Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Подготовка к очному туру ОММО - задания №1 и №6


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Материалы для экспресс-подготовки к очному туру ОММО.

    Часть 1. Задания №1 и №6. Арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательности, суммы.


    Инструкция по работе с материалами:
    1. Материалы состоят из теории, 16 задач с решениями и 11 задач для самостоятельного решения.
    2. Среднее время работы с материалами - 300-360 минут.
    3. Теория переписывается на отдельном листке, запоминается. В дальнейшем листок может использоваться в виде шпаргалки. 30-40 минут.
    4. Все задачи с решениями разбираются письменно. Устное чтение решений не сработает. Общее время - 150-180 минут.
    Записали блок решения, разобрали, записали второй блок, разобрали.
    В решениях желтым фоном выделены ключевые формулы. Красным шрифтом выделены ключевые комментарии и пояснения.
    Такая верстка удобна для восприятия скелета решения и запоминания важнейших переходов.
    5. Только после разбора всех задач с решениями приступаете к самостоятельному решению задач (блок "Аналогичные задачи").
    Решаете все аналогичные задачи, сверяетесь с ответами. Если совпали 10+ ответов, то результат положительный (следовательно, на олимпиаде вы успешно решите задачи №1 и №6). По возможности, исправляете ошибки. Общее время - 100-120 минут.

    Остальные материалы опубликованы в разделе ОММО.
    Часть вторая. Теория чисел, цифры, делимость, остатки и степени.
    Часть третья. Системы, параметр, графики, функции, логика.
    Вопросы, комментарии или замечания оставляйте в теме или отправляйте на почту ommo@olympiads.biz.
  • Прогрессии, последовательности, суммы.

    Арифметическая прогрессия.

    1. `a_n=a_1+(n-1)d`.
    2. `a_n=a_m+(n-m)d`.
    3. `S_n=(2a_1+(n-1)d)/2*n=(a_1+a_n)/2*n`.
    4. `S'=a_m+...+a_n=(a_m+a_n)/2*(n-m+1)`.
    5. Три числа `a,b,c` составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда сумма крайних равна удвоенному среднему (`a+c=2b`).
    6. Суть (главный признак) арифметической прогрессии: куча точек на числовой оси, с одинаковыми расстояниями между соседними точками. Это расстояние называется разность прогрессии `d`, а `a_1` - значение первой точки. Разность может равняться `0` (постоянная прогрессия).
    Часто дают задачи от "обратного", т.е. обычную последовательность с какими-то свойствами. В таких задачах достаточно понять (доказать), что эта последовательность является арифметической прогрессией (т.е. разность соседних членов не меняется), остальная часть (вопрос задачи) решается с помощью формул прогрессии.

    Геометрическая прогрессия.

    1. `b_n=b_1*q^(n-1)`.
    2. `b_n=b_m*q^(n-m)`.
    3. `S_n=(b_1(q^n-1))/(q-1)=(b_(n+1)-b_1)/(q-1)`.
    4. Три числа `a,b,c` составляют геометрическую прогрессиию тогда и только тогда, когда произведение крайних равно квадрату центрального (`ac=b^2`).
    5. Знаменатель прогрессии `q` может равняться `1`, тогда получаем постоянную прогрессию, где сумма `S_n=b_1*n`. Знаменатель не может равняться `0`.
    6. Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
    `S=(b_1)/(1-q)`.
    Например, `1/2+1/4+1/8+...=(1/2)/(1-1/2)=1`.

    Суммы.
    Задачи на вычисление суммы решаются "сворачиванием" суммы и/или применением известных соотношений:
    1. `1+2+3+...+n=(n(n+1))/2`. Легко получить из формулы суммы арифметической прогрессии.
    2. `1+3+5+...+2n-1=n^2`.
    3. `1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6`.
    4. Известные формулы и соотношения функций, формулы прогрессий.
    5. Пример сворачивания суммы:
    `1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/((n-1)n)=`
    `=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n`.
    Воспользовались соотношением `1/(k-1)-1/k=1/((k-1)k)`.
    6. Метод математической индукции.
    Доказываем при `n=1`.
    Предполагаем верность формулы при `n=k`.
    Доказываем формулу при `n=k+1`, используя предположение.
  • Арифметическая и геометрическая прогрессии.

    Задача №1 (ОММО 2015 - №1).

    Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет `50%` от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как `3 : 2`. Найдите количество членов этой прогрессии.

    Решение:
    `a` - первый член, `d` - разность, `n` - количество членов.
    Применяем формулу суммы прогрессии:
    `(a+a+12d)/2*13` - сумма первых тринадцати членов.
    `(a+(n-13)d+a+(n-1)d)/2*13` - сумма последних тринадцати членов.
    `(a+3d+a+(n-1)d)/2*(n-3)` - сумма без первых трех.
    `(a+a+(n-4)d)/2*(n-3)` - сумма без последних трех.
    Из условия: `{(2(a+6d)=a+(n-7)d),(2(2a+(n+2)d)=3(2a+(n-4)d)):}`,
    `{(a=(n-19)d),(2a+(n-16)d=0):}`,
    `(3n-54)d=0 => n=18`.
    `d!=0`, иначе очевидное противоречие.
    Ответ: `n=18`.

    Аналогичная задача:
    Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет `50%` от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как `4 : 3`. Найдите количество членов этой прогрессии.
    Ответ: `20`.

    Задача №2 (ОММО 2014 - №1).
    В бесконечной числовой последовательности `x_1, x_2,...,x_n,...` не все члены равны между собой. Для всех `n>=2` выполняется равенство
    `x_n=(x_(n-1)+x_n+x_(n+1))/3`.
    Найдите соотношение `(x_2012-x_1006)/(x_1006-x_503)`.

    Решение:
    `x_n=(x_(n-1)+x_n+x_(n+1))/3`,
    `3x_n=x_(n-1)+x_n+x_(n+1)`,
    `x_(n+1)-x_n=x_n-x_(n-1)` - ключевое соотношение.
    Разность соседних членов постоянна, это главный признак арифметической прогрессии.
    Положим, `d` - разность прогрессии.
    Тогда, `(x_2012-x_1006)/(x_1006-x_503)``=((2012-1006)d)/((1006-503)d)``=2` - формула прогрессии.
    Ответ: `2`.

    Аналогичная задача:
    В бесконечной числовой последовательности `x_1, x_2,...,x_n,...` не все члены равны между собой. Для всех `n>=2` выполняется разность `x_(n+1)-x_n` вдвое меньше, чем `x_(n+1)-x_(n-1)`.
    Найдите соотношение `(x_20-x_14)/(x_2014-x_2000)`.
    Ответ: `3/7`.

    Задача №3 (ОММО 2009 - №6).
    Третий, четвертый, седьмой и последний члены непостоянной арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию. Найдите число членов этой арифметической прогрессии.

    Решение:
    `a` - первый член прогрессии, `d` - разность, `n` - количество членов.
    Используем формулу арифметической прогрессии: `a+2d, a+3d, a+6d, a+(n-1)d`.
    `a+2d, a+3d, a+6d` - образуют геометрическую прогрессию. У нас четверка чисел, но мы из нее выделили первую тройку и применили признак прогрессии.
    `(a+2d)(a+6d)=(a+3d)^2` - признак геометрической прогрессии.
    `2ad+3d^2=0`,
    `d!=0` по условию `=> a=-3/2d`.
    `a+3d, a+6d, a+(n-1)d` - образуют геометрическую прогрессию. Выделили вторую тройку. Если первая и вторая тройки являются геометрическими прогрессиями, то и вся четверка является геометрической прогрессией.
    `3/2d, 9/2d, (n-5/2)d`:
    `3/2(n-5/2)d^2=81/4d^2` - признак прогрессии,
    `n-5/2=27/2 => n=16`.
    Ответ: `16`.

    Задача №4.
    Три положительных числа, составляющие арифметическую прогрессию, дают в сумме `15`. Если к ним прибавить соответственно `1,4` и `19`, то получаются три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

    Решение:
    `a+b+c=15`,
    `a+c=2b` - признак арифметической прогрессии.
    `3b=15 => b=5, a+c=10`.
    Получили тройку `a,5,10-a`.
    `a+1,9,29-a` - составляют геометрическую прогрессию.
    `(a+1)(29-a)=9^2` - признак геометрической прогрессии.
    `a=2 => c=8`.
    Ответ: `(2,5,8)`.

    Аналогичная задача:
    Три числа, сумма которых равна `78`, составляют геометрическую прогрессию. Их можно рассматривать так же, как первый, третий и девятых члены арифметической прогрессии. Найдите эти числа.
    Ответ: `(6,18,54), (26,26,26)`.

    Задача №5.
    Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна `12`, а сумма ее квадратов равна `48`. Найдите сумму первых `10` членов этой прогрессии.

    Решение:
    `b_1` - первый член прогрессии, `q` - знаменатель, при этом `|q|<1`.
    По условию, `S=(b_1)/(1-q)=12`. Формула суммы.
    Рассмотрим последовательность из квадратов:
    `b_1^2, b_2^2,...,b_n^2,...`,
    `b_1^2, b_1^2q^2,...,b_1^2(q^2)^(n-1),...`.
    Эта последовательность также является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем `q^2<1` и первым членом `b_1^2`. Ключевой вывод.
    Тогда, `S'=(b_1^2)/(1-q^2)=48`.
    `12^2/48=(S^2)/(S')=(1+q)/(1-q)`,
    `q=1/2 => b_1=6`. Быстрое решение получившейся системы.
    `S_10=(b_1*(q^10-1))/(q-1)=12(1-1/2^10)`.
    Ответ: `12(1-1/2^10)`.

    Задача №6.
    В арифметической прогрессии известны `S_m=A, S_n=B` - суммы `m` и `n` первых членов (`m!=n`). Найдите `S_(m+n)` (`A,B,m` и `n` даны).

    Решение:
    `{(2a_1+(m-1)d=(2A)/m),(2a_1+(n-1)d=(2B)/n):}`,
    `(m-n)d=(2A)/m-(2B)/n => d=(2nA-2mB)/(mn(m-n))`.
    `2a_1=(2A)/m-(m-1)*(2nA-2mB)/(mn(m-n))`.
    Тогда, `S_(m+n)=(2a_1+(m+n-1)d)/2*(m+n)=`
    `=((2A)/m-(m-1)*(2nA-2mB)/(mn(m-n))+(m+n-1)*(2nA-2mB)/(mn(m-n)))/2*(m+n)=`
    `=((2A)/m+n*(2nA-2mB)/(mn(m-n)))/2*(m+n)=(A-B)/(m-n)*(m+n)`.
    Ответ: `(A-B)/(m-n)*(m+n)`.

    Аналогичная задача:
    В арифметической прогрессии `S_n` - сумма первых `n` членов. Известно, что `S_n=S_m (m!=n)`. Найдите `S_(m+n)`.
    Ответ: `0`.

    Задача №7.
    Числа `a_1, a_2,..., a_n` образуют геометрическую прогрессию. Найдите `a_1a_2...a_n`, если `a_1+a_2+...+a_n=S, 1/(a_1)+1/(a_2)+...+1/(a_n)=Q`.

    Решение:
    `a` - первый член прогрессии, `q` - знаменатель.
    `a_1a_2...a_n=a^n*q^(1+2+...+(n-1))=a^n*q^((n(n-1))/2)=``(a^2*q^(n-1))^(n/2)`. Преобразование вопроса задачи.
    `S=(a(q^n-1))/(q-1)`.
    Последовательность `1/(a_1),1/(a_2),...,1/(a_n)` также является геометрической прогрессией со знаменателем `1/q` и первым членом `1/a`. Важный вывод.
    `Q=(1/a(1/q^n-1))/(1/q-1)=(q^n-1)/(q-1)*1/(a*q^(n-1))`.
    Тогда, `S/Q=a^2*q^(n-1) => a_1a_2...a_n=(S/Q)^(n/2)`.
    Ответ: `(S/Q)^(n/2)`.

    Задача №8.
    Решите уравнение `x^3+x^2+a=0`, зная, что оно имеет три различных корня, образующих арифметическую прогрессию.

    Решение:
    `b,c,d` - корни уравнения.
    `b+d=2c` - признак арифметической прогрессии.
    Т. Виета (вспомогательная формула):
    `{(b+c+d=-1),(bc+cd+bd=0),(bcd=-a):}`.
    `3c=-1 => c=-1/3 => b+d=-2/3`.
    `c(b+d)+bd=0 => bd=-2/9`.
    `b=-1/3-1/sqrt3, d=-1/3+1/sqrt3`.
    Ответ: `-1/3-1/sqrt3, -1/3, -1/3+1/sqrt3`.
  • Суммы.

    Задача №1 (ОММО 2015 - №6).

    Для `x=pi/(2n)` найдите значение суммы
    `cos^2(x)+cos^2(2x)+cos^2(3x)+...+cos^2(nx)`.

    Решение:
    Вспомогательная формула:
    `cos^2((kpi)/(2n))+cos^2(((n-k)pi)/(2n))=cos^2((kpi)/(2n))+cos^2(pi/2-(kpi)/(2n))=``cos^2((kpi)/(2n))+sin^2((kpi)/(2n))=1.`
    Два случая:
    Если `n` - нечетно, то все слагаемые, кроме `cos^2(nx)`, можно разбить на пары, сумма каждой из которых равна `1`.
    Тогда, `sum=(n-1)/2+cos^2(pi/2)=(n-1)/2`. Сумма свернулась.
    Если `n` - четно, то все слагаемые, кроме `cos^2(nx)` и `cos^2((nx)/2)`, можно аналогично разбить на пары.
    Тогда, `sum=(n-2)/2+cos^2(pi/4)+cos^2(pi/2)=(n-1)/2`.
    Ответ: `(n-1)/2`.

    Аналогичная задача:
    Для `x=pi/(2n)` найдите значение суммы
    `sin^2(x)+sin^2(2x)+sin^2(3x)+...+sin^2(nx)`.
    Ответ: `(n+1)/2`.

    Задача №2 (ОММО 2013 - №6).
    Пусть `S_n=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+...+f((n-1)/n)+f(1)`. Найдите `S_2013` для `f(x)=25^x/(25^x+5)`.

    Решение:
    Вспомогательная формула:
    `f(x)+f(1-x)=(25^x)/(25^x+5)+(25^(1-x))/(25^(1-x)+5)=(25^x)/(25^x+5)+5/(25^x+5)=1`.
    Можно подумать, что формула взялась с потолока и обычный абитуриент про нее не догадается. Как можно "догадаться":
    Мы знаем, что такие суммы часто вычисляются "сворачиванием", когда берутся пары слагаемых, и часто эти пары крайние.
    Попробуем в нашем примере: `f(0)+f(1)=1/6+25/30=1`.
    Далее замечаем, что сумма аргументов в крайних парах всегда равна `1`: `k/n+(n-k)/n=1`. Это явный признак парности.
    Осталось сделать последнее усилие и посмотреть, что получается в общем случае суммы `f(x)+f(1-x)`. А там все оказалось хорошо.
    В нашей сумме `2014` слагаемых, которые разбиваются на `1007` пар, поэтому `S_2013=1007`. Сумма свернулась.
    Ответ: `1007`.

    Аналогичная задача:
    Пусть `S_n=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+...+f((n-1)/n)+f(1)`. Найдите `S_2014` для `f(x)=16^x/(16^x+4)`.
    Ответ: `1007,5`.

    Задача №3 (ОММО 2010 - №6).
    Найти сумму `(sin(pi/3))/2+(sin((2pi)/3))/2^2+...+(sin((2010pi)/3))/2^2010`.

    Решение:
    Вспомогательные формулы:
    `sin((pik)/3)=sqrt3/2` при `k=6n+1, 6n+2`.
    `sin((pik)/3)=0` при `k=3n`.
    `sin((pik)/3)=-sqrt3/2` при `k=6n+4, 6n+5`.
    `2010=6*335`, поэтому у нас `335` групп из `6` слагаемых.
    Группа: `sqrt3/2(1/2^(6n+1)+1/2^(6n+2)-1/2^(6n+4)-1/2^(6n+5))=`
    `=sqrt3/2*1/2^(6n+5)*(16+8-2-1)=``(21sqrt3)/2*1/2^(6n+5)`. Выразили сумму чисел внутри группы в удобном (для дальнейшего вычисления суммы) виде.
    `sum=(21sqrt3)/2*(1/2^5+1/2^11+...+1/2^2009)`.
    В скобках сумма геометрической прогрессии из `335` членов с `b_1=1/2^5` и знаменателем `q=1/2^6`.
    `sum=(21sqrt3)/2*(1/2^5(1-(1/2^6)^335))/(1-1/2^6)=sqrt3/3(1-1/2^2010)`. Получили сумму геометрической прогрессии и воспользовались формулой суммы.
    Ответ: `sqrt3/3(1-1/2^2010)`.
    Есть более простое решение.

    Задача №4.
    Найдите сумму `1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n!`, где `n! =1*2*3*...*n`.

    Решение:
    Вспомогательная формула:
    `k*k! =(k+1-1)*k! =(k+1)*k!-k! =``(k+1)!-k!`.
    Тогда, `sum=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+...`
    `...+(n!-(n-1)!)+((n+1)!-n!)=(n+1)!-1`. Сумма свернулась.
    Ответ: `(n+1)!-1`.

    Аналогичная задача:
    Найдите сумму `1/(2!)+2/(3!)+...+2015/(2016!)`.
    Ответ: `1-1/(2016!)`.

    Задача №5.
    Найдите сумму `1/(sqrt1+sqrt2)+1/(sqrt2+sqrt3)+...+1/(sqrt99+sqrt100)`.

    Решение:
    Вспомогательная формула:
    `1/(sqrtk+sqrt(k+1))=(sqrt(k+1)-sqrtk)/((sqrt(k+1)-sqrtk)(sqrt(k+1)+sqrtk))=`
    `=sqrt(k+1)-sqrtk`. Умножили и поделили на "сопряженное" выражение.
    Тогда, `sum=(sqrt2-sqrt1)+(sqrt3-sqrt2)+...+(sqrt100-sqrt99)=sqrt100-sqrt1=9`. Сумма свернулась.
    Ответ: `9`.

    Аналогичная задача:
    Найдите сумму `1/(2^2-1)+1/(3^2-1)+...+1/(n^2-1)`.
    Ответ: `((3n+2)(n-1))/(4n(n+1))`.

    Задача №6.
    Докажите тождество `1^2+2^2+...+n^2=(n(n+1)(2n+1))/6`.

    Решение:
    `n=1`: `1^2=(1*2*3)/6` - верно. Первый шаг индукции.
    Пусть формула верна при `n=k`:
    `1^2+2^2+...+k^2=(k(k+1)(2k+1))/6`. Предположение индукции.
    Докажем формулу для `n=k+1`:
    `1^2+2^2+...+(k+1)^2``=(1^2+2^2+...+k^2)+(k+1)^2=`
    `=(k(k+1)(2k+1))/6+(k+1)^2=(k+1)/6*(k(2k+1)+6(k+1))=``((k+1)(k+2)(2k+3))/6.` Доказали.

    Аналогичные задачи:
    Докажите тождество `1^2+3^2+...+(2n-1)^2=(n(2n-1)(2n+1))/3`.
    Докажите тождество `1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2`.

    Задача №7.
    Найдите сумму `cos((2pi)/n)+cos((4pi)/n)+...+cos(((2n-2)pi)/n)`.

    Решение:
    Вспомогательное действие:
    Домножим сумму на `2sin(pi/n)` и воспользуемся формулой `2sinalphacosbeta=sin(alpha+beta)-sin(beta-alpha)`.
    `2sin(pi/n)*sum=(sin((3pi)/n)-sin(pi/n))+(sin((5pi)/n)-sin((3pi)/n))+...+`
    `+(sin(((2n-1)pi)/n)-sin(((2n-3)pi)/n))=sin(((2n-1)pi)/n)-sin(pi/n)=`
    `=-sin(pi/n)-sin(pi/n)=2sin(pi/n)`. Сумма свернулась.
    Тогда, `sum=-1`.
    Ответ: `-1`.

    Аналогичная задача:
    Найдите сумму `sin((2pi)/n)+sin((4pi)/n)+...+sin(((2n-2)pi)/n)`.
    Ответ: `0`.

    Задача №8.
    Последовательность чисел `x_1, x_2,...` такова, что `x_(k+1)=x_k^2+x_k` для всякого натурального `k`.
    Упростите сумму `1/(x_1+1)+1/(x_2+1)+...+1/(x_100+1)`.

    Решение:
    Преобразование соотношения:
    `x_(k+1)=x_k(x_k+1)`,
    `1/(x_(k+1))=1/(x_k(x_k+1))`,
    `1/(x_(k+1))=1/(x_k)-1/(x_k+1)`,
    `1/(x_k+1)=1/(x_k)-1/(x_(k+1))`. С такой формулой можем "свернуть" сумму.
    Тогда, `sum=1/(x_1)-1/(x_2)+1/(x_2)-1/(x_3)+...+1/(x_100)-1/(x_101)=1/(x_1)-1/(x_101)`.
    Ответ: `1/(x_1)-1/(x_101)`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике