Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Очный тур ОММО 2016 / Задачи и решения всех вариантов


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Очный тур ОММО 2016. Задачи и решения всех вариантов.
    Внимание: тема опубликована в открытом доступе после завершения олимпиады, т.е. после 14-00 по Мск.
    image
    image
    image
    image
  • Ответы на 1 вариант. Решения будут выложены позже.
    1. `19/96`.
    2. `15` мальчиков, `12` девочек.
    3. `3, 7, 9, 21, 63`.
    4. `224`.
    5. `(x,y)=(3,5), (5,3), (-3,-5), (-5,-3)`.
    6. `pi`.
    7. `sqrt5`.
    8. `a in (-oo;-8)uu(-20/3;61/8)`.
    9. `16`.
    10. `a^3/6+(2pia^3)/3`.

    Ответы на 2 вариант. Решения будут выложены позже.
    1. `17/224`.
    2. `16` мальчиков, `14` девочек.
    3. `1`.
    4. `288`.
    5. `(x,y)=(3,1), (1,3), (-3,-1), (-1,-3)`.
    6. `pi`.
    7. `sqrt5`.
    8. `a>=-15`.
    9. `18`.
    10. `a^3/6+(2pia^3)/3`.

    Ответы на 3 вариант. Решения будут выложены позже.
    1. `11/112`.
    2. `13` мальчиков, `16` девочек.
    3. `673`.
    4. `288`.
    5. `(x,y)=(3,4), (4,3), (-3,-4), (-4,-3)`.
    6. `pi`.
    7. `sqrt5`.
    8. `a < -15`.
    9. `16`.
    10. `a^3/6+(2pia^3)/3`.

    Ответы на 4 вариант. Решения будут выложены позже.
    1. `5/144`.
    2. `14` мальчиков, `15` девочек.
    3. `3, 7, 9, 21, 63`. `5` значений.
    4. `224`.
    5. `(x,y)=(1/2(sqrt29-sqrt5), 1/2(sqrt29+sqrt5)), (1/2(sqrt29+sqrt5), 1/2(sqrt29-sqrt5))`,
    `(-1/2(sqrt29+sqrt5), 1/2(-sqrt29+sqrt5)), (1/2(-sqrt29+sqrt5), -1/2(sqrt29+sqrt5))`.
    6. `pi`.
    7. `sqrt5`.
    8. `a in [-8;20/3]uu[61/8;+oo)`.
    9. `18`.
    10. `a^3/6+(2pia^3)/3`.
  • Задача №1.
    Представьте в виде несократимой дроби
    `6 3/2015*8 11/2016 -11 2012/2015*3 2005/2016 -12*3/2015`.

    Решение:
    Обозначим наше выражение через `A`.
    Представим каждую дробь в виде суммы или разности:
    `A=(6+3/2015)(8+11/2016)-(12-3/2015)(4-11/2016)-12*3/2015=`
    `48+66/2016+24/2015+33/(2015*2016)-48+132/2016+12/2015-33/(2015*2016)-36/2015=`
    `=198/2016=11/112`.
    Ответ: `11/112`.

    Задача №2.
    В 1"В" классе каждого ребенка попросили написать два числа: количество его одноклассников и количество его одноклассниц (именно в таком порядке); сам себя ребенок не считает. Каждый реебнок одно число написал правильно, а в другом ошибся ровно на `2`. Среди ответов были получены такие: `(12,18), (15,15), (11,15)`. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе?

    Решение:
    Пусть `m, n` - количество мальчиков и девочек.
    По условию, погрешность ответов не больше `3`.
    Тогда, `{(|m-15|<=3),(|m-11|<=3):}`,
    `{(12<=m<=18),(8<=m<=14):} => 12<=m<=14`.
    `m=12` - не подходит второй ответ.
    `m=13 =>` 2-3 ответы дала девочка, тогда девочек `16`, значит первый ответ дал мальчик.
    `m=14`  - противоречие.
    Ответ: `13` мальчиков и `16` девочек.

    Задача №3.
    На доске написано несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел, сумма которых равна `2016`. Чему может равняться наибольшее из этих чисел?

    Решение:
    `n` - количество чисел.
    `n=2 => k+k+1=2016 => 2k+1=2016` - нет решений в натуральных числах.
    `n=3 => k+k+1+k+2=2016 => k+2=673`.
    Пусть `n>=4 => S_n=(k+k+n-1)/2*n=2016` - по формуле суммы арифметической прогрессии.
    `2k+n-1=4032/n => 2k+2n-2=4032/n+n-1 => k+n-1=2016/n+(n-1)/2`.
    Положим, `2016/n+(n-1)/2>=674 => n>1000` - противоречие.
    Ответ: `673`.
  • Задача №4.
    В треугольнике `ABC` с отношением сторон `AB:AC=5:2` биссектриса угла `CAB` пересекает сторону `BC` в точке `L`. Найдите длину отрезка `AL`, если длина вектора `2*vec(AB)+5*vec(AC)` равна `2016`.

    Решение:
    `DeltaABC ~ DeltaMBL ~ DeltaKLC`:
    `(KL)/(LC)=(AB)/(BC)`.
    `(ML)/(BL)=(AC)/(BC)`.
    `AK=ML, AM=KL`.
    Также `(AB)/(AC)=(BL)/(LC)=5/2` - по свойству биссектрис.
    `AB=7/2AM, AC=7/5AK`.
    `vec(AL)=vec(AK)+vec(AM)`.
    `vec(AK)=5/7vec(AB), vec(AM)=2/7vec(AC)`.
    `vec(AL)=2016/7=288`.
    Ответ: `288`.

    Задача №5.
    Решите систему уравнений
    `{(x^2+xy+y^2=37),(x^4+x^2y^2+y^4=481):}`.

    Решение:
    `x^4+x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)-(xy)^2=`
    `=(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2)=37(x^2-xy+y^2)=481`.
    `x^2-xy+y^2=13`. Сложим с первым уравнением системы.
    `2x^2+2y^2=50 iff x^2+y^2=25`.
    Вычтем из первого уравнения системы:
    `-2xy=-24 iff xy=12`.
    `{(x^2+y^2=25),(xy=12):} =>`
    `=> (x;y)=(-4;-3), (4;3), (-3;-4), (3;4)`.
    Ответ: `(-4;-3), (4;3), (-3;-4), (3;4)`.

    Задача №6.
    Вычислите `2arctan4+arcsin(8/17)`.

    Решение:
    `arctanx=arccos(1/sqrt(1+x^2))` при `x>0`. При необходимости, формула легко выводится.
    `2arctan4=2arccos(1/sqrt17)`.
    `t=2arccos(1/sqrt17)`,
    `cost=2cos^2(t/2)-1=2cos^2(arccos(1/sqrt17))-1=2/17-1=-15/17`.
    `arccosx=pi-arcsin(sqrt(1-x^2))` при `|x|<=1`. При необходимости, формула легко выводится.
    `t=arccos(-15/17)=pi-arcsin(8/17) => 2arctan4+arcsin(8/17)=pi`.
    Ответ: `pi`.
  • Задача №7.
    Пусть `OP` - диаметр окружности `Omega`, `omega` - окружность с центром в точке `P` и радиусом меньше, чем у `Omega`. Окружности `Omega` и `omega` пересекаются в точках `C` и `D`. Хорда `OB` окружности `Omega` пересекает окружность omega в точке `A`. Найдите длину отрезка `AB`, если `BD*BC=5`.

    Задача №8.
    При каких значениях параметра `a` уравнение `x^3+6x^2+ax+8=0` имеет ровно три решения?

    Решение:
    `x^3+6x^2+ax+8=0`,
    `x^3+6x^2+12x+8=12x-ax`,
    `(x+2)^3=x(12-a)`.
    `f(x)=(x+2)^3, g(x)=x(12-a)`.
    `f'(x)=3(x+2)^2>=0` при всех `x`, следовательно `f(x)` возрастает при всех `x`.
    `f(x)=0` при `x=-2`.
    Прямая `g(x)` проходит через начало координат.
    Особый случай `a=12 => g(x)=0`, функции пересекаются в одной точке с абсциссой `x=-2`. Не подходит.
    Функция `f(x) -> -oo` при `x-> -oo, f(x) -> +oo` при `x -> +oo`.
    При этом `f(x)` растет "быстрее", чем `g(x)`, являясь выпуклой верх до `x=-2` и вогнутой вниз при `x> -2`. Эти факты не требуют доказательств на ОММО.
    Тогда получаем краевой случай двух решений в случае касания прямой `g(x)` функции `f(x)` в первой четверти. Касание в третьей четверти невозможно.
    `t` - точка касания `=> {(f(t)=g(t)),(f'(t)=g'(t)):}`,
    `{(t^3+6t^2+at+8=0),(3(t+2)^2=12-a):}`.
    Решаем систему, получаем `a=-15, t=1`. Корень `t=-2` выкидываем.
    Понятно, что при `a< -15` будет `3` решения.
    image
    Ответ: `a in (-oo;-15)`.
  • Задача №9.
    Федерация спортивной борьбы присвоила каждому участнику соревнования квалификационный номер. Известно, что во встречах борцов, квалификационные номера которых отличаются более, чем на `2` номера, всегда побеждает борец с меньшим номером. Турнир для `256` борцов проводится по олимпийской системе: в начале каждого дня бойцы разбиваются на пары, проигравший выбывает из соревнований (ничьих не бывает). Какой наибольший квалификационный номер может иметь победитель?

    Решение:
    Всего `8` кругов соревнований, от `1/128` до финала. Следовательно, победитель должен выиграть `8` схваток.
    Его номер может превосходить номер его противника не более, чем на `2`. Иначе, по условию, выиграет его противник.
    Тогда его номер не должен превосходить `2*8=16`.
    Построим пример с номером победителя, равным `16`.
    Первый круг: выбывают игроки с номерами `1` и `2`.
    Второй круг: выбывают игроки с номерами `3` и `4`.
    ...
    Полуфинал: выбывают игроки с номерами `13` и `14`.
    Финал: встречаются игроки с номерами `15` и `16`, выигрывает `16`.
    Ответ: `16`.

    Задача №10.
    Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна `a`, а высота - `a/2`. Найдите объем тела, ограниченного поверхностью этой пирамиды и сферами радиуса `a/3` с центрами во всех вершинах этой пирамиды.

    Решение:
    image
    `V=V_(пирамиды)+5V_(шара)-1/2V_(шара)=a^3/6+(2pia^3)/3`.
    Ответ: `a^3/6+(2pia^3)/3`.
  • Мне кажется, что там не половина объема сферы а 1/3, так как если рассматривать куб со стороной а, то поставив сферы в вершины и его центр, мы займем 2V, но куб это 6 пирамид и поэтому 2/6 V= V/3
  • Вопрос по задаче 8, Вариант 1.

    Имеем: f1(x)=x^3+13*x-6, f2(x) =-a*x^2, f1(x)=f2(x)

    Производная от f1(x) всегда положительна, график f1(x) пересекает ось y в точке -6.

    f2(x) - парабола, если a отрицательное, то парабола расположена сверху оси абцисс, очевидно, что в этом случае пересекает f1(x) сверху только в одной точке, так как f1 стартует из точки x=0 из отрицательных значений и рано или поздно догонит и пересечет параболу.
    Если a - положительное число, то парабола направлена вниз, решение перестанет быть единственным при таком параметре а, когда  f1 и f2 касаются.

    В любом случае при a<0 - решение единственное, что не совпадает с приведенным ответом
  • Верно, я ошибся. Вверху графики тоже могут пересекаться более чем в одной точке! Спасибо.
  • YasnyiSokol,
    Предположу, что графический способ для этой задачи не годится.
    Пожалуйста.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике