Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Задачи и решения отборочного этапа олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 (МГУ)


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2011-2012 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2010-2011 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2009-2010 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - решения очного тура в Москве.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - решения очного тура в Брянске.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2011-2012 - решения очного тура по математике по всем городам (9 вариантов).
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2013-2014 - задания и решения заочного тура
    Задачи и решения заочного тура олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 года (МГУ)
  • Задача №1 (отборочный тур олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 года в МГУ)
    Какое время между `14:10` и `15:10` показывают часы в тот момент, когда угол между минутной и часовой стрелками равен `90` градусов?

    Решение:
    1. Один ответ очевиден - `15:00`. Ясно также, что есть и второй. Для того, чтобы его найти, воспользуемся стандартной схемой решения задач на движение.
    2. Минутная стрелка движется со скоростью `360^0` в час, часовая - `30^0` в час. За начальный момент примем `14:00`. Тогда расстояние между минутной и часовой стрелками равно `60^0`. Минутная стрелка должна догнать часовую и обойти ее на `90^0`. Скорость сближения `360^0-30^0=330^0` в час.
    3. Получаем уравнение
    `330t=90+60`
    Откуда `t=5/11` часа или `27` и `3/11` мин.

    Ответ: `15:00` и `14:27` `3/11`.
  • Задача №2 (отборочный тур олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 года в МГУ)
    Решить неравенство `sin x*sin1755x*sin 2011x>=1`

    Решение
    1. Синус по модулю не бывает больше `1` (`|sint|<=1 AA t in RR`). Поэтому неравенство равносильно совокупности четырех систем: либо все синусы равны `1`, либо два из трех равны (`-1`), а третий - единице. <br />
    2. Эти системы не обязательно решать по отдельности. Можно сделать так. Рассмотрим уравнение `sinx=1`. Его решение `x=pi/2+2pin`. Найдем значения двух оставшихся синусов при этих `x`.
    `sin(1755(pi/2+2pin))=sin(1755*pi/2)=sin((3pi)/2)= -1`
    `sin(2011(pi/2+2pin))=sin(2011*pi/2)=sin((3pi)/2)= -1`
    (здесь мы использовали периодичность синуса). Итак, все найденные значения `x` являются решениями неравенства.
    3. Пусть теперь `sinx=-1`. Тогда `x=3pi/2+2pin`. Далее аналогично
    `sin(1755(3pi/2+2pin))=sin(pi/2)=1`
    `sin(20119(3pi/2+2pin))=sin(pi/2)=1`. Значит, при `sinx=-1` решений у неравенства не будет.

    Ответ: `x=pi/2+2pin`.
  • Задача №3 (отборочный тур олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 года в МГУ)
    Петя последовательно выписывает целые числа, начиная с `21`, так, что каждое следующее число меньше предыдущего на `4`, а Вася, глядя на очередное число, подсчитывает сумму всех выписанных к этому моменту чисел. Какая из найденных Васей сумм окажется ближайшей к `55`?

    Решение:
    1. Все числа составляют арифметическую прогрессию, где `a_1=21, d=-4`.
    Надо найти при каком `n in NN` сумма `S_n` будет наиболее близка к числу `55`.
    2. `S_n=((2a_1+(n-1)d)n)/2=n(21-2(n-1))=n(23-2n)`.
    3. Решим уравнение `23n-2n^2=55`, чтобы найти приближенные значения `n`, при которых `S_n~~55`.
    `2n^2-23n+55=0`,
    `n_1=(23-sqrt89)/4, 3< n_1<4`<br />
    `n_2=(23+sqrt89)/4, 8< n_2<9`.<br />
    4. Теперь достаточно найти `S_n` для `n=3,4,8,9`. Ближайшая к `55` оказывается `S_8=56`.

    Ответ: `56`.
  • Задача №4 (отборочный тур олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 года в МГУ)
    Натуральные числа `m` и `n` таковы, что дробь `m/n` несократима, а дробь `(4m+3n)/(5m+2n)` сократима. На какие натуральные числа она сокращается?

    Решение:
    1. Пусть `m` и `n` удовлетворяют условию задачи. Тогда
    `4m+3n=kp` (1)
    `5m+2n=kq` (2)
    где `k>1` - множитель, на который сокращается вторая дробь.
    2. Вычтем из утроенного второго уравнения удвоенное первое:
    3*(2)-2*(1): `7m=k(3q-2p)` (3)
    Аналогично:
    5*(1)-4*(2): `7n=k(5p-4q)` (4)
    3. Если в разложении числа `k` на простые множители имеется множитель, отличный от `7`, то в силу (3) и (4) этот множитель обязательно будет присутствовать в разложениях чисел `m` и `n`. И тогда дробь `m/n` окажется сократимой. Значит, `k=7`.
    Заметим, что условию задачи удовлетворяют `m=n=1`.

    Ответ: `7`.
  • Задача №5 (отборочный тур олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 года в МГУ)
    Решите уравнение `root(3)(15x+1-x^2)+root(3)(x^2-15x+27)=4`

    Решение:
    1. Введем две новые переменные: `u^3=15x+1-x^2, v^3=x^2-15x+27`. В итоге получим систему:
    `u+v=4`
    `u^3+v^3=28`
    (второе уравнение получается путем сложения выражений для `u^3` и `v^3`).
    2. Разлагаем сумму кубов по формуле и решаем систему методом подстановки:
    `u=4-v`. Получаем уравнение для `v`: `v^2-4v+3=0`. Откуда `v_1=1, v_2=3`.
    3. В итоге получаем совокупность двух уравнений для `x`:
    `x^2-15x+27=1`
    `x^2-15x+27=27`

    Ответ: `x_1=0, x_2=15, x_3=13, x_4=2`.
  • Задача №6 (отборочный тур олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 года в МГУ)
    В прямоугольной трапеции большая диагональ длины `11` делит острый угол трапеции в отношении `2:1`, а расстояние от вершины тупого угла до этой диагонали равно `4`. Какие значения может принимать площадь трапеции?

    Решение:
    image
    1. Пусть `D` - острый угол трапеции, диагональ `BD` делит его в отношении `2:1`. Возможны два варианта: 1) больший угол примыкает к основанию, 2) больший угол примыкает к боковой стороне (см. рисунок).
    2. Пусть `СЕ` - перпендикуляр, опущенный на `BD`, `/_BDC=alpha`, `ED=x`. Тогда `tanalpha=4/x, tan2alpha=4/(11-x)`.
    Поскольку
    `tan2alpha=(2tanalpha)/(1-tan^2alpha)`,
    мы получаем уравнение для `x`, из которого находим `x=8`. Далее, `tan2alpha=4/3` и площадь трапеции равна `1276/25`.
    3. Этот случай разбирается совершенно аналогично (см. рисунок). Если через `x` обозначить `BE`, а `/_CBD=alpha`, то мы получим то же самое уравнение для `x` и решение `x=8`, и те же значения для `tanalpha`. При этом площадь трапеции равна `231/5`.

    Ответ: `1276/25, 231/5`.
  • Задача №7 (отборочный тур олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 года в МГУ)
    Найдите наибольшее значение выражения
    `(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+...+(x_2010-x_2011)^2+(x_2011-x_1)^2`
    при `x_1,...,x_2011` принадлежащих отрезку `[0,1]`.

    Решение:
    1. Наша сумма квадратов является квадратичной функцией относительно каждой переменной `x_i`, если остальные переменные считать фиксированными параметрами. Коэффициент при `x_i^2` у этой функции равен `2>0`, следовательно, наибольшее значение этой функции на отрезке `[0,1]` достигается на одном из концов отрезка: либо при `x_i=0`, либо при `x_i=1`. В этом состоит идея решения.
    2. Найдем вначале наибольшее значение нашей суммы при условии, что все переменные принимают значения либо `0`, либо `1`. Если `x` с нечетными индексами равны `0`, а с четными - `1`, то значение суммы равно `2010`.
    Сумму возьмем за `A`.
    3. Докажем, что больше быть не может. Поскольку каждая из скобок в сумме может при наших условиях принимать значения только `0` или `1`, неравенство `A>2010` означает, что все скобки равны `1`. Отсюда следует, что значения переменных должны последовательно чередоваться: `0,1,0,1,...` вплоть до последней пары `x_2011, x_1`. Но это невозможно, поскольку переменных нечетное число.
    4. Докажем теперь, что найденное значение `2010` является наибольшим при всех допустимых значениях переменных `x`. Предположим противное. Тогда существует набор `x_1,...,x_2011` чисел из отрезка `[0,1]` такой, что
    `(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+...+(x_2010-x_2011)^2+(x_2011-x_1)^2 >2010`,
    причем некоторое `x_i` из этого набора лежит в интервале `(0,1)`. Рассмотрим выражение `A` как квадратичную функцию переменной `x_i`, считая остальные переменные фиксированными. Как было сказано выше, на одном из концов отрезка `[0,1]` эта функция принимает значение, большее, чем
    `(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+...+(x_2010-x_2011)^2+(x_2011-x_1)^2 >2010`.
    Заменим значение `x_i` соответственно на `0` или `1`, чтобы получить это большее значение. Если среди оставшихся переменных есть еще отличные от `0` или `1`, то проделаем с ними аналогичные действия. В итоге получим набор из `0` и `1`, на котором значение выражения `A` больше `2010`. Получено противоречие.

    Ответ: `2010`.
  • Задача №8 (отборочный тур олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 года в МГУ)
    Решите систему
    `{(5x^2+3y^2+3xy+2xz-yz-10y+5=0),(49x^2+65y^2+49z^2-14xy-98xz+14yz-182x-102y+182z+233=0):}`

    Решение:
    1. Левая часть второго уравнения системы представляет из себя сумму квадратов. Это легко показать путем выделения полных квадратов.
    2. Соберем вместе все слагаемые, содержащие `x`.
    Получим
    `49x^2-14x(y+7z+13)+...`(остальные слагаемые)`=`
    `=(7x-(y+7z+13))^2-(y+7z+13)^2+...=`
    `=(7x-y-7z-13)^2+64(y-1)^2=0`
    3. Итак, второе уравнение равносильно системе двух уравнений первого порядка:
    `7x-y-7z-13=0`
    `y=1`.
    В итоге получаем два решения: `(0,1,-2), (2/7,1,-12/7)`.

    Ответ: `(x,y,z)=(0,1,-2), (2/7,1,-12/7)`.
  • Задача №9 (отборочный тур олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 года в МГУ)
    В тетраэдре все плоские углы при одной вершине - прямые. Некоторая точка пространства удалена от указанной вершины тетраэдра на расстояние `3`, а от остальных его вершин - на расстояния `sqrt5, sqrt6` и `sqrt7`. Найдите расстояния от центра описанной около тетраэдра сферы до каждой из его граней.

    Решение:
    1. Упомянутую в условии точку пространства обозначим через `М.` Пусть `D` - вершина тетраэдра, расстояние до которой от `М` равно `3` (вершина с прямыми углами), `A` - вершина с расстоянием `sqrt5`, `B` - вершина с расстоянием `sqrt6` и C - с расстоянием `sqrt7`.
    2. Введем систему координат. Начало системы поместим в вершину `D`, а координатные оси `x,y` и `z` направим по ребрам `DA, DB` и `DC` соответственно. Тогда вершины пирамиды будут иметь следующие координаты: `D(0,0,0), A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c)` где `a,b,c` - длины соответствующих ребер (они пока не известны). Координаты точки `M` обозначим через `(x,y,z)`.
    3. Из условия задачи, используя формулу расстояния между точками в пространстве, получаем следующую систему уравнений:
    `x^2+y^2+z^2=9`
    `(x-a)^2+y^2+z^2=5`
    `x^2+(y-b)^2+z^2=6`
    `x^2+y^2+(z-c)^2=7`
    Уравнений `4`, неизвестных `6`, вроде решать безнадежно, но числовые данные подобраны так, что все у нас получится. Из второго, третьего и четвертого уравнений вычитаем первое. Получившиеся уравнения позволяют следующим образом выразить `x, y, z`:
    `x=(a^2+4)/2a, y=(b^2+3)/2b, z=(c^2+2)/2c`.
    Подставляем эти выражения в первое уравнение и получаем следующее соотношение, связывающее `a,b,c`:
    `(a^2/4+4/a^2)+(b^2/4+9/4b^2)+(c^2/4+1/c^2)=9/2`. (*)
    4. Докажем вспомогательное неравенство:
    `p^2+k^2/p^2>=2k`.
    В самом деле, `(p-k/p)^2>=0`. Возводим в квадрат и получаем то, что нужно. Заметим, что равенство в этом неравенстве достигается только при `p=k/p`, т.е. при `p=sqrtk` (у нас `p>0`).
    5. С помощью доказанного неравенства легко получаем, что
    `(a^2/4+4/a^2)>=2` (равенство при `a=2`)
    `(b^2/4+9/4b^2)>=3/2` (равенство при `b=sqrt3`)
    `(c^2/4+1/c^2)>=1` (равенство при `c=sqrt2`).
    Поскольку сумма перечисленных выражений должна быть равна `9/2`, отсюда сразу следует, что указанные в скобках значения `a, b, c` являются единственным решением уравнения (*).
    6. Остаются сущие пустяки. Поскольку центр описанной сферы (точка `O`) равноудален от вершин, он лежит на плоскостях, проходящих через середины ребер тетраэдра и перпендикулярных соответствующим ребрам. Все точки такой плоскости, проходящей через середину ребра `DA`, имеют `x`-координату, равную `a/2`. Значит, первая координата `O` - `a/2`. Аналогично, рассматривая ребра `DB` и `DC`, получаем, что `O(1, sqrt3/2, sqrt2/2)`. Три грани тетраэдра лежат на координатных плоскостях. Поэтому расстояния до этих граней равны координатам точки `O`: расстояние до грани `BCD` равно `1`,
    расстояние до грани `ACD` равно `sqrt3/2`,
    расстояние до грани `ABD` равно `sqrt2/2`.
    7. Осталось найти расстояние от `O` до плоскости `ABC`. Задача эта может быть решена по-разному. Вариант: пишем уравнение плоскости `ABC`:
    `x/2+y/sqrt3+z/sqrt2=1`. По формуле расстояния от точки до плоскости получаем `sqrt(3/13)`.
    Итак, искомые расстояния равны: `1, sqrt3/2, sqrt2/2, sqrt(3/13)`.

    Ответ: `1, sqrt3/2, sqrt2/2, sqrt(3/13)`.
  • Задача №10 (отборочный тур олимпиады по математике «Покори Воробьевы Горы» 2011 года в МГУ)
    Имеются `12` карандашей попарно различной длины. Сколькими способами можно уложить их в коробку в два слоя по `6` карандашей так, чтобы в каждом слое карандаши были упорядочены по возрастанию длины (слева направо), а каждый карандаш верхнего слоя лежал строго над карандашом нижнего слоя и был короче его?

    Решение:
    1. Два ряда по `6` - это не `n` и не `100`. Словом можно по-тупому пересчитать все варианты и получить правильный ответ. Главное, быть уверенным, что ничего не пропущено.
    2. Это можно сделать, например, так. Занумеруем карандаши по возрастанию длины числами `1,2,...,12`. Эти числа надо разместить в ячейках прямоугольной таблицы из двух строк и шести столбцов (это и есть наша коробка) так, чтобы в строках и столбцах числа были упорядочены по возрастанию (по строкам - слева направо, по столбцам - сверху вниз). Такое размещение, удовлетворяющее условиям задачи, назовем допустимым. Требуется найти число допустимых размещений.
    3. Рассмотрим пример допустимого размещения:
    `1.2.4.5. 9.10`
    `3.6.7.8.11.12`
    и опишем на этом примере нашу схему его формирования. Мы последовательно будем вписывать в таблицу числа `1,2,3,...,12`. При этом `1` мы всегда ставим в первую позицию первой строки. Далее, в ту же строку мы поставили `2` и со второй позиции `1`-й строки перешли ко второй строке - число `3` поставили во вторую строку. Затем снова переход к первой строке - пишем `4,5` - и снова переходим ко второй - пишем `6,7,8`. Затем возврат к первой - заполняем ее до конца. И, наконец, завершаем заполнение второй строки. Наши действия и их результат можно закодировать номерами позиций строк, из которых происходит переход при заполнении таблицы от одной строки к другой: `2(1)4(4)6(6)`. Поясняю: мы заполнили первую строку до позиции `2` (первая двойка в нашем коде), затем заполнили вторую строку до позиции `1` ( единица в скобках), затем первую строку до позиции `4`, затем вторую до позиции `4`, затем первую до позиции `6` и вторую до позиции `6`. Заметим, что наши коды во всех случаях будут заканчиваться числами `6(6)`, поэтому эти два числа можно было не писать. Ясно, что в любом коде числа, стоящие без скобок , и числа в скобках должны быть упорядочены слева направо и каждое число в скобках на превосходит предшествующего числа без скобок (мы не можем заполнять ячейку нижней строки, если еще не заполнена стоящая над ней верхняя ячейка). Каждое допустимое размещение имеет код и по этому коду однозначно восстанавливается.
    4. Осталось пересчитать все коды. Здесь удобно записывать коды так: вначале - цифры, стоящие без скобок, потом десятичная точка и цифры в скобках. Рассмотренный выше код даст `246.146`. При такой форме записи все коды легко пересчитать по возрастанию полученного десятичного числа.
    Самый простой код имеет две цифры `6.6`. Сосчитаем его - `1`.
    5. Теперь выпишем по возрастанию четырехзначные коды:
    `16.16` `26.16` `26.26` `36.16` `36.26` `36.36` `46.16` `46.26` `46.36` `46.46` `56.16` `56.26` `56.36` `56.46` `56.56` Всего `15` штук.
    Шестизначные коды. Для экономии места не будем писать шестерки (они всегда одинаковы) и повторять первые цифры у серии с одинаковой целой частью.
    `12.(12)` `13.(12` `13)` `14.(12` `13` `14)` `15.(12` `13` `14` `15)` `23.(12` `13` `23)` `24.(12` `13` `14` `23` `24)` `25.(12` `13` `14` `15` `23` `24` `25)` `34.(12` `13` `14` `23` `24` `34)` `35.(12` `13` `14` `15` `23` `24` `25` `34` `35)` `45.(12` `13` `14` `15` `23` `24` `25` `34` `35` `45)` В скобках последовательно выписаны десятичные знаки чисел с одинаковой целой частью, которая стоит перед скобками. Всего `50` штук.
    Восьмизначные коды.
    `123.(123)` `124.(123` `124)` `125.(123` `124` `125)` `134.(123` `124` `134)` `135.(123` `124` `125` `134` `135)` `145.(123` `124` `125` `134` `135` `145)` `234.(123` `124` `134` `234)` `235.(123` `124` `125` `134` `135` `234` `235)` `245.(123` `124` `125` `134` `135` `145` `234` `235` `245)` `345.(123` `124` `125` `134` `135` `145` `234` `235` `245` `345)` Всего `50` штук
    Десятизначные коды
    `1234.(1234)` `1235.(1234` `1235)` `1245.(1234` `1235` `1245)` `1345.(1234` `1235` `1245` `1345)` `2345.(1234` `1235` `1245` `1345` `2345)` Всего `15` штук
    Двенадцатизначный код
    `12345.12345` Всего `1`.

    Ответ: `132`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике