Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Объединенная межвузовская математическая олимпиада 2016-2017 / «ОММО» 2017 / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Объединенная межвузовская математическая олимпиада 2016-2017. «ОММО» 2017. Задания и решения по математике.

    Объединенная межвузовская математическая олимпиада 2016-2017


    Стартовала «Объединенная межвузовская математическая олимпиада» 2016-2017. В прошлом учебном году никаких принципиальных изменений не произошло. Уровень олимпиады остался прежним - 2-ой. Особенностью данной олимпиады является большое число участников (больше 5000 абитуриентов) и призеров (почти 1000). Критерии получения дипломов тоже достаточно низкие. В прошлом учебном году для диплома третьей степени было достаточно 4 задач (из 10), для второй степени - 7 задач, для 1 степени - 9 задач.
    Данная олимпиада дает льготы почти во все вузы, кроме, возможно МГУ и НИУ ВШЭ. При этом часто льгота бывает первого порядка, т.е. поступление без экзаменов на любые специальности, где профильный предмет - математика.
    Задания и решения олимпиады по математике «ОММО 2017» (отборочный этап) выкладываются на нашем форуме, в этой теме.

    Задания и решения олимпиады «ОММО» за прошлые годы


    Олимпиада «ОММО» 2013. Задания и решения отборочного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2013. Задания и решения всех вариантов очного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2014. Задания и решения отборочного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2014. Задания и решения всех вариантов очного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2015. Задания и решения всех вариантов очного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2016. Задания и решения всех вариантов заочного тура.
    Олимпиада «ОММО» 2016. Задания и решения всех вариантов очного тура.

    Олимпиада «ОММО» 2017. Отборочный этап.


    Отборочный этап Объединенной межвузовской олимпиады по математике проводится в заочной форме. Необходимо пройти регистрацию на сайте Единой регистрации олимпиад. После регистрации вам будут доступны 6 заданий. Время решения не ограничено. Достаточно ввести три правильных ответа, чтобы пройти на очный тур олимпиады. Полные решения отправлять нет необходимости. Задания отборочного этапа достаточно простые. Посмотрите задания и решения отборочного этапа олимпиады «ОММО» 2016 - Объединенная межвузовская олимпиада по математике 2015-2016.
    Как правило, вариант заданий только один. Отборочный тур олимпиады «ОММО» - один из наиболее простых, в частности, этим объясняется столько большое число участников очного тура. Отборочный тур начинается в ноябре-декабре и завершается 31 января 2017 года.
    После успешного прохождения отборочного тура вы сможете пройти регистрацию на очный тур Объединенной межвузовской математической олимпиады 2016-2017. Места проведения олимпиады - Москва (до 10 различных мест проведения), Московская область и несколько регионов. Вы должны заранее выбрать место, где вы будете писать очный тур олимпиады.

    Объединенная межвузовская олимпиада по математике 2016-2017. Очный тур.


    Очный тур олимпиады ОММО 2017 состоится в первой половине февраля 2017 года.
    Материалы по подготовке к очному туру:
    Задания №1 и №6
    Теория чисел, делимость, степени, остатки
    Системы уравнений, задачи с параметром, графики, функции
  • Задача №1.
    Карл решил расставить вдоль периметра своего прямоугольного сада `20` клумб. Четыре клумбы он поставил в углах сада, а остальные расставил по периметру так, что расстояние между соседними клумбами равняется `4` м. Оказалось, что на длинной стороне сада стоит вдвое больше клумб, чем на короткой. (Считается, что клумба, стоящая в углу, стоит на обеих сторонах.) Чему равняется площадь сада в квадратных метрах?

    Решение:
    Пусть на короткой стороне `n` клумб, тогда на длинной стороне `2n` клумб.
    Всего клумб `2*(2n+n)-4=6n-4`, поскольку каждая угловая клумба посчиталась два раза.
    `6n-4=20 iff n=4`.
    Итак, на короткой стороне `4` клумбы, на длинной `8` клумб.
    Длина короткой стороны равна `3*4=12`, длинная сторона равна `7*4=28`.
    Площадь сада равна `12*28=336` кв.м.

    Ответ: `336`.
  • Задача №2 (№1 в ММО).
    Из набора `{1,2,3,...,10}` наугад выбираются два различных числа. Найдите вероятность того, что их произведение чётно. Если необходимо, округлите ответ с точностью до `0,01`.

    Решение:
    Количество попарных произведений равно `10*9=90`.
    Произведение нечетно `iff` оба сомножителя нечетны, т.е. равны `{1,3,5,7,9}`.
    Количество нечетных попарных произведений равно `5*4=20`, значит количество четных произведений равно `90-20=70`.
    Вероятность того, что произведение двух чисел окажется четным, равно `70/90=7/9 ~~ 0,78`.

    Ответ:
    `0,78`.
  • Задача №3 (№2 в ММО).
    Из всех углов квадрата со стороной `5` вырезали по квадратику со стороной `1`. Найдите площадь наибольшего квадрата, который можно вырезать из оставшейся фигуры. Если необходимо, округлите ответ с точностью до `0,01`.

    Решение:
    image
    Будем рассматривать квадраты, которые касаются внутренних углов вырезанных квадратиков.
    По каждой стороне квадрата образуются по две прямоугольные трапеции с основаниями `t` и `1`. Пусть высота одной трапеции равна `h`, тогда высота другой трапеции равна `3-h`.
    Найдем площади трапеций:
    `S_1=1/2(t+1)*h`.
    `S_2=1/2(t+1)*(3-h)`.
    `S_1+S_2=3/2(t+1)`.
    Площадь внутреннего квадрата:
    `S_(кв)=25-4-4*3/2(t+1)=21-6(t+1)=15-6t`.
    `S_(кв)<=15`, максимум достигается при `t=0`. Очевидно, что максимум возможен (изрбражен на рисунке).
    Заметим, что минимальная площадь равна `9` при `t=1`, получаем квадрат, стороны которого параллельны сторонам исходного квадрата.

    Ответ: `15`.
  • Задача №4 (№3 в ММО).
    Сумма бесконечной геометрической прогрессии равняется положительному числу `S`, её второй член равен `1`. Какое наименьшее значение может принимать `S`? Если необходимо, округлите ответ с точностью до `0,01`.

    Решение:
    Пусть `|q|<1` - знаменатель прогресии, тогда `b_1=1/q`.
    По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:
    `S=(b_1)/(1-q)=(1/q)/(1-q)=1/(q-q^2)`.
    По условию, `S>0 => q-q^2>0 iff q in (0;1)`.
    Оценим `S` снизу.
    `q-q^2=1/4-(1/2-q)^2<=1/4`,
    В силу положительности выражения `q-q^2` можем перевернуть неравенство со сменой знака неравенства:
    `1/(q-q^2)>=4`.
    Итак, `S_min=4` при `q=1/2`.

    Ответ: `4`.
  • Задача №5.
    Дана координатная плоскость `Oxy`. Для каждой точки, обе координаты которых целые, нарисовали окружность радиуса `1/7` с центром в этой точке. Сколько таких окружностей пересекает отрезок `AB`, если `A=(0;0), B=(50;70)`?

    Решение:
    Рассмотрим прямоугольник с диагональю `AB_1`, где `B_1(5;7)`.
    Прямая `AB_1` может пересечь окружности следующих точек: `(1;1), (2;3), (3;4), (4;6)`.
    Уравнение прямой `AB`: `7x-5y=0`.
    Прямая пересечет окружность с центром в точке `(a;b)` и радиусов `1/7`, если система имеет решения:
    `{(7x-5y=0),((x-a)^2+(y-b)^2=1/49):}`,
    `y=7/5x`: `(x-a)^2+(7/5x-b)^2=1/49`.
    Для наших `4` точек проверим наличие действительных корней получившегося квадратного уравнения.
    Подойдут точки `(2;3), (3;4)`.
    Итак, в нашем прямоугольника получили две внутренние точки и две угловые. В каждом следующем прямоугольнике все аналогично.
    Всего точек `10*4-9=31`, поскольку `9` угловых точек посчитались по два раза.

    Ответ: `31`.
  • Задача №6.
    Пусть `ABC` - равносторонний треугольник, `AB = 600`. Точки `P` и `Q`, лежащие вне плоскости `(ABC)`, таковы, что `PA=PB=PC, QA=QB=QC`, а двугранный угол между плоскостями `(PAB)` и `(QAB)` равен `120^0`. Оказалось, что точки `A, B, C, P, Q` лежат на одной сфере. Найдите радиус этой сферы. Если необходимо, округлите ответ с точностью до `0,01`.

    Решение:

    1. Точки `P` и `Q` лежат по разные стороны от плоскости `ABC`.
    2. Из равенства заданных отрезков следует, что `PQ _|_ ABC` и `PQ` проходит через `M` - точку пересечения медиан `DeltaABC`.
    3. `AM=200sqrt3`.
    4. По условию, двугранный угол равен `120^0`. Пусть `C C_1` - медиана проведенная к стороне `AB`, тогда `/_PC_1Q=120^0 => /_PAB=90^0`.
    `PQ` - диаметр сферы.
    5. Пусть `PA=a, QA=b, PM=x, QM=y, (PQ)/2=r`.
    Тогда, `{(a^2=y^2+120000),(b^2=y^2+120000),(a^2+b^2=4r^2),(x+y=2r):}`.
    Из `DeltaPC_1Q`:
    `4r^2=a^2-300^2+b^2-300^2+sqrt(a^2-300^2)*sqrt(b^2-300^2)`.
    Откуда находим `r=(x+y)/2=450`.

    Ответ: `450`.
  • Задачи из ММО, которые не совпадают с вышеприведенными.

    Задача №4.
    Несколько школьников обрабатывали работы окружной олимпиады. Каждый школьник обрабатывает `30` работ в час. Через час после начала работы некоторые школьники ушли домой. Ещё через час такое же количество школьников ушло домой. То же самое произошло и в конце третьего часа. В результате, `1775` работ были обработаны за `3` часа и `10` минут. Сколько работ было обработано за первые полтора часа?

    Решение:
    `3m+k` - общее число школьников, `m` школьников уходило каждый час, `k` школьников остались в конце.
    `30(3m+k)` работ обработали за первый час.
    `30(2m+k)` работ обработали за второй час.
    `30(m+k)` работ обработали за третий час.
    За `10` минут каждый школьник обрабатывает `30/6=5` работ.
    `5k` работ обработали за последние `10` минут.
    Тогда, `30(3m+k)+30(2m+k)+30(m+k)+5k=1775`,
    `30(6m+3k)+5k=1775`,
    `18(2m+k)+k=355`, значит k дает остаток `355` при делении на `18`.
    `355` дает остаток `13` при делении на `18`.
    `36m+19k=355`, где `k=18l+13`.
    `36m+342l=108`,
    `2m+19l=6 => l` - четно.
    `m=3-(19l)/2>0 => l=0, m=3, k=13`.
    За `1.5` часа всего обработано `n=30(3m+k)+15(2m+k)` работ.
    `n=15(8m+3k)=15(24+39)=945`.

    Ответ: `945`.
  • Задача №5.
    В треугольнике `ABC` `AB=3, BC=4, AC=5`. Окружность `omega` пересекает сторону `AB` в точках `B` и `E`, сторону `BC` — в точках `B` и `D`, сторону `AC` — в точках `F` и `G`. Оказалось, что `EF=DF` и `DG:EG=3:4`. Найдите длину отрезка `DE`. Если необходимо, округлите ответ с точностью до `0,01`.

    Решение:
    Пусть `EG=4t, DG=3t`.
    Прямоугольный треугольник вписан в нашу окружность, поэтому `ED` - диаметр.
    Следовательно, треугольники `EFD` и `EGD` тоже прямоугольные.
    `ED=5t, EF=DF=5/sqrt2t`.
    Пусть `EB=a, DB=b => AE=3-a, CD=4-b`.
    `a^2+b^2=25t^2`.
    `(4-b)/(sin/_DGC)=(3t)*5/3=5t`.
    `/_DGC=pi-/_DGF=/_FED=pi/4 => 4-b=5/sqrt2t`.
    `(3-a)/(sin/_EGA)=(4t)*5/4=5t`.
    `/_EGA=pi-pi/2-/_DGC=pi/4 => 3-a=5/sqrt2t`.
    `(4-5/sqrt2t)^2+(3-5/sqrt2t)^2=25t^2`,
    `t=5/(7sqrt2) => ED=25/(7sqrt2) ~~ 2,525...`

    Ответ: `2,53`.
  • Задача №6.
    Функция `f(x)=sum_(k=2)^(10)[kx]-k[x]` определена на положительной полуоси `[0;+oo)`. Сколько чисел лежит в области значений функции `f`? Для ответа "бесконечно много" вбейте `-1`. Через `[a]` обозначено наибольшее целое число, не превосходящее `a`.

    Решение:
    `f_k(x)=[kx]-k[x], x=[x]+{x}`:
    `[kx]=[k[x]+k{x}]=k[x]+[k{x}] => f_k(x)=[k{x}]`.
    `{x}<1 => k{x}<k => [k{x}]<=k-1`.
    Тогда, `f(x)<=1+2+...+9=45`.
    `f_k(x) in ZZ => f(x) in ZZ`.
    Итак, `f(x) in {0,1,2,...,45}`.
    Покажем, что `f(x)` может принимать любое целое значение из указанного множества.
    `[k{x}]=k-1 iff k{x}>=k-1 iff {x}>=(k-1)/k`.
    Значит, `f(x)=45` при `{x}>=9/10`.
    `[k{x}]=k-2 iff k-2<=k{x}<k-1 iff (k-2)/k<={x}<(k-1)/k`.
    Значит, `f(x)=44` при `{x} in [8/9;9/10)`.
    Узнаем, для каждого ли `f(x)=n` найдется такой интервал для `{x}`, где `f(x)=n-1`.
    Пусть `f(x)=n` при `{x}>=t`.
    Значит, `f_k(x)=n_k` при `{x}>=t`.
    Тогда, `f_k(x)=n_k-1` при `{x}=t_k`, где `t_k<t`.
    Среди всех таких `t_k` выберем максимальное `t_0`, тогда `f(x)=n-1` при `x in [t_0;t)`.
    Но если максимальное `t_0` верно для двух функций `f_k(x)`, тогда `f(x)=n-2`.
    Например, `{x}=4/5 => f(x)=[2*4/5]+[3*4/5]+[4*4/5]+[5*4/5]+`
    `+[6*4/5]+[7*4/5]+[8*4/5]+[9*4/5]+[10*4/5]=`
    `=1+2+3+4+4+5+6+7+8=40`.
    `{x}<4/5 => f(x)<=40-1-1=38`, следовательно `39` не входит в область значений `f(x)`.
    `{x}=1/5=2/10, 2/5=4/10, 3/5=6/10, 4/5=8/10`.
    `{x}=1/4=2/8, 2/4=1/2=3/6=4/8=5/10, 3/4=6/8`,
    `{x}=1/3=2/6=3/9, 2/3=4/6=6/9.`
    Получили `6` чисел, которые убавляют по `1` значению, `2` числа, которые убавляют по `2` значения, и `1` число, которое убавляет `4` значения.
    Всего убавилось `14` значений, значит `f(x)` принимает `46-14=32` целых значения.

    Ответ: `32`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике