Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Подготовка к очному туру олимпиады Физтех по математике - системы уравнений


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Вторая часть материалов по подготовке к очному туру олимпиады Физтех по математике.
    Каждый год на олимпиаде Физтех стабильно дается одна система уравнений.
    В начале мы стараемся разобрать те темы, к которым проще и быстрее можно подготовиться.
    Логарифмы и системы уравнений относятся к таким темам.
    Первая часть материалов (логарифмы).
    Третья часть (неравенства и параметрические задачи).
    Остальные части будут опубликованы 17-18 февраля.
  • Теория.
    1. Система уравнений подразумевает комбинацию заданных уравнений между собой. В зависимости от вида уравнений, комбианция производится сразу, либо после предварительной работы с этими уравнениями.
    2. Виды комбинаций - подстановка, сложение-вычитание, деление-умножение. Если уравнения похожи друг на друга, понятно, что надо сразу начинать комбинировать. Если уравнения разные и кобминация невозможна, надо выбрать наиболее перспективное уравнение и начать с ним работать.
    3. Часто возможно применение замен, которые визуально упрощают работу над преобразованиями. Зачем таскать рояль?
    4. Всегда выделяем полные квадраты.
    5. Выражения вида `ax^2+bx+cy^2` легко разложить на множители. Это надо освоить и применять при необходимости. Подробнее в блоке решений.
    6. Иногда оказывается полезной граифческая интерпретация уравнений (или неравенств). Понятно, что все наши уравнения означают некие линии на графике (а неравенства задают области на графике), и решения системы являются точками пересечений этих линий на графике.
    7. Метод "крайних". Подробно разбирался в материалах по подготовке к ОММО.
  • Задачи.
    Задача №1 (Физтех 2015 №4 - билет 11).
    Решите систему`
    {(3x>=2y+16),(x^4+2x^2y^2+y^4+25-26x^2-26y^2=72xy):}`.
    Решение:
    На первый взгляд, достаточно сложная система, которая состоит из неравенства и уравнения.
    Попробуем решить задачу серией простых соображений.
    Надо с чего то начать. Понятно, что начинаем с уравнения, поскольку в неравенства делать нечего.
    `x^4+2x^2y^2+y^4+25-26x^2-26y^2=72xy` - золотое правило - если видим, что можно выделить полные квадраты, обязательно их выделяем.
    `(x^2+y^2)^2+25=26x^2+72xy+26y^2`, не останавливаемся.
    `(x^2+y^2)^2+25=36(x+y)^2-10x^2-10y^2`, не останавливаемся.
    `(x^2+y^2)^2+10(x^2+y^2)+25=36(x+y)^2`, не останавливаемся.
    `(x^2+y^2+5)^2=36(x+y)^2`. Можно притормозить, выделили последовательно три полных квадрата.
    `x^2+y^2+5=+-6(x+y)`, промежуточный результат.
    `x^2+y^2+-6(x+y)=-5`, продолжаем выделять полные квадраты.
    `(x+-3)^2+(y+-3)^2=13`.
    Итак, уравнение разбилось на совокупность двух других уравнений.
    Эти уравнения в графическом смысле являются окружностями, что дает нам подсказку к следующим действиям.
    Тогда и первое неравенство легко изобразить на графике. Это полуплоскость ниже прямой `y= -3/2x-8`.
    Теперь надо сделать примерный рисунок, что даст нам ключевую подсказку.
    Из рисунка следует, что одна окружность не пересекается с полуплоскостью, а вторая окружность "примерно" касается.
    Подсказку из графиков получили, остальное реализуем алгебраически.
    Найдем точки перечения окружностей с границей полуплоскости, а именно с прямой `y=3/2x-8`.
    Для этого достаточно решить две системы:
    `{((x+-3)^2+(y+-3)^2=13),(y=3/2x-8):}`.
    Система со знаками `+` решений не имеет.
    Другая система имеет единственное решение `(6;1)`.
    Последнее соображение: центры обоих окружностей лежат вне полуплоскости, это следует из графика и легко проверить алгебраически, подставив точки в неравенство.
    Тогда, первая окружность не пересекается с полуплоскостью, а вторая имеет единственную точку пересечения, касаясь полуплоскости внешим образом.
    Эта задача хороший пример гибридных задач (алгебра + геометрия), пример перехода из системы уравнения и неравенства к системе с двумя уравнениями.
    Для успешного решения этой задачи достаточно было выделить полные квадраты, нарисовать графики окружностей и прямой, сделать ключевой вывод и обосновать его двумя простыми системами уравнений.
    Ответ: `(x;y)=(6;1)`.

    Аналогичная задача (Физтех 2015 №4 - билет 1):
    Решите систему
    `{(x^2+y^2<=2),(81x^4-18x^2y^2+y^4-360x^2-40y^2+400=0):}`.
    Решение такое же, только вместо полуплоскости и двух окружностей получаем круг (область внутри окружности) и две прямые.
    Ответ: `(x;y)=(+-3/sqrt5;+-1/sqrt5)` - четыре пары решений.

    Задача №2 (Физтех 2015 №3 - билет 5).
    Решите систему уравнений
    `{(1/x+1/(y+z)=-2/15),(1/y+1/(x+z)=-2/3),(1/z+1/(x+y)=-1/4):}`.
    Решение:
    В таких системах часто оказывается полезной замена. Заметим, что в числителях левых частей уравнений (после сложения дробей) везде образуется выражение `x+y+z`.
    Пусть `x+y+z=t`. Чтобы не таскать рояль.
    Тогда, `{(xy+xz=-15/2t),(xy+yz=-3/2t),(xz+yz=-4t):}`.
    Теперь заменим `xy=a, yz=b, zx=c`. Все эти замены упрощают вид уравнений, одновременно упрощая работу над ними.
    `{(a+c=-15/2t),(a+b=-3/2t),(b+c=-4t):}`. Получили стандартную систему с параметром `t`.
    Сложим все уравнения и поделим на `2`: `a+b+c=-13/2t`.
    Тогда, `b=t, c=-5t, a=-5/2t`, решили.
    Переходим обратно к `x,y,z`:
    `{(yz=t),(zx=-5t),(xy=-5/2t):}`.
    Поделим второе уравнение на первое: `x/y=-5 =>` `x=-5y`.
    Поделим второе уравнение на третье: `z/y=2 =>` `z=2y`.
    Дальше все просто. Например, можем подставить полученные равенства во второе уравнение:
    `zx=-5t=-5(x+y+z)`,
    `-10y^2=-5*(-2y) => y=0` или `y=-1`. Первый корень не подходит по ОДЗ.
    `y=-1 => x=5, z=-2`.
    Ответ: `(x,y,z)=(5;-1;-2)`.

    Задача №3 (Физтех 2014 №3 - билет 1).
    Решите систему уравнений
    `{(x^2-4xy+4y^2=2x-4y+3),(sqrt(3x-6y)=2-xy):}`.
    Решение:
    Видим полный квадрат - выделяем его.
    `(x-2y)^2=2(x-2y)+3`.
    Замена `x-2y=t` `=> t^2-2t-3=0`,
    `t_1=-1, t_2=3`.
    При этом, второе уравнение запишется, как `sqrt(3t)=2-xy`.
    Тогда, `t=-1` не подходит. Дальше все просто.
    Ответ: `(x;y)=(1;-1),(2;-1/2)`.

    Задача №4 (Физтех 2014 №1 - билет 5).
    Решите систему уравнений
    `{(2x^3+3xy+3y^2=16),(x^3-x^2+xy+2y^2=8):}`.
    Решение:
    Есть стандартный метод вычитания-сложения уравнений. Как правило, этот метод позволяет избавиться от "лишнего" элемента.
    В наших уравнениях таким элементом является `x^3`. Избавимся от него вычитанием, умножим второе уравнение на `2`.
    Тогда, `2x^2+xy-y^2=0`. Одновременно избавились от чисел.
    Получили т.н. однородное уравнение относительно переменных `x,y`. Левая часть легко раскладывается на множители:
    `2x^2+2xy-xy-y^2=0`,
    `(x+y)(2x-y)=0 =>` `y=-x` или `y=2x`.
    Модель: в уравнениях вида `ax^2+bxy+cy^2=0` всегда можно найти, чему равно отношение `x/y`. Попробуйте сами (подсказка - надо поделить обе части на `y^2`). А после этого легко разложить это выражение на множители, используя тождество `at^2+bt+c=a(t-t_1)(t-t_2)`.
    `y=-x`: `2x^3-3x^2+3x^2=16 =>` `x=2, y=-2`.
    `y=2x`: `2x^3+6x^2+12x^2=16 =>` `x^3+9x^2-8=0`.
    Есть очевидное решение `x=-1`. Разложим левую часть на множители:
    `x^3+x^2+8x^2-8=0`,
    `(x+1)(x^2+8x-8)=0`. Дальше все просто.
    Ответ: `(x;y)=(2;-2), (-1;-2), (-4-2sqrt6;-8-4sqrt6), (-4+2sqrt6;-8+4sqrt6)`.

    Задача №5 (Физтех 2012 №2 - выезд).
    Решите систему уравнений
    `{((5x)/y-(9y)/x+10=6/(xy)),((2x)/y+(3y)/x+4=9/(xy)):}`.
    Решение:
    Лишними здесь являются выражения в правых частях уравнений, поскольку без них можно сделать замену `x/y=t`.
    Избавимся от лишних выражений:
    `3((5x)/y-(9y)/x+10)=2((2x)/y+(3y)/x+4)`,
    `(11x)/y-(33y)/x+22=0`,
    `x/y-(3y)/x+2=0`, избавились.
    Замена `x/y=t` `=> t-3/t+2=0`,
    `t^2+2t-3=0 => t_1=1, t_2=-3`. Дальше все просто.
    Ответ: `(x;y)=(-1;-1), (1;1), (-3;1), (3;-1)`.

    Задача №6 (Физтех 2012 №7 - Долгопрудный).
    Решите систему уравнений
    `{(4y^2-15xy+14x^2+12y-24x=0),(sqrt(x(12-7x+4y)+36)+sqrt(x^2+8x+32)=6):}`.
    Решение:
    Понятно, что сразу комбинировать оба уравнения нет смысла. Первое уравнение выглядит перспективнее второго, начнем с него.
    `4y^2-15xy+14x^2``+12y-24x=0`. В начале идет однородное выражение, которое мы уже научились раскладывать на множители (задача №4).
    Работаем по модели: у квадратного уравнения `4t^2-15t+14=0` корни `t_1=2, t_2=7/4`.
    Тогда, `4y^2-15xy+14x^2=4(y-2x)(y-7/4x)`.
    `4(y-2x)(y-7/4x)+12(y-2x)=0`,
    `(y-2x)(y-7/4x+3)=0`, разложили.
    `y=2x` или `y=7/4x-3`.
    Осталось подставить полученные значения во второе уравнение.
    `y=2x`: `sqrt(x^2+12x+36)+sqrt(x^2+8x+32)=6`,
    `|x+6|+sqrt(x^2+8x+32)=6`,
    `sqrt(x^2+8x+32)=6-|x+6|`. Иррациональное уравнение с модулями.
    Рассматриваем два случая раскрытия модуля, находим корни.
    Случай `y=7/4x-3` разбирается проще.
    Ответ: `(x;y)=(-7;-14), (-4;-8)`.

    Задача №7 (Физтех 2011 №1 - выезд).
    Решите систему уравнений
    `{(sqrt(y^2-(2x)/y)=x-y),(x^2+2/y^2=y^2+1):}`.
    Решение:
    Вид уравнений не позволяют их сразу скомбинировать. Но если возвести в квадрат первое уравнение, открываются новые перспективы.
    Не обязательно при этом находить ОДЗ, достаточно в конце устроить проверку. Но условие `x>=y` очевидно, его выпишем.
    `y^2-(2x)/y=x^2-2xy+y^2`,
    `x^2-2xy+(2x)/y=0`,
    `x(x-2y+2/y)=0`, перспектива реализована.
    `x=0` или `x-2y+2/y=0`.
    `x=0`: `2/y^2=y^2+1`,
    `y^4+y^2-2=0`, биквадратное уравнение.
    `(y^2-1)(y^2+2)=0 => y^2=1`.
    `y=+-1`, но `x>y =>` `y=-1`. Найденная пара подходит (подставили и убедились).
    `x-2y+2/y=0` `=> x=2y-2/y`,
    `x^2=4y^2-8+4/y^2`. Подставим во второе уравнение и снова получим биквадратное уравнение.
    В конце необходимо внимательно проверить все найденные решения. Достаточно проверить только первое уравнение, в части неотрицательности подкоренного выражения.
    Ответ: `(x;y)=(0;-1), (-sqrt2;-sqrt2), (sqrt2;sqrt2)`.

    Аналогичная задача (Физтех 2011 №1 - Долгопрудный):
    Решите систему уравнений
    `{(sqrt(x^2-2y)=3y-x),(81/4y^2+x^3=2x+1):}`.
    Ответ: `(x;y)=(-1;0), ((1-sqrt5)/2;0), ((sqrt113-9)/2; (3sqrt113-29)/9)`.

    Задача №8 (Физтех 2010 №2 - выезд).
    Решите систему уравнений
    `{(sqrt(25-x^2)-sqrt(25-y^2)=1),(sqrt(25-x^2)+sqrt(25-y^2)=y^2-2x^2+2x+3):}`.
    Решение:
    В этой задаче не стоит бросаться делать замену. Есть квадратные корни, от них надо избавиться, как и в любых иррациональных уравнениях.
    Вид уравнений дает явную подсказку для первого действия. Это действие одновременно уничтожает все квадратные корни.
    Вспоминаем, что есть такой метод, как перемножение уравнений. Многие знают и применяют метод деления, а про умножение забывают.
    `25-x^2-(25-y^2)=y^2-2x^2+2x+3`,
    `x^2-2x-3=0 => x_1=-1, x_2=3`. Дальше все просто.
    Ответ: `(x;y)=(3;+-4), (-1;+-2root(4)6)`.

    Задача №9 (Физтех 2009 №2 - выезд).
    Решите систему уравнений
    `{(sqrt(4x^2+sqrt(9x^2-y^2))=3/4+2x),(sqrt(15/16+6x-4/3y)=1+4/3y):}`.
    Решение:
    Квадратные корни тут даны только для того, чтобы мы от них последовательно избавились. Попутно выпишем все условия ОДЗ.
    `3/4+2x>=0 =>` `x>= -3/8`.
    `4x^2+sqrt(9x^2-y^2)=9/16+3x+4x^2`,
    `sqrt(9x^2-y^2)=3x+9/16` `=>` `x>= -3/16`.
    `9x^2-y^2=9x^2+27/8x+(3/4)^4`,
    `x=-8/27y^2-3/2^5`,
    `6x=-(4/3y)^2-9/16`. Выразили именно `6x`, поскольку это выражение есть во втором уравнении.
    Осталось возвести второе уравнение в квадрат (учитывая ОДЗ) и подставить значение `6x`.
    Немного дробных выражений и получим ответ.
    Ответ: `(x;y)=(-5/48;-3/16)`.

    Задача №9 (Физтех 2009 №7 - выезд).
    Решите систему уравнений
    `{(2x^2=yz+2x),(2y^2=xz+2y),(2z^2=xy+2z):}`.
    Решение:
    Сразу видно, что при вычитании уравнений разность раскладывается на множители.
    Например, вычтем из первого уравнения второе:
    `2(x^2-y^2)=2(x-y)+z(y-x)`,
    `(x-y)(2x+2y+z-2)=0`,
    `x=y` или `2x+2y+z=2`. Первое соотношение.
    Аналогично:
    `y=z` или `2y+2z+x=2`. Второе.
    `x=z` или `2x+2z+y=2`. Третье.
    Осталось рассмотреть несколько случаев.
    1. `x=y=z` (тогда верны все три соотношения):
    `2x^2=x^2+2x => x=0;2 => (x;y;z)=(0;0;0), (2;2;2)`.
    2. `x=y!=z => 2y+2z+x=2, 2x+2z+y=2` (снова верны все три соотношения):
    `3y+2z=2 => z=1-3/2y`. Подставим вместе с `x=y` в любое из уравнений, дальше все просто.
    Случаи `x=z!=y и y=z!=x` симметричные.
    3. Нет совпадающих выражений, тогда верны вторые равенства во всех соотношениях. Остальное аналогично.
    Ответ: `(x;y;z)=(0;0;0), (2;2;2), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)`,
    `(-2/7;6/7;6/7), (6/7;-2/7;6/7), (6/7;6/7;-2/7)`.

    Аналогичная задача (Физтех 2009 №7 - Долгопрудный):
    Решите систему уравнений
    `{(x^2-y^2=2x+4y-3z),(y^2-z^2=x-3y+4z),(z^2-x^2=-3x+y-5z):}`.
    Ответ: `(x;y;z)=(0;0;0), (1;-2;-1)`,
    `((17-sqrt37)/6;-(1+sqrt37)/3;-(1+sqrt37)/6), ((sqrt37+17)/6;(sqrt37-1)/3;(sqrt37-1)/6)`.

    Задача №10 (Физтех 2009 №1 - Долгопрудный).
    Решите систему уравнений
    `{(log_(2x+1)(4x^2-y^2+8x-6y-4)=2),(log_(y+2)(y^2+6y-x+14)=2):}`.
    Решение:
    Логарифмы в этой задаче нужны только для того, чтобы от них избавиться и для отсева корней по ОДЗ.
    `{(4x^2-y^2+8x-6y-4=4x^2+4x+1),(y^2+6y-x+14=y^2+4y+4):}`,
    `{(-y^2-6y=-4x+5),(x=2y+10):} => y^2-2y-35`. Дальше все просто.
    В конце необходими сделать проверку найденных корней.
    Ответ: `(x;y)=(24;7)`.

    Задача №11 (Физтех 2008 №3).
    Решите систему уравнений
    `{(x+sqrt(x/(x+y))=42/(x+y)),(xy-x=16):}`.
    Решение:
    Кобминация уравнений на первом шаге не имеет перспектив, поэтому надо провести предварительную работу над уравнениями. Понятно, что начинать надо с первого уравнения.
    Первое уравнение является почти квадратным уравнением, если внимательно присмотреться.
    Умножим обе части на `x+y`. Это умножение является самым сложным действием в решении. Распишем:
    `x(x+y)+(x+y)*sqrt(x/(x+y))=42`. Если сразу загнать `x+y` внутрь корня, получим, что знак выражения `(x+y)*sqrt(x/(x+y)` всегда положительный, хотя он зависит от знака `x+y` (может принимать отрицательные значения).
    Модель: `asqrtb=sqrt(ab^2)` при `a>=0` и `asqrtb=-sqrt(a^2b)` при `a<0`.
    Пусть `x+y>0` `=> x>=0` и `x+y` вносим под корень без изменения знака.
    `x(x+y)+sqrt(x(x+y))=42`.
    Замена `sqrt(x(x+y))=t, t>=0`:
    `t^2+t=42 => t_1=6, t_2=-7`. Второй корень не подходит.
    `t=6 =>` `x(x+y)=36`. Осталось скомбинировать полученный результат со вторым уравнением:
    `{(x^2+xy=36),(xy-x=16):}`, избавимся от `xy`:
    `x^2+x=52`. Дальше все просто.
    Пусть `x+y<0` `=> x<=0`:
    `x(x+y)-sqrt(x(x+y))=42`. Дальше все аналогично.
    Отсев корней проводим используя условия на `x` и `x+y`.
    Ответ: `(x;y)=(4;5), (-(1+sqrt133)/2;(41-8sqrt133)/33)`.

    Задача №12 (Физтех 2008 №5).
    Решить систему уравнений
    `{(x+y^4-2y^2=lnx),(2arctanx+arcsiny=0):}`.
    Решение:
    Почти все нестандартные уравнения и системы уравнений решаются методом "крайних", метод рассмотрен в материалах по подготовке к ОММО (ссылка на материалы).
    Комбинация уравнений не представляется возмжной, поработаем с первым уравнением:
    `y^4-2y^2=lnx-x`, видим полный квадрат, выделяем его.
    `(y^2-1)^2=lnx-x+1`.
    Метод "крайних" подразумевает находждение экстремумов обоих частей уравнений (после того, как уравнение приведено к правильному виду).
    Понятно, что `g(y)=(y^2-1)^2>=0` при любых `y`. Для правой функции понадобится производная.
    `f(x)=lnx-x+1 => f'(x)=1/x-1=(1-x)/x`.
    `x>0` по ОДЗ, поэтому `f'(x)<0` при `x>1` и `f'(x)>0` при `x<1`.
    Следовательно, `x_max=1 => f_max=ln1-1+1=0`. Или `f(x)<=1` при всех допустимых `x`.
    Итак, `(y^2-1)^2>=0>=lnx-x+1` при всех допустимых значениях `x,y`.
    Равенство выполняется `iff y^2=1, x=1`.
    Дальше все относительно просто.
    Ответ: `(x;y)=(1;-1)`.
  • Закрепление.
    Хорошо подойдут системы уравнений из ОММО.
    Ссылка на материалы - порядка 10 задач с решениями и без.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике