Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Формула Единства 2016-2017 / Третье тысячелетие / Задания и решения отборочного этапа


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Международная математическая олимпиада "Формула Единства / Третье тысячелетие" 2016-2017.
    Олимпиада вошла в утвержденный перечень текущего 2016-2017 учебного года, присвоен второй уровень.
    Отборочный этап уже стартовал и завершается 18 ноября. Проводится в заочной форме. Регистрация участников производится на сайте олимпиады СПбГУ.
    Заключительный этап будет проведен в феврале, в очной форме, на нескольких региональных площадках.
    В топике публикуются задания и решения отборочного этапа 2016-2017. 

    Материалы прошлых лет:
    Отборочный этап 2015-2016.
  • Внимание: полные и индивидуализированные решения выложенного варианта предоставляются на платной основе.
    info@olympiads.biz - почта для вопросов и заявок.


    Задача №1.
    При скольких натуральных `n` выполняется неравенство
    `sin((10pi)/n)>cos((10pi)/n)`.

    Краткое решение:
    Замена `(10pi)/n=x`:
    `sin(x-pi/4)>0`,
    `pi/4+2pik<x<(5pi)/4+2pik, k in ZZ`,
    `(8k+1)/4<10/n<(8k+5)/4`.
    `k>=0`, можем перевернуть оба неравенства:
    `40/(8k+5)<n<40/(8k+1)`.
    `k=0 => n in (8;40)` - всего `31` натуральных значений `n` (от `9` до `39`).
    `k=1 => n in (40/13;40/9) => n=4`.
    `k=2 => n in (40/21;40/17) => n=2`.
    `k>=3` - нет решений.
    Всего получили `33` натуральных значений `n`.

    Ответ: `33`.
  • Задача №2.
    Какое максимальное значение может принимать наибольший общий делитель чисел `n^2+3`, `(n+1)^2+3`, где `n` - натуральное число?

    Решение:
    `d` - общий делитель.
    `(n+1)^2+3-(n^2+3) vdots d`,
    `2n+1 vdots d => 4n^2+4n+1 vdots d`,
    `4n^2+4n+1-4(n^2+3)-2(2n+1) vdots d`,
    `13 vdots d => d=1` или `13`.
    `d=13` при `n=6`.

    Ответ: `13`.
  • Задача №3.
    Назовем заслуженными числа вида `2^x+3^y`, где `x` и `y` - натуральные числа или `0`. Легко видеть, что числа `5=2+3=2^2+3^0` и `11=2^3+3^1=2^1+3^2` - дважды заслуженные (то есть представляются в таком виде двумя способами). А сколько всего существует дважды заслуженных чисел?

    Решение:
    `n` - дважды заслуженное число.
    `n=2^x+3^y=2^a+3^b`.
    `2^x-2^a=3^b-3^y`,
    `2^a(2^(x-a)-1)=3^y(3^(b-y)-1)`.
    `2^(x-a)-1 vdots 3^y, 3^(b-y)-1 vdots 2^a`.
    1. `y=0 => x-a=1`.
    `x-a=2, y=1`.
    2.`a=1 => b-y=1`.
    `b-y=2, a=3`.
    3. `a=4, b=5, x=8, y=1`.
    Итак, получили пять разных возможностей:
    `y=0, x-a=1, a=1, b-y=1 => x=2, b=1 => n=5`.
    `y=0, x-a=1, a=3, b-y=2 => x=4, b=2 => n=17`.
    `y=1, x-a=2, a=1, b-y=1 => x=3, b=2 => n=11`.
    `y=1, x-a=2, a=3, b-y=2 => x=5, b=3 => n=35`.
    `n=259`.

    Ответ:
    существует `5` дважды заслуженных чисел, `5, 11, 17, 35` и `259`.
  • Задача №4.
    На сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC` выбраны точки `X` и `Y` так, что `AX=BY`. При этом точки `A,X,Y` и `C` лежат на одной окружности. `B_1` - основание биссектрисы угла `B`. Докажите, что прямые `XB_1` и `YC` параллельны.

    Решение:
    image
    `/_XYB=pi-/_XYC=/_BAC`.
    `XBY ~ ABC` :
    `(AC)/(XY)=(t+XB)/t=(t+YC)/(XB)`.
    `t/(XB)=(t+XB)/(t+YC)=(AB_1)/(B_1C)`.
    `t/(XB)=(AB_1)/(B_1C) => (AX)/(XB)=(AB_1)/(B_1C)`.
    `XB_1||YC`.

    Ответ: доказано.
  • Задача №5.
    Отец хочет отправить сыну `13` одинаковых мячиков. Для этого он купил почтовый ящик, диагонали граней которого равны `4,6` и `7` дециметрам. Оказалось, что один мяч помещается в этот ящик. Верно ли, что в нем можно уместить все `13` мячей?

    Решение:
    Параллелепипед с ребрами `a,b,c`.
    `{(a^2+b^2=16),(b^2+c^2=36),(c^2+a^2=49):}`.
    `a=sqrt(29/2), b=sqrt(3/2), c=sqrt(69/2)`.
    Шар с радиусом `r`.
    `2r<=b`.
    `r<=sqrt(3/8)`.
    `a/b=sqrt(29/3)>3`, `c/a=sqrt(69/3)=sqrt23<5``.
    image
    Треугольник со сторонами `2r, 2r и 2r+1/2(a-6r)`.
    `2r+1/2(a-6r)=a/2-r`.
    `h` - высота, проведенная к стороне длины `a/2-r`.
    `h=sqrt(4r^2-(a/4-r/2)^2)`.
    `2h=sqrt(16r^2-(a/2-r)^2)`.
    Длинная сторона прямоугольника `l=2(sqrt(16r^2-(a/2-r)^2)+r)`.
    При `l<=c`размещение `13` мячиков возможно.
    `2(sqrt(16r^2-(a/2-r)^2)+r)<=c`,
    `r<=(-a-c+sqrt((a+c)^2+14(a^2+c^2)))/28`.
    `(-a-c+sqrt((a+c)^2+14(a^2+c^2)))/28>=b/2`, тогда `13` мячиков радиуса `r=b/2` поместятся в прямоугольник.
    `a^2+c^2>=14b^2+2b(a+c)`,
    `28>=sqrt207+sqrt87` - верно.

    Ответ: да.
  • Задача №6.
    Составители олимпиады голосованием определяют, какую из задач (А или Б) поместить в вариант. Для этого все составители по очереди (в алфавитном порядке) сообщают, какая из задач им больше нравится. В результате голосования оказалось, что задача А "победила" со счетом `11:5`, причем в каждый момент времени она имела хотя бы вдвое больше голосов, чем задача Б. Сколькими способами могло проходить голосование?
     
    Решение:
    image
    Каждое значение на `n`-ой строке переходит в одно или два значения из следующей строки.
    Посчитаем количество всех маршрутов, которые приводят к значению `11:5`.
    `f(a:b)` - количество маршрутов, которые приводят к значению `a:b`.
    Используя таблицу, легко построить все необходимые рекуррентные соотношения.
    `f(11:5)=f(11:4)+f(10:5)=f(11:3)+2f(10:4)=`...
    ...`=442f(4:0)+143f(3:1)=585f(3:0)+143f(2:1)=728f(2:0)=728`.

    Ответ: `728`.
  • Задача №7.
    Существуют ли такие целые коэффициенты `a!=0, b,c,d`, для которых кубический многочлен `f(x)=ax^3+bx^2+cx+d` принимает каждое из значений `1,2,3` и `4` при каком-нибудь целом значении `x`?

    Решение:
    `f(n)=1, f(m)=2, f(k)=3, f(l)=4`, где `n,m,k,l in ZZ`.
    `a(m^3-n^3)+b(m^2-n^2)+c(m-n)=1`,
    `(m-n)(a(m^2+mn+n^2)+b(m+n)+c)=1`.
    `|m-n|=|k-m|=|l-k|=1`.
    1. `m-n=1 => k-m=1 => l-k=1`,
    `m=n+1, k=n+2, l=n+3`.
    `f(n)=1, f(n+1)=2, f(n+2)=3, f(n+3)=4`.
    `a(3n^2+3n+1)+b(2n+1)+c=1`.
    `a(3(n+1)^2+3(n+1)+1)+b(2n+3)+c=1`.
    `a(6n+6)+2b=0`.
    `a(3(n+2)^2+3(n+2)+1)+b(2n+5)+c=1`.
    `a(6n+6+6)+2b=0`,
    `6a=0 => a=0`, противоречие.
    2. `m-n=-1 => k-m=-1, l-k=-1`,
    `m=n-1, k=n-2, l=n-3`. Аналогично.

    Ответ: нет.

    Внимание: полные и индивидуализированные решения выложенного варианта предоставляются на платной основе.
    info@olympiads.biz - почта для вопросов и заявок.
  • В третьем задании вроде еще одно число получается?  259=3^5+2^4=243+16  и 259= 3^1 + 2^8 = 3+256
  • Да, там задание сложное. Схему решения несколько поправили.
    Тут (PDF) кое-что есть.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике