Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Очный тур олимпиады по математике Ломоносов 2015-2016 / Задания и решения всех вариантов


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Ломоносов 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Очный тур олимпиады по математике Ломоносов 2015-2016. Задания и решения всех вариантов.


    Условия 4 вариантов (решения ниже):
    Вариант 1
    image

    Вариант 4
    image
  • Задача №1.
    Незнайка прыгал от своего дома к дому Знайки. Три четверти пути он пропрыгал прыжками, длина которых равна двум его обычным шагам, а остальную четверть пути - прыжками, длина которых равна трем его обычным шагам. Оказалось, что прыжков в два шага оказалось на `350` больше, чем прыжков в три шага. Сколько обычных шагов от дома Знайки до дома Незнайки? Считаем, что все шаги у незнайки одинаковые.

    Решение:
    `x` - количество прыжков длины `3`, `y` - количество обычных шагов (длины `1`).
     Тогда, `{(2*(x+350)+3*x=y),(2*(x+350)=3*x*3):}`.
    `3x+9x=y => y=12x`,
    `5x+700=12x => x=100, y=1200`.
    Следовательно, Незнайка сделал `450` прыжков длины `2` и `100` прыжков длины `3`, итого `1200` шагов.
    Ответ: `1200`.
  • Задача №2.
    Найдите все решения уравнения `arc cot^2x=3arctan^2x+pi^2/36`.

    Решение:
    `arctanx+arc cotx=pi/2`:
    `(pi/2-arctanx)^2=3arctan^2x+pi^2/36`,
    `arctan^2x-pi*arctanx+pi^2/4=3arctan^2x+pi^2/36`,
    `2arctan^2x+pi*arctanx-(2pi^2)/9=0`.
    Замена `arctanx=t, t in (-pi/2;pi/2)` - по определению.
    `2t^2+pi*t-2/9pi^2=0`,
    `t^2+1/2pi*t-1/9pi^2=0`,
    `(t+1/4pi)^2=1/9pi^2+1/16pi^2`,
    `(t+1/4pi)=25/144pi^2`,
    `t+1/4pi=+-5/12pi`,
    `t_1=-2/3pi, t_2=pi/6`. Первый корень не подходит.
    `arctanx=pi/6 => x=1/sqrt3`.

    Ответ: `x=1/sqrt3`.

  • Задача №3.
    Том Сойер, Сид Сойер и Гек Финн красили забор. Вначале Том красил один в течение времени, за которое Сид и Гек, работая вместе, могли бы покрасить половину забора. Затем красил один Сид в течение времени, за которое Том и Гек, работая вместе, могли бы покрасить `5/4` всего забора. Потом красил один Гек в течение времени, за которое Том и Сид работая вместе, могли бы покрасить четверть всего забора. В результате забор был покрашен. Во сколько раз быстрее они окончили бы работу, если бы с самого начала все время работали вместе?

    Решение:
    `x` - время, за которое Том Сойер покрасит забор в одиночку.
    `y` - время, за которое Сд Сойер покрасит забор в одиночку.
    `z` - время, за которое Гекк Финн покрасит в одиночку.
    `t_1` - время, за которое Сид и Гек покрасят половину забора работая вместе.
    `t_2` - время, за которое Том и Гек покрасят `5/4` забора работая вместе.
    `t_3` - время, за которое Том и Сид покрасят четверть забора работая вместе.
    Тогда, `{((t_1)/y+(t_1)/z=1/2),((t_2)/x+(t_2)/z=5/4),((t_3)/x+(t_3)/y=1/4), ((t_1)/x+(t_2)/y+(t_3)/z=1):}`.
    Сложим все три уравнения и приведем подобные:
    `(t_1+t_2+t_3)*(1/x+1/y+1/z)=3`.
    Следовательно, за время `t_1+t_2+t_3` работая вместе, они могут покрасить три забора.
    Один забор они покрасили бы в три раза быстрее, работая вместе с самого начала.

    Ответ: `3`.
  • Задача №4.
    В треугольнике `ABC` точки `A_1, B_1, C_1` - середины сторон `BC, AC` и `AB` соответственно. Найдите длину стороны `AC`, если известно, что сумма векторов `3*vec(A A_1) +4*vec(B B_1)+5*vec(C C_1)` равна вектору с координатами `(2;1)`.

    Решение:
    `3*vec(A A_1) +4*vec(B B_1)+5*vec(C C_1)=`
    `=3*(vec(AC)+vec(CA_1))+4*(vec(BC)+vec(CB_1))+5*(vec(CA)+vec(AC_1))`.
    `vec(CA_1)=1/2vec(CB), vec(CB_1)=1/2vec(CA), vec(AC_1)=1/2vec(AB)`.
    Тогда, `3*vec(A A_1) +4*vec(B B_1)+5*vec(C C_1)=`
    `=3vec(AC)+3/2vec(CB)+4vec(BC)+2vec(CA)+5vec(CA)+5/2vec(AB)=`
    `=3vec(AC)+2vec(CA)+5vec(CA)+3/2vec(CB)+4vec(BC)+5/2vec(AB)=4vec(CA)+5/2*(vec(BC)+vec(AB))=`
    `=4vec(CA)+5/2*vec(AC)=3/2*vec(CA)`.
    `AC=2/3|3*vec(A A_1) +4*vec(B B_1)+5*vec(C C_1)|=2/3*sqrt5`.

    Ответ: `(2sqrt5)/3`.
  • Задача №5.
    Найдите все решения неравенства
    `(log_(pi/6)(2x-5)-log_(pi/6)(7-2x))(cos(x+7/4)-cos(2x-1))(|x-4|-|2x-5|)>=0.`

    Решение:
    ОДЗ: `{(2x-5>0),(7-2x>0):} => x in (5/2;7/2)`.
    Тогда, `|x-4|=4-x, |2x-5|=2x-5`.
    `|x-4|-|2x-5|=4-x-2x+5=9-3x`.
    Пусть `f(x)=log_(pi/6)(2x-5)-log_(pi/6)(7-2x), g(x)=cos(x+7/4)-cos(2x-1)`.
    При `x=3` неравенство выполняется.
    Пусть `x in (3;7/2) => 9-3x>0 => f*g>=0`.
    Пусть `x in (5/2;3) => 9-3x<0 => f*g<=0`.
    `f(x)=log_(pi/6)((2x-5)/(7-2x))`.
    Знак `f(x)` совпадает со знаком выражения `(pi/6-1)((2x-5)/(7-2x)-1)`.
    `pi/6-1<0`, поэтому знак `f(x)` противоположен знаку выражения `(x-3)/(7-2x)`.
    При `x in (3;7/2)`: `f(x)<0 => g<=0`.
    При `x in (5/2;3)`: `f(x)>0 => g>=0`.
    Осталось решить два тригонометрических неравенства, каждый на своем интервале. Объединить решения и добавить точку `3`.

    Ответ: `x in (5/2;11/4]uu{3}`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике