Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Ломоносов» 2012-2013 / Задания и решения отборочного этапа по математике


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Ломоносов 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Олимпиада «Ломоносов» 2012-2013 / Задания и решения отборочного этапа по математике

    Олимпиада «Ломоносов» - основная тема
    Олимпиада «Ломоносов» — задания прошлых лет с решениями (2005-2010)
    Олимпиада «Ломоносов» 2013-2014 — задания и решения отборочного этапа по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2012-2013 — задания и решения отборочного этапа по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2011-2012 — задания и решения отборочного этапа по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 — задания и решения отборочного этапа по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2012-2013 — задания и решения очного тура по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2011-2012 — задания и решения очного тура по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 — задания и решения очного тура по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2012-2013 / Задания и решения отборочного этапа по математике
  • Задача №1, 10-11 классы

    Знайка сообщил коротышкам, что в декабре и в январе потребление арбузного сиропа в Зеленом городе в среднем составило 10 бочек в день и 5 бочек в день соответственно. Отсюда Незнайка сделал вывод, что дней, в которые потребление сиропа составляло не менее чем по 10 бочек, в декабре непременно было больше, чем в январе. Прав ли Незнайка?

    Решение:
    Безусловно, нет.
    В декабре и январе по `31` дню.
    В декабре общее потребление составило `310` бочек, в январе `155` бочек.
    Есди в декабре `30` дней потребляли по `9` бочек и `1` день `40` бочек, получаем сумму `310`.
    Пусть в январе `2` дня потребляли по `10` бочек, в остальные дни употребили `135` бочек.
    В построенном примере Незнайка неправ.

    Ответ: неправ.
  • Задача №2, 10-11 классы

    Котёнок откусывает четверть сосиски с одного конца, после чего щенок откусывает треть оставшегося куска сосиски с противоположного конца, затем снова котенок четверть со своего конца, а щенок треть со своего конца и т. д. Требуется заранее перевязать сосиску поперек ниткой так, чтобы нитку никто не съел. В каком отношении она должна разделить сосиску?

    Решение:
    `x` - изначальная длина сосиски.
    После котенка остается `x-x/4=3x/4` длины сосиски.
    После щенка `3x/4-x/4=x/2` длины сосиски, т.е. сосиска уменьшилась ровно вдвое, при этом с обоих концов откусили по равному куску (`x/4`).
    Очевидно, что если сосиска будет перевязана ниткой посередине, то ее не съедят, но необходимо это строго доказать.
    В первую очередь докажем, что если нитка проходит не посередине, то ее на каком то шаге обязательно съедят.
    Пусть расстояние от нитки до центра сосиски `= y`.
    Первоначально половина сосиски равна `x/2`, далее `x/4, x/8` и т.д.
    Найдется такой `n in NN`, что `x/(2^n)x/y, n>log_2(x/y)`.
    Например `n=[log_2(x/y)]+1` (под квадратными скобками подразумевается целая часть).
    Осталось доказать, что если сосиска перевязана по центру, то нитку не съедят.

    Ответ: 1:1.
  • Задача №8, 10-11 классы
    Полное решение смотри на следующей странице темы.

    Найдите минимальное значение дискриминанта квадратного трёхчлена, график которого не имеет общих точек с областями, расположенными ниже оси абсцисс и над графиком функции `y=1/sqrt(1-x^2)`.

    Решение:
    Из того, что график трехчлена не может быть ниже оси абсцисс получаем два вывода:
    `a>0` и `D<=0`. Откуда следует, что `c>=0`.
    С нижней осью абсцисс разобрались, переходим к графику функции `y=1/sqrt(1-x^2)`.
    Можно записать так:
    `ax^2+bx+c<=1/sqrt(1-x^2)` при всех `x in (-1;1)`. Найти `(ac)_max`.<br />
    Следующий шаг - доказательство того, что `b=0`, тогда
    `ax^2+c<=1/sqrt(1-x^2)`,<br />замена `x^2=t, t in [0;1)`,
    `at+c<=1/sqrt(1-t)`, при всех `t in [0;1)`, найти `(ac)_max`.<br />
    Исследуя функцию `y=1/sqrt(1-t)` на выпуклость, переформулируем задачу:
    Найти такую касательную `y=at+c` к графику функции `y=1/sqrt(1-t)`, у которой произведение `ac` максимально.
    Можно решить различными способами, включая использование производной.
    В последнем случае получаем, выписав уравнение касательной функции `y=1/sqrt(1-t)`,
    получаем, что `ac=(2-3z)/(4(1-z)^3)=f(z)`.
    Исследовав `f(z)`, получаем, что `f_max=1`, при `z=1/2`,
    при этом `a=sqrt2, c=1/sqrt2`.

    Ответ: `-4`.
  • Задача №7, 10-11 классы

    Вовочка написал на доске равенство `101 = 11011`. Учитель информатики сказал, что это равенство будет верным, если понимать его как запись одного и того же числа, но в разных системах счисления. Найдите основания этих систем.

    Решение:
    `a, b in NN` - основания чисел в своих системах исчисления.
    `a^2+1=b^4+b^3+b+1`,
    `a^2=b^4+b^3+b`.
    Заметим, что `(b^2+b/2)^2=b^4+b^3+b^2/4>b^4+b^3+b` при всех `b>4`.
    Также `(b^2+b/2-1)^2=b^4+b^3-(7b^2)/4-b+1< b^4+b^3+b` при всех `b in NN`,
    `(b^2+b/2-1)^2 < a^2<(b^2+b/2)^2`,<br />
    `b^2+b/2-1< a < b^2+b/2`.

    Если `b` - четное число, тогда `a` оказывается между двух соседних целых чисел, чего не может быть.
    Значит `b` - нечетно, а `a=b^2+b/2-1/2`.
    `(b^2+b/2-1/2)^2=b^4+b^3+b`,
    `b^4+b^3+b^2/4-b^2-b/2+1/4=b^4+b^3+b`,
    `-3/4b^2-3/2b+1/4=0`.
    Далее все очевидно, также надо просмотреть случаи `b=1,2,3,4`.
  • Задача №4, 10-11 классы

    Участникам викторины было задано четыре вопроса: на первый вопрос правильно ответили`90` участников, на второй `50`, на третий `40`, а на четвертый `20`, причем никто не смог правильно ответить более чем на два вопроса. Каково наименьшее число участников викторины при этих условиях?

    Решение:
    Правильно ответивших на первый вопрос `= 90`,
    правильно ответивших на второй вопрос `= 50`,
    правильно ответивших на третий вопрос `= 40`,
    правильно ответивших на четвертый вопрос `= 20`.
    Для `100` человек возможно построить необходимую ситуацию, при этом не будет тех, кто ответил правильно больше, чем на `2` вопроса.
    Также, каждый из этих `100` ответит правильно ровно на `2` вопроса.
    `20` человек правильно ответили на `1` и `4` вопросы.
    `40` человек правильно ответили на `1` и `2` вопросы.
    `30` человек правильно ответили на `1` и `3` вопросы.
    `10` человек правильно ответили на `2` и `3` вопросы.
    Всего людей получается `100`, также выполняются все условия задачи.
    Теперь надо доказать, что меньше быть не может. Можно сослаться на очевидность (а это действительно так, т.к. каждый из нашей сотни
    правильно ответил ровно на `2` вопроса), но надо доказать строго. Лучше всего от противного.
    Всего правильных ответов `=200`.
    Пусть `a` человек правильно ответили на `2` вопроса, `b` человек на `1` вопрос и `c` человек на `0` вопросов.
    Тогда `2a+b=200`.
    Предположим, что `a+b+c<=99 => a+b<=99`,<br />
    `200=2a+b=a+(a+b)<=a+99 => a>=101` - противоречие.

    Ответ: 100.
  • Задача №10, 9 класс

    Решите уравнение:
    `8/{x}=9/x+10/[x]`.
    где `[x]` - наибольшее целое число, не превосходящее `x`, а `{x}=x-[x]`.

    Решение:
    Очевидно, `x` не может принимать целые значения.
    Найдем положительные решения, т.е. `x>0`.
    Если `x>3 => 9/x<3, [x]>=3, 10/[x]<=10/3`,<br />
    По определению дробной части `{x} in [0;1) => 8<8/{x}=9/x+10/[x]<3+10/3=19/3<8` - решений нет.<br />Пусть `x in (2;3) => [x]=2: 8/{x}=9/x+5`,
    `8/t=9/(2+t)+5`, где `t={x}`,
    `5t^2+11t-16=0`,
    `t=1, t=-16/5` - решений нет.
    `x in (1;2) => [x]=1`,
    `8/t=9/(t+1)+10`,
    `10t^2+11t-8=0`,
    `t=1/2 => x=1+1/2=1.5`.
    Далее аналогично, находим оставшиеся решения, если они имеются.
  • Решение задачи №6 (полное решение на следующей странице темы)

    1. `x^2+y^2< pi^2+t^2 AA t in RR iff x^2+y^2< pi^2`.
    2. Преобразуем второе неравенство `cosy< -cosx+2(cosx+sint)^2`.
    3. `AA c in [-1;1]`: `cosy< -c+2(c+sint)^2 AA t in RR iff cosy< -c =>`
    `=> cosy+cosx< 2(cosx+sint)^2 AA t in RR iff cosy+cosx< 0`.
    4. Обе области симметричны относительно осей `Y` и `X` `=>` можем взять четверть `x>=0, y>=0`,
    `x^2+y^2< pi^2 => 0<=x,y< pi`.<br />
    5. `cosy< -cosx=cos(pi-x), pi-x in (0;pi], y in [0;pi)`.
    6. `y=cost` - строго убывает на `[0;pi] => y>pi-x`.
    7. `s=1/4S_(окр)-S_(тр)=1/4pi^3-1/2pi^2. S=4s=pi^3-2pi^2`.
    image
    Ответ: `pi^3-2pi^2`.
  • Решение задачи №7

    1. `a^2=b^4+b^3+b`, где `a,b in NN` - основания.
    2. `4a^2=4b^4+4b^3+4b => (2b^2+b)^2-4a^2=b^2-4b => (2b^2+b-2a)(2b^2+b+2a)=b^2-4b`.
    3a. `b^2-4b>0 => 2b^2+b-2a>0 => 2b^2+b-3a>=1 => b^2-4b>=2b^2+b+2a => b^2+5b+2a<=0` `O/`.<br />
    3b. `b^2-4b<=0 => b in [0;4] => b=1,2,3,4` (`b in NN`).
    4. `b=1`: `a^2=3` `O/`, `b=2`: `a^2=26` `O/`, `b=3`: `a^2=111` `O/`.
    `b=4`: `a^2=324 => a=18`.

    Ответ: `18,4`.
  • Решение задачи №8 (полное решение смотри на следующей странице темы)

    1. `ax^2+bx+c>0 AA x in RR iff a>0, D<=0`.<br />
    2. `AA a>0` `EE D_min=D_0=b_0^2-4a_0c_0`: `a_0x^2+b_0x+c_0<=1/sqrt(1-x^2) AA x in (-1;1)`. <br />
    3. Пусть `y=a_0x^2+(-b_0^2+4a_0c_0)/(4a_0) => D_1=b_0^2-4a_0c_0=D_0`.
    4. `a_0=d, (-b_0^2+4a_0c_0)/(4a_0)=e`: `dx^2+e<=1/sqrt(1-x^2) AA x in (-1;1)` - следует из п. 3.<br />
    5. Замена `sqrt(1-x^2)=y => d(1-y^2)+e<=1/y AA y in (0;1]`.<br />
    6a. Возьмем `y=1/sqrt2 in (0;1] => d/2+e<=sqrt2 => 2sqrt(d/2e)<=d/2+e<=sqrt2 => ed<=1`.<br />
    6b. Пусть `ed>1 => d/2+e>=2sqrt(d/2e)>sqrt2 =>` п. 5 не выполняется при `y=1/sqrt2` `O/`.
    7. `D_1=-4ed>= -4`, при этом `D_1=-4 iff ed=1, e=d/2 iff d=sqrt2, e=1/sqrt2`.
    8. Проверка: `sqrt2x^2+1/sqrt2<=1/sqrt(1-x^2) AA x in (-1;1)`,<br />`(2x^2+1)^2(1-x^2)<=2 iff (x^2+1)(2x^2-1)^2>=0` - верно!
    image
    Ответ: `-4`.

    Слабым можно назвать п.2.
  • Еще одно решение задачи №2 (отборочный этап олимпиады по математике «Ломоносов» 2013 года в МГУ)
    Пусть длина сосиски `x`.
    Котенок откусил `1/4x`, осталось `3/4x` сосиски.
    Щенок откусил `1/3*3/4x=1/4x` сосиски.
    Котенок и щенок откусили по `1/4x`, оставшаяся длина сосиски `1/2x`.
    С каждого края каждый раз отъедается `1/(2^k)x` , т.е. `1/4x+1/8x+1/16x+...` - сумма геометрической прогрессии.
    `(S_n)/x=1/4(1-(1/2)^n)/(1/2)=1/2(1-(1/2)^n)`.
    Расстояние от середины сосиски до ее очередного края равно `1/2x-S_n=1/2*(1/2)^nx`, это расстояние уменьшается с каждым разом в `2` раза.
    Возьмем `l>=0` - расстояние от середины сосиски до нитки.
    Если нитка не по середине сосиски, т.е. `l>0`, то в какой то момент котенок или щенок съедят нитку.
    Нитка будет съедена, если `(1/2)^(n+1)x<=l`, <br />`n+1>=log_(1/2)(l/x)`,
    `n>=log_(1/2)(l/x)-1`.
    При любом положительном `l` (`x` - фиксирован, не имеет значения), найдется такой натуральный `n`, при котором неравенство станет верным. Если `l=0`, тогда нитку никогда не съедят, т.к. `(1/2)^(n+1)x>0` при любом натуральном `n`.

    Ответ: `1:1`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике