Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Ломоносов 2016-2017 по математике / Задания и решения отборочного этапа
  • Внимание: решения второго тура выложены в другой теме (ссылка).

    Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Заочный тур олимпиады Ломоносов - 5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    В этой теме выкладываются задания и решения заочного тура (отборочный этап) олимпиады Ломоносов 2017 по математике.
    Материалы за прошлые годы выложены в разделе Ломоносов:
    Ломоносов 2016: заключительный этап, отборочный этап (1 тур, 2 тур).
    Ломоносов 2015: заключительный этап, отборочный этап (1 тур, 2 тур).
    Ломоносов 2014: заключительный этап, отборочный этап (1 тур, 2 тур, 3 тур).
    Ломоносов 2013: заключительный этап, отборочный этап.
    Ломоносов 2012: заключительный этап, отборочный этап.
    Ломоносов 2011: заключительный этап, отборочный этап.
    Ломоносов 2005-2010: задания и решения.

    Олимпиада Ломоносов 2016-2017 стартует в октябре (регистрация на официальном сайте), отборочный этап (заочный тур) проводится в ноябре-деабре. Последние три года отборочный этап состоял из 2-3 независимых туров. Достаточно успешно пройти один тур, чтобы стать участником заключительного этапа. В прошлом учебном году таких туров было два, первый прошел в конце ноября, второй в конце декабря. На каждом туре дается 10 основных заданий + 2 простые задачи. Простые задачи стоят по 1 баллу, основные задачи 9 или 100, общая сумма 100 баллов. Для прохождения на очный тур, как правило, достаточно получить 80+ баллов, т.е. успешно решить 8 основных задач.
    Итоги отборочного этапа подводятся в конце января - начале февраля. Заключительный этап проводится в первой половине марта, на нескольких региональных площадках.

    В этой теме будут выложены задания и решения первого тура, также иная полезная информация по олимпиаде Ломоносов 2016-2017 по математике (регламент, расписание, итоги, статистика, учебные пособия). Следите за обновлениями темы.
    Материалы по подготовке к очному туру - алгебраические задачи.

    Расписание отборочного этапа олимпиады Ломоносов по математике:
    1 тур - с 9 ноября (00:00 часов) по 12 ноября (23:59).
    2 тур - с 26 ноября по 29 ноября.
    Длительность каждого тура 96 часов, но на решение задач вашего варианта вам дается ровно 24 часа, в течение которых вы должны ввести все ответы. Время начала этих 24 часов абитуриент определяет сам (внутри интервала каждого тура).
    Туры независимые, но вы можете принять участие в обоих турах. После каждого тура публикуются ответы, далее вы сможете выбрать один из туров (с лучшим результатом) для проверки.

    Внимание: решения и ответы всех вариантов заданий 1 тура были выложены 13 ноября в 00-00, т.е. сразу после окончания первого тура.
    Полные решения вашего персонального варианта возможно подключить на платной основе - 5 тыс. руб. Ожидаемый результат - 100 баллов.
    Идет запись на 2 тур (26-29 ноября).
    Сейчас можно записаться на любую из этих дат - 27, 28, 29 ноября. На 27 ноября осталось 3 места.
    info@olympiads.biz - почта для вопросов и бронирования.
  • Задания для разминки:
    1. Найдите сумму квадратов корней уравнения `2^(x^2)=4^(2-x)`.
    Ответ: `12`.
    2. В прямоугольном треугольнике с катетом `2` и гипотенузой `4` найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из прямого угла. Ответ укажите в градусах.
    Ответ: `15`.

    Основное задание
    Задача №1.
    Проезд в московском метро по карте "Тройка" в `2015` году стоил `30` рублей за одну поездку, а с `1` января `2016` года подорожал на `2` рубля. Какое наименьшее число поездок в метро можно было совершить по этим тарифам суммарно в `2015` и `2016` годах, потратив на это ровно `4700` рублей?

    Решение:
    `n` и `m` поездок совершили в `2015` и `2016` году соотв., где `n,m` - неотрицательные целые числа.
    По условию, `30n+32m=4700`. Надо найти `min(n+m)`. Иначе говоря, среди решений уравнения надо найти пару с максимальным `m`.
    `15n+16m=2350`.
    `m vdots 5, n vdots 2 => m=5m_1, n=2n_1`:
    `3n_1+8m_1=235`,
    `m_1<=235/8 => m_1<=29`.
    `m_1=29 => n_1=1`. Понятно, что при таких значениях достигается минимум `n+m`.
    Следующая пара `m_1=26, n_1=9`, тогда `n+m` растет.
    `min(m+n)=5*29+2*1=147`.

    Ответ: `147`.

    Задача №1.
    Проезд в Москве по карте "Тройка" в `2015` году стоил `30` рублей за одну поездку на метро и `29` рублей за одну поездку на наземном транспорте. Какое наименьшее суммарное число поездок можно было совершить по этим тарифам, потратив на это ровно `4300` рублей?
    Ответ: `144`.

    Задача №1.
    Проезд в Москве на наземном транспорте по карте "Тройка" в `2015` году стоил `29` рублей за одну поездку, а с `1` января `2016` года подорожал на `2` рубля. Какое наименьшее число поездок на наземном транспорте можно было совершить по этим тарифам суммарно в `2015` и `2016` годах, потратив на это ровно `3700` рублей?
    Ответ: `120`.

    Задача №1.
    Проезд в Москве по карте "Тройка" в `2014` году стоил `28` рублей за одну поездку на метро и `26` рублей за одну поездку на наземном транспорте. Какое наименьшее суммарное число поездок можно было совершить по этим тарифам, потратив на это ровно `3800` рублей?
    Ответ: `136`.

    Задача №1.
    Проезд в Москве по карте "Тройка" в `2016` году стоил `32` рубля за одну поездку на метро и `31` рубль за одну поездку на наземном транспорте. Какое наименьшее суммарное число поездок можно было совершить по этим тарифам, потратив на это ровно `5000` рублей?
    Ответ: `157`.
  • Задача №2.
    Определите количество чётных натуральных делителей числа `13! =1*2*...* 12*13`.

    Решение:
    Формула числа делителей `n=p_1^(a_1)*...*p_s^(a_s)`:
    `f(n)=(a_1+1)*...*(a_s+1)`.
    `13! =2*3*2^2*5*(2*3)*7*2^3*3^2*(2*5)*11*(2^2*3)*13=2^10*3^5*5^2*7*11*13.`
    `f(2^10*3^5*5^2*7*11*13)=(10+1)(5+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=1584` - количество всех натуральных делителей `13!`.
    `f(3^5*5^2*7*11*13)=(5+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=144` - количество всех нечетных натуральных делителей `13!`.
    Количество всех четных натуральных делителей `13!` равно `1584-144=1440`.

    Ответ: `1440`.

    Задача №2.
    Определите количество чётных натуральных делителей числа `12! =1*2*...* 11*12`.
    Ответ: `720`.

    Задача №2.
    Определите количество кратных трем натуральных делителей числа `11! =1*2*...* 10*11`.
    Ответ: `432`.

    Задача №2.
    Определите количество кратных трем натуральных делителей числа `10! =1*2*...* 9*10`.
    Ответ: `216`.
  • Задача №3.
    Найдите все корни уравнения `sin(picos2x)+cos(picos^2x)=0`, принадлежащие интервалу `(-(7pi)/6;-pi/3)`. В ответ запишите делённую на `pi` сумму этих корней (в радианах), округлив её при необходимости до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Замена `picos^2x=t`:
    `sin(2t-pi)+cost=0`,
    `-sin2t+cost=0`,
    `-2sintcost+cost=0`,
    `cost(1-2sint)=0`,
    `cost=0, sint=1/2`,
    `t=pi/2+pik, k in ZZ`,
    `t=(-1)^npi/6+pin, n in ZZ`.
    1. `picos^2x=pi/2+pik, k in ZZ`,
    `cos^2x=1/2+k, k in ZZ`.
    `cos^2x in [0;1] => k=0`,
    `cos^2x=1/2 iff cos2x=0`,
    `2x=pi/2+pim, m in ZZ => x=pi/4+(pim)/2, m in ZZ`.
    2. `picos^2x=(-1)^npi/6+pin, n in ZZ`,
    `cos^2x=(-1)^n*1/6+pin, n in ZZ`,
    `cos^2x in [0;1] => n=0;1`,
    `cos^2x=1/6, cos^2x=5/6`,
    `cos2x=-2/3, 2/3 iff cos^2(2x)=4/9 iff cos4x=-1/9`,
    `4x=+-arccos(-1/9)+2pil, l in ZZ => x=+-1/4arccos(-1/9)+(pil)/2, l in ZZ`.
    По условию, `x in ((-7pi)/6;-pi/3)`.
    Подходят значения `m=-2, l=-2,-1`.
    `x=-3/4pi, +-1/4arccos(-1/9)-(pi)/2, +-1/4arccos(-1/9)-pi`.
    Сумма равна `-3/4pi-2*pi/2-2*pi=-15/4pi=-3.75pi`.

    Ответ: `-3.75`.

    Задача №3.
    Найдите все корни уравнения `cos(pisin^2x)=sin(picos2x)`, принадлежащие интервалу `(-(11pi)/6;-(2pi)/3)`. В ответ запишите делённую на `pi` сумму этих корней (в радианах), округлив её при необходимости до двух знаков после запятой.
    Ответ: `-8.75`.

    Задача №3.
    Найдите все корни уравнения `cos(picos^2x)+sin(picos2x)=0`, лежащие на отрезке `[-(4pi)/3;-pi/6]`. В ответ запишите делённую на `pi` сумму этих корней (в радианах), округлив её при необходимости до двух знаков после запятой.
    Ответ: `-5.25`.

    Задача №3.
    Найдите все корни уравнения `sin(picos2x)=cos(pisin^2x)`, лежащие на отрезке `[-(5pi)/3;-(5pi)/6]`. В ответ запишите делённую на `pi` сумму этих корней (в радианах), округлив её при необходимости до двух знаков после запятой.
    Ответ: `-6.25`.
  • Задача №4.
    Четырёхугольник `KLMN` со сторонами `KL=4, LM=10, MN=12` вписан в окружность. Определите расстояние между серединой стороны `KN` и прямой `LM`, если прямые `KM` и `LN` перпендикулярны. Ответ при необходимости округлите до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Опустим перпендикуляр из точки пересечения диагоналей `P` к стороне `LM`, пересекает `LM` в точке `A`, `KN` в точке `B`.
    `DeltaLAP ~ LPM` (по двум углам, один из который прямой, а другой общий).
    Тогда, `/_LPA=/_LMP`.
    С другой стороны, `/_LPA=/_BPN и /_LMP=/_LNK` (опираются на одну хорду).
    Итак, `/_BPN=/_BNP => BP=BN`.
    Треугольник `KPN` прямоугольный:
    `/_BPN=/_BNP=alpha => /_KPB=pi/2-alpha, /_PKB=pi/2-alpha`.
    Тогда, `KB=PB=BN`.
    Следовательно, `AB` проходит через середину отрезка `KN` и достаточно найти длину отрезка `AB`.
    Пусть `KB=BN=BP=x`.
    Если `KP=y => PN=3y` (из подобия треугольников `KLP` и `NPM`).
    `y^2+9y^2=4x^2 => y^2=2/5x^2 => y=xsqrt(2/5)`.
    Аналогично, `10LP^2=100 => LP=sqrt10, PM=3sqrt10`.
    `PM^2+PN^2=144 => 90+18/5x^2=144`,
    `18/5x^2=54 => x^2=15 => PB=sqrt15`.
    `AP*10=LP*PM=30 => AP=3`.
    `AB=AP+BP=3+sqrt15 ~~ 6.87`.

    Ответ: `6.87`.

    Задача №4.
    Четырёхугольник `KLMN` со сторонами `KL=2, LM=5, MN=6` вписан в окружность. Определите расстояние между серединой стороны `KN` и прямой `LM`, если прямые `KM` и `LN` перпендикулярны. Ответ при необходимости округлите до двух знаков после запятой.
    Ответ: `3.44`.

    Задача №4.
    В окружности проведены две взаимно-перпендикулярные хорды `AB` и `CD`. Определите расстояние между серединой отрезка `AD` и прямой `BC`, если `BD=6, AC=12, BC=10`. Ответ при необходимости округлите до двух знаков после запятой.
    Ответ: `8.47`.

    Задача №4.
    В окружности проведены две взаимно-перпендикулярные хорды `AB` и `CD`. Определите расстояние между серединой отрезка `AD` и прямой `BC`, если `AC=6, BC=5, BD=3`. Ответ при необходимости округлите до двух знаков после запятой.
    Ответ: `4.24`.
  • Задача №5.
    Решите неравенство `8*(|x+1|-|x-7|)/(|2x-3|-|2x-9|)+3*(|x+1|+|x-7|)/(|2x-3|+|2x-9|)<=8`. В ответ запишите сумму его целочисленных решений, удовлетворяющих условию `|x|<120`.

    Решение:
    `x>=7`: `8*8/6+3*(2x-6)/(4x-12)<=8 => 32/3+3/2<=8` - нет решений.
    `x in [9/2;7]`: `8*(2x-6)/6+3*8/(4x-12)<=8`,
    `(x-3)/3+3/(4x-12)<=1`,
    `(4(x-3)^2-12(x-3)+9)/(12x-36)<=0`,
    `(2x-6-3)^2/(12x-36)<=0` - знаменатель положительный, числитель неотрицательный, поэтому неравенсто выполняется `iff 2x-9=0 iff x=9/2`.
    `x in [3/2;9/2]`: `8*(2x-6)/(4x-12)+3*8/6<=8 => 4+4<=8` - всегда верно. Кроме точки `x=3`, в которой обнуляется знаменатель.
    `x in [-1;3/2]`: `8*(2x-6)/(-6)+3*8/(12-4x)<=8`,
    `(3-x)/3+3/(12-4x)<=1`,
    `(4(3-x)^2-12(3-x)+9)/(36-12x)<=0`,
    `(6-2x-3)^2/(36-12x)<=0` - знаменатель положительный, числитель неотрицательный, поэтому неравенство выполняется `iff 3-2x=0 iff x=3/2`.
    `x<= -1`: `8*(-8)/(-6)+3*(6-2x)/(12-4x)<=8 => 32/3+3/2<=8` - нет решений. 

    Итак, `x in [3/2;3)uu(3;9/2]`. Целые решения, удовлетворяющие условию `|x|<120` равны `2` и `4`.
    Сумма равна `6`.

    Ответ: `6`.

    Задача №5.
    Решите неравенство `9*(|x+4|-|x-2|)/(|3x+14|-|3x-8|)+11*(|x+4|+|x-2|)/(|3x+14|+|3x-8|)<=6`. В ответ запишите сумму его целочисленных решений, удовлетворяющих условию `|x|<110`.
    Ответ: `-6`.

    Задача №5.
    Решите неравенство `12*(|x+10|-|x-20|)/(|4x-25|-|4x-15|)-(|x+10|+|x-20|)/(|4x-25|+|4x-15|)>=-6`. В ответ запишите сумму его целочисленных решений, удовлетворяющих условию `|x|<100`.
    Ответ: `10`.

    Задача №5.
    Решите неравенство `8*(|x+3|-|x-5|)/(|2x-11|-|2x+7|)-9*(|x+3|+|x-5|)/(|2x-11|+|2x+7|)>=-8`. В ответ запишите сумму его целочисленных решений, удовлетворяющих условию `|x|<90`.
    Ответ: `8`.
  • Задача №6.
    На доске написано `5` целых чисел. Сложив их попарно, получили следующий набор из `10` чисел: : `5, 8, 9, 13, 14, 14, 15, 17, 18, 23`. Выясните, какие числа написаны на доске. В ответ напишите их произведение.

    Решение:
    Пусть `a_1<=a_2<=a_3<=a_4<=a_5` - искомые целые числа.
    Тогда,
    `a_4+a_5=23, a_3+a_5=18 => a_4-a_3=5`.
    `a_1+a_2=5, a_1+a_3=8 => a_3-a_2=3`.
    Пусть `a_1=n => a_2=5-n, a_3=3+a_2=8-n`.
    `a_4=5+a_3=13-n, a_5=23-a_4=10+n`.
    Итак, наши числа `n<=5-n<=8-n<=13-n<=10+n`.
    Из левого неравенcтва следует `n<=5/2`.
    Из правого неравенства следует `n>=3/2`.
    `n in ZZ => n=2`.
    Получили набор `2,3,6,11,12`. Делаем проверку, числа подходят.
    Произведение равно `4752`.

    Ответ: `4752`.

    Задача №6.
    На доске написано `5` целых чисел. Сложив их попарно, получили следующий набор из `10` чисел: : `3, 8, 9, 16, 17, 17, 18, 22, 23, 31`. Выясните, какие числа написаны на доске. В ответ напишите их произведение.
    Ответ: `3360`.

    Задача №6.
    На доске написано `5` целых чисел. Сложив их попарно, получили следующий набор из `10` чисел: : `5, 9, 10, 11, 12, 16, 16, 17, 21, 23`. Выясните, какие числа написаны на доске. В ответ напишите их произведение.
    Ответ: `5292`.

    Задача №6.
    На доске написано `5` целых чисел. Сложив их попарно, получили следующий набор из `10` чисел: : `-1, 4, 6, 9, 10, 11, 15, 16, 20, 22`. Выясните, какие числа написаны на доске. В ответ напишите их произведение.
    Ответ: `-4914`.

    Задача №6.
    На доске написано `5` целых чисел. Сложив их попарно, получили следующий набор из `10` чисел: : `6, 9, 10, 13, 13, 14, 17, 17, 20, 21`. Выясните, какие числа написаны на доске. В ответ напишите их произведение.
    Ответ: `4320`.

    Задача №6.
    На доске написано `5` целых чисел. Сложив их попарно, получили следующий набор из `10` чисел: : `-1, 2, 6, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 20`. Выясните, какие числа написаны на доске. В ответ напишите их произведение.
    Ответ: `-2970`.
  • Задача №7.
    Найдите объём правильной треугольной пирамиды, середина высоты которой удалена от боковой грани и от бокового ребра на расстояния `2` и `sqrt10` соответственно. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Вместо середины высоты рассмотрим её основание; это центр равностороннего треугольника. Он удалён от указанных объектов на удвоенное расстояние, то есть `4` для боковой грани и `2sqrt10` для бокового ребра.

    Обозначим высоту пирамиды через `h` и радиус вписанной окружности основания через `r`. Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны `a, b`, а гипотенуза `c`, то расстояние `d` от вершины прямого угла до гипотенузы удовлетворяет равенству `ab=cd`, что следует из соображений площади.

    Применим данное равенство к двум прямоугольным треугольникам. Один из катетов в обоих случаях будет равен `h`. В первом случае другой катет равен `r`, а гипотенуза равна апофеме пирамиды. Последняя находится по формуле `c=(ab)/d=(hr)/4`, откуда по теореме Пифагора получается уравнение `h^2+r^2=(h^2r^2)/16`.

    Во втором случае гипотенуза равна боковой стороне, а другой катет равен радиусу описанной около основания окружности, то есть `2r`. Тогда по той же формуле, боковая сторона равна `(2rh)/(2sqrt10)`, и теорема Пифагора даёт второе уравнение `h^2+4r^2=(h^2r^2)/10`.

    Теперь решаем систему. Вычитая из второго уравнения первое, имеем `3r^2=h^2r^2(1/10−1/16)=3/80r^2h^2`, то есть `h^2=80`. Первое уравнение принимает вид `h^2+r^2=5r^2`, то есть `r^2=20`.

    Теперь все элементы пирамиды мы знаем. Площадь основания равна `S=3sqrt3r^2`, и тогда объём равен `V=1/3Sh=sqrt3r^2h=80sqrt15~~309.84`.

    Ответ: `309.84`.

    Задача №7.
    Найдите объём правильной треугольной пирамиды, середина высоты которой удалена от боковой грани и от бокового ребра на расстояния `2` и `sqrt12` соответственно. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `374.12`.

    Задача №7.
    Найдите объём правильной треугольной пирамиды, середина высоты которой удалена от боковой грани и от бокового ребра на расстояния `2` и `sqrt7` соответственно. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `296.32`.

    Задача №7.
    Найдите объём правильной треугольной пирамиды, середина высоты которой удалена от боковой грани и от бокового ребра на расстояния `2` и `sqrt13` соответственно. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `432.99`.

    Задача №7.
    Найдите объём правильной треугольной пирамиды, середина высоты которой удалена от боковой грани и от бокового ребра на расстояния `2` и `sqrt5` соответственно. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `485.42`.

    Задача №7.
    Найдите объём правильной треугольной пирамиды, середина высоты которой удалена от боковой грани и от бокового ребра на расстояния `2` и `sqrt14` соответственно. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `533.38`.
  • Задача №8.
    В разложении функции `g(x)=(1-x+x^2)^20` по степеням `x` найдите коэффициент при `x^(3n)`, где `n` есть сумма всех коэффициентов разложения.

    Решение:
    `g(1)=(1-1+1)^20=1`.
    С другой стороны, `g(1)` есть сумма всех коэффициентов разложения `g(x)` по степеням `x`.
    Итак, `n=1`. Найдем коэффициент при `x^3`.
    По биному Ньютона:
    `g(x)=(1+x^2)^20+C_20^1*(1+x^2)^19*(-x)+...+C_20^19*(1+x^2)*(-x)^19+(-x)^20.`
    `x^3` присутствует только во втором и четвертом слагаемых:
    `C_20^1*(1+x^2)^19*(-x)` - коэффициент при `x^3` равен `-C_20^1*C_19^1=-380`.
    `C_20^3*(1+x^2)^17*(-x^3)` - коэффициент при `x^3` равен `-C_20^3=-1140`.
    Сумма коээфициентов равна `-1140-380=-1520`.

    Ответ: `-1520`.

    Задача №8.
    В разложении функции `g(x)=(1+x-x^2)^25` по степеням `x` найдите коэффициент при `x^(3n)`, где `n` есть сумма всех коэффициентов разложения.
    Ответ: `1700`.

    Задача №8.
    В разложении функции `g(x)=(1-x+x^2)^15` по степеням `x` найдите коэффициент при `x^(3n)`, где `n` есть сумма всех коэффициентов разложения.
    Ответ: `-665`.

    Задача №8.
    В разложении функции `g(x)=(1+x-x^2)^20` по степеням `x` найдите коэффициент при `x^(3n)`, где `n` есть сумма всех коэффициентов разложения.
    Ответ: `760`.
  • Задача №9.
    Найдите наибольшее четырёхзначное число, не кратное `10` и обладающее следующим свойством: если переставить цифры в обратном порядке, то получится число, которое является делителем первоначального, причём частное отлично от единицы.

    Решение:
    `n=bar(abcd)` - искомое число. `a,b,c,d` - цифры, т.е. принимают значения от `0` до `9`. По условию, `a,d!=0`.
    `k=bar(dcba)` - перевернутое число. По условию, `n vdots k, n>k`.
    `n=mk`, где `m in NN, m>1`. По очевидным соображениям, `m<=9`.
    `1000a+100b+10c+d=m(1000d+100c+10b+a)`,
    `1000(a-md)+100(b-mc)+10(c-bm)+d-ma=0`, отсюда получим, что `d-ma vdots 10`. Ключевая делимость.
    `b(10-m)-c(10m-1)=100(md-a)+1/10(ma-d)`.
    `b(10-m)-c(10m-1)<=8b-19c<=72`.
    `ma-d>=2*2-9=-5 => 100(md-a)<=72+1/2 => md-a<=0`. Ключевое неравенство. Использовали то, что выражение `ma-d` принимает целые значения, а при `ma-d>=1` получается противоречие.
    `a=9, m<=9 => d=1` (при `m>=5`), следует из ключевого неравенства.
    `100(b-9c)+10(c-9b)+1-81=0`,
    `10b-890c=80`,
    `b-89c=8 => (b,c)=(8,0)`.

    Ответ: `9801`.

    Задача №9.
    Найдите наименьшее четырёхзначное число, не делящееся на `10` и обладающее следующим свойством: если переставить цифры в обратном порядке, то получится число, которое кратно первоначальному, причём частное отлично от единицы.
    Ответ: `1089`.

    Задача №9.
    Найдите наибольшее четырёхзначное число, не делящееся на `10` и обладающее следующим свойством: если переставить цифры в обратном порядке, то получится число, которое кратно первоначальному, причём частное отлично от единицы.
    Ответ: `2178`.

    Задача №9.
    Найдите наименьшее четырёхзначное число, не делящееся на `10` и обладающее следующим свойством: если переставить цифры в обратном порядке, то получится число, которое является делителем первоначального, причём частное отлично от единицы.
    Ответ: `8712`.
  • Задача №10.
    Предложите текстовую задачу, сводящуюся к решению неравенства `40/x+30/(x+1)>=90/(2x-5)-5`. Напишите формулировку задачи, её решение и ответ.

    Решение:
    Идей много - задачи на движение, работу и т.д.
    Решаются все неравенства тоже легко (группировка по парам, выведение за скобки общего множителя).

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике