Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Очный тур олимпиады Высшая проба 2015-2016 по математике / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Очный тур олимпиады Высшая проба 2015-2016 по математике. Задания и решения.
    Внимание:
    условия и решения опубликованы в открытом доступе в 14-00 по Мск, т.е. сразу после завершения олимпиады на всех площадках!
    Решения 5 и 6 задач будут дополнены позже.
    image
    image
    image
    image
    image
  • Задача №1.
    Три различных положительных числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Могут ли эти три же три числа оказаться тремя (не обязательно последовательными) членами геометрической прогресии?

    Решение:
    `x, x+y, x+2y`, где `x,y>0` - тройка положительных и различных чисел, которые являются последовательными членами арифметической прогрессии.
    Пусть они являются членами геометрической прогрессии, не обязательно последовательными.
    Положим, `x+y=xq^k, x+2y=xq^n`, где `1<=k<n, q>1`.
    `y=x(q^k-1) => x+2y=x(2q^k-1)`.
    `x(2q^k-1)=xq^n => 2q^k-1=q^n`,
    `q^n-2q^k+1=0`.
    `n=3, k=2`:
    `q^3-2q^2+1=0`,
    `q_1=1, q_(2,3)=(sqrt5+-1)/2`.
    Возьмем `q=(sqrt5+1)/2>1 => y=(sqrt5+1)/2`.
    Тройка `x, x+x*(sqrt5+1)/2, x+2x*(sqrt5+1)/2` является последовательными членами арифметической прогрессии.
    Тройка `x, x*((sqrt5+1)/2)^2, x*((sqrt5+1)/2)^3` - члены геометрической прогрессии.
    Ответ: могут.

    Задача №2.
    Вокруг треугольника `ABC` с углом `/_B=60^0` описана окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках `A` и `C`, пересекаются в точке `B_1`. На лучах `AC` и `CB` отметили точки `A_0` и `C_0` соответственно так, что `A A_0=AC=C C_0`. Докажите, что точки `A_0, C_0, B_1` лежат на одной прямой.

    Решение:
    image
    `O` - центр окружности.
    `/_ABC=pi/3 => /_AOC=2/_ABC=(2pi)/3`.
    `DeltaAB_1C` - равносторонний.
    `DeltaA A_0B_1 и DeltaB_1C C_0` - ранобедренные (`CB_1=AB_1=AC=A A_0=C C_0`).
    `DeltaA A_0C` пересекает окружность в точках `B` и `B_0`.
    `/_BCB_0=/_A_0AB_0 => DeltaBCB_0` и `DeltaA_0AB_0` подобны.
    `A_0, C_0, B_1` лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

    Задача №3.
    Функция `f(x)`, определенная при всех действительных `x`, является четной. Кроме того, при любом действительном `x` выполняется равенство
    `f(x)+f(10-x)=4`.
    а) Приведите пример такой функции, отличной от константы.
    б) Докажите, что любая такая функция является периодической.

    Решение:
    Функция четная, поэтому `f(10-x)=f(x-10)` при любом `x`.
    `f(x)=4-f(x-10) => f(x+10)=4-f(x)=f(x-10)`.
    Следовательно, `f(x)` - периодическая функция с периодом `20`.
    Найдем пример тригонометрической функции. Функция `y=cosx` четная и периодическая, минимальный период равен `2pi`.
    Тогда у функции `y=cos((pix)/10)` период равен `2pi*10/pi=20`, а четность сохраняется.
    При этом, `cos((pi(x-10))/10)=-cos((pix)/10)`.
    Пусть `f(x)=cos((pix)/10)+2 => f(x)+f(x-10)=4`.
    Ответ: а) `f(x)=cos((pix)/10)+2`; б) период `20`.

    Задача №4.
    Петя хочет проверить знания своего брата Коли - победителя олимпиады "Высшая проба" по математике. Для этого Петя задумал три натуральных числа `a, b, c` и вычислил `x = НОД(a, b), y = НОД(b, c), z = НОД(c, a)`. Затем он написал на доске три ряда по пять чисел в каждом:
    `6, 8, 12, 18, 24`
    `14, 20, 28, 44, 56`
    `5, 15, 18, 27, 42`
    Петя сообщил Коле, что одно из чисел в первом ряду равно `x`, одно из чисел во втором ряду равно `y`, одно из чисел в третьем ряду равно `z` и попросил угадать числа `x, y, z`. Подумал несколько минут, Коля справился с задачей, правильно назвал все три числа. Назовите их и Вы. Докажите, что существует единственная такая тройка `(x, y, z)`.

    Решение:
    `2*3, 2^3, 2^2*3, 2*3^2, 2^3*3`,
    `2*7, 2^2*5, 2^2*7, 2^2*11, 2^3*7`,
    `5, 3*5, 2*3^2, 3^3, 2*3*7`.
    Тогда некоторые делители `a,b,c` определяются однозначно:
    `a=2^3*3^2*a_1, b=2^3*7*b_1, c=2*3^2*7*c_1`, где `a_1, b_1, c_1` - попарно-взаимно простые числа.
    При этом, `x=2^3=8, y=2*7=14, z=2*3^2=18`.
    Ответ: `(x,y,z)=(8,14,18)`.

    Задача №5.
    Два коридора высотой и шириной в `1` м идут перпендикулярно друг другу по первому и второму этажу здания. Разделяющее их перекрытие разобрано, образуя дыру `1`х`1` м в полу одного и потолке другого. Какова максимальная длина балки, которую можно передать из одного коридора в другой через дыру? (Балку считать негнущимся отрезком нулевой толщины. Толщина перекрытия также равна нулю, т.е. пол верхнего коридора и потолок нижнего коридора находятся в одной плоскости.)

    Решение:
    image
    `l=sqrt(2^2+2^2+1^2)=3`.
    Ответ: `3`.

    Задача №6.
    Таблица `n`x`n` заполняется натуральными числами от `1` до `2016` так, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не было двух одиннаковых чисел. Совпадение чисел, стоящих в разных столбцах и строках допускается. Пусть `f(n)` - количество таких расстановок. Например, `f(1)=2016, f(2017)=0`.
    а) Что больше, `f(2015)` или `f(2016)`?
    б) Что больше, `f(1008)` или `f(1009)`?

    Решение:
    1. Для допустимой расстановки размера `(n+1)`х`(n+1)` в левом верхнем квадрате находится допустимая расстановка `n`х`n`.
    2. В пункте а) показываем что из каждой допустимой расстановки `2015`х`2015` можно получить не более, чем одну допустимую расстановку `2016`х`2016`.
    Из этого следует что разным дополнительным расстановкам `2016`х`2016` соответствуют разные дополнительные расстановки `2015`х`2015`.
    Также приводим пример допустимой расстановки `2015`х`2015` для которой нельзя получить допустимую расстановку `2016`х`2016`.
    Значит, `f(2015) > f(2016)`.
    3. В пункте б) показываем что из каждой допустимой расстановки `1008`х`1008` можно построить не менее, чем `1007!`х`1007!` допустимых расстановок размера `1009`х`1009`.
    Причем для разных дополнительных расстановок `1008`х`1008` будут построены разные доп расстановки `1009`х`1009`.
    Значит, `f(1008) < f(1009)`.
    Ответ: а) `f(2015)>f(2016)`; б) `f(1008)<f(1009)`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике