Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Подготовка к очному туру олимпиады Физтех по математике - логарифмы


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Подготовка к очному туру олимпиады Физтех по математике. Логарифмы (часть 1).
    • Ежегодно дается 1 задача (уравнение или неравенство) на логарифмы.
    • В теме опубликована краткая теория (блок 1), 12 задач с подробными решениями из очных туров прошлых лет (блок 2), несколько задач на  самостоятельное решение (блок 2-1) и 12 аналогичных задач со схемами решений и ответами (блок 3).
    • Отработка материалов аналогична ОММО (материалы публиковались в разделе ОММО). Теорию выписываем на отдельный лист, письменно разбираем блок 2, решаем блоки 2-1 и 3, используя подсказки или без них.
    • Вопросы, замечания и комментарии отправляйте на почту info@olympiads.biz.

    Часть вторая (системы уравнений).

    Часть третья (неравенства и параметрические задачи).

    Остальные материалы будут опубликованы 17-18 февраля.

  • Теория.
    1. Логарифм это степень.
    `log_ab` - такая степень, в которую нужно возвести `a`, чтобы получить `b`.
    Математически записывается, как `a^(log_ab)=b` - основное логарифмическое тождество.
    2. Важная формула: `log_ab=log_cb*log_aс`. Используется в обе стороны.
    Модификация: `(log_ab)/(log_ac)=log_cb`.
    3. Важное значение в уравнениях и неравенствах имеет ОДЗ.
    В уравнениях не обязательно его находить, достаточно проверить корни.
    В неравенствах обязательно нахождение ОДЗ.
    Также, в неравенствах часто ОДЗ упрощает решение, принимая активное участие.
    ОДЗ разбивается на области, в каждой из которых легко решить неравенство.
    4. Метод замены множителей:
    `log_ab` имеет такой же знак (относительно `0`), что и выражение `(a-1)(b-1)`. На области допустимых значений, в данном случае для всех `a,b>0, a!=1`.
    Например, неравенства вида `log_ab>0` можем заменить на неравенство `(a-1)(b-1)>0 +` ОДЗ.
    5. Часто оказывается полезной замена, особенно в смешанных задачах (степени + логарифмы).
    Аналог такой замены в смешанных задачах - логарифмирование.
    6. В неравенствах при избавлении от логарифма (потенцирование) важное значение имеет основание.
    Если основание больше `1`, знак неравенства не меняется. Если меньше `1`, меняется на противположный.
    7. Частая ошибка: `log_ab^2=2log_ab` - неверно, поскольку ОДЗ (для `b`) левой части `b!=0`, для правой `b>0`.
    Правильно: `log_ab^2=2log_a|b|` или `log_ab^(2n)=2nlog_a|b|` для любой четной степени.
    Из оснований четные степени вытаскиваем аналогично.
    8. Сложные неравенства почти всегда решаются так: находится ОДЗ, ОДЗ разбивается на области (обычно две), на каждой области решается неравенство (области могут разбиться на под-области), все найденные решения (на областях и под-областях) объединяются. Понятно, что вне ОДЗ решений нет и искать их необходимости тоже нет.
  • Блок 2.
    Задача №1 (Физтех 2015 №1 - билет 11).
    Решите уравнение:
    `x^(log_2(8x))=x^7/8`.
    Решение:
    ОДЗ: `x>0`.
    Замена `log_2x=t => x=2^t`:
    `(2^t)^(3+t)=(2^t)^7/2^3`,
    `2^(t^2+3t)=2^(7t-3) iff t^2+3t=7t-3`,
    `t^2-4t+3=0 => t_1=1, t_2=3`.
    `log_2x=1 => x=2`,
    `log_2x=3 => x=8`.
    Ответ: `x=2;8`.
    Второй способ:
    Логарифмируем по основанию `2` (стандартный прием в смешанных задачах):
    `log_2x*log_2(8x)=log_2(x^7)-3`,
    `log_2x*(log_2x+3)=7log_2x-3`,
    `log_2^2x+3log_2x=7log_2x-3`,
    `log_2^2x-4log_2x+3=0`,
    `log_2x=1` или `log_2x=3`,
    `x=2` или `x=8`.

    Аналогичная задача:
    Решите уравнение `x^(log_5(0,008x))=125/x^5`.
    Ответ: `x=5;1/125`.

    Аналогичная задача №2 (Физтех 2015 №2 - билет 1).
    Решите уравнение `((3x)/2)^(log_3(8x))=x^7/8`.
    Ответ: `x=729/8;2`.

    Задача №2 (Физтех 2015 №1 - билет 5).
    Решите неравенство `(log_3(x^4)*log_(1/3)(x^2)+log_3(x^2)-log_(1/3)(x^4)+2)/((log_(1/3)(x^2))^3+64)<=0.`
    Решение:
    ОДЗ: `x!=0`.
    Замена `log_3(x^2)=t`. Замена вида `log_3x=t` - плохая.
    `(2t*(-t)+t+2t+2)/(-t^3+64)<=0`,
    `(-2t^2+3t+2)/(-t^3+64)<=0`,
    `(2t^2-3t-2)/(t^3-64)<=0`,
    `((t-2)(2t+1))/((t-4)(t^2+4t+16))<=0`.
    Второй сомножитель в знаменателе всегда положительный, можем его не учитывать.
    Нули `t_1=2, t_2=-1/3, t_3=4`.
    `t in (-oo-1/2]uu[2;4)`.
    `log_3(x^2)<=-1/2` или `2<=log_3(x^2)<4`,
    `x^2<=1/sqrt3` или `9<=x^2<81`,
    `|x|<=1/(root(4)3)` или `3<=|x|<9`.
    Учтем ОДЗ `x!=0` и получим ответ.
    Ответ: `x in (-9;-3]uu[-1/(root(4)3);0)uu(0;1/(root(4)3)]uu[3;9)`.

    Задача №3 (Физтех 2014 №1 - билет 1).
    Решите уравнение `log_(2^(x+1)+1)(3x^2+4x-3)=log_(10-2^(2-x))(3x^2+4x-3)`.
    Решение:
    Уравнение вида `log_gf=log_hf`, где `f,g,h` - функции. Модель.
    Сначала ОДЗ - стандартная процедура. При этом в уравнениях нахождение ОДЗ не обязательно (особенно, если оно трудоемко, как в нашем случае), достаточно в конце устроить проверку найденных корней.
    Используем формулу перехода к другому основанию: `log_ca=log_ba*log_cb`.
    `log_gf=log_gf*log_hg`,
    `log_gf*(log_hg-1)=0`,
    `log_gf=0` или `log_hg=1`,
    `f=1` или `h=g`. Следствия модели.
    `3x^2+4x-3=0` или `2^(x+1)+1=10-2^(2-x)`.
    `x_1=-2, x_2=2/3`.
    `2*2^x+1=10-4/2^x`,
    `2*2^(2x)-9*2^x+4=0`,
    `2^x=1/2` или `2^x=4`,
    `x=-1` или `x=2`.
    Проверка корней: подойдут только корни `x=2/3` и `x=2`.
    Ответ: `x=2/3;2`.

    Задача №4 (Физтех 2014 №3 - билет 5).
    Решите уравнение `log_(6x-5)(6x^2-11x+5)*log_(x-1)(x^3-1)=log_(6x-5)(6x^2-11x+5)+log_(x-1)(x^3-1)`.
    Решение:
    Как и в предыдущей задаче, обойдемся без нахождения ОДЗ.
    В этой задаче модель вида `ab=a+b iff (a-1)(b-1)=1`.
    Еслм видим выражение такого вида, сразу вспоминаем, что `(a-1)(b-1)=ab-a-b+1`. Или `(a+1)(b+1)=ab+a+b+1`.
    Общий вид: `(a+-k)(b+-k)=ab+-k(a+b)+k^2`.
    Итак, `(log_(6x-5)(6x^2-11x+5)-1)(log_(x-1)(x^3-1)-1)=1`. Применили модель. Первый шаг задачи.
    На втором шаге каждый из сомножителей легко преобразуется.
    `6x^2-11x+5=(6x-5)(x-1), x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)`:
    `(1+log_(6x-5)(x-1)-1)(1+log_(x-1)(x^2+x+1)-1)=1`,
    `log_(6x-5)(x-1)*log_(x-1)(x^2+x+1)=1`. Второй шаг.
    Используем известную формулу `log_ab*log_bc=log_ac`:
    `log_(6x-5)(x^2+x+1)=1`, третий шаг.
    `x^2+x+1=6x-5`,
    `x^2-5x+6=0 => x_1=2, x_2=3`.
    Проверка: подойдет только корень `x=3`.
    Ответ: `x=3`.

    Задача №5 (Физтех 2013 №1 - билет 1).
    Решите уравнение `log_(3^(x-1))(x^2-11x+19)+log_(27^(x-1))(x^3)=2/(x-1)`.
    Решение:
    ОДЗ находить не будем, в конце устроим проверку корней.
    `1/(x-1)*log_3(x^2-11x+19)+1/(x-1)*log_3x=2/(x-1)`, стандартные формулы выноса степени из основания.
    `log_3(x^2-11x+19)+log_3x=2`, при этом `x!=1`.
    `log_3(x(x^2-11x+19))=2`,
    `x^3-11x^2+19x=9`,
    `x^3-11x^2+19x-9=0`. Кубическое уравнение. Подберем корень и разложим на множители.
    Заметим, что `x=1` является корнем уравнения.
    Разложим кубический многочлен на множители, выделяя `x-1`:
    `x^3-x^2-10x^2+10x+9x-9=0`,
    `x^2(x-1)-10x(x-1)+9(x-1)=0`, выделили.
    `(x-1)(x^2-10x+9)=0`, разложили.
    `(x-1)^2(x-9)=0`, догнали и еще раз разложили.
    `x=1` или `x=9`.
    Подходит только второй корень.
    Ответ: `x=9`.

    Аналогичная задача (Физтех 2013 №1 - билет 5):
    Решите уравнение `log_(6^(x-2))(x^2)+log_(36^(x-2))((x-5)^4)=2/(x-2)`.
    Ответ: `x=-1;3;6`.

    Задача №6 (Физтех 2012 №1 - вариант Ш).
    Решите неравенство
    `log_(1/2)((x-5)/(x+3))-log_(1/2)(x^2/2+4x+9)<=2log_4(x^2+5x+6)`.
    Решение:
    В неравенствах ОДЗ находим в обязательном порядке:
    `(x-5)/(x+3)>0 => x in (-oo;-3)uu(5;+oo)`.
    `x^2/2+4x+9>0 => (x+4)^2+2>0` - верно при всех `x`.
    `x^2+5x+6>0 => x in (-oo;-3)uu(-2;+oo)`.
    Пересекаем все найденные интервалы решений.
    Итак, `x in (-oo;-3)uu(5;+oo)`. Нашли ОДЗ.
    Перейдем к одному основанию, в данном случае `1/2` - оптимальное основание.
    `log_(1/2)((x-5)/(x+3))-log_(1/2)(x^2/2+4x+9)<=-log_(1/2)(x^2+5x+6)`,
    `log_(1/2)((x-5)/(x+3)*(x+2)(x+3))<=log_(1/2)(x^2/2+4x+9)`,
    `log_(1/2)((x-5)(x+2))<=log_(1/2)(x^2/2+4x+9)`.
    Избавляемся от логарифмов (потенцируем неравенство), учитывая, что `1/2<1`:
    `(x-5)(x+2)>=x^2/2+4x+9`, поменяли знак.
    `x^2-3x-10>=x^2/2+4x+9`,
    `x^2/2-7x-19>=0`,
    `x^2-14x-38>=0`,
    `x in (-oo;7-sqrt87]uu[7+sqrt87;+oo)`. Решили неравенство.
    Пересечем с ОДЗ, для этого оценим наши кривые числа.
    `7-sqrt87 > 7-sqrt100=-3`.
    `7+sqrt87>7+sqrt81=16`.
    Тогда, `x in (-oo;-3)uu[7+sqrt87;+oo)`. Пересекли с ОДЗ.
    Ответ: `x in (-oo;-3)uu[7+sqrt87;+oo)`.

    Задача №7 (Физтех 2011 №2 - билет Ш).
    Решите уравнение `log_(tanx)(cotx-2)+log_(cotx-2)sqrt(tanx)=3/2`.
    Решение:
    Видим взаимно-обратные величины, поэтому сразу вводим замену.
    `log_(tanx)(cotx-2)=t`:
    `t+1/(2t)=3/2`,
    `2t^2-3t+1=0=> t=1, t=1/2`.
    `t=1`: `log_(tanx)(cotx-2)=1`,
    `tanx=cotx-2`,
    `tanx+2-1/(tanx)=0`,
    `(tanx)^2+2tanx-1=0`,
    `tanx=-1+-sqrt2`. Отбор корней в конце.
    `t=1/2`: `log_(tanx)(cotx-2)=1/2`,
    `cotx-2=sqrt(tanx)`,
    `sqrt(tanx)=y => 1/y^2-2=y`, снова замена.
    `y^3+2y^2-1=0`,
    `y^3+y^2+y^2-1=0`, кубическое уравнение, легко разложить на множители.
    `y^2(y+1)+(y+1)(y-1)=0`,
    `(y+1)(y^2+y-1)=0`,
    `y+1=0, y^2+y-1=0`,
    `y_1=-1, y_(2,3)=(-1+-sqrt5)/2`.
    `y>0`, поэтому подойдет только `y=(sqrt5-1)/2`.
    `sqrt(tanx)=(sqrt5-1)/2`,
    `tanx=(3-sqrt5)/2`.
    Итак, нашли три значения `tanx=-1+-sqrt2, (3-sqrt5)/2`.
    ОДЗ: `tanx>0, tanx!=1, 1/(tanx)>2, 1/(tanx)!=3`. Понятно, что достаточно найти ОДЗ для тангенса, а не для переменной.
    `tanx=-1-sqrt2` не подходит под первое условие. Первый ушел.
    Проверим остальные два значения `tanx` под третье условие, остальные условия, очевидно, выполняются.
    `1/(sqrt2-1)=(sqrt2+1)/((sqrt2-1)(sqrt2+1))=sqrt2+1>2`. Второй остался.
    `2/(3-sqrt5)=(2(3+sqrt5))/4=(3+sqrt5)/2>2`. И третий остался.
    Тогда, `x=arctan(sqrt2-1)+pik, k in ZZ, x=arctan((3-sqrt5)/2)+pin, n in ZZ`.
    Ответ: `x=arctan(sqrt2-1)+pik, k in ZZ, x=arctan((3-sqrt5)/2)+pin, n in ZZ`.

    Задача №8 (Физтех 2011 №2 - выезд).
    Решите неравенство `2/(log_(x-1)(5/2-x))<=1`.
    Решение:
    Модель `2/f<=1`:
    `2/f-1<=0 iff (2-f)/f<=0 iff (f-2)/f>=0 =>` `f in (-oo;0)uu[2;+oo)`. Следствие модели.
    Найдем ОДЗ для `f(x)=log_(x-1)(5/2-x)`:
    `x>1, x!=2, 5/2-x>0 =>` `x in (1;2)uu(2;5/2)`.
    `f(x)<0`: `log_gh<0 => (g-1)(f-1)<0` на ОДЗ (метод замены множителей).
    `(x-2)(3/2-x)<0 => x in (-oo;3/2)uu(2;+oo)`.
    В пересечении с ОДЗ получаем `x in (1;3/2)uu(2;5/2)`.
    На оставшейся части ОДЗ `x in [3/2;2)` (понятно, что вне ОДЗ решений нет) решим неравенство `f>=2`.
    `log_(x-1)(5/2-x)>=2`, при этом основание `x-1 in [1/2;1)`, тогда:
    `5/2-x<=(x-1)^2 iff x^2-x-3/2>=0`,
    `x_(1,2)=(1+-sqrt7)/2 => x in (-oo;(1-sqrt7)/2]uu[(1+sqrt7)/2;+oo)`.
    `3/2<(1+sqrt7)/2 <2 =>` `x in [(1+sqrt7)/2;2)`.
    Осталось объединить найденные решения.
    Ответ: `x in (1;3/2)uu[(1+sqrt7)/2;2)uu(2;5/2)`.
    Другая модель для решения этой задачи: `2/(log_gh)<=1`,
    `(2-log_gh)/(log_gh)<=0`,
    `(log_gh-2)/(log_gh)>=0`,
    `(log_g(h/g^2))/(log_gh)>=0`,
    `log_h(h/g^2)>=0`,
    `(h-1)(h/g^2-1)>=0` с учетом ОДЗ. При этом `g!=0` можно не включить в ОДЗ, ведь изначально `g` не находится в знаменателе.
    `(h-1)(h-g^2)>=0`, поскольку `g^2>=0` при всех `x`, можно не учитывать.

    Задача №9 (Физтех 2010 №4 - билет Ш).
    Решите систему уравнений
    `{(log_x(y+1)=4log_(x+2)sqrt(y-1)),(log_(y-1)(x+2)=log_x(x^3/(y+1))):}`.
    Решение:
    Замена `log_x(y+1)=a, log_(x+2)(y-1)=b`.
    Тогда, `{(a=2b),(1/b=3-a):}`,
    `1/b=3-2b => 2b^2-3b+1=0,`
    `b=1, b=1/2`. Дальше все просто.
    Ответ: `(x;y)=((1+sqrt17)/2;(7+sqrt17)/2), ((5+sqrt17)/2;(3+sqrt17)/2)`.

    Задача №10 (Физтех 2010 №1 - выезд).
    Решите неравенство `log_(x+2)(sqrt(x+3)+1)<=1`.
    Решение:
    ОДЗ: `x+2>0 => x> -2`.
    `x+2!=1 => x!=-1`.
    `x+3>=0 => x>= -3`.
    Итак, `x in (-2;-1)uu(-1;+oo)`.
    Сначала найдем решения неравенства на первом интервале, затем на втором. Пример активного участия ОДЗ, решение оптимизируется.
    `x in (-2;-1)` `=> x+2 < 1`:
    `sqrt(x+3)+1>=x+2` - поменяли знак неравенства.
    `sqrt(x+3)>=x+1`.
    На расматриваем интервале `x+1<=0`, поэтому весь интервал пойдет в решения.
    `x in (-1;+oo)` `=> x+2>1`:
    `sqrt(x+3)+1<=x+2`,
    `sqrt(x+3)<=x+1`.
    На рассматриваем интервале обе части неравенства неотрицательны, можем возвести в квадрат:
    `x+3<=x^2+2x+1`,
    `x^2+x-2>=0 => x in (-oo;-2]uu[1;+oo)`. Решили неравенство.
    Тогда, `x in [1;+oo)`.
    Объединяем полученные решения и получаем ответ.
    Ответ: `x in (-2;-1)uu[1;+oo)`.

    Аналогичная задача (Физтех 2008 №1):
    Решить неравенство
    `log_((2-x)/(1-x))(4-x)<=2`.
    Ответ: `x in [0;1)uu(2;(5+sqrt5)/2]`.

    Задача №11 (Физтех 2009 №3 - выезд).
    Решите неравенство
    `log_|x|(sqrt(x+5)+4)>=2log_(x^2)(2x+8)`.
    Решение:
    Находим ОДЗ: `x!=0, x!=+-1, x+5>=0, 2x+8>0`.
    Тогда, `x in (-4;-1)uu(-1;0)uu(0;1)uu(1;+oo)`.
    Преобразуем логарифм справа:
    `log_|x|(sqrt(x+5)+4)>=log_|x|(2x+8)`. Если забыть про модуль, получим уравнение с другим ОДЗ.
    Разобьем ОДЗ на две области и найдем решения неравенства на каждой из них. Снова активное участие ОДЗ.
    `x in (-1;0)uu(0;1)` `=> |x|<1`:
    `sqrt(x+5)+4<=2x+8` - поменяли знак неравенства.
    `sqrt(x+5)<=2x+4`. На рассматриваемой области правая часть положительна, можем возвести неравенство в квадрат:
    `x+5<=4x^2+16x+16`,
    `4x^2+15x+11>=0 => x in (-oo;-11/4]uu[-1;+oo)`. Решили неравенство.
    В пересечении с областью получаем `x in (-1;0)uu(0;1)`.
    Пусть `x in (-4;-1)uu(1;+oo)` `=> |x|>1`. Вторая область.
    `sqrt(x+5)+4>=2x+8`,
    `sqrt(x+5)>=2x+4`.
    Все `x in (-4;-2]` (разбили область на две части для решения иррационального уравнения и корректного возведения в квадрат) войдут в решения, поскольку тогда правая часть неравенства отрицательна и неравенство выполняется.
    Пусть `x in (-2;-1)uu(1;+oo)` - правая часть неравенства положительна, можем возвести неравенство в квадрат:
    `4x^2+15x+11<=0 => x in [-11/4;-1]`. Решили неравенство.
    В пересечении получим `x in (-2;-1)`.
    Объединим все полученные решения и получим ответ.
    Ответ: `x in (-4;-1)uu(-1;0)uu(0;1)`.

    Задача №12 (Физтех 2007 №1).
    Решить уравнение
    `2log_3(x^2-4)+3sqrt(log_3(x+2)^2)-log_3(x-2)^2=4`.
    Решение:
    Заметим, что `x^2-4=(x-2)(x+2)`.
    Тогда, `2log_3(x^2-4)-log_3(x-2)^2=log_3(x+2)^2`. Ключевой переход.
    Замена `sqrt(log_3(x+2)^2)=t, t>=0`.
    `t^2+3t-4=0 => t_1=1, t_2=-4`. Второй корень не подходит.
    `t=1`: `log_3(x+2)^2=1`,
    `(x+2)^2=3 => x+2=+-sqrt3`,
    `x=-2+-sqrt3`.
    Проверку пройдет только один корень `x=-2-sqrt3`.
    Ответ: `x=-2-sqrt3`.
  • Блок 3.
    Задача №1.
    Решите уравнение
    `3sqrt(log_3x)-log_3(3x)=1`.
    Схема решения:
    1. Замена `sqrt(log_3x)=t, t>=0`.
    2. Квадратное уравнение `t^2-3t+2=0`.
    Ответ: `x=3;81`.

    Задача №2.
    `log_3(3^x-1)*log_3(3^(x+1)-3)=6`.
    Схема решения:
    1. Замена `log_3(3^x-1)`.
    2. Квадратное уравнение `t^2+t-6=0`.
    Ответ: `x=log_3 10`.

    Задача №3.
    `5^(3lgx)=12,5x`.
    Схема решения:
    1. Замена `lgx=t`.
    2. Уравнение `12,5^t=12,5`.
    Ответ: `x=10`.

    Задача №4.
    `(log_4(2x+9)+1)*log_(x+2)2=1`.
    Схема решения:
    1. `log_ab=1/(log_ba)`.
    2. `log_2(2sqrt(2x+9))=log_2(x+2)`.
    Ответ: `x=8`.

    Задача №5.
    `log_2x*log_2(x-3)+1=log_2(x^2-3x)`.
    Схема решения:
    `ab+1=a+b iff (a-1)(b-1)=0`.
    Ответ: `x=5`.

    Задача №6.
    `log_(3x+7)(9+12x+4x^2)+log_(2x+3)(6x^2+23x+21)=4`.
    Схема решения:
    1. `4x^2+12x+9=(2x+3)^2, 6x^2+23x+21=(2x+3)(3x+7)`.
    2. Замена `log_(3x+7)(2x+3)=t`.
    Ответ: `x=-1/4`.

    Задача №7.
    `{(y*x^(log_yx)=x^(2,5)),(log_4y*log_y(y-3x)=1):}`.
    Схема решения:
    1. `log_ab*log_bc=log_ac`.
    2. Замена `log_yx=t`, уравнение `x^(1/t)*x^t=x^(2,5)`.
    Или логарифмируем первое уравнение по основанию `y`.
    Ответ: `(x;y)=(4;16)`.

    Задача №8.
    `5^(log_3((x-2)/x))<1`.
    Схема решения:
    1. ОДЗ.
    2. `log_3((x-2)/x)<0`.
    Ответ: `x>2`.

    Задача №9.
    `log_(x^2)(x^2+x-1)<0`.
    Схема решения:
    1. ОДЗ.
    2. `(x^2-1)(x^2+x-2)<0`. Метод замены множителей.
    Ответ: `-2 < x < (-1-sqrt5)/2`.

    Задача №10.
    `log_((x+2)^2)(x(x+1)(x+3)(x+4))>1`.
    Схема решения:
    1. Замена `x^2+4x+4=t`.
    2. Неравенство `log_t(((t-4)(t-1))/t)>0`.
    3. ОДЗ и методы замены множителей.
    Ответ: `x in (-oo;-2-sqrt(3+sqrt5))uu(-3;-2-sqrt(3-sqrt5))uu`
    `uu(-2+sqrt(3-sqrt5);-1)uu(-2+sqrt(3+sqrt5);+oo)`.

    Задача №11.
    `log_5sqrt(3x+4)*log_x5>1`.
    Схема решения:
    1. ОДЗ.
    2. `log_ab*log_bc=log_ac`.
    3. Разбиение на два случая по ОДЗ.
    Ответ: `1<x<4`.

    Задача №12.
    `log_(x^2-8x+16)(x^2-16)+log_(x^2+8x+16)(x^2-16)<9/4`.
    Схема решения:
    1. ОДЗ.
    2. `x^2+-8x+16=(x+-4)^2`.
    3. Замена `x-4=a, x+4=b`:
    `log_|a|(ab)+log_|b|(ab)<9/2`.
    4. Разбиение на два случая по ОДЗ, первый случай `a,b<0`, второй случай `a,b>0`.
    Во втором случае: `log_ab+log_ba<5/2`.
    Ответ: `x in (-oo;-(9+sqrt33)/2)uu(-5;-4)uu(4;5)uu((9+sqrt33)/2;+oo)`.
  • В задаче №11 (Физтех 2009 №3 - выезд) опечатка. В правой части не логарифм в квадрате, а основание в квадрате.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике