Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Ломоносов» 2013-2014 / Задания и решения отборочного этапа по математике


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Ломоносов 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Олимпиада Ломоносов 2013-2014 - задания и решения 2 тура выложены в другой теме (ссылка)!
    Ответы первого тура на следующей странице темы
    Олимпиада Ломоносова 2013-2014. Задания и решения отборочного этапа по математике.


    Олимпиада «Ломоносов» 2013-2014 стартовала в ноябре. Задания отборочного этапа (заочный тур) по математике публикуются на официальном сайте олимпиады. Решения по всем задачам выкладываются в этой теме. Регистрация на олимпиаду производится на сайте.
    Общую информацию читайте в теме Олимпиада школьников «Ломоносов»

    Отборочный этап олимпиады Ломоносова 2013-2014


    Олимпиада Ломоносов 2013-2014 - задания и решения 2 тура выложены в другой теме (ссылка)!
    Ответы первого тура на следующей странице темы
    Выложили решения первого тура отборочного этапа, решения смотрите ниже.
    Завершен первый тур отборочного этапа олимпиады Покори Воробьевы горы 2014. Задания и решения первого тура выложены здесь. Всем участникам олимпиады Ломоносова 2013-2014 обязательно надо ознакомиться со всей этой информацией, т.к. отборочные этапы обеих олимпиад проводятся по очень схожей схеме, и задачи будут примерно одного уровня.

    В текущем учебном году существенно поменялся формат проведения отборочного этапа. Ниже краткая информация для 10-11 классов:
    — Регистрация производится с 1 ноября 2013 года по 27 января 2014 года.
    — Отборочный этап проводится в 3 тура.
    — Все туры независимы, т.е. нет необходимости проходить все три тура. Достаточно пройти один тур, чтобы пройти на заключительный этап.
    — Если вы проходите 2 или 3 тура, то у вас проверяют работу только по одному туру (вы сами выбираете лучшую работу, либо система выбирает автоматом, если вы сами не выбрали).
    — Первый тур по математике проходит с 26 ноября по 29 ноября 2013 года.
    — Второй тур по математике проходит с 21 декабря по 24 декабря 2013 года.
    — Третий тур по математике проходит с 24 января по 27 января 2014 года.
    — Результаты всех туров отборочного этапа будут опубликованы до 15 февраля 2014 года, вместе со списками победителей и призеров.
    Важно: несмотря на то, что каждый тру длится ровно 4 полных суток, задания вы сможете решать лишь в течение 24 часов. После того, как вы нажимаете на условную кнопку "Начать тестирование", у вас остается 24 часа на решение, оформление и выкладывание всех этих заданий на сайте олимпиады. Для олимпиады Покори Воробьевы горы этот срок равен 48 часам.
    — В первые сутки после начала каждого тура в этой теме выкладываются задания и решения (все или частично) по математике (олимпиада Покори Воробьевы горы уже выложена). Эти решения списывать нельзя, иначе вашу работу аннулируют.
    — Будет несколько схожих вариантов решений.
    На этом пока все. Ждем условия задач первого тура! Решения в этой теме.

    Задания и решения олимпиады «Ломоносов» 2013-2014


    Подробные решения всех заданий олимпиады «Ломоносов» 2013-2014 по математике (публикуются в ноябре в этой теме!). Ниже задания и решения прошлых лет.
    Олимпиада «Ломоносов» — задания прошлых лет с решениями (2005-2010)
    Олимпиада «Ломоносов» 2012-2013 — задания и решения отборочного этапа по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2011-2012 — задания и решения отборочного этапа по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 — задания и решения отборочного этапа по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2012-2013 — задания и решения очного тура по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2011-2012 — задания и решения очного тура по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 — задания и решения очного тура по математике

    Олимпиады для школьников 2013-2014 - исчерпывающая информация. Актуальные уровни математических олимпиад, текущие льготы и их пояснение, обновленный перечень олимпиад, сравнительная таблица и другая полезной информации. Обязательно для прочтения! Тема постоянно дополняется и актуализируется.

    Статистика


    Ниже интересная статистика отборочного и заключительного этапов олимпиады Ломоносов по математике прошлого учебного года (внимание: предмет математика, класс - 11).
    Олимпиада Ломоносов 2014 по математике - прогноз: с вероятностью 95% можно утверждать, что в 2013-2014 учебном году будет похожая ситуация, т.е. призерами каждого этапа станет 30-35% от общего числа участников этапа. Также в этом году прогнозируется увеличение числа участников - больше 3 тыс. участников отборочного этапа и больше 1000 участников заключительного этапа.

    — В отборочном этапе приняло участие 2496 абитуриентов (11 класс), еще трое прошли, как победители олимпиады в 10 классе.
    — Из них прошли на заключительный этап 863 абитуриента (34,58%). Проходной балл составил 50 баллов из 100.
    — 100 баллов давали за 10 правильных решений, 95 за 9.5 правильных решений и т.д. 50 баллов = 5 решений.

    Таблица 1 (статистика отборочного этапа по математике)
    image

    — На заключительный этап прошли 863 человека, но приняли участие не все. По факту пришли на олимпиаду 678 абитуриентов.
    — Победителями и призерами стали 212 человек (31,27%), из которых 47 (6,93%) получили I степень, 73 (10,77%) получили II степень и 92 (13,57%) человека получили III степень. I степень начиналась от 80 баллов, II степень от 65 баллов, III степень от 50 баллов.
    — 100 баллов давали за 8 решения (из 8), 95 баллов за 7.5 решений, 90 баллов за 7 решений, 85 за 6.5 решений, 80 за 6 решений, 75 за 5.5 решений, 70 за 5 решений, 65 за 4.5 решений, 60 за 4 решения, 55 за 3.5 решения, 50 за 3 решения. Т.е. шансы получить дипломы были вполне реальны.

    Таблица 2 (статистика заключительного этапа по математике)
    image

    Примечание: до апелляций в призеры попадало 205 человек, еще 7 человек прибавились после апелляций. Всего подали заявления больше 150 человек, из которых получили повышение баллов 12.

    Олимпиада Ломоносов 2013 2014. Регистрация.


    Регистрация на олимпиаду Ломоносова 2013 2014 стартует в начале ноября, на сайте олимпиады. После регистрации вы сможете подключить нужные вам олимпиады (по математике, по физике, по химии, по биологии, по праву, по журналистике, по обществознанию, по литературе, по английскому языку, по механике, по геологии и по истории). После подключения выбранных предметов, вам будут доступны задания отборочных этапов. Решения необходимо выполнить до 21 января, и прикрепить в личном кабинете, в разделе вашего предмета (или предметов). Решения можно перезаливать до последнего дня отборочного этапа. Очень важно вводить точные данные при регистрации, особенно это касается ФИО и данных школы (нужно для заполнения потенциального диплома).
    Регистрацию можно проходить до конца завершения отборочного этапа.
    Updated 05/11/2013: олимпиада Ломоносова 2013-2014 регистрация уже началась! Задания и решения по математике выкладываем тут.

    Олимпиада «Ломоносов» 2014 — регистрация и отборочный этап по математике


    Информация по прошлому учебному году. Всего было 10 заданий, при этом их сложность существенно превышала сложность заданий прошлых лет. Сами задачи и их подробные решения смотрите в теме — олимпиада «Ломоносов» 2012-2013 — отборочный этап. Крайний срок отправки решений — 21 января. Результаты олимпиады публикуются в феврале. Проверка работа очень жесткая, за малейшие оплошности задача не засчитывается и не учитывается. Система оценок «плюс-минус», т.е. за правильное решение +, за решение с недочетами ±, за неверное решение -+. Учитываются задачи только с чистыми плюсами.
    Олимпиада Ломоносова 2013-2014 скорее всего сохранит прошлогодний формат проведения отборочного этапа и критерии прохождения на заключительный этап останутся примерно такими же.
    Ввиду сложности задач, проходной балл на очный тур (заключительный этап) оказался весьма низким — всего 50 баллов. Для получения 50 баллов было необходимо решить 5-6 задач. 100 баллов давали за решение всех задач, 95 баллов за 9 плюсов и один плюс-минус, и т.д. Всего на очный тур прошли менее 1000 абитуриентов, хотя общее число участников отборочного этапа достигло 2500 человек. Как правило, победителями и призерами становятся не более 35% от всего числа участников, в случае с отборочным этапом этот показатель составил менее 34,58%.

    Задания и решения. Олимпиада «Ломоносов» 2013-2014 — отборочный этап (заочный тур) по математике.


    Олимпиада Ломоносов 2013-2014 - задания и решения 2 тура выложены в другой теме (ссылка)!
    Ответы первого тура на следующей странице темы
  • В этой теме выложены задания и частичные решения первого тура. Списывать эти решения нельзя, вашу работу аннулируют. Можете разобраться в этих решениях и на их основе построить свои решения. Либо вы можете заказать индивидуальные решения первого тура по математике (только математика!). Стоимость = 5 тыс. руб. (для первых 10 абитуриентов стоимость 4 тыс. руб.).

    Задача №1 (первый тур отборочного этапа)
    Шариковая ручка стоит `10` рублей, гелевая - `50` рублей, а перьевая - `80`
    рублей. Какое наибольшее количество гелевых ручек можно купить при
    условии, что всего нужно купить ровно `20` ручек и среди них должны быть
    ручки всех трех типов, а истратить на них нужно ровно `1000` рублей?

    Решение:
    `a` -шариковых ручек,
    `b` - гелевых,
    `c` - перьевых,
    `a,b,c in NN`
    Надо найти `b_max`.
    Из условия задачи `{(a+b+c=20),(10a+50b+80c=1000):}`
    `a+5b+8c=100` (*)
    Вычтем из (*) первое уравнение системы:
    `4b+7c=80 => 7c vdots 4 => c vdots 4 => c>=4 => b=20-a-c<=15`.
    С другой стороны `4b=80-7c-=3` `mod` `7 => b-=6` `mod` `7`.
    Максимальное число, которые дает остаток `6` при делении на `7` и не превосходит `15` - это `13`.
    Если `b=13, a=3, c=4` - то все условия задачи выполнены.

    Ответ: `13`.
  • Задача №2
    Найдите наименьшее значение `a`, при котором сумма квадратов корней уравнения `x^2 + 3ax + a^2 = 0` равна `2,52`.

    Решение:
    Проверим дискриминант: `D=9a^2-4a^2=5a^2` - корни всегда есть.
    По т. Виета: `x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=7a^2`
    `7a^2=2,52 iff a^2=0,36 iff a=+-0,6`.
    `a_min=-0,6`.

    Ответ: `-0,6`.
  • Задача №3
    Плоскость, параллельная основанию четырехугольной пирамиды объема `54`, отсекает от нее пирамиду объема `16`. Найдите объем пирамиды, четыре вершины которой совпадают с вершинами сечения, а пятая лежит в плоскости основания большей пирамиды.

    Решение:
    Наши пирамиды назовем `1`, `2` и `3` соотв.
    Пирамиды `1` и `2` подобны, коэффициент подобия равен `k=root(3)(54/16)=3/2`.
    Значит высоты относятся, как `(h_1)/(h_2)=3/2`.
    С другой стороны `h_1=h_2+h_3 => h_3=1/2h_2`.
    Основания у пирамид `1` и `2` одинаковые, пусть площадь равна `S`.
    Тогда `V_2=1/3Sh_2=16 => V_3=1/3Sh_3=1/6Sh_2=8`.

    Ответ: `8`.
  • Задача №4
    Дана функция `f(x)=||x+1|-2|`. Сколько корней имеет уравнение `f(f(f(...f(x)...)))=1/2`, в котором функция `f` берется `2013` раз?

    Решение:
    Пусть `f^n(x)=f(f(...f(x)...))` - функция `f` берется `n` раз.
    Решим уравнение `f(x)=1/2`.
    Корни `x=-7/2, -5/2, 1/2, 3/2`.
    Решим уравнение `f^2(x)=1/2 => f(x)=1/2 и 3/2`, т.к. `f(x)` не может быть отрицательным, как модуль.
    Решим уравнение `f(x)=3/2 => x=-9/2, -3/2, -1/2, 5/2`.
    Уравнение `f^(n+1)(x)=1/2` разбивается на совокупность уравнений `f^n(x)=1/2` и `f^n(x)=3/2`.
    Очевидно, что у этих уравнений разные корни.
    Легко доказать, что уравнение `f^n(x)=3/2` имеет `2` корня при любых `n>=2` и `4` корня при `n=1`.
    Пусть `a_n` - число корней уравнения `f^n(x)=1/2`.
    Тогда `a_1=4, a_2=8, a_n=2n+4` для всех `n>=2`.
    `a_2013=2*2013+4=4030`.

    Ответ: `4030`.
  • Задача №5
    Укажите целое число, ближайшее к числу
    `sqrt(10000-sqrt(10001*9999))+sqrt(9998-sqrt(9999*9997))+...+sqrt(2-sqrt(3*1))`

    Решение:
    `a_n=sqrt(2n-sqrt((2n-1)(2n+1)))=1/sqrt2 (4n-2sqrt((2n-1)(2n+1)))=`
    `=1/sqrt2(sqrt(2n+1)-sqrt(2n-1))`
    Тогда `S_5000=1/sqrt2(sqrt10001-sqrt9999+sqrt9999-sqrt9997+...+sqrt5-sqrt3+sqrt3-sqrt1)`
    `S_5000=1/sqrt2(sqrt10001-1)`.
    Ближайшее целое число равно `70`.

    Ответ: `70`.
  • Задача №6
    Треугольник `LOM` с углом `/_ LOM = 12` градусов повернули на некоторый острый угол вокруг точки `O`. При этом точка `L` перешла в точку `N`, лежащую на отрезке `LM`, а точка `M` - в такую точку `K`, что `OM _|_ NK`. Найдите угол поворота (в градусах).

    Решение:
    Угол поворота `/_LON=x => /_NOM=78^0-x`.
    `/_KON=/_LOM=78^0 => /_MOK=x`
    `LO=NO => /_ONL=/_OLN=90^0-x/2`
    `/_OML=12^0+x/2 => /_KNM=78^0-x/2`
    `/_KNO=180^0-(12^0-x/2)-(90^0-x/2)=78^0+x`
    С другой стороны `/_KNO=/_MLO=90^0-x/2`
    `78^0+x=90^0-x/2`
    `3/2x=12^0`
    `x=8^0`.

    Ответ: `8`.
  • Задача №7
    Найдите количество всех целочисленных решений неравенства
    `sqrt(3cos((pix)/2)-cos((pix)/4)+1)-sqrt6cos((pix)/4)>=0`
    принадлежащих отрезку `[1991 ; 2013]`.

    Решение:
    Замена `cos((pix)/4)=y, y in [-1;1]`.
    `sqrt(6y^2-y-2)>=sqrt6y`
    Если `y>=0`, то нер-во явно не выполняется, поэтому нер-во эквивалентно системе
    `{(6y^2-y-2>=0),(y<0):} iff {(y in (-oo;-1/2]uu[2/3;+oo)),(y<0):} => y in (-oo;-1/2]`
    `cos((pix)/4)<=-1/2 => 2/3pi+2pik<=(pix)/4<=4/3pi+2pik, k in ZZ`
    `8k+2+2/3<=x<=8k+5+1/3, k in ZZ`.
    На отрезке `[1991;2013]` получаем следующие промежутки:
    `x in [1994 2/3; 1997 1/3]uu[2002 2/3; 2005 1/3]uu[2010 2/3; 2013 1/3]`
    Всего `9` целых решений.

    Ответ: `9`.

  • Задача №8
    Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством
    `2(3-2x)>=|y-x^2|+|y+x^2|`

    Решение:
    `y>=x^2`: `2(3-2x)>=2y iff y<=3-2x`
    `-x^2<=y<=x^2`: `2(3-2x)>=2x^2 iff x^2+2x-3<=0 iff x in [-3;1]`
    `y<=-x2^`: `2(3-2x)>=-2y iff y>=2x-3`
    Построив график фигуры, получаем трапецию, высота которой равна `1-(-3)=4`.
    Координаты нижнего основания: `(-3;9), (-3;-9)`
    Координаты верхнего основания: `(1;1), (1;-1)`
    Поэтому, длины оснований равны `18` и `2` соотв.
    `S_(трап)=1/2h(a+b)=1/2*4*20=40`.

    Ответ: `40`.
  • Задача №9
    Первоклассница Маша, выходя из школы, каждый раз спускается со школьного крыльца по лестнице, имеющей `10` ступенек. Находясь вверху лестницы или на очередной ее ступеньке, она может либо спуститься на следующую ступеньку, либо перепрыгнуть через одну ступеньку вниз (перепрыгнуть через две или более ступенек Маша пока не может). Какое минимальное количество раз Маше нужно выйти из школы, чтобы спуститься с крыльца всеми возможными способами?

    Решение:
    Пусть `f(n)` - количество способов спуска с крыльца с `n` ступенек.
    Очевидно рекуррентное соотношение `f(n+2)=f(n+1)+f(n)`, где `n in NN`.
    `f(1)=1, f(2)=2 => f(3)=3 => f(4)=5 => f(5)=8 => ... => f(10)=89`.

    Ответ: `89`.
  • Задача №10
    Найдя какой-нибудь многочлен шестой степени `x^6 + a_1x^5 + ... + a_5x + a_6` с целыми коэффициентами, одним из корней которого служит `число sqrt2+root(3)3`, впишите в ответ сумму его коэффициентов `a_1 + a_2 + ... + a_6`.

    Решение:
    Наш корень `x=sqrt2+root(3)3`
    `x-sqrt2=root(3)3`
    Возведем в куб: `(x-sqrt2)^3=3`
    `x^3-3sqrt2x^2+6x-2sqrt2=3`
    `x^3+6x-3=sqrt2(3x^2+2)`
    В квадрат: `(x^3+6x-3)^2=2(3x^2+2)^2`
    `x^6+36x^2+9+12x^4-6x^3-36x=18x^4+24x^2+8`
    `f(x)=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1=0`
    Очевидно, что `x=sqrt2+root(3)3` является корнем многочлена `f(x)`.
    Тогда `a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=0-6-6+12-36+1=-35`.

    Ответ: `-35`.

    В этой теме выложены задания и частичные решения первого тура. Списывать эти решения нельзя, вашу работу аннулируют. Можете разобраться в этих решениях и на их основе построить свои решения. Либо вы можете заказать индивидуальные решения первого тура по математике (только математика!). Стоимость = 5 тыс. руб. (для первых 10 абитуриентов стоимость 4 тыс. руб.).

    Ответы первого тура на следующей странице темы


Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике