Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Физтех 2016 по математике - задания и решения всех вариантов


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Внимание: все задания и решения опубликованы в открытом доступе после завершения олимпиады! Безусловно, мы уважаем правила олимпиад и всячески поддерживаем олимпиадное движение.
    Билет 11 (начало в 04-00 по Мск).
    image

    Билеты 33-36 (начало в 08-00 по Мск).
    Билет 33.
    image

    Билет 34.
    image

    Билет 35.
    image

    Билет 36.
    image

    Билеты 21-24 (начало 11-00 по Мск, Выезд).
    Билет 21.
    image
    image
    image

    Билет 22.
    image

    Билет 23.
    image

    Билет 24.
    image
  • Билет 11. Решения.
    (решения остальных билетов опубликуем позже).

    Задача №1.
    Решите неравенство
    `log_((x^2-5)/(2x-6))(((x^2-5)(2x-6))/25)>=1`.

    Решение:
    Модель: `log_(a/b)((ab)/25)>=1`.
    ОДЗ обязательно: `a/b>0, ab>0` - эти два условия эквивалентны, достаточно решить одно из них, `a/b!=1 => a!=b`.
    `log_(a/b)((ab)/25)-1>=0`,
    `log_(a/b)((ab)/25)-log_(a/b)(a/b)>=0`,
    `log_(a/b)((ab)/25*b/a)>=0`,
    `log_(a/b)(b^2/25)>=0`.
    Метод замены множителей: `log_f(g)` обладает таким же знаком, что и произведение `(f-1)(g-1)` при всех `x` из ОДЗ.
    `(a/b-1)(b^2-25)>=0`.
    `(b-5)(b+5)(a-b)/b>=0`.

    Теперь можем перейти обратно к нашим `x`.
    ОДЗ: `x^2-5!=2x-6`,
    `x^2-2x+1!=0 => x!=1`.
    `(x^2-5)(2x-6)>0`.
    `x` принадлежит интервалам `(-sqrt5;sqrt5)U(3;+oo)`. И `x!=1`.
    `(b-5)(b+5)(a-b)/b>=0`,
    `(2x-11)(2x-1)(x^2-2x+1)/(2x-6)>=0`,
    `(2x-11)(2x-1)(x-1)^2/(2x-6)>=0`.
    Мы уже выяснили, что `x!=1`, тогда `(x-1)^2>0` - строго больше нуля, можем на него поделить неравенство.
    `(2x-11)(2x-1)/(2x-6)>=0`.
    Решаем методом интервалов.
    `x in [1/2;3)uu[11/2;+oo)`.
    Пересекаем с ОДЗ: `x in [1/2;1)uu(1;sqrt5)uu[11/2;+oo)`.
    Схема решения верна, надо проверить на арифметические ошибки.
    Ответ: `x in [1/2;1)uu(1;sqrt5)uu[11/2;+oo)`.
    Резюме задачи:
    1. ОДЗ в неравенствах обязательно. В логарифмах не забываем про условие "основание не равно `1`", это нам дало плохую точку `x!=1`.
    2. Предварительная работа с логарифмами, с целью применения метода замены множителей.
    3. `log_f(g)` обладает таким же знаком, что и произведение `(f-1)(g-1)` при всех `x` из ОДЗ.
    4. Метод интервалов.
    Можно было задачу (`log_f(g)>=1`) решить еще так:
    1. Находим ОДЗ.
    2. Рассматриваем два случая:
    Если `f>1`, то `g>=0` - после избавления от логарифмов.
    Если `f<1`, то `g<=0`.
    Получили совокупность двух систем.

    Задача №2.
    Решить уравнение `(cosx+2cos6x)^2=9+sin^2(3x)`.

    Решение:
    Т.к. косинус и синус любого угла лежат в пределах от `-1` до `1`, то:
    `{-1<=cosx<=1`,
    `{-1<=cos6x<=1`,
    `{-1<=sin3x<=1`,

    `{-1<=cosx<=1`,
    `{-2<=2cos6x<=2`,
    `{0<=sin^2(3x)<=1`,

    Сложим первое и второе неравенства:
    `{-3<=cosx+2cos6x<=3`,
    `{0<=sin^2(3x)<=1`,

    `{0<=(cosx+2cos6x)^2<=3`,
    `{9<=9+sin^2(3x)<=10`,

    Таким образом получили что левая часть уравнения всегда меньше или равна `9`, а правая - всегда больше или равна `9`, следовательно, обе части уравнения равны `9`, тогда получим систему:
    `{(cosx+2cos6x)^2=9`,
    `{9+sin^2(3x)=9`,

    Получим `2` системы уравнений:
    `{cosx+2cos6x=3`,
    `{sin3x=0`,
    и
    `{cosx+2cos6x=-3`,
    `{sin3x=0`,

    Т.к.
    `{-1<=cosx<=1`,
    `{-1<=cos6x<=1`, то значит что уравнение `cosx+2cos6x=3` эквивалентно системе
    `{cosx=1`,
    `{cos6x=1`,
    а уравнение `cosx+2cos6x=-3` эквивалентно системе
    `{cosx=-1`,
    `{cos6x=-1`,

    Тогда нам надо решить `2` системы:
    `{cosx=1`,
    `{cos6x=1`,
    `{sin3x=0`,
    и
    `{cosx=-1`,
    `{cos6x=-1`,
    `{sin3x=0`,

    а) решим первую систему
    `{cosx=1`,
    `{cos6x=1`,
    `{sin3x=0`,

    `{x=2*pi*k, k` - целое
    `{6*x=2*pi*l, l` - целое
    `{3*x=pi*m, m` - целое

    `{x=2*pi*k, k` - целое
    `{x=pi*l/3, l` - целое
    `{x=pi*m/3, m` - целое

    решением системы будет `x=2*pi*k, k` - целое

    б) решим вторую систему
    `{cosx=-1`,
    `{cos6x=-1`,
    `{sin3x=0`,

    Решением системы будет пустое множество, т.к. `cos6x=`{по формуле косинуса двойного угла}`=1-2*sin^2(3x)=`{возьмем из 3го уравнения, что `sin3x=0`}`=1-0=1 != -1`
    Ответ: `x=2*pi*k, k` - целое.
    Резюме задачи:
    1. Стандартная задача на экстремумы или метод "крайних". Сразу видим, что левая часть НЕ превосходит `9`, а правая НЕ меньше `9`.
    2. Равенство выполняется только в том случае, если `sin3x=0` и `cosx=cos6x=1` (или `cosx=cos6x=-1`). Остальное дело техники.

    Задача №3.
    Решить систему уравнений:
    `{2x+sqrt(2x+3y)-3y=5`,
    `{4x^2+2x+3y-9y^2=32`,

    Решение:
    `{2x+sqrt(2x+3y)-3y=5`,
    `{4x^2+2x+3y-9y^2=32`.

    `{(2x-3y) = 5-sqrt(2x+3y)`,
    `{(2x+3y)+(4x^2-9y^2)=32`.

    По формуле разности квадратов получим:
    `{(2x-3y) = 5-sqrt(2x+3y)`,
    `{(2x+3y)+(2x+3y)*(2x-3y)=32`.

    Подставим (2x-3y) из первого уравнения во второе:
    `{(2x-3y) = 5-sqrt(2x+3y)`,
    `{(2x+3y)+(2x+3y)*(5-sqrt(2x+3y))=32`.

    Сделаем замену `sqrt(2x+3y)=t` и отдельно решим второе уравнение:
    `t^2+t^2*(5-t)=32`,
    `t^2+5*t^2-t^3=32`,
    `t^3-6*t^2+32=0`, заметим что одним из корней будет `t=-2`,
    `(t^3+2*t^2)-(8*t^2+16*t)+(16*t+32) = 0`.
    `(t+2)*(t^2-8*t+16)=0`,
    `(t+2)*(t-4)^2=0`.
    `t_1=-2`,
    `t_2=4`,
    `t_3=4`.

    Поскольку была замена `sqrt(2x+3y)=t`, то нам подходит только корень `t=4`,  тогда система примет вид:
    `{(2x-3y) = 5-sqrt(2x+3y)`,
    `{sqrt(2x+3y) = 4`.

    Заменим `sqrt(2x+3y)` на `4` в первом уравнении, а второе возведем в квадрат^
    `{(2x-3y) = 5-4`,
    `{2x+3y = 16`.

    `{2x-3y = 1`,
    `{2x+3y = 16`.

    Сложим первое и второе уравнения:
    `{2x-3y = 1`,
    `{2x+3y+2x-3y = 16+1`.

    `{3y = 1-2x`,
    `{4x = 17`.

    `{y = (1-2*17/4)/3`,
    `{x = 17/4`.

    `{x = 4.25`
    `{y = -2.5`
    Ответ:
    `{x = 4.25`
    `{y = -2.5`.
    Резюме задачи:
    1. Предварительная работа с одним из уравнений, подготовка к замене.
    2. Замена, получение кубического уравнения.
    3. Кубическое уравнение решили стандартно - "угадали" корень и разложили на множители.

    Задача №4.
    Точки `A,B,C,D,E` последовательно расположены на одной прямой, причем `AB=CD=1, BC=DE=2`. Окружности `Omega` и `omega`, касающиеся друг друга, таковы, что `Omega` проходит через точки `A` и `E`, а `omega` проходит через точки `B` и `C`. Найдите радиусы окружностей `Omega` и `omega`, если известно, что их центры и точка `D` лежат на одной прямой.

    Решение:
    image
    Обозначим радиус окружности `Omega` как `R`, а радиус окружности `omega` как `r`.
    1) Поскольку `AE` - хорда окружности `Omega`, то центр этой окружности будет лежать на серединном перпендикуляре хорды `AE`. Серединой хорды `AE` будет точка `C`.
    2) Поскольку `BC` - хорда окружности `omega`, то центр этой окружности будет лежать на серединном перпендикуляре хорды `BC`. Серединой хорды `BC` будет точка `L`. `BL=LC=1`.
    3) Треугольники `DCO_1` и `DLO_2` - подобны, т.к. угол `ADK` - общий и углы `DCO_1=DLO_2=pi/2`.
    Тогда `DO_1:DO_2=CO_1:LO_2=DC:DL=1/2 => O_1O_2=DO_1`.
    4) По свойству пересекающихся хорд в окружности: `KD*DM=AD*DE`.
    `KD=KO_1+DO_1=R+O_1O_2=R+(R-r)=2R-r`,
    `DM=2R-KD=2R-2R+r=r`,
    `AD=AB+BC+CD=4`,
    `DE=2`.

    Тогда, `(2R-r)*r=8`.

    5) По теореме Пифагора `O_1C = sqrt(O_1E^2-CE^2)=sqrt(R^2-9)` и `O_2L=sqrt(O_2C^2-LC^2)=sqrt(r^2-1)`.
    Из подобия треугольников следует, что `CO_1:LO_2=1/2`.
    `sqrt(R^2-9)/sqrt(r^2-1)=1/2`,
    `(R^2-9)/(r^2-1)=1/4`,
    `4R^2-36=r^2-1`,
    `4R^2-r^2=35`,
    `(2R-r)(2R+r)=35`.

    6) Поделим уравнения получившиеся в пунктах `4` и `5` друг на друга и получим:
    `(2R+r)/r=35/8`,
    `(2R)/r+1=35/8`,
    `(2R)/r=27/8`,
    `R/r=27/16`,
    `R=r*27/16`.

    Подставим получившиеся выражение в `(2R-r)*r=8`:
    `(r*27/8-r)*r=8`,
    `(r*19/8)*r=8`,
    `r^2=64/19`,
    `r=8/sqrt(19)`,
    `R=8/sqrt(19)*27/16=27/(2*sqrt(19))`.
    Ответ: `r=8/sqrt(19), R=27/(2*sqrt(19))`.

    Задача №5.
    В числе `2`*`0`*`1`*`6`*`0`* нужно заменить каждую из 5 звездочек на любую из цифр `0,1,2,3,4,5,6,7,8` (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное `10`-значное число делилось на `45`. Сколькими способами можно это сделать?

    Решение:
    Число делится на `45`, если оно делится на `5` и на `9`.
    Признак делимости на `9`: число делится на `9` тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на `9`.
    Признак делимости на `5`: число делится на `5` тогда и только тогда, когда последняя цифра числа равна `0` или `5`.
    Итак, последняя звездочка равна `0` или `5`.
    `1` случай: последняя звездочка равна `0`.
    Тогда сумма `6` известных цифра равна `2+1+6=9`.
    Следовательно, сумма остальных `4` цифр должна делится на `9`.
    Масимальная сумма этих четырех цифр равна `4*8=32`, миниальная равна `0`.
    Тогда эта сумма может принимать значения `9, 18` и `27`.
    `x+y+z+t=9, 18` или `27`.
    Надо найти количество целых, неотрицательных (и не превосходящих `8`) решений каждого из трех уравнений.
    `x+y=k => z+t=9-k`.
    `k=0` - одна пара `(x;y)` и `8` пар `(z;t)`. `8` четверок `(x;y;z;t)`. Не `9` потому, что `z,t` не могут равняться `9`.
    `k=1` - две пары `(x;y)` и `8` пар `(z;t)`. `16` четверок `(x;y;z;t)`.
    `k=2` - три пары  `(x;y)` и `7` пар `(z;t)`. `21` четверка `(x;y;z;t)`.
    `k=3` - `4*6=24`.
    `k=4` - `5*6`.
    `k=5` - `30`.
    `k=6` - `24`.
    `k=7` - `21`.
    `k=8` - `16`.
    `k=9` - `8`.
    Итого, для первого уравнения получили `2*(8+16+21+24+30)=198` четверок `(x;y;z;t)`.
    `x+y+z+t=18`,
    `x+y=k, z+t=18-k`.
    `k=0` или `1 => z+t=18` или `17` - нет решений.
    `k=2` - `3*1=4` четверки.
    `k=3` - `4*2=8` четверок.
    `k=4` - `5*3=15`.
    `k=5` - `6*4=24`.
    `k=6` - `7*5=35`.
    `k=7` - `8*6=48`.
    `k=8` - `9*7=63`.
    `k=9` - `9*9=81`.
    `k=10` - `7*9=63` и т.д.
    Для второго уравнения получим `2*(4+8+15+24+35+48+63)+81=475` решений.
    `x+y+z+t=27`.
    `x+y=k, z+t=27-k`.
    `k<=16, 27-k<=16 => k>=11`.
    Итак, `k` принимает значения от `11` до `16`.
    `k=11`: `x+y=11, z+t=16` - `6*1=6` четверок.
    `k=12`: `5*2=10`.
    `k=13`: `4*3=12`.
    `k=14`: `3*4=12`.
    `k=15`: `2*5=10`.
    `k=16`: `1*6=6`.
    Для третьего уравнения получим `2*(6+10+12)=56` решений.
    Всего способов в первом глобальном случае получили `198+475+56=729` (кстати, это `27^2`).
    Еще забыли случай `x+y+z+t=0` - будет еще одно решение `(x;y;z;t)=(0;0;0;0)`.
    Итого, `730`.

    Второй глобальный случай: последняя звездочка равна `5`.
    Тогда сумма всех известных цифр равна `9+5=14` - дает остаток `5` при делении на `9`.
    Следовательно, сумма неизвестных цифра должна давать остаток `4` при делении на `9`.
    Сумма ограничена интервалом `[0;32]`, поэтому может равняться `4, 13, 22` и `31`.
    `x+y+z+t=4`,
    `x+y=k, z+t=4-k`.
    `k=4` - `5*1=5`.
    `k=3` - `4*2=8`.
    `k=2` - `3*3=9`.
    `k=1` - `2*4=8`.
    `k=0` - `1*5=5`.
    Итого, `2*(5+8)+9=35` четверок.
    `x+y+z+t=13`,
    `x+y=k, z+t=13-k`.
    `k=13` - `4*1=4`.
    `k=12` - `5*2=10`.
    `k=11` - `6*3=18`.
    `k=10` - `7*4=28`.
    `k=9` - `8*5=35`.
    `k=8` - `9*6=54`.
    `k=7` - `8*7=56`.
    `k=6` - `7*8=56`.
    ...
    Итого, `2*(4+10+18+28+35+54+56)=410` четверок.
    `x+y+z+t=22`,
    `x+y=k, z+t=22-k => k<=16, 22-k<=16 => 6<=k<=16`.
    `k=6` - `7*1=7`.
    `k=7` - `8*2=16`.
    `k=8` - `9*3=27`.
    `k=9` - `8*4=32`.
    `k=10` - `7*5=35`.
    `k=11` - `6*6=36`.
    `k=12` - `5*7=35`.
    `k=13` - `4*8=32`.
    ...
    Итого, `2*(7+16+27+32+35)+36=270` четверок.
    `x+y+z+t=31`,
    `x+y=k, z+t=31-k => k<=16, 31-k<=16 => 15<=k<=16`.
    `k=15` - `2*1=2`.
    `k=16` - `1*2=2`.
    Итого, `4` четверки.
    Всего четверок во втором глобальном случае `35+410+270+4=719`.
    Общее количество способов равно `719+730=1449`.
    Ответ: `1449`.
    Резюме задачи:
    1. Признаки делимости на `5` и на `9`.
    2. Разбиение на `2` случая по последней цифре (делимость на `5`).
    3. В каждом случае получаем несколько уравнений в целых числах вида `x+y+z+t=N`, где значения `N` зависят от признака делимости на `9`.
    4. Считаем количество решений всех этих уравнений, учитывая ограничения на `x,y,z,t` (от `0` до `9`).
    Модель: `x+y=k, z+t=N-k`. При этом `k<=16, N-k<=16 => N-16<=k<=16`.
    Считаем в каждом случае количество пар `(x;y)` и количество пар `(z;t)`, далее перемножаем и получаем количество четверок `(x;y;z;t)`.
    Количества пар считаются в уме, при этом не забываем про ограничения на `x,y,z,t`.
    Надо проверить вычисления, но алгоритм верный.
    Дополнение к 5 задаче.
    Есть формула: число неотрицательных решений уравнения `x_1+x_2+...+x_m=n` равно `C_(m+n-1)^(m-1)` - биномиальный коэффициент.
    Как известно, `C_(m+n-1)^(m-1)=((m-1)!*n!)/(m+n-1)!`.
    Но тут относительно сложно учесть условие `x,y,z,t<=8`.

    Задача №6.
    Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых система уравнений
    `{((|y-10|+|x+3|-2)(x^2+y^2-6)=0),((x+3)^2+(y-5)^2=a):}`
    имеет ровно `3` решения.

    Решение:
    Решим задачу графически.
    `(x+3)^2+(y-5)^2=a` -  при `a>=0` второе уравнение представляет собой окружность с центром в точке `(-3;5)` и радиусом `sqrta`.
    При `a=0` второе уравнение вырождается в точку.
    `(|y-10|+|x+3|-2)(x^2+y^2-6)=0`,
    `|y-10|+|x+3|-2=0` или `x^2+y^2-6=0`,
    `|y-10|+|x+3|=2` или `x^2+y^2=6`.
    Второе уравнение представляет собой совокупность двух других уравнений.
    Построим график каждого из этих уравнений.
    `x^2+y^2=6` - окружность с центром в начале координат и радиусом `sqrt6`.
    `|y-10|+|x+3|=2` - рассмотрим несколько случаев раскрывания модуля:
    1. `x>= -3, y>=10`: `y-10+x+3=2 => y=-x+9`.
    В области, ограниченной линиями `x>=-3` и `y>=10` рисуем прямую `y=-x+9`.
    2. `x< -3, y>=10 => y=x+15`.
    3. `x >=-3, y<10 => y=x+11`.
    4. `x< -3, y< 10 => y=-x+5`.
    На графике получим четырехугольник с вершинами `(-5;10), (-3;12), (-1;10), (-3;8)`.
    Итак, первое уравнение представляет собой совокупность окружности и четырехугольника.
    Обратим внимание, что центр окружности из второго уравнения находится на прямой `x=-3`.
    Система имеет три решения, если на графике будет три точки пересечения.
    Это возможно только в том случае, когда вторая окружность касается первой и пересекает четырехугольник в двух точках или наоборот.
    Пусть окружности касаются, это эквивалентно тому, что сумма радиусов равна расстоянию между центрами.
    `l=sqrt(3^2+5^2)=sqrt34` - по формуле расстояния.
    `r_1+r_2=sqrta+sqrt6`.
    `sqrta+sqrt6=sqrt34`,
    `sqrta=sqrt34-sqrt6`,
    `a=40-2sqrt(34*6)`.
    Проверим, что происходит при таком `a` с четырехугольником с его пересечением со второй окружностью.
    Центр второй окружности - точка `(-3;5)`.
    По прямой `x=-3` прибавляем найденный радиус, получаем `5+sqrt34-sqrt6` - ордината самой верхней точки окружности.
    Если эта ордината окажется между двумя ординатами четырехугольника `8` и `12`, то будет два пересечения.
    Легко проверить, что `8<5+sqrt34-sqrt6<12`.
    Второй случай: окружность касается четырехугольника, иначе говоря, проходит через его верхнюю или нижнюю вершины.
    В первом случае радиус `r=sqrta=12-5=7` (разность ординат), во втором `r=sqrta=8-5=3`.
    Проверим, что происходит при таких `a` с переcечением с другой окружностью.
    `r_1+r_2=sqrta+sqrt6`,
    `l=sqrt34`.
    Если `r=7 => r_1+r_2=7+sqrt6`. Будет две точки пересечений. Легко получить геометрически или решив систему уравнений.
    `r=3 => r_1+r_2=3+sqrt6<sqrt34` - не пересекаются. Сумма расстояний радиусов получилась меньше чем расстояние между центрами.
    Ответ: `a=49, a=40-2sqrt(204)`.
    Резюме задачи:
    1. Одно уравнение представляет собой две явные фигуры, второе уравнение - окружность с фиксированным центром и плавающим радиусом.
    2. Диагональ четырехугольника и центр второй окружности оказались на одной прямой. Из геометрических соображений понятны случаи трех пересечений.
    3. График уравнения вида `|x-a|+|y-b|=c` всегда представляет собой четырехугольник. Надо только разбить на `4` случая раскрытия модулей.
    4. Использована следующая геометро-графическая интерпретация касания окружностей: сумма радиусов равна расстоянию между центрами.
    5. Формула расстояния между точками `A(x;y)` и `B(z;t)`: `l=sqrt((x-z)^2+(z-t)^2)`.
    6. Если это расстояние больше суммы радиусов, то окружности не касаются.
    7. Если это расстояние меньше суммы радиусов, то окружности пересекаются в двух точках, но при этом надо иметь ввиду случай, когда одна окружность полностью оказывается внутри другой.

    Задача №7.
    Решение:
    а) Обозначим длину ребра основания как `a`, длину бокового ребра обозначим как `b`.
    1) Рассмотрим треугольник `DB_1D_1`:
    Он прямоугольный, т.к. призма правильная, значит `D D_1` перпендикулярно плоскости основания `A1B_1C_1D_1` и, следовательно, перпендикулярно `B_1D_1`.
    `D_1H` перпендикулярно `B_1D`, т.к. `D_1H` принадлежит плоскости `beta`, которая перпендикулярна `B_1D`, то есть `D_1H` - высота.

    По теореме Пифагора:
    `B_1D_1=sqrt(A1B_1^2+A1D_1^2)=sqrt(a^2+a^2)=a*sqrt(2)`,
    `B_1D=sqrt(DD_1^2+B_1D_1^2)=sqrt(b^2+2*a^2)`.
    Т.к. треугольник прямоугольный, то `S = 1/2*DD_1*B_1D_1=1/2*b*a*sqrt(2)`.
    С другой стороны `S = 1/2*B_1D*D_1H=1/2*sqrt(b^2+2*a^2)*D_1H`.
    `D_1H=b*a*sqrt(2)/sqrt(b^2+2*a^2)`.
    По теореме Пифагора:
    `B_1H=sqrt(B_1D_1^2-D_1H^2)=sqrt(2*a^2-b^2*a^2*2/(b^2+2*a^2))=`
    `=a*sqrt(2)*sqrt(1-b^2/(b^2+2*a^2))=a*sqrt(2)*sqrt((b^2+2*a^2-b^2)/(b^2+2*a^2))=`
    `=a*sqrt(2)*sqrt(2*a^2/(b^2+2*a^2))=2*a^2/sqrt(b^2+2*a^2)`.

    2) Рассмотрим треугольник `DAB_1`:
    Он прямоугольный, т.к. призма правильная, значит `AD` перпендикулярно боковой плоскости `A1B_1BA` и, следовательно, перпендикулярно `AB_1`.
    `AF` перпендикулярно `B_1D`, т.к. `AF` принадлежит плоскости `alpha`, которая перпендикулярна `B_1D`, то есть `AF` - высота.
    По теореме Пифагора:
    `B_1A=sqrt(AB^2+B_1B^2)=sqrt(b^2+a^2)`.
    Т.к. треугольник прямоугольный, то `S = 1/2*AD*B_1A=1/2*a*sqrt(b^2+a^2)`.
    С другой стороны `S = 1/2*B_1D*AF=1/2*sqrt(b^2+2*a^2)*AF`.
    `AF=a*sqrt(b^2+a^2)/sqrt(b^2+2*a^2)`.
    По теореме Пифагора:
    `DF=sqrt(AD^2-AF^2)=sqrt(a^2-a^2*(b^2+a^2)/(b^2+2*a^2))=`
    `=a*sqrt(1-(b^2+a^2)/(b^2+2*a^2))=a*sqrt((b^2+2*a^2-b^2-a^2)/(b^2+2*a^2))=`
    `=a*sqrt((a^2)/(b^2+2*a^2))=a^2/sqrt(b^2+2*a^2)`.

    3) `B_1H:DF=[2*a^2/sqrt(b^2+2*a^2)]/[a^2/sqrt(b^2+2*a^2)]=2`.
    Ответ: `B_1H:DF=2`.
    б) Обозначим радиус сферы как `R`.
    Т.к. сфера касается всех боковых граней призмы, то `a=2*R=2*3/2=3`.
    Поскольку плоскости `alpha` и `beta` перпендикулярны одной и той же прямой `DB_1`, то из этого можно сделать вывод что эти плоскости - параллельны.
    Тогда, поскольку сфера касается обеих плоскостей, то расстояние между этими плоскостями будет равно диметру сферы или, что то же самое, `2*R`.
    Расстоянием между плоскостями `alpha` и `beta` будет длина отрезка `FH`, т.к. этот отрезок перпендикулярен обеим плоскостям.
    Тогда `FH=2*R`.
    `FH=B_1D-B_1H-DF=sqrt(b^2+2*a^2)-2*a^2/sqrt(b^2+2*a^2)-a^2/sqrt(b^2+2*a^2)=`
    `=sqrt(b^2+18)-18/sqrt(b^2+18)-9/sqrt(b^2+18)=sqrt(b^2+18)-27/sqrt(b^2+18)=3`.
    Сделаем замену `sqrt(b^2+18)=t`:
    `t-27/t=3`,
    `t^2-3*t-27=0`,
    `D=9+27*4=117`,
    `t_1=(3-sqrt(117))/2`,
    `t_2=(3+sqrt(117))/2`, поскольку `t` - неотрицательно то нам подходит только `2`-ой корень:
    `t=(3+sqrt(117))/2`,
    `sqrt(b^2+18)=(3+sqrt(117))/2`,
    `b^2+18=(9+117+6*sqrt(117))/4`,
    `b^2=(126+6*sqrt(117)-72)/4`,
    `b^2=(126+6*sqrt(117)-72)/4`,
    `b^2=(54+6*sqrt(117))/4`,
    `b^2=(27+3*sqrt(117))/2`.
    `b=sqrt((27+3*sqrt(117))/2)`.
    `B_1D=sqrt(b^2+2*a^2)=sqrt(b^2+18)=(3+sqrt(117))/2`,
    `V_(ABCDA1B_1C_1D_1)=a^2*b=9*sqrt((27+3*sqrt(117))/2)`.
    Ответ: `B_1D=(3+sqrt(117))/2, V_(ABCDA1B_1C_1D_1)=9*sqrt((27+3*sqrt(117))/2)`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике