Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Ломоносов» по математике / Задания прошлых лет с решениями (2005-2010)
  • 2009 год - очный тур (заочный тур не проводился) - Вариант 1
    Задача №1 (2009 год - очный тур)
    На сколько одно из двух положительных чисел больше другого, если их среднее
    арифметическое равно `2sqrt3`, а среднее геометрическое равно `sqrt3`?
    Ответ: на `6`.

    Вариант 3
    На сколько одно из двух положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно `3sqrt3`, а среднее геометрическое равно `sqrt2`?

    Решение:
    Пусть `x` и `y` — искомые числа и `x >= y`.
    Тогда `xy = 2, x >= y > 0`.
    Искомой является разность `x – y`. Имеем:
    `(x – y)^2 = x^2 + y^2 – 2xy = x^2 + y^2 + 2xy – 4xy =(x+y)^2-4xy=(2*3sqrt3)^2-4*2=100`

    Так как `x – y >= 0`, то получаем ответ: на `10`.

    Ответ: на `10`.
  • Задача №2 (2009 год - очный тур) - Вариант 1
    В свежих грибах содержание воды колеблется от `90%` до `99%`, а в сушеных — от `30%` до `45%`. В какое, наибольшее число раз при этих ограничениях может уменьшиться вес грибов в результате сушки?
    Ответ: в `70` раз.

    Вариант 3
    В свежих грибах содержание воды колеблется от `75%` до `99%`, а в сушеных — от `15%` до `30%`. В какое, наибольшее число раз при этих ограничениях может уменьшиться вес грибов в результате сушки?

    Решение:
    В массе `M_(св)` свежих грибов и в массе `M_(суш)` сушеных грибов содержится одна и та же масса `m` собственно грибов (грибного вещества). Ее процентное содержание в `M_(св)` и `M_(суш)` обозначим через `p` и `q` соответственно. Тогда из условия имеем:
    `{(p=(100m)/(M_(св))in (1%;25%)),(q=(100m)/(M_(суш)) in (70%;85%)):} iff {(M_(св)=(100m)/p),(M_(суш)=(100m)/q):}`
    Отсюда `(M_(св))/(M_(суш))=q/p, где 70/25<=q/p<=85/1`.<br />
    Ответ: в `85` раз.
  • Задача №3 (2009 год - очный тур) - Вариант 1
    При каждом значении `a` найдите все значения `x`, удовлетворяющие уравнению
    `log_5((x+1)^2/x-a)=log_5(x+1)^2/x-log_5a`
    Ответ: при `a <=1` — решений нет; при `2 != a > 1` — два решения: `x = a – 1`, при `a = 2` — одно решение: `x = 1`.

    Вариант 3:
    При каждом значении `a` найдите все значения `x`, удовлетворяющие уравнению
    `log_2(x^2/(x-1)-a-1)=log_2x^2/(x-1)-log_2(a+1)`

    Решение:
    Пусть `x^2/(x-1)=t, a+1=b`, тогда
    `log_2(t-b)=log_2t-log_2b`, где `{(t>0),(b>0),(t>b):}`
    Имеем:
    `log_2(t-b)=log_2(t/b), t-b=t/b, t(b-1)=b^2`
    `iff {(b=1),(0=1 O/):} uu {(b=1),(t=b^2/(b-1)):}`
    Осталось перейти к переменным `x` и `a`. Предпоследняя система означает, что при `a = 0` исходное уравнение не имеет решений (как и при всех `a <= –1`, при которых не существует `log_2(a + 1)`). Из последней системы имеем уравнение<br />
    `x^2/(1-x)=b^2/(1-b), x^2(1-b)+xb^2-b^2=0`
    с очевидным корнем `x_1=b`.
    Так как `t=b^2/(b-1)>0, b>0`, то `b>1` и `a>0`
    Второй корень найдем из теоремы Виета:
    `x_1x_2=-b^2/(b-1) => x_2=b/(b-1)=(a+1)/a>1 iff 1/a>0 iff a>0`
    Корни совпадают при `a=1`, т.к. `(a+1)/a=a+1 => a=1, x_1=x_2=2`.

    Ответ: уравнение не имеет решений при `a <= 0`; при `a = 1` уравнение имеет единственное решение `x = 2`; при `a in (0;1)uu(1;+oo)` уравнение имеет два различных решения: `x=a+1, x=(a+1)/a`.<br />
  • Задача №4 (2009 год - очный тур) - Вариант 1
    Можно ли данный двугранный угол величиной `90^0` пересечь плоскостью так, чтобы в полученном сечении образовался угол величиной `110^0`?

    Ответ: можно.

    Вариант 3
    Можно ли данный двугранный угол величиной `90^0` пересечь плоскостью так, чтобы в полученном сечении образовался угол величиной `140^0`?

    Решение:
    image
    Построим в пространстве плоский угол `ASB`, равный `70^0`, и рассмотрим плоскость `pi_2`,
    перпендикулярную прямой `SA` и проходящую через точку `S` (см. рисунок). Плоскость `pi_2` пересекает плоскость `pi_1 = ASB` по прямой `L_1L_2`. Будем вращать луч `SL_1` вокруг прямой `SA` до положения `SL_2`. Так как `/_BSL_1 = 20^0`, `/_BSL_2 = 160^0`, `20^0 < 140^0 < 160^0`, и угол между поворачиваемым лучом `SL_1` и лучом `SB` изменяется непрерывно, то найдется такое положение `SC` луча `SL_1`, при котором `/_CSB = 140^0`.

    Ответ: можно.
  • Задача №5 (2009 год - очный тур) - Вариант 1
    Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел `m` и `n`, если при увеличении числа `m` на `6` он увеличивается в `4` раза?
    Ответ: `2` или `6`.

    Вариант 3
    Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел `m` и `n`, если при увеличении числа `m` на `10` он увеличивается в `4` раза?

    Решение:
    Существуют такие натуральные числа `m` и `n`, что `НОД(m; n) = d, НОД(m + 10; n) = 4d`.
    Значит, на число `d` делятся числа `m + 10, m` и их разность `m + 10 – m = 10`. Поэтому возможны лишь следующие случаи:
    `d = 1, d = 2`,
    `d = 5, d = 10`.
    Так как числа `m + 10`, `n` делятся на `4`, то числа `m` и `n` — четные; число `d` тоже четное: `d = 2` или
    `d = 10`. Оба эти значения, и только они, подходят.
    При `d = 2` должно быть
    `НОД(m; n) = 2`,
    `НОД(m + 10; n) = 8`.
    Этим условиям удовлетворяет, например, пара `n = 8, m = 6`.
    При `d = 10` должно быть
    `НОД(m; n) = 10`,
    `НОД(m + 10; n) = 40`.
    Подходит, например, пара `n = 40, m = 30`.

    Ответ: `2` или `10`.
  • Задача №6 (2009 год - очный тур) - Вариант 1
    Сколько решений на отрезке `[0; pi]` имеет уравнение `5sinx + 4 = |5cosx + 2|`?
    Ответ: одно решение.

    Вариант 3
    Сколько решений на отрезке `[0; pi]` имеет уравнение `7sinx + 5 = |7cosx + 3|`?

    Решение:
    Здесь эффективна замена `u = cosx, v = sinx`. Задача теперь заключается в нахождении числа решений системы
    `{(v=|u+3/7|-5/7),(u^2+v^2=1):}` (1-2)
    `v in [0;1], u in [-1;1]` (3)
    Ломаная (1) состоит из двух лучей с общей вершиной `(-3/7;-5/7)`, вершина находится в третьей четверти внутри единичного круга, так как `(-3/7)^2+(-5/7)^2=34/49<1`.<br />
    лишь правый луч пересекает отрезок `u in [–1; 1]` в точке `(2/7;0)` и верхнюю полуокружность (2), (3); левый луч их не пересекает (рисунок).
    Вывод. Система (1)–(3) и исходная задача имеют по одному решению.
    image
    Ответ: одно решение.
  • Задача №7 (2009 год - очный тур) - Вариант 1
    Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке `A`, а третьей окружности — в точках `B` и `C`. Продолжение хорды `AB` первой окружности пересекает вторую окружность в точке `D`, продолжение хорды `AC` пересекает первую окружность в точке `E`, а продолжения хорд `BE` и `CD` — третью окружность в точках `F` и `G` соответственно. Найдите `BG`, если `BC=5` и `BF=12`.

    Ответ: `13`.

    Вариант 3
    Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке `A`, а третьей окружности — в точках `B` и `C`. Продолжение хорды `AB` первой окружности пересекает вторую окружность в точке `D`, продолжение хорды `AC` пересекает первую окружность в точке `E`, а продолжения хорд `BE` и `CD` — третью окружность в точках `F` и `G` соответственно. Найдите `BF`, если `BC=5` и `BG=13`.

    Решение:
    Решение основано на свойствах точек касания вписанных углов и углов между касательными и хордами.
    1. Докажем, что `BE || CD`. Пусть `KL` — общая касательная к окружностям `mu_1 = BAE` и `mu_2 = CAD`. Вертикальные углы `BAK` и `DAL` равны, каждый из них образован касательной и хордой, а значит: `/_BEA = /_BAK = /_DAL = /_DCA`. Из равенства накрест лежащих углов (`/_BEA = /_DCA`) следует параллельность прямых `BE` и `CD`.

    2. Докажем, что `/_BCD=pi/2=/_CBE`. Пусть `l_(1,3)` и `l_(2,3)` — общие касательные к окружностям `mu_1, mu_3` и `mu_2, mu_3` соответственно (где `mu_3 = BCGF`), точка `B in l_(1,3)`, точка `C in l_(2,3)`, точка `N = l_(1,3) nn l_(2,3)` (рисунок). Обозначим равные углы:
    `alpha = /_CBN = /_BCN`
    image
    (в силу равенства длин касательных `NC = NB`);
    `beta = /_ACN = /_ADC = /_ABE, gamma = /_ABN = /_AEB = /_ACD`
    (так как `CN` и `BN` — касательные и `BE||CD`).
    Тогда
    `/_CBE = alpha + beta + gamma = /_BCD`,
    но `/_CBE + /_BCD = pi`, так как `BE || CD`. Значит:
    а) `/_CBE=/_BCD=pi/2`
    б) `BCGF` — прямоугольник (рисунок).
    3. Вычисления. По теореме Пифагора найдем `BF=sqrt(BG^2-BC^2)=12`.

    Ответ: `12`.
  • Задача №8 (2009 год - очный тур) - Вариант 1
    Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего движения на противоположное, вращаясь со своей прежней угловой скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют промежуток `[0;60)`.
    а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз показать каждое из двух чисел `15` и `45`?
    б) Какое наибольшее количество раз в течение трех суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?
    Ответ: а) может; б) `72`.

    Вариант 3
    Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего движения на противоположное, вращаясь со своей прежней угловой скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют промежуток `[0;60)`.
    а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз показать каждое из двух чисел `20` и `50`?
    б) Какое наибольшее количество раз в течение трех суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?

    Решение:
    Утвердительный ответ обоснуем конкретным примером.
    1. Пусть в `0` часов стрелка находится в точке `A(20)` (рисунок) и далее совершает следующую бесконечную последовательность шагов (колебаний).
    image
    `1`-й шаг. Из точки `A` стрелка поднимается за `1/4` минуты вверх и возвращается за `1/4` минуты в точку `A`. Длительность `1`-го шага — `t_1=1/2` мин.
    `2`-й шаг. Стрелка поднимается за `1/8` минуты вверх и возвращается за `1/8` минуты в точку `A`. Длительность `2`-го шага — `t_2=1/4` мин.
    `n`-й шаг. Стрелка поднимается за `1/2^(n+1)` минуты вверх и возвращается за `1/2^(n+1)` мин. в точку `A`. Длительного `n`-го шага — `t_n=1/2^n` мин.

    Каждый шаг возможен. Ведь стрелка в произвольные моменты времени и мгновенно может менять направление движения, вращаясь всегда с постоянной скоростью. Мы лишь выбрали такие моменты времени. За бесконечное число шагов (при `n -> +oo`) стрелка бесконечно много раз покажет число `20` и затратит на это время, равное
    `T=1/2+1/4+...+1/2^n+...=(1/2)/(1-1/2)=1` мин
    Здесь использована формула суммы `T=a/(1-q)` бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом `a=1/2` и знаменателем `q=1/2`.

    2. Теперь время равно `0` ч `1` мин. Затем стрелка перейдет в положение `B(50)` (рисунок).
    image
    Далее, пусть стрелка около точки `B` совершит такую же бесконечную последовательность шагов (колебаний), как и около точки `A`, затратив на это еще `1` мин. Значит, в течение часа стрелка бесконечно много раз может показать каждое из двух чисел `20` и `50`. Пусть `A` — конец минутной стрелки. Тогда точка `A` движется по окружности и за двое суток пройдет расстояние, равное `48` полным окружностям. Моменты смены направления движения стрелки делят путь, проходимый точкой `A`, на конечное или бесконечное число дуг, сумма длин которых составляет ровно `48` полных окружностей. При любом расположении этих дуг на окружности они не могут покрыть все точки окружности более `48` раз. Следовательно, всегда найдется точка, покрытая не более `48` раз. Поэтому самое редкое показание минутной стрелки в течение двух суток встретится не более `48` раз. Число `48` достижимо. Достаточно рассмотреть случай, когда минутная стрелка в течение двух суток не меняет направления своего движения. В этом случае все показания встречаются не менее `48` раз, а самое редкое — ровно `48` раз.

    Ответ: а) может; б) `48`.
  • Задача №9 (2009 год - очный тур)
    Найдите все пары `(x,y)`, при каждой из которых для чисел
    `u=sqrt(4+x^3-9x)-x-3^y` и `v=2-x-3^y`
    справедливы все три следующих высказывания сразу: если `|u|> |v|`, то `u > 0`, если `|u| < |v|`, то `0 > v`, а если `|u| = |v|`, то `u > 0 > v`.
  • 2008 год - очный тур (заочный тур не проводился) - Вариант 1
    Задача №1 (Олимпиада «Ломоносов» 2008 - очный тур)
    Найти `k`, если `1/(1/(1/(sqrt5-2k)+4)+4)+4=sqrt5+2`.

    Решение:
    `1/(1/(sqrt5-2k)+4)+4=1/(sqrt5-2)=sqrt5+2 iff 1/(sqrt5-2k)+4=sqrt5+2` `iff sqrt5-2k=sqrt5+2 iff k=-1`

    Ответ: `1`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике