Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2016-2017 / Задания и решения / МГУ им. М.В. Ломоносова


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Заочный тур олимпиады Покори Воробьевы горы - 5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2016-2017 по математике. Задания и решения. МГУ им. М.В. Ломоносова.
    В этой теме размещаются задания и решения отборочного этапа (заочный тур) олимпиады ПВГ 2016-2017 по математике.
    Материалы за прошлые годы выложены в разделе «Покори Воробьевы Горы».
    2016: отборочный этап.
    2015: заключительный этап, отборочный этап.
    2014: заключительный этап, отборочный этап (1 тур, 2 тур, 3 тур).
    2013: заключительный этап (Москва, Брянск), отборочный этап.
    2012: заключительный этап, отборочный этап.
    2011: отборочный этап.
    2010: отборочный этап.

    Регистрация на олимпиаду Покори Воробьевы горы стартовала 1 ноября. Сроки отборочного этапа - с 7 ноября по 19 декабря.
    Отборочный этап последние 3 года проходит в 1 тур, в отличие от прошлых лет, когда было 3 независимых тура. В этом году регламент не изменен. Задания доступны с 7 ноября, но на их решение отводится неделя (168 часов). Время начала решения своего варианта абитуриент определяет самостоятельно. Отборочный этап по математике состоит из двух частей - тест (3 часа) и творческое задание (165 часов). В тесте 5 задач средней сложности, развернутые решения не требуются, только численные ответы. Творческое задание состоит из 7 олимпиадных заданий повышенной сложности, требуются развернутые и полные решения. Разбалловка 5*6 + 7*10 = 100 - максимальное количество баллов. На заключительный этап проходят абитуриенты, набравшие 75 баллов или больше.
    Задания отборочного этапа прошлого года опубликованы в другой теме (ссылка).

    Заключительный этап олимпиады Покори Воробьевы горы 2017 по математике пройдет в нескольких городах РФ (в разные сроки), в период с конца февраля по конец марта. Завершается олимпиада в Москве, итоги подводятся до 30 марта, в те же сроки проходит награждение призеров и победителей.
    Остальная информация по мере ее поступления, будет публиковаться в этой теме, следите за обновлениями.


    Внимание: частичные решения (4 решения + 3 подсказки) одного из вариантов творческого задания будут рассылаться нашим подписчикам (форма подписки выше).
    Полные решения вашего персонального варианта (тест + творческая часть) возможно подключить на платной основе - 5 тыс. руб. Ожидаемый результат - 100 баллов.
    Идет запись на даты, начиная с 13 декабря.
    Сейчас можно записаться на любую из этих дат - 13, 14, 15, 16 и 17 декабря.
    info@olympiads.biz - почта для вопросов и бронирования.
  • Задача №1.
    Сумма `82705` натуральных чисел равна `2016*46`, а их произведение - `(2016^2+46)`. Найдите все возможные наборы таких чисел. В ответе укажите сумму наибольшего и наименьшего из чисел всех найденных наборов. Если таких чисел не существует, то в ответе укажите число `0`.
    Ответ: `9987`.

    Задача №1.
    Сумма `50178` натуральных чисел равна `2016*27`, а их произведение - `(2016^2+27)`. Найдите все возможные наборы таких чисел. В ответе укажите сумму наибольшего и наименьшего из чисел всех найденных наборов. Если таких чисел не существует, то в ответе укажите число `0`.
    Ответ: `4144`.

    Задача №1.
    Сумма `28218` натуральных чисел равна `2016*15`, а их произведение - `(2016^2+15)`. Найдите все возможные наборы таких чисел. В ответе укажите сумму наибольшего и наименьшего из чисел всех найденных наборов. Если таких чисел не существует, то в ответе укажите число `0`.
    Ответ: `1894`.

    Задача №1.
    Сумма `16054` натуральных чисел равна `2016*9`, а их произведение - `(2016^2-9)`. Найдите все возможные наборы таких чисел. В ответе укажите сумму наибольшего и наименьшего из чисел всех найденных наборов. Если таких чисел не существует, то в ответе укажите число `0`.
    Ответ: `2020`.
  • Задача №2.
    Решите уравнение
    `(1+cosx+cos2x+cos3x+cos4x)^4+(sinx+sin2x+sin3x+sin4x)^4=`
    `=3/4+(cos8x)/4`.
    Найдите сумму всех корней на отрезке `A`, округлив при необходимости до целого числа. Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответ запишите цифру `0`.
    `A=[2pim, 2pim+pi], m=1010`.
    Ответ: `25392`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `(1+cosx+cos2x+cos3x+cos4x)^4+(sinx+sin2x+sin3x+sin4x)^4=`
    `=3/4+(cos8x)/4`.
    Найдите сумму всех корней на отрезке `A`, округлив при необходимости до целого числа. Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответ запишите цифру `0`.
    `A=[2pim, 2pim+pi], m=1016`.
    Ответ: `25543`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `(1+cosx+cos2x+cos3x+cos4x)^4+(sinx+sin2x+sin3x+sin4x)^4=`
    `=3/4+(cos8x)/4`.
    Найдите сумму всех корней на отрезке `A`, округлив при необходимости до целого числа. Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответ запишите цифру `0`.
    `A=[2pim, 2pim+pi], m=1012`.
    Ответ: `25442`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `(1+cosx+cos2x+cos3x+cos4x)^4+(sinx+sin2x+sin3x+sin4x)^4=`
    `=3/4+(cos8x)/4`.
    Найдите сумму всех корней на отрезке `A`, округлив при необходимости до целого числа. Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответ запишите цифру `0`.
    `A=[2pim, 2pim+pi], m=1013`.
    Ответ: `25467`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `(1+cosx+cos2x+cos3x+cos4x)^4+(sinx+sin2x+sin3x+sin4x)^4=`
    `=3/4+(cos8x)/4`.
    Найдите сумму всех корней на отрезке `A`, округлив при необходимости до целого числа. Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответ запишите цифру `0`.
    `A=[2pim, 2pim+pi], m=1009`.
    Ответ: `25367`.

    Задача №2.
    Решите уравнение
    `(1+cosx+cos2x+cos3x+cos4x)^4+(sinx+sin2x+sin3x+sin4x)^4=`
    `=3/4+(cos8x)/4`.
    Найдите сумму всех корней на отрезке `A`, округлив при необходимости до целого числа. Если корней нет или их на этом промежутке бесконечно много, в ответ запишите цифру `0`.
    `A=[2pim, 2pim+pi], m=1011`.
    Ответ: `25417`.
  • Задача №3.
    Внутри треугольника `ABC` взята некоторая точка `M` такая, что про нее известно следующее свойство: если к сумме квадратов всех сторон треугольника прибавить утроенную сумму всех квадратов расстояний от точки `M` до вершин треугольника, то получится величина, которая не превосходит `24*x`. Найдите сторону треугольника `AB`, если известно, что площадь треугольника `ABC` не менее `sqrt3*x`, `x=2018`. При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Ответ: `89,84`.

    Задача №3.
    Внутри треугольника `ABC` взята некоторая точка `M` такая, что про нее известно следующее свойство: если к сумме квадратов всех сторон треугольника прибавить утроенную сумму всех квадратов расстояний от точки `M` до вершин треугольника, то получится величина, которая не превосходит `24*x`. Найдите сторону треугольника `AC`, если известно, что площадь треугольника `ABC` не менее `sqrt3*x`, `x=2017`. При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Ответ: `89,82`.

    Задача №3.
    Внутри треугольника `ABC` взята некоторая точка `M` такая, что про нее известно следующее свойство: если к сумме квадратов всех сторон треугольника прибавить утроенную сумму всех квадратов расстояний от точки `M` до вершин треугольника, то получится величина, которая не превосходит `24*x`. Найдите сторону треугольника `AC`, если известно, что площадь треугольника `ABC` не менее `sqrt3*x`, `x=2020`. При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Ответ: `89,89`.

    Задача №3.
    Внутри треугольника `ABC` взята некоторая точка `M` такая, что про нее известно следующее свойство: если к сумме квадратов всех сторон треугольника прибавить утроенную сумму всех квадратов расстояний от точки `M` до вершин треугольника, то получится величина, которая не превосходит `24*x`. Найдите сторону треугольника `BC`, если известно, что площадь треугольника `ABC` не менее `sqrt3*x`, `x=2026`. При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Ответ: `90,02`.

    Задача №3.
    Внутри треугольника `ABC` взята некоторая точка `M` такая, что про нее известно следующее свойство: если к сумме квадратов всех сторон треугольника прибавить утроенную сумму всех квадратов расстояний от точки `M` до вершин треугольника, то получится величина, которая не превосходит `24*x`. Найдите сторону треугольника `BC`, если известно, что площадь треугольника `ABC` не менее `sqrt3*x`, `x=2022`. При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
    Ответ: `89,93`.
  • Задача №4.
    Определим `f(a)` как функцию, равную количеству различных решений уравнения
    `cos((2apix)/(x^2+1))-sin((pi(x^2+8ax+1))/(4x^2+4))=sqrt(2-sqrt2)`.
    Например, `f(a_1)=3` означает, что при `a=a_1` это уравнение имеет три различных решения `x_1,x_2,x_3`.
    Если при `a=a_0` уравнение корней не имеет, то положим `f(a_0)=0`.
    Решите неравенство `f(a)<=7`. В ответ запишите суммарную длину получившихся интервалов, округлив ее, при необходимости, до двух знаков после запятой. Если решений нет, то запишите число `0`, если получившаяся длина бесконечна, то напишите число `9999`.  
    Ответ: `7,25`.

    Задача №4.
    Определим `f(a)` как функцию, равную количеству различных решений уравнения
    `sin((apix)/(x^2+1))+sin((pi(x^2+4ax+1))/(4x^2+4))=-sqrt(2+sqrt2)`.
    Например, `f(a_1)=3` означает, что при `a=a_1` это уравнение имеет три различных решения `x_1,x_2,x_3`.
    Если при `a=a_0` уравнение корней не имеет, то положим `f(a_0)=0`.
    Решите неравенство `f(a)<=9`. В ответ запишите суммарную длину получившихся интервалов, округлив ее, при необходимости, до двух знаков после запятой. Если решений нет, то запишите число `0`, если получившаяся длина бесконечна, то напишите число `9999`.  
    Ответ: `18,50`.

    Задача №4.
    Определим `f(a)` как функцию, равную количеству различных решений уравнения
    `cos((apix)/(x^2+4))+sin((pi(x^2+4ax+4))/(4x^2+16))=sqrt(2+sqrt2)`.
    Например, `f(a_1)=3` означает, что при `a=a_1` это уравнение имеет три различных решения `x_1,x_2,x_3`.
    Если при `a=a_0` уравнение корней не имеет, то положим `f(a_0)=0`.
    Решите неравенство `f(a)<=7`. В ответ запишите суммарную длину получившихся интервалов, округлив ее, при необходимости, до двух знаков после запятой. Если решений нет, то запишите число `0`, если получившаяся длина бесконечна, то напишите число `9999`.  
    Ответ: `31`.

    Задача №4.
    Определим `f(a)` как функцию, равную количеству различных решений уравнения
    `sin((apix)/(x^2+1))-cos((pi(x^2+4ax+1))/(4x^2+4))=-sqrt(2+sqrt2)`.
    Например, `f(a_1)=3` означает, что при `a=a_1` это уравнение имеет три различных решения `x_1,x_2,x_3`.
    Если при `a=a_0` уравнение корней не имеет, то положим `f(a_0)=0`.
    Решите неравенство `f(a)<=5`. В ответ запишите суммарную длину получившихся интервалов, округлив ее, при необходимости, до двух знаков после запятой. Если решений нет, то запишите число `0`, если получившаяся длина бесконечна, то напишите число `9999`.  
    Ответ: `9,50`.

    Задача №4.
    Определим `f(a)` как функцию, равную количеству различных решений уравнения
    `sin((apix)/(x^2+1))+cos((pi(x^2+4ax+1))/(4x^2+4))=sqrt(2-sqrt2)`.
    Например, `f(a_1)=3` означает, что при `a=a_1` это уравнение имеет три различных решения `x_1,x_2,x_3`.
    Если при `a=a_0` уравнение корней не имеет, то положим `f(a_0)=0`.
    Решите неравенство `f(a)<=5`. В ответ запишите суммарную длину получившихся интервалов, округлив ее, при необходимости, до двух знаков после запятой. Если решений нет, то запишите число `0`, если получившаяся длина бесконечна, то напишите число `9999`.  
    Ответ: `8,50`.
  • Задача №5
    Пусть `a_n`​​ – количество перестановок `(k_1,k_2,...,k_n)`  чисел `(1,2,…,n)` таких, что выполнены два условия:
    `k_1=1`;
    Для любого номера `i=1,2,…,n−1` выполнено неравенство `|k_i-k_(i+1)|<=2`.

    Каково число `a_34`?
    Ответ: `453457`.

    Задача №5

    Пусть `a_n`​​ – количество перестановок `(k_1,k_2,...,k_n)`  чисел `(1,2,…,n)` таких, что выполнены два условия:
    `k_1=1`;
    Для любого номера `i=1,2,…,n−1` выполнено неравенство `|k_i-k_(i+1)|<=2`.

    Каково число `a_39`?
    Ответ: `3065996`.

    Задача №5
    Пусть `a_n`​​ – количество перестановок `(k_1,k_2,...,k_n)`  чисел `(1,2,…,n)` таких, что выполнены два условия:
    `k_1=1`;
    Для любого номера `i=1,2,…,n−1` выполнено неравенство `|k_i-k_(i+1)|<=2`.

    Каково число `a_43`?
    Ответ: `14144885`.

    Задача №5
    Пусть `a_n`​​ – количество перестановок `(k_1,k_2,...,k_n)`  чисел `(1,2,…,n)` таких, что выполнены два условия:
    `k_1=1`;
    Для любого номера `i=1,2,…,n−1` выполнено неравенство `|k_i-k_(i+1)|<=2`.

    Каково число `a_42`?
    Ответ: `9651448`.

    Задача №5
    Пусть `a_n`​​ – количество перестановок `(k_1,k_2,...,k_n)`  чисел `(1,2,…,n)` таких, что выполнены два условия:
    `k_1=1`;
    Для любого номера `i=1,2,…,n−1` выполнено неравенство `|k_i-k_(i+1)|<=2`.

    Каково число `a_36`?
    Ответ: `973981`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике