Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Всесибирская олимпиада по математике 2016-2017 / Задания и решения отборочного этапа


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    Всесибирская олимпиада по математике 2016-2017. Задания и решения отборочного этапа.
  • Задача №1.
    Найти все целые положительные решения уравнения `(n+2)!-(n+1)!-n! =n^2+n^4`.

    Решение:
    `(n+2)!-(n+1)!-n! =n^2+n^4`,
    `n!*((n+1)(n+2)-(n+1)-1)=n^2+n^4`,
    `n!*(n^2+2n)=n^2(n^2+1)`,
    `n^2*(n-1)!(n+2)=n^2+1` - можем сократить обе части на `n^2!=0`,
    `(n-1)!(n+2)=n^2+1`.
    `n=1;2` не подходят.
    `n=3`: `2!*5=3^2+1, 10=10` - верно.
    `n` должен быть нечетным, иначе правая часть нечетная, а левая четная.
    Пусть `n>=5`.
    Тогда `(n-1)!>n-1`:
    `n^2+1=(n-1)!(n+2)>(n-1)(n+2)=n^2+n-2>=n^2+3` - противоречие.
    Итак, `n=3` - единственное решение.

    Ответ: `n=3`.

    Задача №2.
    Какое из чисел больше, `2^(sqrt(log_3 2))` или `3^(sqrt(log_2 3))`?

    Решение:
    Сравним оба числа с числом `3`.
    `log_2 3>1 => sqrt(log_2 3)>1 => 3^(sqrt(log_2 3))>3`.
    `0<log_3 2<1 => sqrt(log_3 2)<1 => 2^(sqrt(log_3 2))<2<3`.
    Итак, `2^(sqrt(log_3 2))<3<3^(sqrt(log_2 3))`.

    Ответ: первое число меньше второго.

    Задача №3.
    Квадрат со стороной `4` см разделён тремя параллельными горизонтальными и тремя параллельными вертикальными линиями на `16` квадратиков со стороной `1` см. Стороны этих квадратиков, включая и те, которые расположены на границе большого квадрата, будем называть единичными отрезками. Сколькими способами можно задать на каждом из единичных отрезков ориентацию так, чтобы общая сумма всех полученных единичных векторов была равна `0`? Ответ можно дать в виде формулы, необязательно доводить его до числа.

    Решение:
    Ясно, что ориентацию можно задавать независимо для горизонтальных и для вертикальных отрезков. Тех и других имеется по `20` штук. Понятно, что нужно какие-то `10` горизонтальных отрезков направить вправо, а остальные `10` влево. Это делается `C_20^10` способами. Так же точно для вертикальных.
    Получается квадрат указанного числа сочетаний.
    `(C_20^10)^2=(20!)^2/(10!)^4`.

    Ответ: `(20!)^2/(10!)^4`.

    Задача №4.
    Пусть `O` - точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника `ABCD`, а `P,Q,R,S` - точки пересечения медиан треугольников `AOC, BOC, COD` и `DOA` соответственно. Найти отношение площадей четырехугольников `PQRS` и `ABCD`.

    Решение:
    Из вершины `O` треугольников `AOC, BOC, COD` и `DOA` проведем медианы к сторонам `ABCD`.
    Основания этих медиан образуют четырехугольник, который гомотетичен `PQRS` с коэффициентом `3/2`.
    Это следует из параллельности всех сторон (проведенные медианы делятся точками PQRS в одинаковом отношении `2:1`). Из отношения `2:1` следует величина коэффициента.
    Следовательно, отношение площадей построенного четырехугольника и `PQRS` равно `(3/2)^2=9/4`.
    Рассмотрим четыре треугольника, которые с построенным четырехугольником составляют `ABCD`.
    Каждый из них подобен (с коэффициентом `1/2`) соотв. половине `ABCD`. Значит, площадь каждого из них равна `1/4` площади соотв. половины `ABCD`, а сумма площадей равна половине площади `ABCD`.
    Следовательно, площадь построенного четырехугольника также равна половине площади `ABCD`.
    Тогда, `(S_(PQRS))/(S_(ABCD))=4/9*1/2=2/9`.

    Ответ: `2/9`.

    Задача №5.
    Алфавит состоит из `n` букв. Слово, составленное из этих букв, называется разрешённым, если все стоящие в нём рядом буквы различны и из него нельзя вычёркиванием букв получить слово вида `abab`, где буквы `a` и `b` различны. Какую максимальную длину может иметь разрешённое слово?

    Решение:
    Легко привести пример слова длиной `2n−1`: скажем, `x_1...x_(n−1)x_nx_(n−1)...x_1`, где `x_i` - символы алфавита. Докажем, что значение `2n−1` максимально возможное (хотя сама структура слова этой длины может иметь и иной вид).

    Докажем, что найдётся символ, который встречается однократно. Допустим, что каждый из символов встречаются более одного раза. Рассмотрим два вхождения символа `a`в наше слово: `...a...a....` Они не находятся рядом, поэтому между ними находится какой-то другой символ `b`, отличный от `a`. Второе вхождение этого символа должно находиться в пределах той же секции между рассматриваемыми вхождениями `a` - в противном случае нарушится основное условие. Тогда структура слова будет такова: `...a...b...b...a....` Между символами `b` снова должен быть какой-то другой символ `c`, который заведомо отличен и от `a`, и от `b`. Он имеет второе вхождение, которое находится в пределах той же секции между двумя символами `b`. В итоге получится `...a...b...c...c...b...a...`, и так до бесконечности. Символы, которые мы рассматриваем на очередном шаге, всегда будут новыми, что приводит к противоречию.

    Теперь рассмотрим символ `a`, который встречается в слове всего один раз. Попробуем его вычеркнуть. Если при этом не возникнет соседних символов, то можно заключить, что длина оставшегося слова не больше `2(n−1)−1`, рассуждая по индукции, так как число символов алфавита уменьшилось на единицу (либо вообще ничего не осталось, но последний случай тривиален). Поэтому будем считать, что вокруг a находятся одинаковые символы, и слово имеет вид `...bab....` Теперь можно вычеркнуть подслово `ba`, после чего заведомо не появляется одинаковых символов, идущих подряд. Тогда применимо индукционное предположение: символов стало на один меньше; длина оставшегося слова не больше `2(n−1)−1`, а потому длина нашего слова не больше `2n−1`.

    Ответ: `2n-1`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике