Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

ДВИ по математике (МГУ) 2016 (2013 и 2012) - задачи и решения всех вариантов


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Некоторые особенности ДВИ по математике (МГУ). Примерно то же самое ожидается в этом (2016) году.

    1. Дают 8 задач.
    2. 4 задачи простые, пятая среднего уровня (с изюминкой), остальные три можно отнести к сложным.
    3. Одна планиметрия (сложнее С4), одна стереометрия и одна задача с параметром (сложнее С5).
    4. Общее время на решение задач - 4 часа или 240 минут.
    5. Каждая задача оценивается максимум в 1 балл. За 8 задач можно получить 8 баллов.
    Далее 1/2 (если допущена ошибка, но в целом решение верное), 1/4 (есть продвижение) и 0 баллов.
    6. Внимание: нецелые баллы не суммируются. Все половинки и четвертинки могут дать максимум 0.5 балла.
    Например, у вас 1,1,1,1/2,1/2,1/4,1/4, 0. Ваша сумма составит не 4,5 баллов, а 3.5 балла.
    Если кроме целых баллов у вас только четвертинки, то они в сумме дадут четвертинку.
    7. Далее все переводится в 100 балльную шкалу.
    Шкала 2012 года:
    8 - 100, 7,5 - 100, 7 - 100, 6,5 - 95, 6,25 - 90, 6 - 85, 5,5 - 80, 5,25 - 75, 5 - 70, 4,5 - 65, 4,25 - 60, 4 - 55, 3,5 - 50, 3 - 45, 2,5 - 40, 2 - 25.
    Если меньше 2 баллов, то ставится неуд.
    Шкала 2011 года:
    7+ - 100, 6,5 - 90, 6 - 85, 5,5 - 75, 5 - 70, 4,5 - 60, 4 - 55, 3,5 - 45, 3 - 40, 2,5 - 38.
    Если 2 и меньше баллов, то ставится неуд.
    В 2011 году не было четвертинок, но половинки в сумме только могли дать только 1 половинку.


    ДВИ по математике (МГУ) 2012 - задачи и решения всех вариантов.
    Всего 4 варианта ДВИ по математике, номера 121, 122, 123, 124.
    ДВИ - дополнительное вступительное испытание по математике, которое проводит МГУ.
    Результат ДВИ по математике учитывается наряду с ЕГЭ. На те специальности, где требуется математика.
    Ниже представлены условия и решения 4 вариантов ДВИ по математике в МГУ в 2012 году.

    Вариант 121

    Задача №1
    Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны `-2/5` и `11/3`, а средний коэффициент равен `-7`.
    Решение:
    1. `f(x)=ax^2-7x+b` - искомый многочлен второй степени, при этом `a!=0`.
    2. По условию `x_1=-2/5, x_2=11/3`.
    По теореме Виета `x_1+x_2=7/a, x_1*x_2=b/a`.
    3. `7/a=-2/5+11/3=49/15 => a=15/7`.
    `b/a=-2/5*11/3=-22/15 => b=-22/15a=-22/7`.
    4. `f(x)=15/7x^2-7x-22/7`.
    Для гарантированного получения полного балла можно устроить проверку.
    Ответ: `15/7x^2-7x-22/7`.

    Задача №2
    Вычислите `log_3(-log_6(7/1512))`.
    Решение:
    `log_3(-log_6(7/1512))=log_3(log_6(1512/7))=log_3(log_6 216)=log_3 3=1`.
    Ответ: `1`.

    Задача №3
    Решите неравенство
    `(4^x-2^(x+3)+15)sqrt(3^x-9)>=0`.
    Решение:
    1. ОДЗ: `3^x-9>=0 iff 3^x>=9 iff x>=2`.
    2. `x=2`: `0>=0` - верно. Точка `x=2` является решением нер-ва.
    3. `x>2 => sqrt(3^x-9)>0`, значит можем поделить наше нер-во на то положительное выражение.
    `4^x-2^(x+3)+15>=0`,
    `2^x=t, t>0: t^2-8t+15>=0 => t in (-oo;3]uu[5;+oo)`.
    `2^x<=3` ИЛИ `2^x>=5`,
    `x in (-oo;log_2 3]uu[log_2 5;+oo)`, но `x>2 => x in [log_2 5;+oo)`.
    Ответ: `x in {2}uu[log_2 5;+oo)`.


    Задача №4
    Решите уравнение
    `cos4x-sqrt2cos3x+cos2x=0`.
    Решение:
    `cos4x+cos2x-sqrt2cos3x=0`,
    `2cos3xcosx-sqrt2cos3x=0`,
    `cos3x(2cosx-sqrt2)=0`,
    `cos3x=0` ИЛИ `cosx=1/sqrt2`,
    `3x=pi/2+pik, k in ZZ` ИЛИ `x=+-pi/4+2pin, n in ZZ`,
    `x=pi/6+(pik)/3, k in ZZ` ИЛИ `x=+-pi/4+2pin, n in ZZ`.
    Ответ: `x=pi/6+(pik)/3, k in ZZ` ИЛИ `x=+-pi/4+2pin, n in ZZ`.


    Задача №5
    Найдите площадь фигуры, состоящей из точек `(x,y)` координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению
    `|2x+y|+|y|+2|x-1|=2`.
    Решение:
    1. Запишем уравнение в другом виде:
    `|2x+y|+|-y|+|2-2x|=2`.
    2. Заметим, что у нас написано равенство `|a|+|b|+|c|=a+b+c`,
    поскольку `2x+y-y+2-2x=2`.
    3. Очевидно, что при любых `a,b,c`: `|a|+|b|+|c|>=a+b+c`,
    причем равенство выполняется `iff {(a>=0),(b>=0),(c>=0):}`.
    Для получения гарантированного балла данное утв. лучше доказать.
    4. Наше уравнение сводится к системе:
    `{(y>=-2x),(y<=0),(x<=1):}`
    Пересечение трех полуплоскостей, задаваемых системой дают нам прямоугольный треугольник.
    Катеты `1` и `2`, поэтому площадь равна `1`.
    Ответ: `1`.

    Задача №6
    Окружность с центром, лежащим на стороне `BC` треугольника `ABC`, касается сторон `AB` и `AC` в точках `D` и `E` соответственно, и пересекает сторону `BC` в точках `F, G` (точка `F` лежит между точками `B` и `G`). Найдите `CG`, если известно, что `BF=1` и `BD:DA=AE:EC=1:2`.
    Решение:
    1. `BD=t => DA=2t`.
    2. Касательные, проведенные к одной окружности равны `=> AE=DA=2t => EC=4t`.
    3. `R` - радиус вписанной окружности (центр лежит на биссектрисе `/_BAC`). `CG=x`.
    4. `EC^2=CG*CF` (т-ма о степени точки) `=> 16t^2=x(x+2R)`,
    также `BD^2=BG*BF => t^2=2R+1`.
    5. Из соотношения биссектрисы `/_BAC`: `(AB)/(AC)=(BO)/(OC) => (3x)/(6x)=(R+1)/(R+x)`,
    `1/2=(R+1)/(R+x) iff R+x=2R+2 iff R=x-2`.
    6. Из пункта 4: `16(2R+1)=x(x+2R) => 16(2x-3)=x(3x-4) iff 3x^2-36x+48=0`.
    `x^2-12x+16=0, x_1=6-2sqrt5, x-2=6+2sqrt5`.
    7. `x=6-2sqrt5 => R=x-2=4-2sqrt5=4-sqrt20<0`, поэтому `x=6+2sqrt5`.

    Ответ: `6+sqrt5`.

    Задача №7
    Определите, при каких значениях параметра `a` уравнение
    `asqrt(x+y)=sqrt(2x)+sqrty`
    имеет единственное решение `(x,y)`.
    Решение:
    1. `x,y>=0`.
    2. Если `a<=0 => (x,y)=(0,0)` - единственное решение. Очевидно.
    3. Если `a>0`, то `(x,y)=(0,0)` всегда является решением уравнения. Значит других решений быть не может.
    4. Пусть `y=0`: `asqrtx=sqrt(2x) iff (a-sqrt2)sqrtx=0 => a!=sqrt2`, тогда отличных от `(0;0)` решений нет.
    Пусть `y!=0`, можем поделить обе части уравнения на `y>0`. Уравнение однородное, легко заметить.
    `asqrt(x/y+1)=sqrt((2x)/y)+1`, сделаем замену `x/y=t`, где `t>=0`.
    `asqrt(t+1)=sqrt(2t)+1 iff a=(sqrt(2t)+1)/sqrt(t+1)`.
    5. Надо найти такие значения `a>0`, при которых нет таких `t>=0`, что `f(t)=(sqrt(2t)+1)/sqrt(t+1)=a`.
    Задача сводится к нахождению области значений функции `f(t)` при `t>=0`.
    6. `f'(t)=(2-sqrt(2t))/(sqrt(2t)sqrt(t+1)(t+1))`,
    значит `f(t)` возрастает при `t<2` и убывает при `t>2 => t=2` - точка максимума.
    `f(2)=sqrt3 => f(t)<=sqrt3` при всех `t`.
    Найдем ограничение снизу, если оно существует.
    `f(0)=1`, также легко заметить, что `f(t)>=1` при всех `t>=0`.
    `f(t)-1=(sqrt(2t)+1-sqrt(t+1))/sqrt(t+1)`,
    `2t+1+2sqrt(2t)>=t+1` при всех `t>=0`, поэтому `f(t)-1>=0`.
    `Ef=[1;sqrt3]` при всех `t>=0`.
    Для получения гарантированного балла можно добавить пару слов про непрерывность `f(t)` на области определения.
    Значит множество наших искомых `a` - это множество обратное `Ef`, т.е. `a in (-oo;1)uu(sqrt3;+oo)`.
    Ответ: `a in (-oo;1)uu(sqrt3;+oo)`.

    Задача №8
    В основании пирамиды `ABCS` лежит правильный треугольник `ABC` со стороной `sqrt3`. Боковые ребра пирамиды равны соответственно `SA=SB=4, SC=5`. Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости `ABC` и касается одной из сторон треугольника `ABC`. Найдите радиус основания цилиндра.
    Решение:
    1. `SD` - высота пирамиды. `AD=BD=sqrt(16-SD^2) < CD=sqrt(25-SD^2)`.
    2. Треугольники `ADC` и `BDC` равны `=> CD` - биссектриса `/_ACB => /_BCD=pi/6`.
    3. Из треугольника `BCD`: `BD^2=CD^2+BC^2-2CD*BC*cos(pi/6)`,
    `16-SD^2=25-SD^2+3-2sqrt3*sqrt(25-SD^2)sqrt3/2 iff SD=3`.
    4. `SD=3 => AD=BD=sqrt7, CD=4`.
    `AB=BC=CA=sqrt3 => C,D` лежат по разные стороны от прямой `AB`.
    5. Следовательно `CD` перпендикулярно `AB` и точка пересения `AB` и `CD` делит отрезок `AB` пополам (точка `M`).
    `SD` перпендикулярно `AB => AB` перпендикулярно `CSD =>` точки `A,B` и отрезки `AS,BS` симметричны относительно плоскости `CSD`.
    6. `A', B', C', D'` - точки, в которых плоскость верхнего основания цилиндра пересекает ребра `AS, BS, CS` и высоту `DS`.
    Плоскость верхнего основания цилиндра параллельна `ABC => AB||A'B'`, `BC||B'C'`, `CA||C'A'`.
    Значит `A'B'C'` подобен `ABC => A'B'C'` - равносторонний.
    7. `AB||A'B' => A'B'` перпендикулярен плоскости `CSD`, причем эта плоскость пересекает отрезок в его середине, пусть это будет точка `L`.
    Точка `L` лежит на отрезке `MS`.
    8. `O` - центр треугольника `ABC`, `K` - точка пересечения `CL` и `OS`.
    `CL` - высота треугольника `A'B'C'`. `OM=1/3CM, (KL)/(OM)=(CL)/(CM) => (KL)/(CL)=1/3`.
    Значит точка `K` - центр вписанной в треугольник `A'B'C'` окружности.
    9. `N` - центр нижнего основания цилиндра. `KN` перпендикулярен `ABC`, `CSD` перпендикулярна `ABC`,
    значит `KN` лежит в плоскости `CSD =>` точка `N` лежит на прямой `CD`.
    10. `R, h` - радиус оснований и высота цилиндра.
    Первый случай: `N` лежит на продолжении отрезка `CM` за точку `M`.
    `ON=OM+R=1/2+R`. Треугольники `OKN` и `OSD` подобны, поэтому `(KN)/(SD)=(ON)/(OD)`.
    `SD=3, KN=h, CD=sqrt(CS^2-SD^2), CO=AB*sqrt3/3=1, OD=CD-CO=3 => h/3=(R+1/2)/3 => h=R+1/2`.
    11. С другой стороны треугольники `KSL` и `OSM` подобны.
    `(SD')/(SD)=(3-h)/h => (KL)/(OM)=(3-h)/h`. `OM=1/3CM=AB*sqrt3/6=1/2 => 2R=(3-h)/h`.
    Тогда `R+1/2=3-6R => R=5/14`.

    Ответ: `5/14`.

    Вариант 122

    Условия, решения и ответы варианта 122 ДВИ по математике 2012 (МГУ).
    Дополнительное вступительное испытание по математике в МГУ.

    Задача №1
    Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны `-4/7` и `5/3`, а свободный член равен `-2`.
    Ответ: `21/10x^2-23/10x-2`.

    Задача №2
    Вычислите `log_2(log_81(417/139))`.
    Ответ: `-2`.

    Задача №3
    Решите неравенство
    `(9^x-3^(x+2)+14)sqrt(4-2^x)<=0`.
    Ответ: `x in [log_3 2;log_3 7]uu{2}`.

    Задача №4
    Решите уравнение
    `sin3x=sqrt2cosx-sinx`.
    Ответ: `x=pi/2+pik, k in ZZ` ИЛИ `x=(-1)^npi/8+(pin)/2, n in ZZ`.

    Задача №5
    Найдите площадь фигуры, состоящей из точек `(x,y)` координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению
    `|x|+|x+3y|+3|y-2|=6`.
    Ответ: `6`.

    Задача №6
    Окружность касается сторон `AB` и `BC` треугольника `ABC` в точках `D` и `E` соответственно и пересекает сторону `AC` в точках `F` и `G` (точка `F` лежит между точками `A` и `G`). Известно, что `(AD)/(DB) = 2/1`, `BE=EC`, `AF=5`, `GC=2`. Найдите радиус окружности.
    Ответ: `sqrt6`.

    Задача №7
    Определите, при каких значениях параметра `a` уравнение
    `asqrt(x+y)=sqrt(3x)+2sqrty`
    имеет единственное решение `(x,y)`.
    Ответ: `a in (-oo;sqrt3)uu(sqrt7;+oo)`.

    Задача №8
    В основании пирамиды `ABCS` лежит треугольник равнобедренный треугольник `ABC` со сторонами `AC=BC=5` и `AB=6`. Боковые ребра пирамиды равны соответственно `SA=SB=7, SC=4`. Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости `ABC` и касается прямых `AC` и `BC`. Найдите высоту цилиндра.
    Ответ: `5/6sqrt15`.


    Вариант 123
    Условия, решения и ответы варианта 123 ДВИ по математике МГУ 2012.
    Дополнительное вступительное испытание по математике в МГУ.

    Задача №1
    Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны `-3/5` и `13/7`, а средний коэффициент равен `-4`.
    Ответ: `35/11x^2-4x-39/11`.

    Задача №2
    Вычислите `log_5(-log_3(8/1944))`.
    Ответ: `1`.

    Задача №3
    Решите неравенство
    `(9^x-2*3^(x+1)+8)sqrt(4-2^(2x))>=0`.
    Ответ: `x in (-oo;log_3 2]uu{1}`.

    Задача №4
    Решите уравнение
    `sin4x+sqrt3sin3x+sin2x=0`.
    Ответ: `x=(pik)/3, k in ZZ` ИЛИ `x=+-(5pi)/6+2pin, n in ZZ`.

    Задача №5
    Найдите площадь фигуры, состоящей из точек `(x,y)` координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению
    `2|x+2|+|y|+|2x-y|=4`.
    Ответ: `4`.

    Задача №6
    Окружность с центром, лежащим на стороне `BC` треугольника `ABC`, касается сторон `AB` и `AC` в точках `K` и `L` соответственно, и пересекает сторону `BC` в точках `M, N` (точка `M` лежит между точками `B` и `N`). Найдите `CN`, если известно, что `BM=8` и `BK:KA=AL:LC=2:1`.
    Ответ: `3-sqrt5`.

    Задача №7
    Определите, при каких значениях параметра `a` уравнение
    `asqrt(x+y)=sqrt(x)+sqrt(3y)`
    имеет единственное решение `(x,y)`.
    Ответ: `a in (-oo;1)uu(2;+oo)`.

    Задача №8
    В основании пирамиды `ABCS` лежит равнобедренный треугольник `ABC` со сторонами AC=BC=4 и AB=8/3. Боковые ребра пирамиды равны соответственно `SA=SB=3, SC=5`. Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости `ABC` и касается ровно одного из ребер основания пирамиды. Найдите высоту цилиндра.
    Ответ: `4/5sqrt7`.

    Вариант 124
    Условия, решения и ответы варианта 124 ДВИ по математике 2012 (МГУ).
    Дополнительное вступительное испытание по математике в МГУ.

    Задача №1
    Найдите многочлен второй степени, если известно, что его корни равны `-5/7` и `9/4`, а свободный член равен `-5`.
    Ответ: `28/9x^2-43/9x-5`.

    Задача №2
    Вычислите `log_3(log_64(716/179))`.
    Ответ: `-1`.

    Задача №3
    Решите неравенство
    `(4^x-7*2^x+12)sqrt(3^(x+1)-1)<=0`.
    Ответ: `x in {-1}uu[log_2 3;2]`.

    Задача №4
    Решите уравнение
    `cos3x=cosx+sqrt3sinx=0`.
    Ответ: `x=pik, k in ZZ` ИЛИ `x=(-1)^(n+1)pi/6+(pin)/2, n in ZZ`.

    Задача №5
    Найдите площадь фигуры, состоящей из точек `(x,y)` координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению
    `|2y-x|+2|y+4|+|x|=8`.
    Ответ: `16`.

    Задача №6
    Окружность касается сторон `AB` и `BC` треугольника `ABC` в точках `K` и `L` соответственно и пересекает сторону `AC` в точках `M` и `N` (точка `M` лежит между точками `A` и `N`). Известно, что `(AK)/(KB) = 2/1`, `BL:LC=1:4`, `AM=1`, `NC=3`. Найдите радиус окружности.
    Ответ: `sqrt(15/2)`.

    Задача №7
    Определите, при каких значениях параметра `a` уравнение
    `asqrt(x+y)=sqrt(2x)+sqrt(3y)`
    имеет единственное решение `(x,y)`.
    Ответ: `a in (-oo;sqrt2)uu(sqrt5;+oo)`.

    Задача №8
    В основании пирамиды `ABCS` лежит правильный треугольник `ABC` со стороной `5`. Боковые ребра пирамиды равны соответственно `SA=SB=7, SC=3`. Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости `ABC` и касается прямых AC и BC. Найдите радиус основания цилиндра.
    Ответ: `5/26sqrt3`.
    Вариант 121
    image
    Вариант 122
    image
    Вариант 123
    image
    Вариант 124
    image

    ДВИ по математике МГУ 2016.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике