,y` - производительности Пети и Васи.
    По условию, `{(1/x=1/(x+y)+8),(1/y=1/(x+y)+18):}`,
    `{(y/(x(x+y))=8),(x/(y(x+y))=18):}`.
    Перемножим равенства:
    `1/(x+y)^2=8*18=144`,
    `1/(x+y)=12`.
    Это и спрашивается в условии.

    Ответ: `12`.
  • Задача №2.
    Для последовательности `a_1, a_2,...` построили последовательности `b_1, b_2,...` и `c_1,c_2,...` по следующему правилу: `b_n=a_(n+1)-a_n, c_n=b_(n+1)-b_n` для каждого натурального `n`. Оказалось, что для каждого натурального `n` выполнено `c_n=1`. Найдите `a_1`, если известно, что `a_20=a_15=0`. При необходимости округлите ответ с точностью до сотых.

    Решение:
    `c_n=b_(n+1)-b_n=a_(n+2)-a_(n+1)-(a_(n+1)-a_n)=a_(n+2)-2a_(n+1)+a_n`.
    По условию, `c_n=1 => a_(n+2)+a_n=2a_(n+1)+1` для всех натуральных `n`.
    `a_3+a_1=2a_2+1`,
    `a_4+a_2=2a_3+1`,
    `a_5+a_3=2a_4+1`,
    `...`
    `a_n+a_(n-2)=2a_(n-1)+1`,
    `a_(n+1)+a_(n-1)=2a_n+1`,
    `a_(n+2)+a_n=2a_(n+1)+1`.
    Сложим все равенства и сократив подобные:
    `(a_3+...+a_(n+2))+(a_1+...+a_n)=`
    `2(a_2+...+a_(n+1))+n`,
    `a_1+a_(n+2)=a_2+a_(n+1)+n`,
    `a_(n+2)=a_(n+1)+n+(a_2-a_1)` - равенство выполняется для всех неотрицательных целых `n`.
    Пусть `a_2-a_1=a`:
    `a_3=a_2+1+a`,
    `a_4=a_3+2+a`,
    `...`
    `a_(n+2)=a_(n+1)+n+a`.
    `a_3+...+a_(n+2)=a_2+...+a_(n+1)+(n(n+1))/2+na`,
    `a_(n+2)=a_2+n(a_2-a_1)+(n(n+1))/2=(n(n+1))/2+(n+1)a_2-na_1`.
    По условию, `a_20=a_15=0`:
    `{(171+19a_2-18a_1=0),(91+14a_2-13a_1=0):}`,
    `a_1=133, a_2=117`.

    Ответ: `133`.
  • Задача №3.
    В одной урне лежат `4` зеленых и `6` красных шариков, а в другой - `16` зеленых и `N` красных. Из каждой урны наугад вытаскивают по одному шарику. Вероятность того, что шарики окажутся одного цвета, равна `0,58`. Найдите `N`.

    Решение:
    Вероятность того, что оба шарика окажутся зелеными: `4/10*16/(N+16)`.
    Вероятность того, что оба шарика окажутся красными: `6/10*N/(N+16)`.
    `4/10*16/(N+16)+6/10*N/(N+16)=0,58`,
    `(32+3N)/(5(N+16))=29/50`,
    `(32+3N)/(N+16)=29/10`,
    `320+30N=29N+464`,
    `N=144`.

    Ответ: `144`.
  • Задача №4.
    В треугольник `Delta` вписана окружность `omega`. Касательные к `omega`, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника `Delta_1, Delta_2, Delta_3`. Коэффициент подобия между треугольниками `Delta` и `Delta_1` равен `0,15`; между треугольниками `Delta_2` и `Delta` - `0,43`. Найдтие коэффициент подобия между треугольниками `Delta` и `Delta_3`. При необходимости округлите ответ с точностью до сотых.
    image

    Решение:
    Периметр маленького треугольника с вершиной `A` равен сумме расстояний из точки `A` до точек касания вписанной окружности со сторонами `AB` и `AC`. Следует из рисунка.
    image
    Аналогичное утверждение верно по отношению к двум другим маленьким треугольникам.
    Следовательно, сумма периметров маленьких треугольников равна периметру треугольника `ABC`.
    `P_1+P_2+P_3=P`.
    По условию, `P_1=0,15P, P_2=0,43P`:
    `0,15P+0,43P+P_3=P`,
    `P_3=0,42P => k_3=0,42`.

    Ответ: `0,42`.
  • Задача №5.
    Достаточно высокая цилиндрическая бочка с диаметром основания `2` до краев заполнена водой. В нее погрузили куб с ребром `4` так, что одна из главных диагоналей куба лежит на оси цилиндра (см. рис.). Найдите объем вытесненной воды. При необходимости округлите ответ с точностью до сотых.
    image

    Решение:
    Если куб не полностью погружается в бочку (в нашем случае это так), то длина ребра куба не влияет на ответ.
    Проведем сечение цилиндра (параллельное основанию) через погруженную вершину куба.
    Получим цилиндр с диаметром основания `2`, в который вписана правильная треугольная пирамида, основание пирамиды лежит на основании цилиндра.
    Искомая величина - объем пирамиды.
    `V=1/3Sh`.
    Основание пирамиды - правильный треугольник, который вписан в окружность с радиусом `1`.
    `S=S_(Delta)=(3sqrt3)/4*1^2=(3sqrt3)/4`.
    Боковая грань пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой `sqrt3`.
    Катеты равны `sqrt(3/2)`.
    Основание высоты пирамиды совпадает с центром описанной окружности.
    Рассмотрим прямоугольный треугольник, сторонами которого являются высота пирамиды, радиус окружности и боковое ребро.
    `h=sqrt(3/2-1)=sqrt(1/2)`.
    `V=1/3*(3sqrt3)/4*sqrt(1/2)=1/4sqrt(3/2) ~~ 0,31`.

    Ответ: `0,31`.
  • Задача №6.
    На вечеринку пришло `65` человек. Известно, что среди любых четверых из них найдутся трое попарно знакомых. Какое наименьшее количество пар знакомых может быть среди этих `65` человек?

    Решение:
    Пусть `A` - человек с минимальным количеством знакомых `f(A)`.
    Если `f(A)=0 =>` все остальные попарно знакомы между собой, очевидно.
    Пусть `f(A)>=1`.
    `A_1,A_2,...A_k` - не знакомы с `A`. Все они попарно знакомы между собой, достаточно взять все четверки вида `{A_i, A_j, A_n, A}`.
    `B_1,...,B_(64-k)` - знакомы с `B`. Все они попарно знакомы между собой. Пусть `B_i` не знаком с `B_j`. Возьмем четверку `{B_i, B_j, A, A_n}`. `A` не знаком с `A_n`, поэтому тройка `{B_i,B_j,A}` или `{B_i,B_j,A_n}` попарно знакома между собой. Противоречие.
    Аналогично получим, что все `A_i` знакомы со всеми `B_j`. Это следует из четверки `{A_i, A_j, A, B_n}`, где `{A_i,A_j,B_n}` - единственная возможная тройка попарно знакомых.
    Итак, все кроме `A` попарно знакомы между собой. Наименьшее количество пар знакомых равно `(64*63)/2=2016` и достигается при `f(A)=0`.
    Стоит еще отдельно рассмотреть случаи `f(A)=1` и `f(A)=63`, но скорее всего там тоже все очевидно

    Ответ: `2016`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике