ДВИ по математике в МГУ (21 июля 2017 - резервный день)

18.07.2017. Поступили материалы ДВИ по математике.
Подключение платное, тариф Light (30 тыс. руб.), Стандарт (40 тыс. руб.).
dvi@olympiads.biz - для вопросов и заявок.
Олимпиада Ломоносов 2016-2017 / 2 тур отборочного этапа по математике / Задания и решения


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Олимпиада Ломоносов 2016-2017. 2 тур отборочного этапа по математике. Задания и решения.


    Задания и решения 1 тура по математике выложены в другой теме (ссылка на тему).
    По результатам проведенного опроса (24 ноября опрос завершен) ожидаемый проходной балл 80 или 90.


    Внимание:
    Полные решения вашего персонального варианта возможно подключить на платной основе - 5 тыс. руб. Ожидаемый результат - 100 баллов.
    Идет запись на 2 тур (27-30 ноября).
    Сейчас можно записаться на любую из этих дат - 29, 30 ноября. На 29 ноября осталось 2 места.
    info@olympiads.biz - почта для вопросов и бронирования.
  • Разминка
    1. Найдите наименьшее значение функции
    `f(x)=tan^2x+6tanx+4`.
    Решение:
    `f(x)=(tanx+3)^2-5>=-5`.
    `f_min=-5` при `tanx=-3` - такое значение достигается.
    Ответ: `-5`.
    2. Найдите площадь равнобокой трапеции с основаниями `2` и `8`, в которую можно вписать окружность.
    Решение:
    В трапецию можно вписать окружность `iff` сумма боковых сторон равна сумме основний.
    Пусть `x` - длина боковой стороны.
    `2x=10 => x=5`.
    Проведем высоту, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой `5` и катетом `(8-2)/2=3`.
    Второй катет (высота) равен `4`.
    `S_(трап)=1/2*h*(a+b)=1/2*4*(2+8)=20`.
    Ответ: `20`.

    Задача №1.

    Если `200`-й день какого-то года воскресенье и `100`-й день следующего за ним года - тоже воскресенье, то каким днём недели был `300`-й день предыдущего года? В ответ впишите номер этого дня недели (если понедельник, то `1`, если вторник, то `2`, и т. д.).

    Решение:
    `200` дает остаток `4` при делении `7`, значит в первом году все воскресенья дают остаток `4` при делении на `7`.
    Пусть год не високосный, значит в нем `365` дней.
    `365` дает остаток `1` при делении на `7`, значит последний день это четверг.
    Первый день следующего года пятница, дает остаток `1` при делении на `7`.
    `100` день дает остаток `2` при делении на `7`, значит это суббота - противоречие, поскольку в условии сказано про воскресенье.
    Значит, первый год високосный. Первый день первого года дает остаток `1`, поэтому это четверг.
    Последний день предыдущего года - среда. Это `365` день (год не может быть високосным), остаток `1`.
    `300` день предыдущего года дает остаток `6`, поэтому это понедельник.

    Ответ: `1`.

    Задача №1.
    Если `200`-й день какого-то года четверг и `100`-й день следующего за ним года - тоже четверг, то каким днём недели был `300`-й день предыдущего года? В ответ впишите номер этого дня недели (если понедельник, то `1`, если вторник, то `2`, и т. д.).
    Ответ: `5`.

    Задача №1.
    Если `300`-й день какого-то года вторник и `200`-й день следующего за ним года - тоже вторник, то каким днём недели был `100`-й день предыдущего года? В ответ впишите номер этого дня недели (если понедельник, то `1`, если вторник, то `2`, и т. д.).
    Ответ: `4`.

    Задача №1.
    Если `300`-й день какого-то года воскресенье и `200`-й день следующего за ним года - тоже воскресенье, то каким днём недели был `100`-й день предыдущего года? В ответ впишите номер этого дня недели (если понедельник, то `1`, если вторник, то `2`, и т. д.).
    Ответ: `2`.

    Задача №1.
    Если `200`-й день какого-то года вторник и `100`-й день следующего за ним года - тоже вторник, то каким днём недели был `300`-й день предыдущего года? В ответ впишите номер этого дня недели (если понедельник, то `1`, если вторник, то `2`, и т. д.).
    Ответ: `3`.

    Задача №1.
    Если `200`-й день какого-то года пятница и `100`-й день следующего за ним года - тоже пятница, то каким днём недели был `300`-й день предыдущего года? В ответ впишите номер этого дня недели (если понедельник, то `1`, если вторник, то `2`, и т. д.).
    Ответ: `6`.
  • Задача №2.
    Сколько слагаемых получится, если в выражении `(y^2+y^(-2)+5)^2017` раскрыть скобки и привести подобные члены?

    Решение:
    `(y^2+y^(-2)+5)^2017=(y^4+5y^2+1)^2017/y^4034`.
    Для числа слагаемых знаменатель роли не играет, поэтому достаточно рассмотреть выражение `f(y)=(y^4+5y^2+1)^2017`.
    `f(sqrtt)=(t^2+5t+1)^2017` - при разложении по биному Ньютона все слагаемые окажутся положительными, поэтому подобные будут только складываться.
    Максимальная степень `2*2017`, минимальная степень `0`, всего слагаемых (после приведения подобных) - `2*2017+1=4035`.

    Ответ: `4035`.

    Задача №2.
    Сколько слагаемых получится, если в выражении `(x^2+3x^(-2)+4)^1755` раскрыть скобки и привести подобные члены?
    Ответ: `3511`.

    Задача №2.
    Сколько слагаемых получится, если в выражении `(2z^4+3z^(-4)+1)^2005` раскрыть скобки и привести подобные члены?
    Ответ: `4011`.

    Задача №2.
    Сколько слагаемых получится, если в выражении `(t^3+5t^(-3)+3)^1711` раскрыть скобки и привести подобные члены?
    Ответ: `3423`.
  • Задача №3.
    Знайка вырезал из бумаги полукруг. Незнайка отметил на его диаметре `AB` такую точку `D`, что длина лежащей внутри полукруга части хорды, проходящей через точку `D` перпендикулярно `AB`, равна `6`, а затем отрезал от полукруга Знайки два полукруга с диаметрами `AD` и `DB`. Найдите площадь оставшейся фигуры. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.

    Решение:
    Симметрично отразим рисунок относительно `AB`.
    Получим три окружности, две из которых касаются друг друга и вписаны в третью. Хорда третьей окружности равна `12`.
    Пусть `r` и `R` - радиусы внутренних окружностей, значит `r+R` - радиус третьей окружности.
    Тогда, `S_3-S_1-S_2=pi(r+R)^2-pir^2-piR^2=2pirR`.
    `AD*DB=6*6=36 => 2r*2R=36 => rR=9`.
    `1/2(S_3-S_1-S_2)=pirR=9pi ~~ 28,27`.

    Ответ: `28,27`.

    Задача №3.
    Знайка вырезал из бумаги полукруг. Незнайка отметил на диаметре `AB` этого полукруга точку `D` и отрезал от полукруга Знайки два полукруга с диаметрами `AD` и `DB`. Площадь оставшейся фигуры оказалась равна `8pi`. Найдите длину лежащей внутри исходного полукруга части хорды, проходящей через точку `D` перпендикулярно `AB`. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `5,66`.

    Задача №3.
    Знайка вырезал из бумаги полукруг. Незнайка отметил на его диаметре `AB` такую точку `M`, что длина лежащей внутри полукруга части хорды, проходящей через точку `M` перпендикулярно `AB`, равна `2sqrt7`, а затем отрезал от полукруга Знайки два полукруга с диаметрами `AM` и `MB`. Найдите площадь оставшейся фигуры. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `21,99`.

    Задача №3.
    Знайка вырезал из бумаги полукруг. Незнайка отметил на диаметре `AB` этого полукруга точку `D` и отрезал от полукруга Знайки два полукруга с диаметрами `AD` и `DB`. Площадь оставшейся фигуры оказалась равна `16pi^3`. Найдите длину лежащей внутри исходного полукруга части хорды, проходящей через точку `D` перпендикулярно `AB`. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `25,13`.

    Задача №3.
    Знайка вырезал из бумаги полукруг. Незнайка отметил на диаметре `AB` этого полукруга точку `C` и отрезал от полукруга Знайки два полукруга с диаметрами `AC` и `CB`. Площадь оставшейся фигуры оказалась равна `10pi`. Найдите длину лежащей внутри исходного полукруга части хорды, проходящей через точку `C` перпендикулярно `AB`. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `6,32`.
  • Задача №4.
    Функция `g` удовлетворяет равенству `g(1/x)-(x+1)g(x)=-1/(x+1)` для каждого значения `x`, не равного `0` и `-1`. Найдите `g(-2016/2015)`.

    Решение:
    `g(1/x)-(x+1)g(x)=-1/(x+1)`.
    Заменим `x` на `1/x`:
    `g(x)-(1/x+1)g(1/x)=-1/(1/x+1)`.
    Получили систему с двумя уравнениями относительно `g(x)` и `g(1/x)`.
    Упростим второе уравнение:
    `g(x)-g(1/x)*(x+1)/x=-x/(x+1)`.
    Из первого уравнения `g(1/x)=(x+1)g(x)-1/(x+1)`.
    Тогда, `g(x)-((x+1)g(x)-1/(x+1))*(x+1)/x=-x/(x+1)`,
    `g(x)-g(x)*(x+1)^2/x=-1/x-x/(x+1)`,
    `g(x)(1-(x+1)^2/x)=(-x^2-x-1)/(x(x+1))`,
    `g(x)*(-x^2-x-1)/x=(-x^2-x-1)/(x(x+1)) => g(x)=1/(x+1)`.
    Проверка проходит успешно.
    `g(-2016/2015)=1/(1-2016/2015)=-2015`.

    Ответ: `-2015`.

    Задача №4.
    Функция `f` удовлетворяет равенству `(x-1)f(x)+f(1/x)=1/(x-1)` для каждого значения `x`, не равного `0` и `1`. Найдите `f(2016/2017)`.
    Ответ: `2017`.

    Задача №4.
    Функция `f` удовлетворяет равенству `f(1/x)-(x-1)/xf(x)=-x/(x-1)` для каждого значения `x`, не равного `0` и `1`. Найдите `f(2018/2017)`.
    Ответ: `2018`.

    Задача №4.
    Функция `g` удовлетворяет равенству `(1+x)g(x)-g(1/x)=1/(x+1)` для каждого значения `x`, не равного `0` и `-1`. Найдите `g(-2015/2016)`.
    Ответ: `2016`.

    Задача №4.
    Функция `g` удовлетворяет равенству `g(1/x)-(1+x)/xg(x)=-x/(x+1)` для каждого значения `x`, не равного `0` и `-1`. Найдите `g(-2014/2015)`.
    Ответ: `-2014`.

    Задача №4.
    Функция `f` удовлетворяет равенству `(1-x)f(x)-f(1/x)=1/(1-x)` для каждого значения `x`, не равного `0` и `1`. Найдите `f(2017/2016)`.
    Ответ: `-2016`.

    Задача №4.
    Функция `f` удовлетворяет равенству `f(1/x)+(1-x)/xf(x)=x/(1-x)` для каждого значения `x`, не равного `0` и `1`. Найдите `f(2017/2018)`.
    Ответ: `-2017`.
  • Задача №5.
    Из пункта `A` в пункт `B`, расстояние между которыми равно `7` км, в `11:00` выехал велосипедист. Проехав `2/5` пути, велосипедист миновал пункт `C`, из которого в этот момент в пункт `A` вышел пешеход. Как только велосипедист прибыл в `B`, оттуда в обратном направлении сразу же выехал мотоциклист и прибыл в `A` в `12:00`. В скольких километрах от `B` мотоциклист догнал пешехода, если пешеход прибыл в `A` в `13:30` и скорость каждого участника движения постоянна?

    Решение:
    `AC=14/5, CB=21/5`.
    Пусть `t` - время велосипедиста (из пункта `A` в пункт `B`).
    Тогда, `v_(вел)=7/t`.
    `1-t` - время мотциклиста (из пункта `B` в пункт `A`).
    `v_(мот)=7/(1-t)`.
    Время пешехода из пункта `C` в пункт `A` равно `5/2-2/5t`.
    `v_(пеш)=14/5*1/(5/2-2/5t)=28/(25-4t)`.
    Пусть `D` - точка, где мотоциклист догнал пешехода.
    `CD=x => x/(v_(пеш))=(x(25-4t))/28` - время пешехода.
    `BD=x+21/5 => (x+21/5)/(v_(мот))=((5x+21)(1-t))/35` - время мотоциклиста.
    Мотоциклист стартовал на `3/5t` времени позже, поэтому:
    `((5x+21)(1-t))/35+(3t)/5=(x(25-4t))/28`,
    `x/7+3/5-(xt)/7-3/5t+3/5t=(25x)/28-(xt)/7`,
    `3/4x=3/5 => x=4/5`.
    `BD=x+21/5=4/5+21/5=5`.

    Ответ: `5`.

    Задача №5.
    Из пункта `A` в пункт `B`, расстояние между которыми равно `10` км, в `7:00` выехал автомобиль. Проехав `2/3` пути, автомобиль миновал пункт `C`, из которого в этот момент в пункт `A` вышел велоспипедист. Как только автомобиль прибыл в `B`, оттуда в обратном направлении сразу же выехал автобус и прибыл в `A` в `9:00`. В скольких километрах от `B` автобус догнал велосипедиста, если велосипедист прибыл в `A` в `10:00` и скорость каждого участника движения постоянна?
    Ответ: `6`.

    Задача №5.
    Из пункта `A` в пункт `B`, расстояние между которыми равно `20` км, в `10:00` выехал автомобиль. Проехав `2/3` пути, автомобиль миновал пункт `C`, из которого в этот момент в пункт `A` вышел велоспипедист. Как только автомобиль прибыл в `B`, оттуда в обратном направлении сразу же выехал автобус, который догнал велосипедиста в `12` км от `B` и прибыл в `A` в `12:00`. На сколько минут позже автобуса в пункт `A` прибыл велосипедист, если скорость каждого участника движения постоянна?
    Ответ: `60`.

    Задача №5.
    Из пункта `A` в пункт `B`, расстояние между которыми равно `14` км, в `12:00` выехал велосипедист. Проехав `2/5` пути, велосипедист миновал пункт `C`, из которого в этот момент в пункт `A` вышел пешеход. Как только велосипедист прибыл в `B`, оттуда в обратном направлении сразу же выехал мотоциклист, который догнал пешехода в `4` км от `A` и прибыл в `A` в `13:00`. На сколько минут позже мотоциклиста в пункт `A` прибыл пешеход, если скорость каждого участника движения постоянна?
    Ответ: `90`.
  • Задача №6.
    Найдите сумму всех целых чисел `x in [-7;18]`, удовлетворяющих неравенству
    `(1-3cot^2((pix)/24))(1-cot^2((pix)/24))(1-cot((pix)/8)*tan((pix)/12))<=4`.

    Решение:
    Формулы: `cot3alpha=(3cotalpha-cot^3alpha)/(1-3cot^2alpha)`.
    `tan2alpha=1/(cot2alpha)=(2cotalpha)/(cot^2alpha-1)`.
    Замена `cot((pix)/24)=t`.
    `(1-3t^2)(1-t^2)(1-(3t-t^3)/(1-3t^2)*(2t)/(t^2-1))<=4`,
    `(1-3t^2)(1-t^2)*(1-(6t^2-2t^4))/((1-3t^2)(t^2-1))<=4`,
    `(1-3t^2)(1-t^2)*((1-3t^2)(t^2-1)-6t^2+2t^4)/((1-3t^2)(t^2-1))<=4`.
    Перед сокращением учтем, что `1-3t^2!=0, 1-t^2!=0 => t^2!=1/3;1`.
    `(1-3t^2)(t^2-1)-6t^2+2t^4>=-4`,
    `-3t^4+4t^2-1-6t^2+2t^4>=-4`,
    `-t^4-2t^2+3>=0`,
    `t^4+2t^2-3<=0`,
    `t^2 in [-3;1] => t^2 in [0;1]`.
    Учтем `t^2!=1/3;1 => t^2 in [0;1/3)uu(1/3;1]`.
    `|cot((pix)/24)|<1`.
    `pi/4+pin<(pix)/24<(3pi)/4+pin, n in ZZ`,
    `6+24n<x<18+24n, n in ZZ => x in ...(-18;-6)uu(6;18)uu...`
    `|cot((pix)/24)|!=1/sqrt3 => (pix)/24!=+-pi/3+pik, k in ZZ`.
    `x!=+-8+24k, k in ZZ`.
    По условию, `x in [-7;18], x in ZZ`.
    Подходят значения `x=-7,7,9,10,11,12,13,14,15,17`.
    Сумма равна `9+10+11+...+15+17=101`.

    Ответ: `101`.

    Задача №6.
    Найдите сумму всех целых чисел `x in [-11;5]`, удовлетворяющих неравенству
    `(1-3cot^2((pix)/12))(1-cot^2((pix)/12))(1-cot((pix)/4)*tan((pix)/6))<=16`.
    Ответ: `-23`.

    Задача №6.
    Найдите сумму всех целых чисел `x in [-3;13]`, удовлетворяющих неравенству
    `(1-cot^2((pix)/12))(1-3cot^2((pix)/12))(1-tan((pix)/6)*cot((pix)/4))<=16`.
    Ответ: `28`.

    Задача №6.
    Найдите сумму всех целых чисел `x in [-19;10]`, удовлетворяющих неравенству
    `(1-cot^2((pix)/24))(1-3cot^2((pix)/24))(1-tan((pix)/12)*cot((pix)/8))<=4`.
    Ответ: `-82`.
  • Задача №7.
    В двугранный угол вписаны два шара так, что они касаются друг друга. Радиус одного из шаров в `2` раза больше другого, а прямая, соединяющая центры шаров, образует угол `30^0` с ребром двугранного угла. Найдите величину двугранного угла. В ответ запишите косинус этого угла, округлив его при необходимости до двух знаков после запятой.

    Решение:
    image
    Пусть `O_1, O_2` –  центры первой и второй сфер соответственно.
    `r` - радиус меньшей сферы, `2r` - радиус большей сферы.
    `2alpha` - величина двугранного угла.
    Заметим, что центры `O_1, O_2` сфер располагаются на биссекторной плоскости двугранного угла (поскольку сферы касаются граней двугранного угла (центры сфер равноудалены от граней двугранного угла)).
    А значит, мы можем говорить о пересечении прямых `a` (`O_1O_2`) и ребра двугранного угла (обозначим точку пересечения за `A`). Плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и прямую `a`, биссекторая.
    Пусть `K_1, K_2` – точки касания сфер с одной из граней двугранного угла. А также `T, R` – основания перпендикуляров к ребру двугранного угла из точек `K_1` и `K_2` соответственно.
    Заметим, `O_1T` и `O_2R` – перпендикуляры к ребру двугранного угла (по теореме о трех перпендикулярах).
    Из прямоугольного треугольника `TO_1K_1` c углом `T` в `alpha` напротив катета `O_1K_1`, равного `2r`,  имеем `TO_1=(2r)/(sinalpha)`.
    Из прямоугольного треугольника `TAO_1` находим `AO_1`:
    `AO_1=(TO_1)/(sin30^0) => AO_1=2TO_1=(4r)/(sinalpha)`.
    Аналогочно из прямоугольного равнобедренного треугольника `RAO_2` находим `AO_2`:
    `AO_2=2*RO_2=(2r)/(sinalpha)`.
    Тогда, `O_1 O_2=(2r)/(sinalpha)`.
    С другой стороны, `O_1O_2=r+2r=3r`.
    `(2r)/(sinalpha)=3r => sinalpha=2/3`.
    `cos2alpha=1-2sin^2alpha=1-8/9=1/9 ~~ 0,11`.

    Ответ: `0,11`.

    Задача №7.
    В двугранный угол вписаны два шара так, что они касаются друг друга. Радиус одного из шаров в `4` раза больше другого, а прямая, соединяющая центры шаров, образует угол `60^0` с ребром двугранного угла. Найдите величину двугранного угла. В ответ запишите косинус этого угла, округлив его при необходимости до двух знаков после запятой.
    Ответ: `0,04`.

    Задача №7.
    В двугранный угол вписаны два шара так, что они касаются друг друга. Радиус одного из шаров в `2` раза больше другого, а прямая, соединяющая центры шаров, образует угол `45^0` с ребром двугранного угла. Найдите величину двугранного угла. В ответ запишите косинус этого угла, округлив его при необходимости до двух знаков после запятой.
    Ответ: `0,56`.

    Задача №7.
    В двугранный угол вписаны два шара так, что они касаются друг друга. Радиус одного из шаров в `1,5` раза больше другого, а прямая, соединяющая центры шаров, образует угол `30^0` с ребром двугранного угла. Найдите величину двугранного угла. В ответ запишите косинус этого угла, округлив его при необходимости до двух знаков после запятой.
    Ответ: `0,68`.

    Задача №7.
    В двугранный угол вписаны два шара так, что они касаются друг друга. Радиус одного из шаров в `1,5` раза больше другого, а прямая, соединяющая центры шаров, образует угол `45^0` с ребром двугранного угла. Найдите величину двугранного угла. В ответ запишите косинус этого угла, округлив его при необходимости до двух знаков после запятой.
    Ответ: `0,84`.

    Задача №7.
    В двугранный угол вписаны два шара так, что они касаются друг друга. Радиус одного из шаров в `3` раза больше другого, а прямая, соединяющая центры шаров, образует угол `60^0` с ребром двугранного угла. Найдите величину двугранного угла. В ответ запишите косинус этого угла, округлив его при необходимости до двух знаков после запятой.
    Ответ: `0,33`.
  • Задача №8.
    Вычислите
    `1/(2sqrt1+sqrt2)+1/(3sqrt2+2sqrt3)+1/(4sqrt3+3sqrt4)+...+1/(400sqrt399+399sqrt400)`
    Если требуется, округлите ответ до двух знаков после запятой.

    Решение:
    `f(k)=1/((k+1)sqrtk+ksqrt(k+1))=1/(sqrt(k(k+1)))*1/(sqrt(k+1)+sqrtk)=`
    `=1/sqrt(k(k+1))*(sqrt(k+1)-sqrtk)/(k+1-k)` - умножили и поделили на сопряженное выражение `sqrt(k+1)-sqrtk`.
    `f(k)=1/sqrt(k(k+1))*(sqrt(k+1)-sqrtk)=1/sqrtk-1/sqrt(k+1)`.
    `f(1)+f(2)+f(3)+...+f(399)=1/sqrt1-1/sqrt2+1/sqrt2-1/sqrt3+...+1/sqrt399-1/sqrt400=`
    `=1/sqrt1-1/sqrt400=1-1/20=19/20=0,95`.
    Сократились все слагаемые, кроме первого и последнего.

    Ответ: `0,95`.

    Задача №8.
    Вычислите
    `1/(2sqrt1+sqrt2)+1/(3sqrt2+2sqrt3)+1/(4sqrt3+3sqrt4)+...+1/(100sqrt99+99sqrt100)`
    Если требуется, округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `0,9`.

    Задача №8.
    Вычислите
    `1/(5sqrt4+4sqrt5)+1/(6sqrt5+5sqrt6)+1/(7sqrt6+6sqrt7)+...+1/(100sqrt99+99sqrt100)`
    Если требуется, округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `0,4`.

    Задача №8.
    Вычислите
    `1/(2sqrt1-sqrt2)-1/(3sqrt2-2sqrt3)+1/(4sqrt3-3sqrt4)-...+1/(400sqrt399-399sqrt400)`
    Если требуется, округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `1,05`.

    Задача №8.
    Вычислите
    `1/(2sqrt1-sqrt2)-1/(3sqrt2-2sqrt3)+1/(4sqrt3-3sqrt4)-...+1/(100sqrt99-99sqrt100)`
    Если требуется, округлите ответ до двух знаков после запятой.
    Ответ: `1,1`.
  • Задача №9.
    Найдите наименьшее число `n`, которое является квадратом натурального числа и для которого в десятичной записи `n` вместе с `sqrtn` используются все цифры от `1` до `9` ровно по одному разу.

    Решение:
    Заметим, что `(10^(k-1))^2=10^(2k-2)`, у числа `10^k` - `k` цифр, у числа `10^(2k)` - `(2k-1)` цифр.
    `(10^k-1)^2=10^(2k)-2*10^k+1`, у числа `10^k-1` - `k` цифр, у числа `10^(2k)-2*10^k+1` - `2k` цифр.
    Значит, у чисел `n` и `sqrtn` общее число цифр равно `3k` или `3k-1`, где `k` - число цифр `sqrtn`.
    По условию, общее число цифр равно `9`, делится на `3`, значит `3k=9 => k=3`.
    Итак, `sqrtn=bar(abc)=100a+10b+c`.
    `316^2=99856, 317^2=100489 => sqrtn>=317 => a>=3`.
    Цифры `n` и `sqrtn` разные, поэтому `c!=1,5,6` (при возведении в квадрат получаем то же число).
    Сумма цифр `n` и `sqrtn` равна `1+2+3+...+9=45` - делится на `9`.
    Пусть `sqrtn-=d` `mod` `9 => n-=d^2` `mod` `9`.
    `f(k)` - сумма цифр числа `k`.
    По известному признаку делимости на `9`:
    `f(sqrtn)-=d` `mod` `9, f(n)-=d^2` `mod` `9`.
    `45=f(sqrtn)+f(n)-=d+d^2` `mod` `9 => d+d^2 vdots 9`.
    `d(d+1) vdots 9 => d vdots 9` или `d+1 vdots 9 => d=0;8`.
    `f(sqrtn)<=9+8+7=24`.
    Подходят значения `8;9;17;18`.
    `f(sqrtn)=8 => sqrtn=413; 512` - оба числа не подходят.
    `f(sqrtn)=9 => sqrtn=324;342;423;432;513;612` - все числа не подходят.
    `f(sqrtn)=18`.
    `a=3 => (b,c)=(6,9), (7,8), (8,7)`.
    `a=4 => (b,c)=(5,9), (6,8)`.
    `a=5 => (b,c)=(4,9), (6,7), (9,4)`.
    Подходит значение `sqrtn=567 => n=321489`.
    `f(sqrtn)=17`.
    `a=3 => (b,c)=(5,9), (6,8)`.
    `a=4 => (b,c)=(5,8), (6,7)`.
    `a=5 => (b,c)=(3,9), (4,8), (8,4), (9,3)`.
    При `a>=6` числа будут только расти.

    Ответ: `321489`.

    Задача №9.
    Найдите наибольшее число `n`, для которого в десятичной записи `n` вместе с `n^2` используются все цифры от `1` до `9` ровно по одному разу.
    Ответ: `854`.

    Задача №9.
    Найдите наибольшее число `n`, которое является квадратом натурального числа и для которого в десятичной записи `n` вместе с `sqrtn` используются все цифры от `1` до `9` ровно по одному разу.
    Ответ: `729316`.

    Задача №9.
    Найдите наименьшее число `n`, для которого в десятичной записи `n` вместе с `n^2` используются все цифры от `1` до `9` ровно по одному разу.
    Ответ: `567`.
  • Задача №10.
    Составьте текстовую задачу, сводящуюся к решению неравенства `50/(2x+2)+max(20/x,30/(x+2))<=10`. Напишите условие задачи, её решение и ответ.

    Условие задачи:
    Первому слесарю необходимо за смену изготовить `30` деталей, второму слесарю `20` деталей. Первый слесарь изготоваливает за `1` час на `2` детали больше, чем второй слесарь. В первый день слесари работали вместе и выполнили план. Во второй день слесари работали раздельно и каждый из них выполнил свой план.
    При какой производительности второго слесаря суммарно рабочее время за `2` дня любого из слесарей не превосходит `10` часов?

    Решение:
    Пусть `x` деталей в час - производительность второго слесаря.
    Тогда `x+2` деталей - производительность первого слесаря.
    `2x+2` - общая производительность, `50/(2x+2)` - рабочее время первого дня для обоих слесарей.
    Общее время первого слесаря `t_1=50/(2x+2)+30/(x+2)`.
    Общее время второго слесаря `t_2=50/(2x+2)+20/x`.
    По условию, `{(t_1<=10),(t_2<=10):}`.
    Или можно записать систему в виде неравенства:
    `50/(2x+2)+max(20/x,30/(x+2))<=10`.
    Действительно, из системы сразу следует неравенство. В обратную сторону следствие также очевидно.
    Решим первое неравенство системы:
    `50/(2x+2)+30/(x+2)<=10`,
    `5/(2x+2)+3/(x+2)<=1` - умножим неравенство на положительное (при `x>0`) выражение `(2x+2)(x+2)`:
    `5(x+2)+3(2x+2)<=(2x+2)(x+2)`,
    `11x+16<=2x^2+6x+4`,
    `2x^2-5x-12>=0`,
    `x>=4, x<=-3/2` - отрицательные значения отбрасываем.
    Решим второе неравенство системы:
    `50/(2x+2)+20/x<=10`,
    `5x+2(2x+2)<=x(2x+2)`,
    `9x+4<=2x^2+2x`,
    `2x^2-7x-4>=0 => x>=4`.
    Пересекаем полученные решения: `x>=4`.
    Итак, условие задачи выполнено, если второй слесарь изготавливает не менее `4` деталей в час.

    Ответ: не менее `4` деталей в час.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике