ДВИ по математике в МГУ (21 июля 2017 - резервный день)

18.07.2017. Поступили материалы ДВИ по математике.
Подключение платное, тариф Light (30 тыс. руб.), Стандарт (40 тыс. руб.).
dvi@olympiads.biz - для вопросов и заявок.
Физтех 2017 по математике - задания и решения очного тура
  • Физтех 2017 по математике - задания и решения очного тура.

    Олимпиады, где ожидаются досрочные варианты:
    Ломоносов (математика).
    Росатом (математика).

    Досрочный вариант = вариант очного тура, который будет на самом
    экзамене. "Досрочный", поскольку поступает к нам за 2-3 дня до
    олимпиады.
    info@olympiads.biz - для вопросов и заявок.

    Билет 4.
    image
  • Задача №1.
    Когда к квадратному трехчлену `f(x)` прибавили `2x^2`, его наибольшее значение увеличилось на `10`, а когда из него вычли `5x^2`, его наибольшее значение уменьшилось на `15/2`. А как изменится наибольшее значение `f(x)`, если к нему прибавить `3x^2`?

    Решение:
    Пусть `f(x)=ax^2+bx+c`, где `a!=0`.
    Если у квадратного трехчлена есть наибольшее значение, то `a<0`.
    Выделим полный квадрат:
    `f(x)=a(x^2+b/ax)+c=a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a)+c`.
    `f_max=f(-b/(2a))=-b^2/(4a)+c`.
    `f_1(x)=(a+2)x^2+bx+c => a< -2`, поскольку у `f_1(x)` есть наибольшее значение.
    Аналогично, `max(f_1(x))=-b^2/(4a+8)+c`.
    `f_2(x)=(a-5)x^2+bx+c => max(f_2(x))=-b^2/(4a-20)+c`.
    По условию,
    `-b^2/(4a+8)+c-(-b^2/(4a)+c)=10 => b^2/(4a)-b^2/(4a+8)=10`.
    `-b^2/(4a)+c-(-b^2/(4a-20)+c)=15/2 => b^2/(4a-20)-b^2/(4a)=15/2`.
    `b^2/(4a(4a+8))*(4a+8-4a)=10 => b^2=5a(4a+8)`.
    `b^2/(4a(4a-20))*(4a-4a+20)=15/2 => b^2=3/2a(4a-20)`.
    Итак, `5a(4a+8)=3/2a(4a-20)`.
    `a!=0 => 10a+20=3a-15 => a=-5`.
    `b^2=-5*5*(-20+8)=300>0`.
    `f_3(x)=(a+3)x^2+bx+c`, где `a+3=-5+3<0`.
    `max(f_3(x))=-b^2/(4a+12)+c`,
    `max(f_3(x))-max(f(x))=b^2/(4a(4a+12))*(4a+12-4a)=`
    `=(3b^2)/(a(4a+12))=(15(4a+8))/(4a+12)=(15(a+2))/(a+3)=45/2`.

    Ответ: увеличится на `45/2`.

    Задача №2.
    Решите неравенство
    `(root(7)(4))^((log_sqrt2x)^2)+6>=x^(log_2x)+6(root(7)(x))^(log_2x)`.

    Решение:
    ОДЗ: `x>0`.
    Замена `log_2x=t => x=2^t`:
    `4^(4/7t^2)+6>=2^(t^2)+6*2^(t^2/7)`,
    `2^(8/7t^2)+6>=2^(t^2)+6*2^(t^2/7)`,
    `2^(8/7t^2)-6*2^(t^2/7)+6-2^(t^2)>=0`,
    `2^(t^2/7)*(2^(t^2)-6)-(2^(t^2)-6)>=0`,
    `(2^(t^2)-6)*(2^(t^2/7)-1)>=0`.
    Методом замены множителей получим неравенство:
    `(t^2-log_2 6)*t^2/7>=0`,
    `t^2(t^2-log_2 6)>=0`.
    `t=0` является решением неравенства.
    При `t!=0` поделим нер-во на `t^2`:
    `t^2>=log_2 6 => |t|>=sqrt(log_2 6)`.
    `|log_2x|>=sqrt(log_2 6) => x in (0;2^(-sqrt(log_2 6))]uu[2^(sqrt(log_2 6));+oo)`.
    `t=0 => x=1`.

    Ответ: `x in (0;2^(-sqrt(log_2 6))]uu{1}uu[2^(sqrt(log_2 6));+oo)`.

    Задача №3.
    Известно, что числа `x,y,z` образуют в указанном порядке арифметическую прогресию с разностью `alpha=arccos(5/9)`, а числа `1+cosx, 1+cosy, 1+cosz` образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите `cosy`.

    Решение:
    По условию, `x=y-arccos(5/9), z=y+arccos(5/9)`.
    Три числа `a,b,c` образуют геометрическую прогрессию в указанном порядке тогда и только тогда, когда `ac=b^2`.
    Значит, `(1+cosx)(1+cosz)=(1+cosy)^2`.
    `cosx=cos(y-arccos(5/9))=cosy*cos(arccos(5/9))-siny*sin(arccos(5/9)).`
    `cos(arccos(5/9))=5/9`.
    `1/2 < 5/9 <1 => 0 < arccos(5/9) < pi/2    => sin(arccos(5/9))>0`.
    `sin(arccos(5/9))=sqrt(1-25/81)=2/9sqrt14`.
    `cosx=5/9cosy-2sqrt14/9siny`.
    Аналогично, `cosz=5/9cosy+2sqrt14/9siny`.
    Тогда, `(1+cosx)(1+cosz)=1+cosx+cosz+cosy*cosz=`
    `=1+10/9cosy+25/81cos^2y-56/81sin^2y`.
    `1+10/9cosy+25/81cos^2y-56/81sin^2y=1+2cosy+cos^2y`,
    `8/9cosy+56/81cos^2y+56/81cos^2y=0`,
    `8/9cosy=-56/81 => cosy=-7/9`.
    Осталось проверить, что при найденных значениях cosy вторая тройка не представляет из себя постоянную геометрическую прогрессию.

    Ответ: `-7/9`.

    Задача №4.
    В треугольнике `ABC` угол при вершине `A` в два раза больше угла при вершине `C`. Через вершину `B` проведена касательная `l` к окружности `Omega`, описанной около треугольника `ABC`. Радиус окружности `Omega` равен `5sqrt2`, а расстояния от точек `A` и `C` до касательной `l` относятся как `2:5`.
    а) Найдите отношение расстояний от точки `A` до прямых `l` и `BC`.
    б) Найдите расстояние от точки `C` до прямой `l` и длину стороны `AB`.

    Решение:
    `/_ACB=alpha, /_BAC=2alpha`, `N` и `M` - основания перпендикуляров из точек `A` и `C` на прямую `l`, `H` - основание высоты из `A`.
    По теореме синусов:
    `(AB)/(sinalpha)=(BC)/(sin2alpha)=(AC)/(sin(pi-3alpha))=2R`,
    `AB=2R*sinalpha, BC=2R*sin2alpha, AC=2R*sin3alpha`.
    Поскольку `l` - касательная, то `/_ACB=/_ABN=alpha, /_BAC=/_CBM=2alpha`.
    `CM = BCsin(/_CBM)=2R*sin2alpha*sin2alpha=8R*sin^2alpha*cos^2alpha`,
    `AN = ABsin(/_ABN)=2R*sin^2alpha`.
    По условию, `(AN)/(CM)=2/5 => CM = 5/2*AN=5R*sin^2alpha`.
    Тогда `5R*sin^2alpha=8R*sin^2alpha*cos^2alpha`,
    `5=8cos^2alpha, т.к. sinalpha!=0`,
    `cos^2alpha=5/8`,
    `cosalpha=sqrt(5/8)`,
    `sinalpha=sqrt(3/8)`.

    `AH = AC*sinalpha=2R*sin3alpha*sinalpha`,
    `(AN)/(AH)=(2R*sinalpha*sinalpha)/(2R*sin3alpha*sinalpha)=(sinalpha)/(sin3alpha)=2/3`.
    `CM = 5R*sin^2alpha=(75sqrt2)/8`.
    `AB = 2R*sinalpha=5sqrt3`.

    Ответ: `AN:AH=2:3, CM=(75sqrt2)/8, AB=5sqrt3`.

    Задача №5.
    На координатной плоскости рассматриваются квадраты, все вершины которых имеют натуральные координаты, а центр находится в точке `(35;65)`. Найдите количество таких квадратов.

    Решение:
    Центр квадрата  задан, поэтому квадрат (с точностью до симметрий) можно определять одной точкой.
    Определим точку задающую квадрат, как `(35+x,65+y)`, где `x>0, y>=0`.
    Другие значения `x,y`, в силу симметрии, будут давать квадраты уже заданные точками из указанного диапазона.
    Вершины квадрата:
    `A(35+x,65+y), B(35+y,65-x), C(35-x,65-y), D(35-y,65+x)`.
    Значения всех координат должны быть натуральными числами.
    Учитывая ограничения на `x,y`, получим систему:
    `65-x>0`,
    `65-y>0`,
    `35-x>0`,
    `35-y>0`,
    Получим: `0<x<35,0<=y<35`.
    Всего точек задающих различные квадраты: `34*35=1190`.

    Ответ: `1190`.

    Задача №6.
    Найдите все значения параметра `b` такие, что система
    `{(xcosa+ysina+3<=0),(x^2+y^2+8x-4y-b^2+6b+11=0):}`
    имеет хотя бы одно решение при любом `a`.

    Решение:
    Неравенство задает полуплоскость, уравнение задает окружность `(x+4)^2+(y-2)^2=(b-3)^2` с центром в точке `(-4;2)` и радиусом `|b-3|`.
    Пересечение будет в том случае, если центр окружности лежит в полуплоскости или расстояние от центра окружности до прямой не превосходит радиуса окружности.
    Первый случай очень важен, ведь тогда расстояние от центра окружности до прямой может быть любым.
    Разбирать первый случай сложно, но в этом нет необходимости, достаточно найти экстремальное значение `a` для второго случая.
    Формула расстояния от центра окружности до прямой `xcosa+ysina+3=0`:
    `d=|-4cosa+2sina+3|/sqrt(sin^2a+cos^2a)=|-4cosa+2sina+3|`.
    Метод вспомогательного аргумента:
    `|-4cosa+2sina+3|=|2sqrt5sin(a-phi)+3|`, где `phi=arccos(2/5)`.
    Тогда, `d_max=2sqrt5+3`, достигается в точке `a=arccos(2/5)+pi/2`.
    Осталось проверить, что при таком a центр окружности лежит вне полуплоскости.
    `arccos(2/5) in (pi/3;pi/2) => a in ((5pi)/6;pi)`.
    `sina>0, cosa<0 => sina=2/5, cosa=-sqrt21/5`.
    Полуплоскость `-sqrt21/5x+2/5y+3<=0`,
    `y<=-15+sqrt21x`.
    `x=-4, y=2 => 2<=-15-4sqrt21` - неверно.
    Итак, центр окружности не лежит на нашей полуплоскости, следовательно, необходимое условие пересечения:
    `|b-3|>=d_max=2sqrt5+3 => b in (-oo;-2sqrt5]uu[6+2sqrt5;+oo)`.
    Для всех других `a` расстояние от прямой до полуплоскости будет меньше, чем `2sqrt5+3`, поэтому при найденных значениях `b` всегда будут решения системы.

    Ответ: `b in (-oo;-2sqrt5]uu[6+2sqrt5;+oo)`.

    Задача №7.
    Основание треугольной приамиды `KLMN` объема `100` - правильный треугольник `KLM` со стороной `10`. Точка `T` - середина ребра `MN`. Известно, что радиусы сфер, вписанных в пирамиды `KLMT` и `KLNT`, равны между собой.
    а) Найдите все возможные значения угла между гранями пирамиды при ребре `KL`.
    б) Найдите все возможные значения длины ребра `MN`, если дополнительно известно, что грани `KLM` и `LMN` взаимно перпендикулярны.

    Решение:
    Сылка на формулу

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике