Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Отборочный этап олимпиады Курчатов 2015-2016 / Задания и решения по математике


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Отборочный этап олимпиады Курчатов 2015-2016. Задания и решения по математике.
    Сроки отборочного этапа - с 1 января по 14 февраля.
  • Задача №1 (2 балла).
    Точки `G, F, E, D` – соседние вершины правильного многоугольника (именно в таком порядке). Известно, что `/_GFD=144^0`. Сколько вершин у этого многоугольника?

    Решение:
    Пусть `/_EFD=alpha`.
    `FE=ED => DeltaFED` равнобедренный.
    `/_EDF=/_EFD=alpha => /_FED=180^0-2alpha`.
    С другой стороны, `/_FED=/_GFE=144^0+alpha`.
    `180^0-2alpha=144^0+alpha => alpha=12^0 => /_GFE=156^0`.
    Угол правильного `n`-угольника равен `(n-2)/n*180^0`.
    `(n-2)/n*180^0=156^0`,
    `(n-2)/n=156/180=13/15 => n=15`.
    Ответ: `15`.

    Задача №2 (4 балла).
    Натуральные числа от `1, 2, 3, ...` выписывали подряд без пробелов, пока в полученной строке `1234567891011121314...` не встретилась четвёрка цифр `...2016...` На каком месте от начала строки стоит цифра `6` из этой четвёрки?

    Решение:
    Пусть число оканчивается на `2`: противоречие.
    Пусть число оканчивается на `20`: `1620, 1621`.
    Пусть число оканчивается на `201`: `6201, 6202`.
    Пусть число оканчивается на `2016`: `2015, 2016, 2017`.
    Первым число `2016` встретится во втором случае.
    Посчитаем количество цифр до числа `1621`:
    `1*9+2*90+3*900+4*621=5373`. Тогда цифра `6` на `5375` месте.
    Ответ: `5375`.

    Задача №3 (5 баллов).
    Дан квадратный трёхчлен `ax^2+bx+c`, где коэффициенты `a, b` и `c` – положительны, а трёхчлен имеет два различных корня. По этому трёхчлену строится новый трёхчлен по такому правилу: каждый коэффициент заменяется на произведение двух других коэффициентов (например, из трёхчлена `2x^2+5x+3` получается трёхчлен `15x^2+6x+10`). Затем то же делается с полученным трёхчленом и так далее, пока не будет получено `2016` трёхчленов, включая исходный. У скольких из полученных трёхчленов нет действительных корней?

    Решение:
    По условию, `a,b,c>0, b^2-4ac>0`, `f(x)=ax^2+bx+c=0` имеет два различных корня.
    `f_1(x)=bcx^2+acx+ab=0`.
    `D_1=a^2c^2-4ab^2c=ac(ac-4b^2)=1/4ac(4ac-b^2-15b^2)<0` при заданных условиях на `a,b,c`. Корней нет.
    `f_2(x)=a^2bcx^2+ab^2cx+abc^2=abc*f(x)`.
    `abc!=0`, поэтому корни `f_2(x)` и `f(x)` совпадают.
    Аналогично, `f_3(x)=abcf_1(x)` и т.д.
    Всего выписали `2016` квадратных трехчленов, включая исходный. Корней нет ровно у половины.
    Ответ: `1008`.

    Задача №4 (5 баллов).
    Ткачиха с поварихой готовили пир. У каждой из них по коробу, в которых одинаковое число конфет. Ткачиха разложила конфеты из своего короба на `10` блюдец поровну, а остаток – меньше `10` – положила себе в карман. Повариха разложила часть конфет из своего короба на другие `11` блюдец поровну, а остальные (их было больше `11`) – положила себе в карман. После того, как повариха положила себе в карман ещё и все конфеты с одного блюдца ткачихи, у неё в кармане стало `60` конфет. Сколько конфет в кармане ткачихи?

    Решение:
    Ткачиха: `10k+d`, где `k,d in NN, d<=9`.
    Повариха: `11n+e`, где `n,e in NN, e>=12`.
    По условию, `e+k=60 => e=60-k`.
    В коробках было одинаковое количество конфет:
    `10k+d=11n+e`,
    `10k+d=11n+60-k`,
    `d=60-11(k-n)`.
    `k,n in NN`, поэтому разность `k-n` принимает целые значения.
    `1<=d<=9`, подходит только `k-n=5 => d=5`.
    Ответ: `5`.

    Задача №5 (7 баллов).
    За круглым столом сидят `111` участников конференции. Они делятся на два типа: политики (всегда лгут) и учёные (всегда говорят правду). Все знают, кто есть кто. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Политик ли ваш левый сосед?». Ответов «нет» оказалось ровно в `3` раза меньше, чем учёных за столом. Какое наименьшее число учёных могло сидеть за этим столом?

    Решение:
    `3n` - количество ученых, `111-3n` - количество политиков.
    Всего ответов `111`.
    Ответов "нет" - `n` (`k` ученых дали такой ответ и `n-k` политиков).
    Ответов "да" - `111-n` (`3n-k` ученых, `111-4n+k` политиков).
    Тогда, реальная ситуация такова:
    У `3n-k` ученых слева сидят политики.
    У `11-4n+k` политиков слева сидят ученые.
    У `k` ученых слева сидят ученые.
    У `n-k` политиков слева сидят политики.
    Тогда, количество ученых не меньше `max(3n-k, 111-4n+k)`.
    Пусть `3n-k=111-4n+k => 7n-2k=111`,
    `7n=111+2k => n_min=17` при `k=4`.
    Такая расстановка возможна:
    ...ПППУУУУУПУПУП...УПУПППП...
    Пар УП ровно `3n-k=47`. Плюс четверо ученых сидят перед первой такой парой, итого `51`. Политиков `60`.
    Ответ: `51`.
    Решение пользователя: `6` ученых сидят рядом (подряд), остальные политики. Тогда ответов "нет" - `2`, в три раза меньше, чем самих ученых. Правильный ответ: `6`.

    Задача №6 (9 баллов).
    В единичный куб вписаны две шестиугольные пирамиды, чьи основания совпадают с сечением куба соответствующей плоскостью основания. Вершина первой пирамиды – точка `A`, второй – точка `C`, где `ABCD` – грань куба. Все боковые ребра первой пирамиды имеют длину `m`, боковые ребра второй – длину `n`, где `1,2<n<m<1,4`. Найдите число вершин многогранника, который является пересечением этих пирамид.
  • image

    В №6 вроде бы 10 вершин
  • в №5 решение последнего уравнения nmin=17 при k=4
  • ka_ek, исправили.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике