Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Очный тур ОММО 2017 (задания и решения всех вариантов по математике)

  • Варианты и ответы ОММО 2017 выложены сразу после завершения олимпиады.
    Идет запись на очные туры олимпиад по математике Высшая проба и Физтех 2017.
    info@olympiads.biz - почта для заявок и вопросов.
    Для олимпиады Физтех 2017 доступен тариф Light.



    Варианты
    1 вариант
    image

    2 вариант
    image

    3 вариант
    image

    4 вариант
    image

  • Вариант I.
    Задача №1.
    Представьте в виде несократимой дроби
    `(12+15)/(18)+(21+24)/(27)+...+(48+51)/54`.

    Решение:
    `S=(12+15)/(18)+(21+24)/(27)+...+(48+51)/54=(4+5)/6+(7+8)/9+...+(16+17)/18`.
    Каждое слагаемое вида `(3n-2+3n-1)/(3n)=(6n-3)/(3n)=(2n-1)/n=2-1/n`. Всего `5` слагаемых, `n=2,3,4,5,6`.
    Тогда, `S=2*5-1/2-1/3-1/4-1/5-1/6=10-1/2-(1/3+1/6)-1/4-1/5=`
    `10-1/2-1/2-9/20=9-9/20=171/20`.

    Ответ: `171/20`.
    Ответ варианта 2: `171/20`.
    Ответ варианта 3: `191/20`.
    Ответ варианта 4: `191/20`.

    Задача №2.
    Андрей, Максим, Игорь и Коля соревновались в велогонке. На вопрос, кто какое место занял, они ответили:
    Андрей: - Я был ни первым, ни последним.
    Максим: - Я не был последним.
    Игорь: - Я был первым.
    Коля: - Я бы последним.
    Известно, что три мальчика ответили честно и только один соврал. Кто из мальчиков соврал?

    Решение:
    Предположим, что Коля соврал, а остальные сказали правду. Тогда Коля не мог занять последнее место, поскольку он соврал. Поскольку остальные сказали правду, то из их утверждений следует, что каждый из них не занял последнее место. Тогда получается, что ни один из мальчиков не занял последнее место, чего не может быть, значит, предположение не верно и Коля сказал правду(занял последнее место).
    Тогда из этого следует, что Максим сказал правду (он не может занять последнее место, т.к. оно у Коли).
    Значит, врет Андрей или Игорь.
    Если соврал Андрей, то он может быть первым или последним, поскольку последний Коля, то Андрей - первый, но тогда и Игорь врет, значит, предположение не верно и врет Игорь.

    Ответ: Игорь соврал.
    Ответ варианта 2: Миша занял `3`-е место.
    Ответ варианта 3: Вера заняла первое место.
    Ответ варианта 4: Федя занял последнее место.

    Задача №3.

    Про натуральные числа `x` и `y` и целое нечетное число z известно, что `x!+y! =24z+2017`. Найдите все возможные тройки таких чисел `(x,y,z)`. (Напомним, что `1! =1, 2! =1*2, n! =1*2*...*n`).

    Решение:
    Без ограничения общности можем считать, что `x<=y`.
    Пусть `x>=2 => 2017=x!+y!-24z` делится на `2`, противоречие.
    Итак, `x=1 => y! =24z+2016`.
    `24z+2016=24(z+84) => y!` делится на `24`.
    `4! =24 => y>=4`.
    `y=4 => z+84=1 => z=-83`.
    `y=5 => z+84=5 => z=-79`.
    `y>=6 => z+84=(y!)/24=5*6*...*y` - четное число, значит `z` - четное число, противоречие.
    Получили две тройки, остальные две тройки получаются заменой `x` на `y`.

    Ответ: `x = 4, y = 1, z = -83; x = 5, y = 1, z = -79; x = 1, y = 4, z = -83; x = 1, y = 5, z = -79`
    Ответ варианта 2: `x = 6, y = 1, z = -27; x = 7, y = 1, z = 63; x = 1, y = 6, z = -27; x = 1, y = 7, z = 63`
    Ответ варианта 3: `x = 4, y = 1, z = -249; x = 5, y = 1, z = -237; x = 1, y = 4, z = -249; x = 1, y = 5, z = -237`
    Ответ варианта 4: `x = 6, y = 1, z = -81; x = 7, y = 1, z = 189; x = 1, y = 6, z = -81; x = 1, y = 7, z = 189`

    Задача №4.
    Пусть `L` - точка пересечения диагоналей `CE` и `DF` правильного шестиугольника `ABCDEF` со стороной `3`. Точка `K` такова, что `vec(LK)=3vec(AB)-vec(AC)`. Определите, лежит ли точка `K` внутри, на границе или вне `ABCDEF`, а также найдите длину отрезка `KC`.

    Решение:
    Шестиугольник правильный, поэтому `AB||CF`, где `CF` - длинная диагональ.
    `CF=2AB => vec(CF)=2*vec(AB)`.
    `vec(LK)=3*vec(AB)-vec(AC)=2*vec(AB)+(vec(AB)-vec(AC))=`
    `=2*vec(AB)+vec(CB)=vec(FC)+vec(CB)=vec(FB)=vec(EC)`.
    Итак, `LK=CE`, и точки `C,E,L,K` лежат на одной прямой, то точка `K` лежит вне шестиугольника.
    `/_LDE=/_LDE=pi/6 => KC=LE=((DE)/2)/cos(pi/6)=sqrt3`.

    Ответ: `K` лежит вне шестиугольника, `CK = sqrt(3)`.
    Ответ варианта 2: `K` лежит вне шестиугольника, `AK = 4*sqrt(3)/3`.
    Ответ варианта 3: `K` лежит вне шестиугольника, `BK = 2*sqrt(3)/3`.
    Ответ варианта 4: `K` лежит вне шестиугольника, `FK = 5*sqrt(3)/3`.

    Задача №5.
    Решите в действительных числах систему уравнений
    `{(x+y+2-4xy=0),(y+z+2-4yz=0),(z+x+2-4zx=0):}`.

    Решение:
    Вычтем из первого уравнения второе:
    `x-z-4xy+4yz=0`,
    `x-z-4y(x-z)=0 => (x-z)(1-4y)=0`.
    `x-z=0` или `1-4y=0`,
    `x=z` или `y=1/4`.
    1 случай:
    `y=1/4 => 1/4+z+2-4*1/4*z=0 => 9/4=0` - нет решений.
    2 случай:
    `x=z => z+z+2-4z^2=0`,
    `2z^2-z-1=0`,
    `D=1+8=9 => z_(1,2)=(1+-3)/4`,
    `z_1=-1/2, z_2=1`.
    Пусть `z=-1/2 => x=-1/2`:
    `-1/2+y+2+2y=0 => y=-1/2`.
    `z=1 => x=1`:
    `1+y+2-4y=0 => y=1`.

    Ответ: `(x,y,z)=(1,1,1), (-1/2,-1/2,-1/2)`.
    Ответ варианта 2: нет действительных решений.
    Ответ варианта 3: нет действительных решений.
    Ответ варианта 4: `(x,y,z)=(-1,-1,-1), (1/2,1/2,1/2)`.

    Задача №6.
    Сравните числа `(sin2016^0)/(sin2017^0)` и `(sin2018^0)/(sin2019^0)`.

    Решение:
    Рассмотрим разность выражений:
    `t=(sin2016^0)/(sin2017^0)-(sin2018^0)/(sin2019^0)=(sin2016^0*sin2019^0-sin2017^0*sin2018^0)/(sin2017^0*sin2019^0)`.
    Используем формулу `sinalpha*sinbeta=1/2(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta))`.
    Тогда, `t=(cos3^0-cos4035^0-cos1^0+cos4035^0)/(2sin2017^0*sin2019^0)=(cos3^0-cos1^0)/(2sin2017^0*sin2019^0)`.
    В первой четверти функцию `y=cosx` убывает, поэтому `cos3^0<cos1^0`.
    `2017=360*6-143 => sin2017^0=sin(-143^0)<0`,
    `sin2019^0=sin(-141^0)<0 => t<0`.

    Ответ: `(sin2016^0)/(sin2017^0)<(sin2018^0)/(sin2019^0)`.
    Ответ варианта 2: `(cos2014^0)/(cos2015^0)<(cos2016^0)/(cos2017^0)`.
    Ответ варианта 3: `(sin2014^0)/(sin2015^0)<(sin2016^0)/(sin2017^0)`.
    Ответ варианта 4:`(cos2016^0)/(cos2017^0)<(cos2018^0)/(cos2019^0)`.

    Задача №7.
    В равнобедренной трапеции `ABCD` с основаниями `AD` и `BC` (`AD>BC`) боковая сторона равна `20` см, угол `BAC` равен `45^0`. Пусть `O` - центр окружности, описанной вокруг `ABCD`. Оказалось, что прямые `OD` и `AB` перпендикулярны. Найдите длину основания `AD` трапеции.

    Решение:
    Трапеция вписана в окружность, `OD_|_AB => OD` - серединный перпендикуляр.
    Следовательно, треугольник `ABD` равнобедренный с основанием `AB`.
    Пусть `/_ABD = /_BAD = alpha`.
    Трапеция равнобедренная `=> /_CAD = /_BDA = pi-/_ABD-/_BAD = pi-2alpha`.
    `/_BAD = /_BAC+/_CAD`,
    `alpha = pi/4 + pi - 2alpha`,
    `3alpha =(5pi)/4`,
    `alpha = (5pi)/12 = pi/4+ pi/6`,
    `cos(alpha) = cos(pi/4+pi/6))=cos(pi/4)cos(pi/6)-sin(pi/4)sin(pi/6)=`
    `=sqrt(2)/2*sqrt(3)/2-sqrt(2)/2*1/2=(sqrt2(sqrt(3)-1))/4`.
    `AD = (AE)/(cos(/_BAD))=AE/cos(alpha)=10sqrt2(sqrt3+1)`.

    Ответ: `AD = 10sqrt(2)(sqrt(3)+1)`.
    Ответ варианта 2: `AD = 10sqrt(2)(sqrt(3)+1)`.
    Ответ варианта 3: `AD = 20sqrt(2)(sqrt(3)+1)`.
    Ответ варианта 4: `AD = 20sqrt(2)(sqrt(3)+1)`.

    Задача №8.
    При каких значениях параметра `a` уравнение
    `4^|x-a|*log_(1/3)(x^2-2x+4)+2^(x^2-2x)*log_(sqrt3)(2|x-a|+3)=0`
    имеет ровно три решения?

    Решение:
    `2|x-a|-(x-1)^2=y`:
    `2^y=log_(x^2-2x+4)(2|x-a|+3)`.
    `x^2-2x+4=t>=3 => 2^y=log_t(y+t)`.
    `f(y)=2^y-log_t(y+t) => f'(y)=2^yln2-1/(ln4(y+t))`.
    `f'(y)=(2^y*(y+t)*ln2*ln4-1)/(ln4(y+t))`.
    Очевидно, что при `y>0` и при `t>=3` производная `f'>0`.
    `f(0)=0`, следовательно `f(y)>0` при `y>0`.
    `y=0` корень уравнения `f(y)=0`, исследуем уравнение `2|x-a|-(x-1)^2=0`.
    `2|x-a|=(x-1)^2`.
    Графически легко получить, что в трех точках (для `a`) получим `3` решения, для некоторых промежутков `4` решения, для остальных значений `a` - `2` решения.
    Пусть существует решение `y_0<0` уравнения `f(y)=0`.
    `2|x-a|=(x-1)^2+y_0`.
    Аналогичными рассуждениями получим, что у последнего уравнения не менее `2` решений.
    Следовательно, уравнение `f(y)=0` должно обладать единственным решением `y=0`, а уравнение `2|x-a|=(x-1)^2` тремя решениями, тогда выполнится условие задачи.
    Для уравнения `f(y)` надо использовать разную выпуклость показательной и логарифмической функций.
    Для второго уравнения используем очевидные соображения, поскольку левая часть представляет собой объединение двух прямых, а правая часть - парабола.

    Ответ: `a=1;1/2;3/2`.
    Ответ варианта 2: `a=-1;-7/4;-1/4`.
    Ответ варианта 3: `a=1;1/2;3/2`.
    Ответ варианта 4: `a=-1;-7/4;-1/4`.

    Задача №9.
    В первенстве по футболу участвует `20` команд, которые играют по разу друг с другом. Какое наименьшее число игр должно быть сыграно, чтобы среди любых трех команд нашлись две, уже сыгравшие между собой?

    Решение:
    Рассмотрим такой случай, когда `20` команд разбили на две подгруппы по `10` команд в каждой. Пусть при этом в каждой из подгрупп были сыграны все матчи. Тогда общее число игр будет равно `2*(10*9)/2=90`. Если взять три любые команды, то две из них будут из одной подгруппы, поэтому они между собой сыграли. Это показывает, что `90` игр сыграть достаточно.

    Покажем, что меньшего количества достаточно не будет. Пусть было сыграно менее `90` игр. Общее количество турнирных игр между `20` командами равно `(20*19)/2=190`, поэтому более `100` игр было не сыграно. Рассмотрим команду, которая сыграла наименьшее число игр, то есть она не играла с наибольшим числом команд, равным `m`. Можно считать, что между этими `m` командами все игры проведены - в противном случае найдётся тройка команд, в которой никто ни с кем не играл. Это значит, что в любой другой несыгранной встрече, кроме уже учтённых `m`, участвовала одна из `19−m` команд, остающихся пока в стороне. Но на каждую из них по условию приходится не более `m` несыгранных встреч. Получается, что общее число несыгранных матчей не превосходит `m+m(19−m)=m(20−m)`. И тогда, если оно больше `100`, как было сказано выше, то имеет место неравенство `m(20−m)>100`, то есть `(m−10)^2=m^2−20m+100<0`, что невозможно.

    Ответ: `90`.
    Ответ варианта 2: `56`.
    Ответ варианта 3: `56`.
    Ответ варианта 4: `90`.

    Задача №10.
    В треугольной пирамиде `ABCD` о основанием `ABC` боковые ребра попарно перпендикулярны, `DA=DB=2, DC=5`. Из точки основания испускают луч света. Отразившись ровно по одному разу от каждой боковой грани (от ребер луч не отражается), луч попадает в точку на основании пирамиды. Какое наименьшее расстояние мог пройти луч?

    Ответ:
    Ответ варианта 2:
    Ответ варианта 3:
    Ответ варианта 4:


    Варианты и ответы ОММО 2017 выложены сразу после завершения олимпиады.
    Идет запись на очные туры олимпиад по математике Высшая проба и Физтех 2017.
    info@olympiads.biz - почта для заявок и вопросов.
    Для олимпиады Физтех 2017 доступен тариф Light.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике