Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Подготовка к очному туру олимпиады Физтех по математике - неравенства и задачи с параметром


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Через раз (не каждый год) на очных турах дают смешанные неравенства (дробно-рациональные, с радикалами, модулями и т.д.).
    Ниже рассмотрены все такие неравенства.
    В этой же теме 18 февраля будет опубликован блок с параметрическими задачами.

    Остальные материалы:
    Логарифмы.
    Системы уравнений.
  • Вводное.
    1. Всегда находим ОДЗ. Часто возможно активное участие ОДЗ (решение неравенства на областях ОДЗ).
    2. Решить неравенство означает найти такие `x`, при которых выполяется неравенство. Многие это понимают иначе - как набор математических действий.
    Правильное понимание часто позволяет оптимизировать решение.
    3. Некоторые модели рассмотрены в решениях.
    4. Если в неравенстве есть элемент (модуль, квадратный корень, степень), на каком то шаге избавляемся от этого элемента (раскрываем модуль, возводим в квадрат). Правильный выбор этого шага и есть ключ решения таких неравенств.
    5. Неравенство это не уравнение. Могут быть проблемы при умножении, возведении в квадрат и т.д. Все действия, которые могут повлиять на знак неравенства, производятся в соответствии с правилами.
  • Неравенства.
    Задача №1 (Физтех 2014 №6 - билет 1).
    Найдите все значения переменной `x`, при каждом из которых оба выражения
    `f(x)=1/(cos^2x)+2sqrt3tanx+4` и `g(x)=(2x-1)/(sqrt(16+6x-x^2))+sqrt(16+6x-x^2)/(2x-1)`
    определены, причем значение меньшего из выражений не превосходит двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).
    Решение:
    Модель: выражения `f,g` определены, при этом значение меньшего из них не превосходит двух, если `f<=2` или `g<=2`.
    Действительно, если хотя бы одно из выражений не превосходит двух, то необходимо и достаточно, чтобы одно из выражений не превосходило двух.
    ОДЗ: `cosx!=0, 16+6x-x^2>0`,
    `x!=pi/2+pik, k in ZZ, x in (-2;8)`. В полученный интервал попадают плохие точки `x=-pi/2, pi/2, (3pi)/2, (5pi)/2`.
    Тогда, `x in (-2;-pi/2)uu(-pi/2;(3pi)/2)uu((3pi)/2;(5pi)/2)uu((5pi)/2;8)`.
    Решим оба неравенства из совокупности.
    `f(x)<=2`: `1/(cos^2x)+2sqrt3tanx+4<=2`,
    `1+tan^2x+2sqrt3tanx+4<=2`,
    `tan^2x+2sqrt3tanx+3<=0`,
    `(tanx+sqrt3)^2<=0 =>` `tanx=-sqrt3`, решили.
    `x=-pi/3+pin, n in ZZ`. На ОДЗ находятся точки `(2pi)/3, (5pi)/3`. Отобрали корни.
    `g(x)<=2`: `(2x-1)/(sqrt(16+6x-x^2))+sqrt(16+6x-x^2)/(2x-1)<=2`.
    В левой части сумма взаимно-обратных величин.
    Модель: `|a+1/a|>=2` или `a+1/a in (-oo;-2]uu[2;+oo)`.
    `a>0 => a+1/a>=2; a<0 => a+1/a<= -2`. Равенство выполняется `iff a=1` или `a=-1`.
    Тогда, `g(x)<=2` в двух случаях: `a=1` или `a<0`. Некоторые допускают ошибку, забывая про второй случай.
    `a=1` `=> 2x-1=sqrt(16+6x-x^2), x>=1/2`.
    `4x^2-4x+1=16+6x-x^2`,
    `5x^2-10x-15=0`,
    `x^2-2x-3=0 =>` `x_1=-1, x_2=3`. Подходит только второй корень.
    `a<0`: `(2x-1)/sqrt(16+6x-x^2)<0 => 2x-1<0 =>` `x<1/2`.
    Пересекаем с ОДЗ и получаем ответ.
    Ответ: `x in (-2;-pi/2)uu(-pi/2;1/2)uu{(2pi)/3,3,(5pi)/3}`.

    Аналогичная задача (Физтех 2014 №6 - билет 5):
    Найдите все значения переменной `x`, при каждом из которых оба выражения
    `f(x)=tan^2((picosx)/4)+cot^2((picosx)/4)` и `g(x)=(sqrt(28+3x-x^2)+2x+2)/(1+x)`
    определены, причем значение меньшего из выражений не превосходит двух (если два числа равны, то меньшим считается любое из них).
    Ответ: `x in [-4;-pi/2)uu(-pi/2;-1)uu{0,pi,2pi,7}`.

    Задача №2 (Физтех 2013 №2 - билет 1).
    Решите неравенство `1/(sqrt(|x+1|-2))<=1/(9+x)`.
    Решение:
    ОДЗ в неравенствах находится в обязательном порядке.
    `|x+1|-2>0 iff |x+1|>2 => x in (-oo;-3)uu(1;+oo)`,
    `x+9>0 => x> -9 =>` `x in (-9;-3)uu(1;+oo)`.
    У нас есть и модуль и квадратный корень. Последовательно избавимся от них.
    На первом интервале ОДЗ модуль раскрывается со знаком минус, на втором - со знаком плюс. Пример активного участия ОДЗ.
    `x in (-9;-3)`: `1/sqrt(-x-3)<=1/(9+x)`.
    На рассматриваемой области обе части неравенства положительны, можем возвести неравенство в квадрат. Оптмизация.
    `1/(-x-3)<=1/(9+x)^2`. По той же причине можем перемножить неравенство крест-накрест, хотя неравенства вида `1/f<=1/g` решаются так: `(g-f)/(fg)<=0`. Аккуратнее с умножениями.
    `(9+x)^2<=-x-3`,
    `x^2+19x+84<=0 =>` `x in [-12;-7]`.
    Пересекаем с областью: `x in (-9;-7]`.
    При `x in (1;+oo)` действуем аналогично (только модуль раскрывается со знаком плюс), получаем решения и объединяем с уже полученными решениями.
    Забегая вперед, решений во второй области нет.
    Ответ: `x in (-9;-7]`.

    Задача №3 (Физтех 2013 №4 - билет 5).
    Решите неравенство `((6|x-2|)/(x^2+21))^(x+sqrt(x^2-6))>1`.
    Решение:
    ОДЗ: `x^2-6>=0 iff |x|>=sqrt6 => x in (-oo;-sqrt6]uu[sqrt6;+oo)`.
    Модель: `f^g>1`. Понятно, что должно выполняться условие `f>0`, можно отнести это к ОДЗ.
    Особый случай `f=1`, тогда неравенство не выполняется (`1>1`). Многие забывают этот особый случай.
    `f>1`: прологарифмируем по основанию `f =>` `g>0`.
    `f<1 => g<0`. Получили совокупность двух систем неравенств.
    В нашем примере мы можем оптимизировать приведенную модель, используя простые соображения и ОДЗ. Если эта оптимизация (позволяет решить два неравенства, вместо `4`) не совсем понятна, можно решить в лоб по модели.
    Очевидно, что при `x in (-oo;-sqrt6]` всегда верно условие `g<0 => f<1`.
    При `x in [sqrt6;+oo)` верно условие `g>0 => f>1`. Оптмизация проведена.
    `x in (-oo;-sqrt6]`: `(6|x-2|)/(x^2+21)<1`, можем умножить неравенство на знаменатель, ввиду его положительности. А модуль на нашем интервале раскрывается со знаком минус.
    `12-6x<x^2+21`,
    `x^2+6x+9>0`,
    `(x+3)^2>0` - верно всегда, кроме точки `x=-3`.
    В решение пойдут интервалы `x in (-oo;-3)uu(-3;-sqrt6]`.
    На второй области `x in [sqrt6;+oo)` действуем аналогично и объединяем полученные решениям с найденными ранее.
    Забегая вперед, решений во второй области нет.
    Ответ: `x in (-oo;-3)uu(-3;-sqrt6]`.

    Задача №4 (Физтех 2012 №2 - Долгопрудный).
    Решите неравенство `(xsqrt2+1)/(1-sqrt(x^2-4x+5))<=1`.
    Решение:
    Нахождение ОДЗ в неравенствах обязательно: `x^2-4x+5>=0`,
    `(x-2)^2+1>=0` - выполняется при всех `x`.
    Одновременно получили подсказку для оптимизации решения неравенства.
    `1-sqrt(x^2-4x+5)``=1-sqrt(1+(x-2)^2)<=1-1=``0`. Понятно, что случай равенства (при `x=2`) не рассматриваем, поскольку в знаменателе не может быть нуля.
    Знаменатель неравенства всегда отрицательный, можем на него умножить неравенство, не забыв про условие `x!=2`. Оптимизация.
    `xsqrt2+1>=1-sqrt(x^2-4x+5)`, поменяли знак неравенства.
    `xsqrt2>= -sqrt(x^2-4x+5)`, пора избавляться от квадратного корня.
    Нельзя сразу возводить неравенство в квадрат, поскольку мы не знаем знак левой части.
    Пусть `x>=0`, тогда `xsqrt2>=0>= -sqrt(x^2-4x+5)` - верно при всех таких `x`.
    Пусть `x<0`, тогда `-xsqrt2<=sqrt(x^2-4x+5)`.
    Обе части неравенства положительны, можем возвести в квадрат:
    `2x^2<=x^2-4x+5`,
    `x^2+4x-5<=0 =>` `x in [-5;1]`.
    Пересечем с областью `x<0`, получим `x in [-5;0)`.
    Объединим с решениями, полученными ранее, и учтем условие `x!=2`.
    Ответ: `x in [-5;2)uu(2;+oo)`.

    Задача №5 (Физтех 2011 №3 - Долгопрудный).
    Решите неравенство
    `(10-2|x|)/(|x^2+9x+11|-3)<=1`.
    Решение:
    Необходимо избавиться от модулей. Возможен только прямолинейный способ.
    `x^2+9x+11=0 =>` `x_1=(-9-sqrt37)/2, x_2=(-9+sqrt37)/2`. Нули.
    Третья точка `x=0`. Эти три точки разбивают прямую на `4` интервала, найдем решения на каждом из них (на каждом из этих интервалов однозначно раскрываются наши модули).
    Пусть `x>=0` `=> |x|=x, |x^2+9x+11|=x^2+9x+11`:
    `(10-2x)/(x^2+9x+8)<=1`,
    `1+(2x-10)/(x^2+9x+8)>=0`,
    `(x^2+11x-2)/(x^2+9x+8)>=0`.
    Решаем методом интервалов и пересекаем с областью `x>=0`.
    Аналогично действуем в остальных областях. В конце объединяем все полученные решения.
    Долго и муторно, но других способов нет. В таких задачах важно не допустить арифметические ошибки.
    Ответ: `x in (-oo;-8)uu(-7;-3]uu(-2;-1)uu[(sqrt129-11)/2;+oo)`.

    Задача №5 (Физтех 2011 №3 - Долгопрудный).
    Решите неравенство
    `sqrt((18-x)/(2+x))> -x`.
    Решение:
    Модель: `sqrtf>g`. Если `g<0`, то неравенство выполняется на всем ОДЗ (`f>=0`). Если `g>=0`, то `f>g^2` (а условие ОДЗ можно не учитывать, поскольку `f>g^2>=0`).
    ОДЗ: `(18-x)/(2+x)>=0 => x in (-2;18]`. Разобъем ОДЗ на две области (в которых разные знаки у `g=-x`). Активное участие ОДЗ и оптимизация.
    Пусть `x in (0;18]` `=> sqrt((18-x)/(2+x))>=0> -x` - весь интервал идет в решения.
    Пусть `x in (-2;0]`, тогда правая часть неравенства неотрицательна, можем возвести неравенство в квадрат.
    `(18-x)/(2+x)>x^2`. Можно умножить на знаменатель `2+x>0` и решить кубическое неравенство, скорее всего оно легко решается.
    А можно заметить, что на нашем интервале неравенстве всегда верно.
    `18-x in [18;20), 2+x in (0;2] =>` `(18-x)/(2-x)>=18/2=9`.
    С другой стороны, `x^2<4` при `x in [0;2)`. Неравенство всегда выполняется, поэтому весь интервал `x in (-2;0]` идет в решения.
    Ответ: `x in (-2;18]`.

    Задача №6 (Физтех 2009 №2 - Долгопрудный).
    Решите неравенство
    `|2^(sqrt(x-1)-1)-1|+5/3<=(2^(sqrt(x-1)+3))/3-4^(sqrt(x-1)-1/2)`.
    Решение:
    Замена `2^(sqrt(x-1))=t`, `t>=1`, поскольку `sqrt(x-1)>=0` при `x>=1`.
    Тогда, `|t/2-1|+5/3<=8/3t-t^2/2`,
    `|t/2-1|<=8/3t-t^2/2-5/3`,
    `|t-2|<=-t^2+16/3t-10/3`. Пора избавиться от модуля, учитывая условие `t>=1`.
    Пусть `t in [1;2]` `=> |t-2|=2-t`:
    `2-t<= -t^2+16/3t-10/3`,
    `t^2-19/3t+16/3<=0`,
    `1<=t<=16/3` `=> t in [1;2]`. Пересекли с областью, на котором работали.
    Пусть `t>2` `=> |t-2|=t-2`:
    `t-2 <= -t^2+16/3t-10/3`,
    `t^2-13/3t+4/3<=0`,
    `t in [1/3;4]` `=> t in (2;4]`.
    Объединяем полученные решения: `t in [1;4]`.
    `1<=2^(sqrt(x-1))<=4`,
    `0<=sqrt(x-1)<=2 => x in [1;5]`.
    Ответ: `x in [1;5]`.

    Задача №7 (Физтех 2007 №3).
    Решить неравенство
    `((sqrt(x+3)+x-3)(sqrt(4x+5)+x-4))/sqrt(4+4x-x^2-x^3)<=0`.
    Решение:
    Знаменатель, как квадратный корень, всегда положителен. Надо найти ОДЗ для подкоренного выражения и умножить неравенство на знаменатель.
    `4+4x-x^2-x^3>0`,
    `x^2(x+1)-4(x+1)<0`,
    `(x+1)(x+2)(x-2)<0`,
    `x in (-oo;-2)uu(-1;2)`. Нашли ОДЗ.
    Найдем ОДЗ остальных выражений:
    `x+3>=0 => x>= -3`,
    `4x+5>=0 => x>= -5/4`.
    Тогда, `x in (-1;2)`, а неравенство запишется в виде
    `(sqrt(x+3)+x-3)(sqrt(4x+5)+x-4)<=0`.
    Модель: `fg<=0`. Надо решить совокупность двух систем: `f<=0, g>=0` и `f>=0, g<=0`.
    В нашем случае возможна оптимизация.
    Обе наши функции строго возрастают на ОДЗ (ключевая идея), поэтому могут принимать нулевое значение (равняться нулю) только в одной точке (а до этой точки будут меньше нуля, после этой точки больше нуля).
    Найдем эти точки: `sqrt(x+3)=3-x`,
    `x+3=9-6x+x^2`,
    `x^2-7x+6=0 => x_1=1, x_2=6`. Второй корень явно не подходит.
    Аналогично, `x=1` - корень второго выражения.
    Иначе говоря, `f` и `g` принимают такой же знак, что и выражение `x-1`. `f,g<0` при `x<1, f,g=0` при `x=1` и `f,g>1` при `x>1`. Метод замены множителей.
    Или просто можем заменить наше неравенство на эквивалентное:
    `(x-1)^2<=0` `=> x=1`.
    Ответ: `x=1`.
  • Параметрические задачи.
    Присутствуют на Физтехе каждый год, как правило, номер 6.

    Теория.
    1. Особенность Физтеха - почти всегда в таких задачах подразумевается графическое решение. В первую очередь пробуйте решить графически, аналитически будет очень сложно или невозможно.
    2. Теория и доп. задачи в теме подготовки к ОММО (ссылка на тему).
  • Задача №1 (Физтех 2015 №6 - билет 11).
    Найдите все значения параметра `b`, для каждого из которых найдется такое число `a`, что система
    `{(y=-b-x^2),(x^2+y^2+8a^2=4+4a(x+y)):}`
    имеет хотя бы одно решение `(x;y)`.
    Решение:
    Решим графически.
    `x^2+y^2+8a^2=4+4a(x+y)`,
    `(x-2a)^2+(y-2a)^2=4`, окружность с центром в точке `(2a;2a)` и радиусом `2`.
    В условии сказано, что достаточно одного `a`, иначе говоря, `a` может принимать любые значения.
    В зависимости от `a`, наша окружность "ездит" вдоль диагональной прямой `y=x`.
    Таким образом, образуется полоса шириной `4`, вдоль прямой `y=x`. См. рисунок.
    Тогда, верхняя граница полосы - прямая `y=x+2sqrt2`, нижняя граница - прямая `y=x-2sqrt2`. `2sqrt2` - гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом `2`.
    `y=-b-x^2` представляет собой параболу (ветвями вниз) с вершиной в точке `(0;-b)`.
    Существование решения системы графически означает пересечение параболы с полосой.
    Краевой случай - случай касания параболы и прямой `y=x-2sqrt2`.
    Модель: касание графиков функций `y=f(x)` и `y=g(x)` алгебраически означает единственность корня уравнения `f(x)=g(x)`.
    `-b-x^2=x-2sqrt2`, уравнение должно иметь единственный корень.
    `x^2+x+b-2sqrt2=0`, осталось заметить, что `D=0`, либо можно выделить полный квадрат:
    `(x+1/2)^2=2sqrt2+1/4-b`.
    Единственный корень (`x=-1/2`) будет при `b=2sqrt2+1/4`. Случай касания параболы и полосы.
    Если `b>2sqrt2+1/4`, то парабола опускается ниже и не пересечется с полосой.
    Поэтому, `b<=2sqrt2+1/4`.
    image
    Ответ: `b<=2sqrt2+1/4`.

    Задача №2 (Физтех 2015 №6 - билет 5).
    Найдите все значения параметра `a`, для каждого из которых найдется такое число `b`, что система
    `{(x^2+y^2+2a(a+y-x)=49),(y=15cos(x-b)-8sin(x-b)):}`
    имеет хотя бы одно решение `(x;y)`.
    Решение:
    Решаем графически.
    В этой задаче уже `b` принимает любые значения.
    `y=15cos(x-b)-8sin(x-b)` - в таком виде мы не можем сказать, какая будет выглядеть на графике функция при любых значениях `b`. Надо поработать над функцией.
    Метод дополнительного аргумента:
    `acosgamma+bsingamma=sqrt(a^2+b^2)*(a/sqrt(a^2+b^2)cosgamma+b/sqrt(a^2+b^2)singamma)=`
    `=sqrt(a^2+b^2)*(sinphicosgamma+cosphiasingamma)=sqrt(a^2+b^2)*sin(gamma+phi)`.
    Тогда, `y=``15cos(x-b)-8sin(x-b)=sqrt(15^2+8^2)*sin(x-b-phi)=``17sin(x-b-phi)`, где `sinphi=15/17`.
    Итак, `phi` - фиксированное число, `x` - переменная, а `b` принимает любые значения.
    Понятно, что если взять произвольный `x`, то выражение `y=17sin(x-b-phi)` будет пробегать все значения из отрезка `[-17;17]`.
    Графически `y=17sin(x-b-phi)` представляет собой полосу с границами `y=-17` и `y=17`. См. рисунок.
    `x^2+y^2+2a(a+y-x)=49`,
    `(x-a)^2+(y+a)^2=49`, окружность с центром в точке `(a;-a)` и радиусом `7`.
    В зависимости от `a`, окружность ездит вдоль прямой `y=-x`. Надо найти такие `a`, при которых окружность пересечется с полосой.
    Краевые случаи: окружность касается полосы сверху (верхней границы полосы) и касается полосы снизу.
    Случай верхнего касания: `a=-17-7=-24`.
    Случай нижнего касания: `a=17+7=24`.
    Тогда, при `a in [-24;24]` окружность пересекается с полосой, а значит существует хотя бы одно решение системы.
    image
    Ответ: `a in [-24;24]`.

    Аналогичная задача (Физтех 2015 №6 - билет 1).
    Найдите все значения параметра `b`, для каждого из которых найдется такое число `a`, что система
    `{(x=|y-b|+3/b),(x^2+y^2+32=a(2y-a)+12x):}`
    имеет хотя бы одно решение `(x;y)`.
    Подсказки:
    1. В некоторых случаях можно (нужно) рисовать графики функций `x=f(y)`. По сути это график `y=f(x)`, только повернутый на `90^0`.
    2. График функции `x=|y-b|+3/b` представляет собой уголок (объединение двух лучей).
    Ответ: `b in (-oo;0)uu[3/8;+oo)`.

    Задача №3 (Физтех 2013 №6 - билет 1).
    При каких значениях параметра `a` существует единственная пара чисел `(x;y)`, удовлетворяющая системе неравенств
    `{((x^2-xy+y^2)(x^2-36)>=0),(|x-2+y|+|x-2-y|<=a):}`.

    Решение:
    Решим графически, но предварительно алгебраически поработаем над неравенствами.
    `(x^2-xy+y^2)(x^2-36)>=0`.
    Модель: `fg>=0` если `f>=0, g>=0` или `f<=0, g<=0`.
    В нашем случае, `f>=0` при всех `x,y`. Можно это показать так:
    `x^2-xy+y^2=(x-y/2)^2+3/4y^2>=0`. Всегда выделяем полные квадраты. Равенство выполняется `iff x=y=0`.
    Либо рассмотрев выражение, как квадратный трехчлен от `x`. Его дискриминант `D=-3y^2<=0`.
    `(x;y)=(0;0)` является решением неравенства.
    Пусть `x` или `y` не равны `0`. Тогда, `x^2-xy+y^2>0` при всех таких `x,y`. Можем поделить неравенство на это выражение.
    `x^2-36>=0 iff |x|>=6`.
    Итак, графически первое неравенство представляет собой точку `(0;0)` и две области - левее прямой `x=-6` и правее прямой `x=6`.
    Представим графически второе неравенство:
    `|x-2+y|+|x-2-y|<=a`. Надо избавиться от модулей.
    Подмодульные выражения являются прямыми, которые разбивают область на `4` части, на каждой из которых модули раскрываются однозначно.
    `y=2-x, y=x-2` - прямые.
    Первая часть: `y>=2-x, y>=x-2 => 2y<=a => y<=a/2`.
    Значит, на первой области штрихуем подобласть `y<=a/2`.
    На остальных частях действуем аналогично.
    Понятно, что `a>=0`. При `a=0` получаем точку `(2;0)`, при `a>2` - квадрат с центром в точке `(2;0)` и стороной `a`. См. рисунок.
    Условие единственности решения системы графически означает следующее:
    Точка `(0;0)` должна попасть в центр квадрата, а прямая `x=6` оказаться правее квадрата (тогда и другая прямая `x=-6` окажется левее квадрата).
    image
    `a/2>=2 => a>=4`.
    `a/2<4 => a<8`.
    Итак, `a in [4;8)`.
    Ответ: `a in [4;8)`.

    Аналогичная задача (Физтех 2013 №6 - билет 5).
    При каких значениях параметра `a` существует единственная пара чисел `(x;y)`, удовлетворяющая системе неравенств
    `{((x^2-xy+y^2)(|x-y|-6)>=0),(x(x+2)+y(y-2)=a):}`.
    Подсказки:
    1. Первая фигура представляет собой объединение точки и части плоскости, границей которой является уголок.
    2. Вторая фигура окружность.
    Ответ: `a=0; a=6`.

    Задача №4 (Физтех 2012 №6 - выезд).
    Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых система уравнений
    `{(x^2+(2a-2)x+a^2-2a-3=0),(sqrt(x^2+(y-a)^2)+sqrt((x+4)^2+(y-a)^2)=4):}`
    имеет ровно одно решение.
    Решение:
    Решим задачу графически.
    Формула расстояния (многим известна): расстояние `l` до точки `A(x;y)` (от начала координат) равно `l=sqrt(x^2+y^2)`.
    Тогда, `l_1=sqrt(x^2+(y-a)^2` - расстояние до точки `A(0;a)`,
    `l_2=sqrt((x+4)^2+(y-a)^2)` - расстояние до точки `B(-4;a)`.
    `l_1+l_2=4`, поэтому второе уравнение на графике является отрезком, который соединяет точки `A` и `B`, то есть множеством вида `(t;a)`, где `t in [-4;0]`.
    Эту графическую интерпретацию достаточно сложно осознать, поэтому сделаем аналогичные выводы аналитически.
    Положим, `f(x;y)=sqrt(x^2+(y-a)^2)+sqrt((x+4)^2+(y-a)^2)`.
    Тогда, `f>=sqrt(x^2)+sqrt((x+4)^2)=|x|+|x+4|`. Временно избавились от второй переменной.
    `x < -4 => f=-2x-4>8-4=4`.
    `x in [-4;0] => f=4`.
    `x>0 => f=2x+4>4`. Получили, что `f>=4` при всех `x`.
    Но `f=4 => x in [-4;0]`, и при этом первое неравенство должно обратиться в равенство, т.е. `(y-a)^2=0 iff y=a`.
    Итак, аналитически получили, что второе уравнение эквивалентно множеству `(x;y)=(t;a)`, где `t in [-4;0]`. Это и есть отрезок `AB`.
    Прежде, чем изобразить графически первое уравнение, предварительно с ним поработаем.
    `x^2+(2a-2)x+a^2-2a-3=0`, рассмотрим как квадратное уравнение относительно `x`.
    `x_1=-a-1, x_2=-a+3`.
    Графически первое уравнение является семейством из двух вертикальных прямых `x=-a-1` и `x=-a+3`.
    Единственное решение системы возможно в том случае, если отрезок `AB` пересечет ровно одна из этих прямых. Графическое соображение.
    Первый случай: `-4<= -a-1<=0, -a+3>0 =>` `a in [-1;3)`.
    Второй случай: `-4< -a-1, -4<= -a+3 <=0 =>` `a in (3;7]`.
    Ответ: `a in [-1;3)uu(3;7]`.

    Задача №5 (Физтех 2012 №3 - Долгопрудный).
    Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых система уравнений
    `{(x^2+y^2-a^2<=6x-4y-13),(x^2+y^2-4a^2<=8y-10x+4a-40=4):}`
    имеет ровно одно решение.
    Решение:
    Решим задачу графически. Первые два неравенства представляют собой круги (области внутри окружности).
    `{((x-3)^2+(y+2)^2<=a^2),((x+5)^2+(y-4)^2<=(2a+1)^2):}`.
    Первое неравенство - круг с центром в точке `A(3;-2)` и радиусом `|a|`. Внимание: модуль обязателен.
    Второй неравенство - круг с центмро в точке `B(-5;4)` и радиусом `|2a+1|`.
    При `a=0` первый круг вырождается в точку `A`, при `a=-1/2` второй круг вырождается в точку `B`. Неравенства нестрогие, поэтому окружности (границы кругов) входят в эти области.
    Ключевое соображение: система имеет единственное решение, когда круги касаются друг друга внешим образом.
    Геометрически это означает, что расстояние между центрами окружностей (длина отрезка `AB`) должна равняться сумме радиусов.
    По формуле расстояния из предущей задачи:
    `AB=sqrt((3-(-5))^2+(-2-4)^2)=10`.
    Тогда, `r_1+r_2=``|a|+|2a+1|=10`. Получили простое уравнение.
    Решаем модульное уравнение, получаем корни `a=-11/3;3`.
    Ответ: `a=-11/3;3`.

    Задача №6 (Физтех 2011 №5 - выезд).
    Найдите все значения параметра `b`, при которых система уравнений
    `{(y=|b-x^2|),(y=a(x-b)):}`
    имеет решение при любом значении параметра `a`.
    Решение:
    Решим задачу графически.
    При любом значении параметра `a` - означает, что график функции `y=a(x-b)` для каждого `a` должен пересечься с графиком функции `y=|b-x^2|`.
    `-b` означает сдвиг прямой `y=x` на `b` вправо. Строим график второй функции.
    Множитель `a` означает изменение угла наклона прямой относительно оси `X`.
    Центр всех прямых - точка `A(b;0)`. Иначе говоря, прямые крутятся вокруг этой точки, меняя угол наклона.
    Нарисуем график второй функции. Раскрытие модуля зависит от знака `b`. Об этом можно догадаться, когда вы раскрываете модуль и выписываете условие `x^2<b`.
    Если `b<=0`, то модуль раскрывается однозначно. Для остальных `b` надо рассмотреть оба случая раскрытия модуля.
    Пусть `b<=0` `=> b-x^2<=0 => y=|b-x^2|=x^2+b`.
    Графическое соображение: парабола пересеется с любой из прямых, если точка `A` попадет во внутреннюю часть параболы.
    Краевой случай - вершина парабола совпадает с точкой `A`.
    Вершина параболы `B(0;b) =>` `b=0`.
    Если `b<0`, тогда точка `A` будет лежать выше вершины и найдутся такие прямые, которые не пересекутся с параболой.
    image
    Пусть `b>0` - возможны два случая раскрытия модуля:
    `y=b-x^2`, если `x^2<=b iff |x|<=sqrtb`, первый случай.
    `y=x^2-b iff |x|>=sqrtb`, второй случай.
    В обоих функциях абсцисса вершины параболы равна `0`.
    Таким образом получается функция в виде буквы `W`.
    Локальные минимумы - точки `(-sqrtb;0), (sqrtb;0)`.
    Локальный максимум - точка `(0;b)`.
    image
    Из графика видно, что наша `W` пересечется со всем семейством прямых `iff sqrtb>=b` (центр прямых окажется левее точки `(sqrtb;0)`).
    Тогда, `b in [0;1]`.
    Ответ: `b in [0;1]`.

    Задача №7 (Физтех 2011 №5 - Долгопрудный).
    Найдите все значения параметра `b`, для каждого из которых существует число `alpha`, такое, что уравнение
    `x^2+(sinalpha+3cosalpha)x+b=0`
    имеет действительное решение.
    Решение:
    Редкий случай параметрической задачи с алгебраическим решением.
    Для начала преобразуем тригонометрическое выражение, используя уже разобранный метод дополнительного аргумента.
    `sinalpha+3cosalpha=sqrt10*sin(alpha+phi)`, где `cosphi=1/sqrt10`.
    Существование некого `alpha` означает, что `alpha` пробегает по всем числам. Иначе говоря, принимает любое значение.
    Тогда, `f=sqrt10*sin(alpha+phi) in [-sqrt10;sqrt10]`.
    Уравнение `x^2+fx+b=0` имеет решение `iff D=f^2-4b>=0`.
    `b<=f^2/4`, но `f^2<=10 =>` `b<=10/4=5/2`. Необходимое (и достаточное) условие на `b` при найденных значениях `f`.
    Для любого такого `b<=5/2` мы берем значение `f=sqrt10`, тогда верно неравенство `D>=0` и уравнение имеет корни.
    Для любого другого `b>5/2` будет выполнено обратное неравенство `D=f^2-4b<=10-4b<0` и уравнение не имеет действительных корней.
    Ответ: `b<=5/2`.

    Задача №8 (Физтех 2010 №5 - Долгопрудный).
    Найдите все значения параметра `a`, при которых система уравнений
    `{(|x-1|+|x+1|-2y=0),(x^2+y^2-2ay+2a=1):}`
    имеет ровно три различных решения.
    Решение:
    Решим задачу графически.
    `x^2+y^2-2ay+2a=1`,
    `x^2+(y-a)^2=(a-1)^2` - окружность с центром в точке `(0;a)` и радиусом `|a-1|`. Модуль обязателен.
    Первое уравнение:
    `y=1/2|x-1|+1/2|x+1|`.
    `x>=1 => y=x`,
    `x in [-1;1] => y=1`.
    `x<= -1 => y= -x`. Получили фигуру в виде тазика. См. рисунок.
    Простое соображение позволяет упростить дальнейшее решение.
    Окружность проходит через точку `(0;1)` при любом `a`, это можно заметить при построении рисунка.
    Тазик также проходит через эту точку (находится на прямой `y=1`). Одно решение системы есть.
    Еще два решения будут в том случае, если окружность касается боковых стенок тазика (`y=-x, y=x`).
    Достаточно рассмотреть только одну стенку, поскольку другая стенка симметрична относительно центра окружности.
    image
    Касание функций `y=f(x)` и `y=g(x)` на графике алгебраически означает единственность уравнения `f(x)=g(x)`.
    `{(y=x),(x^2+y^2-2ay+2a=1):}` - система должна иметь единственное решение.
    `2x^2-2xy+2a-1=0` - уравнение имеет единственное решение.
    `D=0 => a=2+sqrt2`.
    Ответ: `a=2+sqrt2`.

    Доп. задачи в теме подготовки к ОММО (ссылка на тему).

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике