ДВИ по математике в МГУ (21 июля 2017 - резервный день)

18.07.2017. Поступили материалы ДВИ по математике.
Подключение платное, тариф Light (30 тыс. руб.), Стандарт (40 тыс. руб.).
dvi@olympiads.biz - для вопросов и заявок.
Отборочный этап олимпиады Курчатов 2016-2017 / Задания и решения по математике
  • Отборочный этап олимпиады Курчатов 2016-2017. Задания и решения по математике.

    Вариант очного тура по математике (19 марта) подключается на платной основе. Min. тариф 20 тыс. руб.
    info@olympiads.biz - для вопросов и заявок.

  • Задача №1.
    Выражения `A=1*2+3*4+5*6+...+2015*2016+2017` и `B=1+2*3+4*5+...+2014*2015+2016*2017` получены вписыванием чередующихся знаков сложения и умножения в последовательности натуральных чисел `1,2,..., 2017`. Найдите `B−A`.

    Решение:
    `k*(k+1)=k^2+k`.
    `A=1^2+3^2+5^2+...+2015^2+1+3+5+...+2015+2017`.
    `B=1+2^2+4^2+...+2016^2+2+4+...+2016`.
    `B-A=(2^2-1^2+4^2-3^2+...+2016^2-2015^2)+`
    `+(2-1+4-3+...+2016-2015)+1-2017=`
    `=(1*3+1*7+1*11+...+1*(2016+2015))+1*1008-2016=`
    `=3+7+11+...+4031-1008=(3+4031)/2*1008-1008=2016*1008=2032128.`

    Ответ: `2032128`.
  • Задача №2.
    Леша внимательно наблюдает за часами и отслеживает счастливые моменты, когда минутная и часовая стрелка образуют угол в `125^0`. Каков минимальный по продолжительности промежуток времени между двумя счастливыми моментами? Ответ выразите в минутах.

    Решение:
    За две минуты часовая стрелка продвигается на `360/(30*12)=1` градус, а минутная на `360/(30)=12` градусов.
    Рассмотрим два положения (красное и черное) часовой и минутной стрелок, при которых угол между ними составляет `125` градусов.
    image
    Пусть `alpha` - угол между часовыми стрелками, тогда `12alpha` угол между минутными стрелками.
    Красный угол равен черному и оба эти угла равны `125^0`.
    Значит равны два красно-черных угла, каждый из которых образован минутной и часовой стрелками разных цветов.
    Их величина составляет `125^0-alpha`.
    Тогда, `alpha+2(125^0-alpha)+12alpha=360^0`.
    `11alpha=110^0 => alpha=10^0`.
    Следовательно часовая стрелка прошла `10^0`, что эквивалентно `10` периодам по `2` минуты, т.е. `20` минутам.

    Ответ: `20`.
  • Задача №3.
    Сколько действительных решений имеет уравнение `2x=sin(2017pix)`?

    Решение:
    `|sin(2017pix)|<=1 => x in [-1/2;1/2]`.
    Пусть `x>=0`.
    Заметим, что `x=0` и `x=1/2` являются решениями уравнения.
    `2*1/2=1=sin(2017/2pi)=sin(1008pi+pi/2)=sin(pi/2)`.
    `2017pix in [0;pi] iff x in [0;1/2017]`.
    На этом отрезке функция `y=sin(2017pix)` принимает нулевые значения на концах отрезка и `y_max=1` при `x=1/4034`.
    С прямой `y=2x` функция `y=sin(2017pix)` пересекается дважды - в точке `x=0` и внутри отрезка `[1/4034;1/2017]`.
    `2017pix in [pi;2pi] iff x in [1/2017;2/2017]`. На этом отрезке корней очевидно нет, поскольку `y=sin(2017pix)<=0`, а прямая `y=2x>0`.
    На отрезке `[2/2017; 3/2017]` также два решения, по одному на каждом из интервалов `(2/2017; 5/4034)` и `(5/4034; 3/2017)`.  
    Итак, на отрезке `[0;1008/2017]` получим `2*504=1008` решений.
    `x in [1008/2017;1/2] => 2017pix in [1008pi;1008pi+pi/2]`,
    `y=sin(2017pix)` возрастает и принимает все значения из отрезка `[0;1]`.
    Прямая `y=2x` возрастает и принимает все значения из отрезка `[2016/2017;1]`.
    Следовательно, на этом отрезке имеется также два решения.
    Мы уже нашли, что одним из решений будет `x=1/2`. Прямая `y=2x` не является касательной к графику `y=sin(2017pix)` в точке `x=1/2`, поскольку касательной в этой точке будет `y=1`. Значит, должен быть еще один корень.
    Всего получили `1010` решений.
    При `x<0` получим `1009` решений, из-за нечетности функций `f(x)=2x` и `g(x)=sin(2017pix)`.

    Ответ: `2019`.
  • Задача №4.
    В физико-математическом конкурсе предлагается `20` задач по математике и `17` по физике. Каждый из школьников, участвующих в конкурсе, выбрал пару задач: одну по математике и одну по физике. При этом для каждого школьника хотя бы одна из выбранных им задач выбрана не более чем одним другим школьником. Какое максимальное количество школьников могло участвовать в конкурсе?

    Решение:
    Рассмотрим особый случай, когда любую задачу по математике или по физике выбрали не более двух раз. Тогда школьников не более `40` или `34`.
    Предположим, что и по физике и по математике есть задачи, которые выбрали больше двух раз.
    Пусть математические задачи `1,2,3,...,n` (`n>=1`) выбрали не менее трех школьников, тогда задачи `n+1,...,20` выбрали не более двух школьников.
    `a_i>=3` - количество школьников, выбравших математическую задачу `i`, где `1<=i<=n`.
    Аналогично, задачи по физике `1,2,3,...,k` (`k>=1`) выбрали не менее трех школьников, а задачи `k+1,...,17` выбрали не более двух школьников.
    `b_j>=3` - количество школьников, выбравших задачу по физике `j`, где `1<=j<=k`.
    Тогда `a_1+a_2+...+a_n` школьников могут выбирать задачи по физике только среди номеров `k+1,...,17`. В противном случае мы получим школьника, который выбрал такие задачу и по математике и по физике, которые выбрали не менее `2` других школьников.
    Но каждую из этих задач (всего их `17-k`) по нашему определению могли выбрать не более двух школьников.
    Следовательно, `A=a_1+a_2+...+a_n<=2(17-k)`.
    Аналогично, `B=b_1+b_2+...+b_k<=2(20-n)`.
    Заметим, что группы `a_i` и `b_j` не пересекаются.
    Тогда, `A+B<=2(17-k)+2(20-n)`.
    Пусть есть школьник, который выбрал две такие задачи, каждую из которых выбрало не более одного другого школьника.
    Он мог выбирать из номеров `n+1,...,20` и `k+1,...,17`.
    Тогда, `A<=2(17-k)-1` и `B<=2(20-n)-1`.
    Если таких школьников `C`, получим `A<=2(17-k)-C, B<=2(20-n)-C`.
    `A+B+C` - общее количество школьников.
    Следовательно, `A+B+C<=2(17-k)+2(20-n)-C`.
    `max(A+B+C)=70` при `n=k=1, C=0`.
    Такая ситуация возможна: `19` задач по математике выбрало по `2` человека, всего `38`, все они выбрали одну задачу по физике. Остальные `16` задач по физике выбрало по `2` человека, всего `32`, они же выбрали оставшуюся задачу по математике.

    Ответ: `70`.

  • Задача №5.
    В вершинах правильного `n`-угольника расставлены числа от `1` до `n` в некотором порядке. При этом расстояния между вершинами, в которых стоят последовательные числа, одинаковые. Такое же расстояние между вершинами, в которых стоят числа `1` и `n`. Оказалось, что вершина с числом `20` соседствует с вершинами, соответствующими числам `158` и `45`. Найдите `n`.

    Решение:
    Двигаясь по ребрам `n`-угольника, от одной вершины до другой можно дойти двумя способами. Более короткий способ назовем путем из одной вершины в другую. А длиной пути будем называть число ребер, по мы которым прошли, двигаясь по этому пути.
    По условию, между вершинами с последовательными числами длины путей равны (если одинаково расстояние между вершинами, то одинаково и количество ребер по которым нужно пройти, чтобы попасть из одной вершины в другую). Для таких вершин всегда есть короткий путь, поскольку если длины обоих путей из вершины с `20` в вершину с `21` равны, то в этой же вершине должно одновременно оказаться и число `19`.
    Пусть длина стороны многоугольника равна `1`, а длины путей между вершинами с последовательными номерами равны `k`.
    Начнем обход многоугольника начиная с вершины с числом `20`. Через `k` сторон получим вершину `21`. Вершину `22` получим через `k` сторон в том же напралении (иначе вернемся к `20`).
    `45-20=25` путей длиной `k`, а по условию, расстояние между вершинами `45` и `20` равно `1`.
    Значит, `25k=pn+-1`, где `p` означает количество полных оборотов.
    Аналогично получим `138k=qn+-1`, где знак перед `1` противоположен знаку перед `1` предыдущего равенства, поскольку `158` и `45` расположены по разные стороны от `20`.
    Есть два случая расстановки знаков, но в каждом случае для суммы равенств получим следующее равенство:
    `163k=n(p+q)`.
    Заметим, что `n` и `k` взаимно-просты, это следует из предыдущих равенств. Если у них есть общий делитель, то он является делителем `1`, а значит равен `1`.
    `163` простое число, поэтому `n=163, k=p+q`.

    Ответ: `163`.
  • Задача №6.
    Тетраэдр `ABCD` таков что `/_BAD = 60^0, /_BAC = 40^0, /_ABD = 80^0`, и угол между ребрами `AB` и `CD` равен `90^0`. Найдите `/_ABC`. Ответ выразите в градусах.

    Решение:
    image
    1) В треугольнике `ABD` проведем высоту `DH`. Тогда `DH _|_ AB`, `CD _|_ AB` (по условию) `=>` плоскость `DCH _|_ AB => CH _|_ AB`.
    2) `tan(60^0)=tan(/_BAD)=(DH)/(AH)`,
    `tan(40^0)=tan(/_BAC)=(CH)/(AH)`,
    `tan(80^0)=tan(/_ABD)=(DH)/(BH)`,
    `tan(/_ABC)=(CH)/(BH) = (AH*tan(40^0))/((DH)/tan(80^0)) = (AH)/(DH)*tan(40^0)*tan(80^0) =`
    `=cot(60^0)*tan(40^0)*tan(80^0)`.
    3) Воспользуемся формулой `tan3alpha=tanalpha*tan(60^0+alpha)*tan(60^0-alpha)`, подставим `alpha=20^0`:
    `tan(60^0)=tan(20^0)*tan(40^0)*tan(80^0)`,
    `tan(40^0)*tan(80^0)=ctan(20^0)*tan(60^0)`,
    `tan(40^0)*tan(80^0)=tan(70^0)*tan(60^0)`.
    4) `tan(/_ABC) = cot(60^0)*tan(40^0)*tan(80^0) = `
    `=cot(60^0)*tan(70^0)*tan(60^0) = tan(70^0) => /_ABC=70^0`.

    Ответ: `70`.

    Лемма: докажем, что `tan3alpha=tanalpha*tan(60^0+alpha)*tan(60^0-alpha)`.
    `tanalpha*tan(60^0+alpha)*tan(60^0-alpha) = tanalpha*(sin(60^0+alpha)*sin(60^0-alpha))/(cos(60^0+alpha)*cos(60^0-alpha)) =`
    `=tanalpha*((cos(2alpha)-cos(120^0))/2)/((cos(2alpha)+cos(120^0))/2) = `
    `=tan(alpha)*(cos(2alpha)+1/2)/(cos(2alpha)-1/2) = tan(alpha)*(2cos(2alpha)+1)/(2cos(2alpha)-1) = `
    `=(sinalpha)/(cosalpha)*(2-4sin^2alpha+1)/(4cos^2alpha-2-1) = (3sinalpha-4sin^3alpha)/(4cos^3alpha-3cosalpha) =`
    `=(sin3alpha)/(cos3alpha) = tan3alpha`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике