ДВИ по математике в МГУ (21 июля 2017 - резервный день)

18.07.2017. Поступили материалы ДВИ по математике.
Подключение платное, тариф Light (30 тыс. руб.), Стандарт (40 тыс. руб.).
dvi@olympiads.biz - для вопросов и заявок.
Подготовка к очному туру олимпиады Ломоносов по математике - алгебраические задачи


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Материалы по подготовке к олимпиаде Ломоносов по математике. Часть 1 (алгебра).

    Полезная информация
    1. Заключительный этап состоит из 8 задач. Первые 3-4 номера относительно простые, остальные сложнее. 5-6 задач из школьной программы, но нестандартные.
    Алгебра - 3-4 задачи (тригонометрия, логарифмы, параметры, функции, нестандартные задачи). Почти всегда дают задачи на обратные тригонометрические функции.
    Теория чисел - 1 задача.
    Текстовая задача или задача на логику - 1 задача.
    Геометрия - 2-3 задачи (1-2 планиметрии и 1 стереометрия).
    2. Каждая задача стоит 15 баллов, но максимально можно набрать 100 баллов (даже если вы решили все 8 задач).
    Чистое решение - 15 баллов, решение с помарками - 10 баллов, решение с ошибками или частичное решение - 5 баллов. Могут быть промежуточные баллы.
    3. Диплом 1 степени - 80-85 баллов (или 5.5-6 решенных задач).
    Диплом 2 степени - 70 баллов (5 задач).
    Диплом 3 степени - 50-55 баллов (3.5-4 задачи). Но диплом получить сложно (см. п.4).
    4. Критерии жесткие, решения должны быть железными. Например, за одинаковое решение на ОММО могут поставить +-, а на Ломоносове 5 или 0 баллов.
    Сами задачи часто коварные (включая первые номера), и если попасть в ловушку, то даже с частично верным решением можно получить 0 баллов.
    Может быть такое, что маленькие баллы не идут в общую сумму. Иначе говоря, если вы за 3 задачи получили пятерки, то только одна из них идет в зачет. Да, такое вполне может быть, это в духе МГУ.

    Инструкция по работе с материалами
    1. Задания олимпиады Ломоносов не такие прогнозируемые, как задания ОММО или Физтеха. Но какие-то общие идеи есть на каждой олимпиаде.
    2. В этой теме публикуются подробные решения алгебраической части очного тура (3-4 задачи из 8). Уравнения и неравенства, логарифмы, тригонометрия, обратные тригонометрические задачи, параметры и функции. Задания лучше разбирать в приведенной последовательности, они сгруппированы.
    3. Тема будет состоять из 30 задач, на текущий момент опубликовано 10 задач, остальные в процессе.
    4. Вместо блоков с теорией, после каждой задачи приведено резюме решения, где кратко описаны применяемые методы.
  • Задача №1 (Ломоносов 2015 №4).
    Найдите наибольшее значение `x+y`, если числа `x` и `y` удовлетворяют неравенству
    `log_((x^2+y^2)/2)y>=1`.
    Решение:
    Задача - гибрид логарифмов, графиков и параметра.
    Модель (метод замены множителей): `log_fg>=1 <=> log_fg-log_f f>=0`,
    `log_f(g/f)>=0 => (g/f-1)/(f-1)>=0` плюс условия ОДЗ `f>0, g>0, f!=1`.
    Метод основан на том, что у выражений `log_ab и (a-1)(b-1)` одинаковый знак на ОДЗ.
    ОДЗ: `x^2+y^2!=2, y>0, x^2+y^2>0`.
    Последнее условие можно записать, как `(x;y)!=(0;0)`.
    На найденном ОДЗ наше неравенство эквивалентно неравенству:
    `((2y)/(x^2+y^2)-1)/((x^2+y^2)/2-1)>=0`, применили метод замены множителей.
    `(2y-x^2-y^2)/((x^2+y^2)(x^2+y^2-2))>=0`. От первого множителя в знаменателе можем избавиться. Он положительный, и также не влияет на ОДЗ.
    `(2y-x^2-y^2)/(x^2+y^2-2)>=0`. Если есть возможность, всегда выделяем полные квадраты.
    `(x^2+(y-1)^2-1)/(x^2+y^2-2)<=0`.
    При таких условиях (найденный ОДЗ и полученное неравенство) надо найти `max(x+y)`.
    В задачах на нахождение максимума-минимума часто бывает полезным искомую величину обозначить через параметр `a`.
    Переформулировка:
    Найти максимальное значение параметра `a`, при которых система
    `{((x^2+(y-1)^2-1)/(x^2+y^2-2)<=0),(x+y=a):}`
    имеет хотя бы одно решение.
    Не забудем добавить условия `y>0, (x;y)!=(0;0), x^2+y^2!=2`.
    Параметрическая задача, которую проще всего решить графически.
    `a/b<=0` если `a,b` разных знаков.
    1 случай: `x^2+(y-1)^2-1<=0, x^2+y^2-2>0`.
    Получаем полумесяц с нижней границей `x^2+y^2=2` (граница не включается в область) и верхней границей из другой окружности.
    image
    2 случай: `x^2+(y-1)^2-1>=0, x^2+y^2-2<0`.
    Получаем толстый полумесяц, обрезанный условием `y>0`.
    image
    В объединении получаем следующую область (граница `x^2+y^2=2` не включается в область):
    image
    `y=a-x` представляет собой семейство прямых.
    Из графика видим, что `a->max` в случае касания прямой `y=a-x` и окружности `x^2+(y-1)^2-1=0`.
    Алгебраически это означает, что система составленная из двух этих уравнений имеет единственное решение.
    `x^2+(x-a+1)^2-1=0`,
    `2x^2-2x(a-1)+a^2-2a=0`.
    `D/4=(a-1)^2-2(a^2-2a) = -a^2+2a+1`.
    `D/4=0 => a_(1,2)=1+-sqrt2`.
    При меньшем `a` касание происходит в нижней части окружности, при большем `a` касание происходит в верхней части окружности. Нам нужен второй случай.
    Понятно, что при таком `a` прямая больше не пересечет нашу область.
    Ответ: `a=1+sqrt2`.
    Резюме задачи:
    1. Метод замены множителей оказался не нужным.
    Модель `log_fg>=1 => f>0, g>0, f!=1` и сразу два случая:
    `f>1 => g>=f` и `f<1 => f<=f`.
    2. Выделение полных квадратов и графическое решение задачи.
    3. Ввод параметра для суммы `x+y` и переформулировка задачи.
    4. Графические соображения максимальности параметра `a`, получение случая касания прямой и окружности, алгебраическая реализация случая касания (единственность решения системы и квадратного уравнения).
    5. Внимание к мелочам.
  • Задача №2 (Ломоносов 2014 №4).
    Найдите все пары `(a,b)`, при которых множество решений неравенства
    `log_2014(x-a)>2x^2-x-b` совпадает с промежутком `(0;1)`.
    Решение:
    Решим задачу графически.
    Можно использовать свойства выпуклости без доказательства.
    Например, пусть уравнение `f(x)=g(x)` имеет единственное решение.
    Если графики `y=f(x)` и `y=g(x)` разной выпуклости, то единственное решение будет в точке касания.
    Для точки касания `x_0` выполняются два равенства `f(x_0)=g(x_0)` и `f'(x_0)=g'(x_0)`.
    Также очевидно, что уравнение `f(x)=g(x)` может иметь максимум два решения.
    Пусть `y=f(x)` выпукла верх, а `y=g(x)` выпукла вниз, и уравнение `f(x)=g(x)` имеет два решения `x_1<x_2`.
    Тогда решением неравенства `f(x)>g(x)` будет интервал `x in (x_1;x_2)`.
    В нашем случае `f(x)=log_2014(x-a)` выпукла верх, `g(x)=2x^2-x-b` выпукла вниз.
    Чтобы выполнялось условие задачи, необходимо и достаточно следующих условий:
    Уравнение `f(x)=g(x)` имеет два корня `x_1=0, x_2=1`.
    `log_2014(x-a)=2x^2-x-b` - подставим известные корни в уравнение.
    `x_1=0`: `log_2014(-a)=-b`.
    `x_1=1`: `log_2014(1-a)=1-b`.
    `a=-1/2013, b=log_2014 2013`.
    image
    Ответ: `a=-1/2013, b=log_2014 2013`.
    Резюме задачи:
    1. Графический метод.
    2. Свойства выпуклости.
    3. Использование этих свойств для алгебраической реализации условия задачи.
  • Задача №3 (Ломоносов 2013 №3).
    Решить неравенство `log_(x^2+4x+3)(x-4)^2*log_(-x^2+3x+4)(3-x)^3<=0`.
    Решение:
    Надо найти ОДЗ и заменить каждое из выражений `log_ab` на `(a-1)(b-1)` по методу замены множителей (рассмотрен в задаче №1).
    ОДЗ: `x^2+4x+3>0 => x in (-oo;-3)uu(-1;+oo)`.
    `x^2+4x+3!=1 => x!= -2+-sqrt2`.
    `(x-4)^2>0 => x!=4`.
    `-x^2+3x+4>0 => x in (-1;4)`.
    `-x^2+3x+4!=1 => x!=(3+-sqrt21)/2`.
    `(3-x)^3>0 => x<3`.
    Пересекаем все условия:
    `x in (-1;(3-sqrt21)/2)uu((3-sqrt21)/2;-2+sqrt2)uu(-2+sqrt2;3)`.
    `log_(x^2+4x+3)(x-4)^2*log_(-x^2+3x+4)(3-x)^3<=0`, метод замены множителей.
    `(x^2+4x+3-1)((x-4)^2-1)(-x^2+3x+4-1)((3-x)^3-1)<=0`,
    `(x^2+4x+2)(x-5)(x-3)(-x^2+3x+3)(2-x)((3-x)^2+(3-x)+1)<=0` - немного почистим неравенство.
    Последний сомножитель всегда положительный (квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом), можем на него поделить неравенство и умножить два раза на `(-1)`.
    `(x^2+4x+2)(x-5)(x-3)(x^2-3x-3)(x-2)<=0` - метод интервалов.
    Нули в порядке возрастания:
    `-2-sqrt2, (3-sqrt21)/2, -2+sqrt2, 2, 3, (3+sqrt21)/2, 5`.
    Тогда, `x in (-oo;-2-sqrt2]uu[(3-sqrt21)/2;-2+sqrt2]uu[2;3]uu[(3+sqrt21)/2;5]`.
    Пересечем с ОДЗ:
    `x in ((3-sqrt21)/2;-2+sqrt2)uu[2;3)`.
    Ответ: `x in ((3-sqrt21)/2;-2+sqrt2)uu[2;3)`.
    Резюме задачи:
    1. ОДЗ.
    2. Метод замены множителей.
    3. Внимательность в вычислительных действиях.
  • Задача №4 (Ломоносов 2012 №6).
    Найдите область значений функции
    `f(x)=log_2x*log_2(64/x)*sqrt(log_3(27-3x)*log_3(9/(27-3x)))`.
    Решение:
    Не перепутайте с областью определения. В условии сказано найти все значения, которые может принимать функция `f(x)`.
    На первом шаге найдем область определения (ОДЗ):
    `x>0, 27-3x>0, log_3(27-3x)*log_3(9/(27-3x))>=0`.
    `x in (0;9)` - интервал решений первых двух неравенств.
    Замена `log_3(27-3x)=t => t*(2-t)>=0 => t in [0;2]`.
    `0<=log_3(27-3x)<=2`,
    `1<=27-3x<=9 =>` `x in [6;26/3]`.
    Итак, ОДЗ - `x in [6;26/3]`.
    На всем ОДЗ функция непрерывна, поэтому достаточно найти `f_min` и `f_max`, чтобы найти область значений `f(x)`.
    В лоб сложно найти искомые величины, рассмотрим две другие функции:
    `h(x)``=log_2x*log_2(64/x)`, `g(x)``=sqrt(log_3(27-3x)*log_3(9/(27-3x)))`.
    Понятно, что при `x in [6;26/3]`: `h(x)>0, g(x)>=0 =>` `f(x)>=0`.
    Следовательно, `f_min=0` при `x=6` или `26/3`.
    Для нахождения `f_max` оценим сверху функции `h(x)` и `g(x)`, возможно, что они принимают свое максимальное значение в одной точке `x`.
    Замена `log_2x=s => h(x)=s(6-s)=-s^2+6s`.
    `h(s)=-(s-3)^2+9<=9`, `h_max=9` при `s=3`.
    `s=3 =>` `x=8`.
    `g(x)=sqrt(-t^2+2t)=sqrt(1-(t-1)^2)<=1`. Два раза убедились в пользе выделения полных квадратов.
    `g_max=1` при `t=1 =>` `x=8`. Точки максимумов совпали.
    Итак, `f_max=9*1=9` при `x=8 in [6;26/3]`. Неотрицательность функций на ОДЗ имеет значение.
    Тогда, `Ef=[0;9]` - область значений функции `f(x)`.
    Ответ: `Ef=[0;9]`.
    Резюме задачи:
    1. Область значений находим на области определения (ОДЗ).
    2. Для непрерывных функций (на ОДЗ) достаточно найти минимум и максимум функции, чтобы найти ее область значений.
    3. Часто экстремумы надо находить буквально, без каких-либо хитрых мат. методов, которые вы не понимаете, но применяете.
    Максимум - наибольшее значение функции, минимум - наименьшее. Точка максимума - значение переменной, при которой функция достигает максиума. Точка минимума - аналогично.
    4. `f_max=g_max*h_max`, если у функций `g` и `h` одна точка максимума. И обе функции должны быть положительные.
    5. Максимум или минимум квадратного трехчлена быстрее всего найти выделением полного квадрата.
  • Задача №5 (Ломоносов 2011 №4).
    Решите неравенство
    `log_5(5x^2+2x)*log_5(5+2/x)>log_5(5x^2)`.
    Решение:
    ОДЗ: `5x^2+2x>0, 5+2/x>0, 5x^2>0`.
    `x in (-oo;-2/5)uu(0;+oo)`.
    В процессе нахождения ОДЗ заметим, что `5+2/x=(5x+2)/x`.
    Это наблюдение позволит достаточно легко решить неравенство. В лоб задачу не решить, только время потеряете.
    Пусть `5x^2+2x=a, x^2=b`. Можно обойтись и без новых переменных, но с ними визуально проще решить задачу.
    Тогда, `log_5a*log_5(a/b)>1+log_5b`,
    `log_5a*(log_5a-log_5b)>1+log_5b`,
    `log_5^2a-log_5a*log_5b>log_5b+1`,
    `log_5^2a-1-log_5b(log_5a+1)>0`,
    `(log_5a+1)(log_5a-1-log_5b)>0`, разложили на множители.
    `log_5(5a)*log_5(a/(5b))>0`.
    Методом замены множителей получим эквивалентное (на ОДЗ) неравенство:
    `(5a-1)(a/(5b)-1)>0`.
    Перейдем обратно к `x`:
    `(25x^2+10x-1)((5x^2+2x)/(5x^2)-1)>0`,
    `(2x(25x^2+10x-1))/(5x^2)>0`,
    `2x(25x^2+10x-1)>0`, методом интервалов.
    `x in ((-1-sqrt(6/5))/2;0)uu((-1+sqrt(6/5))/2;+oo)`, решения.
    Пересечем с ОДЗ: `x in ((-1-sqrt(6/5))/2;-2/5)uu((-1+sqrt(6/5))/2;+oo)`.
    Ответ: `x in ((-1-sqrt(6/5))/2;-2/5)uu((-1+sqrt(6/5))/2;+oo)`.
    Резюме решения:
    1. ОДЗ в неравенствах обязательно и иногда дает подсказку для дальнейшего решения.
    2. Замены полезны для визуального упрощения решения.
    3. Данное неравенство решается переносом всех слагаемых в одну сторону и разложением на множители. Этому сильно способствуют первые два пункта.
    4. Немного упрощает дальнейшее решение метод замены множителей.
  • Задача №6 (Ломоносов 2010 №1).
    Решите неравенство
    `(sqrt3-sqrt2)^((log_2 3)^(4-x^2))<=(sqrt3+sqrt2)^(-(log_3 2)^(2x-1))`.
    Решение:
    Метод сопряженных: сопряженными выражениями называют выражения вида `a-sqrtb` и `a+sqrtb`, где `a^2-b=1`. Тогда `a-sqrtb=1/(a+sqrtb)` и наоборот.
    В нашем случае сопряженными выражениями являются числа `sqrt3-sqrt2` и `sqrt3+sqrt2`.
    Заметим, что `sqrt3-sqrt2=1/(sqrt3+sqrt2)`.
    Пусть `sqrt3+sqrt2=t`, для визуального удобства.
    Тогда, `(1/t)^((log_2 3)^(4-x^2))<=t^(-(log_3 2)^(2x-1))`,
    `t^(-(log_2 3)^(4-x^2))<=t^(-(log_3 2)^(2x-1))`.
    Перед тем, как избавиться от основания (прологарифмировав по основанию `t`), сравним `t` с `1`.
    `t=sqrt3+sqrt2>1`. Знак неравенства не меняется.
    Тогда, `-(log_2 3)^(4-x^2)<= -(log_3 2)^(2x-1)`,
    `(log_2 3)^(4-x^2)>=(log_3 2)^(2x-1)`.
    Заметим, что `log_3 2=1/(log_2 3)`.
    Тогда, `(log_2 3)^(4-x^2)>=(log_2 3)^(1-2x)`.
    Основание `log_2 3>1`, поэтому при логарифмировании знак неравенства не меняется.
    `4-x^2>=1-2x`,
    `x^2-2x-3<=0 =>` `x in [-1;3]`.
    Ответ: `x in [-1;3]`.
    Резюме:
    1. Метод сопряженных.
    2. Дважды логарифмируем, каждый раз сравнивая основание с `1`.
  • Задача №7 (Ломоносов 2010 №4).
    Решите неравенство
    `1/sqrt(-x-2)-1/sqrt(x+4)<=1+1/sqrt((-x-2)(x+4))`.
    Решение:
    ОДЗ: `-x-2>0, x+4>0 => x in (-4;-2)`.
    `(sqrt(x+4)-sqrt(-x-2))/sqrt((-x-2)(x+4))<=(sqrt((-x-2)(x+4))+1)/sqrt((-x-2)(x+4))`.
    Можем умножить неравенство на положительный знаменатель:
    `sqrt(x+4)-sqrt(-x-2)<=sqrt((-x-2)(x+4))+1`. На следующем шаге необходимо возвести неравенство в квадрат, но перед этим необходимо проверить знаки обеих частей.
    Правая часть неравенства положительна на всем ОДЗ. Поэтому, если левая часть не положительна, то неравенство всегда верно. Если левая часть положительна, можем возвести неравенство в квадрат.
    1 случай: `sqrt(x+4)-sqrt(-x-2)<=0`,
    `x+4<= -x-2 => x<= -3`. В пересечении с ОДЗ получаем интервал `x in (-4;-3]`.
    2 случай: `x in (-3;-2)` - остальная часть ОДЗ. Понятно, что при таких `x` левая часть неравенства положительна:
    `x+4-2sqrt((-x-2)(x+4))-x-2<=`
    `<=(-x-2)(x+4)+2sqrt((-x-2)(x+4))+1`,
    `(-x-2)(x+4)+4sqrt((-x-2)(x+4))-1>=0`.
    Замена `sqrt((-x-2)(x+4))=t`, `t>0`:
    `t^2+4t-1>=0 => t<= -2-sqrt5` или `t>= -2+sqrt5`.
    Учтем, что `t>0 =>` `t>=sqrt5-2`.
    Тогда, `(-x-2)(x+4)>=(sqrt5-2)^2`,
    `x^2+6x+17-4sqrt5<=0`,
    `D/4=9-17+4sqrt5=4(sqrt5-2)`.
    `-3-2sqrt(sqrt5-2)<=x<= -3+2sqrt(sqrt5-2)`.
    Пересечем этот отрезок с областью `x in (-3;-2)`.
    Понятно, что `-3-2sqrt(sqrt5-2) < -3 < -3+2sqrt(sqrt5-2)`.
    Сравним `-3+2sqrt(sqrt5-2)` с числом `(-2)`:
    `-3+2sqrt(sqrt5-2)` V `-2`,
    `2sqrt(sqrt5-2)` V `1`,
    `sqrt5-2` V `1/4`,
    `sqrt5` V `9/4`,
    `5 < 81/16=5 1/16 =>` `-3+2sqrt(sqrt5-2)< -2`.
    Тогда, `x in (-3; -3+2sqrt(sqrt5-2)]`.
    Объединим с интервалом `x in (-4;-3]` и получим ответ.
    Ответ: `x in (-4; -3+2sqrt(sqrt5-2)]`.
    Резюме:
    1. ОДЗ и упрощение неравенства.
    2. Возведение в квадрат с учетом знаков обоих частей неравенства.
    3. Упрощающая замена, получение простейшего иррационального неравенства.
    4. Возведение в квадрат, решение квадратного неравенства с иррациональным свободным членом, сравнение чисел.
  • Задача №8 (Ломоносов 2009 №3).
    При каждом значении `a` найдите все значения `x`, удовлетворяющие уравнению
    `log_5((x+1)^2/x-a)=log_5((x+1)^2/x)-log_5a`.
    Решение:
    ОДЗ: `(x+1)^2/x-a>0, x+1!=0, x!=0, a>0`.
    Упрощающая замена `(x+1)^2/x=t`.
    Тогда, `log_5(t-a)=log_5t-log_5a`, где `t>a>0` - коротко выписали условия ОДЗ.
    `log_5(t-a)=log_5(t/a)`,
    `t-a=t/a`,
    `t(1-1/a)=a`, свели к линейному уравнению.
    `t=a^2/(a-1)`, если `a!=1, a>0`. При `a=1` и `a<=0` корней нет.
    Учтем условие `t>a`:
    `a^2/(a-1)>a`,
    `a^2/(a-1)-a>0 => a/(a-1)>0 => a in (-oo;0)uu(1;+oo)`.
    Итак, при `a<=1` корней нет, при `a>1` корень `t=a^2/(a-1)`. Собрали все в кучу.
    Перейдем обратно к `x`:
    `(x+1)^2/x=a^2/(a-1)`.
    Можно решить как квадратное уравнение относительно `x`, но можно поступить еще проще.
    Первый корень легко угадывается, `x_1=a-1`.
    Второй корень найдем из Т. Виета. После приведения к квадратному уравнению, свободный член равен `1`, поэтому `x_2=1/(a-1)`.
    Заметим, что все условия ОДЗ учтены.
    Итак, при `a<=1` решений нет, при `a>1` получаем два решения `x_1=a-1, x_2=1/(a-1)`. Эти два решения превращаются в одно, если `a=2`.
    Ответ: `a<=1`: корней нет.
    `a>1`: `x_1=a-1, x_2=1/(a-1)`.
    Резюме:
    1. Упрощающая замена.
    2. Оптимальная запись ОДЗ и учитывание ОДЗ.
    3. Угадывание одного корня и нахождение второго из Т. Виета.
  • Задача №9 (Ломоносов 2008 №6).
    Решить неравенство
    `sqrt(25^x-2^(3-x))<7*2^(-x/2)-2*5^x`.
    Решение:
    Заменим `5^x=a, 2^(-x/2)=b`, для лучшей визуализации неравенства. Замены логичные, учитывая составляющие неравенства.
    Тогда, `sqrt(a^2-8b^2)<7b-2a`.
    Если разделить неравенство на `b>0`, то получим еще более простой вид неравенства.
    `sqrt((a/b)^2-8)<7-(2a)/b`.
    Пусть `a/b=t`, где `t>0`:
    `sqrt(t^2-8)<7-2t` - стандартное иррациональное неравенство.
    ОДЗ: `t^2-8>=0, 7-2t>0 =>` `t in [2sqrt2;7/2)` с учетом `t>0`.
    Тогда обе части неравенства неотрицательны, можем возвести в квадрат.
    `t^2-8<7-2t`,
    `t^2+2t-15<0 =>` `t in (-5;3)`.
    Учтем ОДЗ: `t in [2sqrt2;3)`.
    `t=a/b=(5^x)/(2^(-x/2))=5^x*2^(x/2)=(50)^(x/2)`.
    Тогда, `2sqrt2<=(50)^(x/2)<3`,
    `log_50(2sqrt2)<=x/2<log_50 3`,
    `log_50 8 <= x < log_50 9`.
    Можно было сразу поделить неравенство на `2^(-x/2)` и ввести замену `50^(x/2)=t`, но такую замену сложно увидеть на первом шаге. Хотя это вполне стандартный метод (деления) в степенных задачах, где есть два разных основания.
    Также, можно было возвести в квадрат неравенство `sqrt(a^2-8b^2)<7b-2a` (с учетом ОДЗ), получить однородное неравенство относительно `a,b` и решить его стандартным образом (делением на `b^2`).
    Ответ: `x in [log_50 8; log_50 9)`.
    Резюме:
    1. Две упрощающие замены.
    2. Стандартное иррациональное неравенство вида `sqrtf<g`.
    3. Метод деления в степенных задачах с двумя разными основаниями (в нашем случае `5` и `2`).
  • Задача №10 (Ломоносов 2014 №1).
    Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых сумма модулей корней квадратного трехчлена `x^2+2ax+4a` равна `3`.
    Решение:
    Из условия неявно следует, что уравнение имеет корни, следовательно, дискриминант должен быть неотрицательным. Многие про это забывают про эту ловушку.
    `D=4a^2-16a>=0 => a in (-oo;0]uu[4;+oo)`.
    Условие задачи: `|x_1|+|x_2|=3`. Вторая ловушка - явно выписать корни и получить относительно сложное модульное уравнение.
    Воспользуемся Т. Виета:
    `x_1+x_2=-2a, x_1*x_2=4a`.
    Осталось связать эти равенства с суммой модулей. Мы знаем, что если модуль возвести в квадрат, то модуль пропадает. Используем это.
    `3^2=(|x_1|+|x_2|)^2=x_1^2+x_2^2+2|x_1x_2|=`
    `=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+2|x_1x_2|=4a^2-8a+8|a|`.
    Итак, `4a^2-8a+8|a|=9`. Стандартное модульное уравнение.
    Также заметим, что после возведении в квадрат лишних корней не появилось, поскольку обе части были положительные.
    Рассмотрим первый интервал `a<=0` (модуль раскроется со знаком минус):
    `4a^2-16a-9=0 =>` `a_1=-1/2`, `a_2=9/2`. Второй корень не подходит.
    Рассмотрим втором интервал `a>=4` (модуль раскроется со знаком плюс):
    `4a^2=9 => a=+-3/2` - оба корня не подходят.
    Итак, `a=-1/2`. Можно сделать проверку, чтобы снять все оставшиеся вопроса (хотя вопросов нет, все условия учтены, все преобразования эквивалентны).
    Ответ: `a=-1/2`.
    Резюме:
    1. Две ловушки.
    2. Т. Виета и тождество `|a|^2=a^2`.
    3. Простое модульное уравнение, решение на области определения `a`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике