ДВИ по математике в МГУ (21 июля 2017 - резервный день)

18.07.2017. Поступили материалы ДВИ по математике.
Подключение платное, тариф Light (30 тыс. руб.), Стандарт (40 тыс. руб.).
dvi@olympiads.biz - для вопросов и заявок.
Олимпиада «Физтех 2017» / Олимпиада МФТИ по математике 2016-2017 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Индивидуальные решения вашего варианта онлайн-этапа олимпиады Физтех 2017 - 3 тыс. руб.
    4. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    5. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Олимпиада «Физтех 2017». Олимпиада МФТИ по математике 2016-2017. Задания и подробные решения.
    В этой теме выкладываются задания и решения онлайн-этапа олимпиады Физтех 2017.

    Олимпиада Физтех 2017 по математике (онлайн-этап). Регистрация на официальном сайте.


    1 октября стартовал отборочный этап олимпиады Физтех 2017. Задания своего варианта вы можете получить на сайте олимпиады, пройдя предварительную регистрацию. Каждый вариант состоит из 10 заданий различной сложности. Все задания олимпиадного плана, в отличие от заключительного этапа, задания которых находятся в рамках стандартной школьной программы.
    Развернутые решения не требуются, только числовые ответы. Свой вариант вы можете решать вплоть до завершения онлайн-этапа, т.е. до начала февраля. Свои ответы можно редактировать.
    По статистике прошлых лет, для выхода в финал достаточно получить правильные ответы по 7-8 заданиям.
    Ниже ссылки на материалы прошлых лет:
    2016: заключительный этап, онлайн-этап.
    2015: заключительный этап, онлайн-этап.
    2014: заключительный этап, онлайн-этап.
    2013: заключительный этап, онлайн-этап.
    Олимпиада Физтех 2016-2017. Задания и решения по математике.
    Материалы по подготовке к очному туру олимпиады Физтех 2017 по математике:
    1. Логарифмы.
    2. Неравенства и задачи с параметром.
    3. Системы уравнений.

  • Внимание: частичные решения (5 решений + 5 подсказок) одного из вариантов будут рассылаться нашим подписчикам (форма подписки выше).
    Полные решения вашего персонального варианта возможно подключить на платной основе - 3 тыс. руб. Ожидаемый результат - 100 баллов.
    Идет запись на ноябрь и декабрь.
    Сейчас можно записаться на любое число с 14 ноября по 25 ноября.
    info@olympiads.biz - почта для вопросов и бронирования.


    Задача №1.
    Найдите наименьшее натуральное `a` такое, что выражение
    `a(a+12)(a+24)(a+36)(a+48)` делится на `10^6`.

    Задача №1.
    Найдите наименьшее натуральное `a` такое, что выражение
    `a(a+4)(a+8)(a+12)(a+16)` делится на `10^6`.

    Задача №1.
    Найдите наименьшее натуральное `a` такое, что выражение
    `a(a+8)(a+16)(a+24)(a+32)` делится на `10^7`.

    Задача №1.
    Найдите наименьшее натуральное `a` такое, что выражение
    `a(a+18)(a+36)(a+54)(a+72)` делится на `10^7`.
  • Задача №2.
    Известно, что для положительных чисел `a,b,c` каждое из трех уравнений
    `ax^2+10bx+c=0`,
    `bx^2+10cx+a=0`,
    `cx^2+10ax+b=0`
    имеет хотя бы один действительный корень.

    Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно `9`? (Если уравнение имеет два
    совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня).

    Задача №2.
    Известно, что для положительных чисел `a,b,c` каждое из трех уравнений
    `ax^2+15bx+c=0`,
    `bx^2+15cx+a=0`,
    `cx^2+15ax+b=0`
    имеет хотя бы один действительный корень.

    Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно `9`? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня).

    Задача №2.
    Известно, что для положительных чисел `a,b,c` каждое из трех уравнений
    `ax^2+20bx+c=0`,
    `bx^2+20cx+a=0`,
    `cx^2+20ax+b=0`
    имеет хотя бы один действительный корень.

    Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно `11`? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня).

    Задача №2.
    Известно, что для положительных чисел `a,b,c` каждое из трех уравнений
    `ax^2+10bx+c=0`,
    `bx^2+10cx+a=0`,
    `cx^2+10ax+b=0`
    имеет хотя бы один действительный корень.

    Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно `7`? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня).
  • Задача №3.
    Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно `40^612`. Найдите количество таких прогрессий.

    Задача №3.
    Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно `162^603`. Найдите количество таких прогрессий.

    Задача №3.
    Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно `800^327`. Найдите количество таких прогрессий.

    Задача №3.
    Бесконечная геометрическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Оказалось, что произведение первых шести её членов равно `72^612`. Найдите количество таких прогрессий.
  • Задача №4.
    Пусть `(16sin^2x-21-8sqrt7cosx)/(27-16cos^2x-24sinx)=1`. Какое наибольшее значение может принимать `5sinx`?

    Задача №4.
    Пусть `(67-36cos^2x+60sinx)/(36sin^2x-45+12sqrt11cosx)=3`.
    Какое наибольшее значение может принимать `15sinx`?

    Задача №4.
    Пусть `(21-16sin^2x+8cosx)/(16cos^2x-29-8sqrt15sinx)=2`.
    Какое наибольшее значение может принимать `7cosx`?
  • Задача №5.
    Даны парабола `y=4x^2` и прямая `y=x-1`. Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие – на этой прямой?

    Задача №5.
    Даны парабола `y=10x^2` и прямая `y=x-0.2`. Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие – на этой прямой?

    Задача №5.
    Даны парабола `y=5x^2` и прямая `y=x-0.4`. Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие – на этой прямой?
  • Задача №6.
    Две окружности `Omega` и `omega` радиусов `R=41` и `r=36` касаются внутренним образом. Хорда `AB` окружности `Omega` касается окружности `omega` в точке `C`. Найдите длину хорды `AB`, если известно, что `AC:BC=1:2`.

    Задача №6.
    Две окружности `Omega` и `omega` радиусов `R=13.25` и `r=9` касаются внутренним образом. Хорда `AB` окружности `Omega` касается окружности `omega` в точке `C`. Найдите длину хорды `AB`, если известно, что `AC:BC=1:2`.

    Задача №6.
    Две окружности `Omega` и `omega` радиусов `R=28.25` и `r=25` касаются внутренним образом. Хорда `AB` окружности `Omega` касается окружности `omega` в точке `C`. Найдите длину хорды `AB`, если известно, что `AC:BC=1:2`.

    Задача №6.
    Две окружности `Omega` и `omega` радиусов `R=20` и `r=16` касаются внутренним образом. Хорда `AB` окружности `Omega` касается окружности `omega` в точке `C`. Найдите длину хорды `AB`, если известно, что `AC:BC=1:2`.
  • Задача №7.
    Найдите наименьшее значение параметра `p`, для которого при всех `0<=x<=1, 0<=y<=2, 0<=z<=4` выполняется неравенство `xyz+p>=11x+4y+2z`?

    Задача №7.
    Найдите наименьшее значение параметра `p`, для которого при всех `0<=x<=1, 0<=y<=2, 0<=z<=7` выполняется неравенство `xyz+p>=19x+7y+2z`?

    Задача №7.
    Найдите наименьшее значение параметра `p`, для которого при всех `0<=x<=1, 0<=y<=3, 0<=z<=5` выполняется неравенство `xyz+p>=17x+5y+3z`?
  • Задача №8.
    Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений:
    `{(tanx=56/15cosy),(tany=56/15cosz),(tanz=56/15cosx):}`

    Задача №8.
    Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений:
    `{(tanx=20/9cosy),(tany=20/9cosz),(tanz=20/9cosx):}`

    Задача №8.
    Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений:
    `{(tanx=90/19cosy),(tany=90/19cosz),(tanz=90/19cosx):}`

    Задача №8.
    Какое наибольшее значение может принимать модуль синуса суммы углов, удовлетворяющих системе уравнений:
    `{(tanx=12/7cosy),(tany=12/7cosz),(tanz=12/7cosx):}`
  • Задача №9.
    Треугольная пирамида `SABC` (`S` – вершина) обладает следующими свойствами:
    1) длины проекций боковых ребер на плоскости боковых граней, не содержащих эти ребра (то есть проекция ребра `SA` на плоскость грани `SBC`, и так далее) – равны между собой;
    2) длины проекций боковых ребер на плоскость основания пирамиды также равны между собой. Известно, что `cosASB=-21/29, AB=1`.

    Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.

    Задача №9.
    Треугольная пирамида `SABC` (`S` – вершина) обладает следующими свойствами:
    1) длины проекций боковых ребер на плоскости боковых граней, не содержащих эти ребра (то есть проекция ребра `SA` на плоскость грани `SBC`, и так далее) – равны между собой;
    2) длины проекций боковых ребер на плоскость основания пирамиды также равны между собой. Известно, что `cosASB=-15/17, AB=6`.

    Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.

    Задача №9.
    Треугольная пирамида `SABC` (`S` – вершина) обладает следующими свойствами:
    1) длины проекций боковых ребер на плоскости боковых граней, не содержащих эти ребра (то есть проекция ребра `SA` на плоскость грани `SBC`, и так далее) – равны между собой;
    2) длины проекций боковых ребер на плоскость основания пирамиды также равны между собой. Известно, что `cosASB=-3/5, AB=3`.

    Найдите сумму периметров оснований всех пирамид, обладающих указанными свойствами.
  • Задача №10.
    В некотором государстве `36` городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно `8` авиарейсов первой авиакомпании. Назовем тройку городов `A,B,C` замкнутой, если все три авиарейса `AB, BC, CA` осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?

    Задача №10.
    В некотором государстве `30` городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно `10` авиарейсов первой авиакомпании. Назовем тройку городов `A,B,C` замкнутой, если все три авиарейса `AB, BC, CA` осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?

    Задача №10.
    В некотором государстве `37` городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно `8` авиарейсов первой авиакомпании. Назовем тройку городов `A,B,C` замкнутой, если все три авиарейса `AB, BC, CA` осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?

    Задача №10.
    В некотором государстве `35` городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно `12` авиарейсов первой авиакомпании. Назовем тройку городов `A,B,C` замкнутой, если все три авиарейса `AB, BC, CA` осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?

    Задача №10.
    В некотором государстве `40` городов. Каждая пара городов соединена авиарейсом одной из двух авиакомпаний. Оказалось, что из каждого города выходит ровно `6` авиарейсов первой авиакомпании. Назовем тройку городов `A,B,C` замкнутой, если все три авиарейса `AB, BC, CA` осуществляются одной авиакомпанией. Каково наибольшее возможное количество замкнутых троек городов может быть в этом государстве?


    Внимание: частичные решения (5 решений + 5 подсказок) одного из вариантов будут рассылаться нашим подписчикам (форма подписки выше).
    Полные решения вашего персонального варианта возможно подключить на платной основе - 3 тыс. руб. Ожидаемый результат - 100 баллов.
    Идет запись на ноябрь и декабрь.
    Сейчас можно записаться на любое число с 14 ноября по 25 ноября.
    info@olympiads.biz - почта для вопросов и бронирования.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике