Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 / Задания и решения очного тура по математике


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Ломоносов 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 / Задания и решения очного тура по математике

    Олимпиада «Ломоносов» - основная тема
    Олимпиада «Ломоносов» — задания прошлых лет с решениями (2005-2010)
    Олимпиада «Ломоносов» 2013-2014 — задания и решения отборочного этапа по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2012-2013 — задания и решения отборочного этапа по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2011-2012 — задания и решения отборочного этапа по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 — задания и решения отборочного этапа по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2012-2013 — задания и решения очного тура по математике
    Олимпиада «Ломоносов» 2011-2012 — задания и решения очного тура по математике
  • Задача №1 (Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 - очный тур по математике)
    Два поезда, содержавшие по `15` одинаковых вагонов каждый, двигались навстречу друг другу с постоянными скоростями. Ровно через `28` с после встречи их первых вагонов пассажир Саша, сидя в купе третьего вагона, поравнялся с пассажиром встречного поезда Валерой, а еще через `32` с последние вагоны этих поездов полностью разъехались. В каком по счету вагоне ехал Валера?

    Решение:
    Так как с момента разъезда «нулевых» вагонов (он же — момент встречи первых вагонов) до момента разъезда `15`-х вагонов прошло `60` с, то через каждые `60 : 15 = 4` с разъезжались очередные вагоны. Поэтому через `28` с только что разъехались `7`-е вагоны поездов, т. е. `7`-й вагон одного поезда поравнялся с `8`-м вагоном другого. В этот момент `3`-й, Сашин, вагон поравнялся с Валериным вагоном, имеющим номер `8 + (7 - 3) = 12`.

    Ответ: `12`.
  • Задача №2 (Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 - очный тур по математике)
    Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой
    `{(sqrt(1-x)+2x>=0),(-1-x^2<=y<=2+sqrtx):}`<br />
    Решение:
    Система определена при условии `x in [0,1]`, при котором первое неравенство системы выполнено. Так как функции `y = x^2` и `y =sqrtx` при `x in [0, 1]` взаимно обратны, то площадь фигуры, определяемая условиями `x in [0, 1]`, `−1−x^2 <=y<=2+sqrtx`, составлена из тех же частей, что и площадь прямоугольника, заданного условиями `x in [0, 1]`, `y in [−2, 2]`, т. е. равна `4`.<br />
    Ответ: `4`.
  • Задача №3 (Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 - очный тур по математике)
    Из шара какого наименьшего радиуса можно вырезать правильную четырехугольную пирамиду с ребром основания `14` и апофемой `12`?

    Решение:
    С одной стороны, диаметр шара не может быть меньше диагонали `14sqrt2` основания (квадрата со стороной `14`) содержащейся в нем пирамиды, поэтому радиус искомого шара не меньше `7sqrt2`. C другой стороны, шар радиусом `7sqrt2` с центром в точке пересечения диагоналей основания пирамиды содержит ее вершину, а с ней и всю эту пирамиду, так как ее высота равна
    `h =sqrt(144 − 49) =sqrt95 < 7sqrt2 (⇔ 95 < 98)`.

    Ответ: `7sqrt2`.
  • Задача №4 (Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 - очный тур по математике)
    Решите неравенство
    `log_5(5x^2+2x)*log_5(5+2/x)>log_5(5x^2)`

    Решение:
    ОДЗ: `x>0,x< -2/5`.

    `log_5(5x^2+2x)(log_5(5x^2+2x)-log_5(x^2))>log_5(x^2)+1`,
    `(2log_5(5x^2+2x)-log_5(x^2))^2-(log_5(x^2)+2)^2>0`,
    `2(log_5(5+2/x)-1)(log_5(5x^2+2x)+2)>0`

    `{(log_5(5+2/x)-1>0),(log_5(5x^2+2x)+2>0):}`
    или
    `{(log_5(5+2/x)-1<0),(log_5(5x^2+2x)+2<0):}`<br />
    `x in ((-1-sqrt(1,2))/5;0)uu((-1+sqrt(1,2))/5;+oo)`,

    пересекаем с ОДЗ: `x in ((-1-sqrt(1,2))/5;-2/5)uu((1+sqrt(1,2))/5;+oo)`.

    Ответ: `x in ((-1-sqrt(1,2))/5;-2/5)uu((1+sqrt(1,2))/5;+oo)`.
  • Задача №5 (Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 - очный тур по математике)
    Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке `K`. Хорда `AB` большей окружности касается меньшей окружности в точке `L`, причем `AL = 10`. Найдите `BL`, если `AK : BK = 2 : 5`.

    Решение:
    image
    Проведем хорду `PQ` и общую касательную `MN` (см. рисунок), тогда
    `/_PQK=1/2⌣PK=/_PKM=1/2⌣AK=/_ABK`,
    поэтому `PQ||AB` и `⌣PL=⌣QL`. Следовательно, `/_PKL=/_QKL`, т.е. `KL` - биссектриса треугольника `AKB`, откуда получаем
    `(AL)/(BL)=(AK)/(BK)=2/5 => BL=10*5/2=25`.

    Ответ: `25`.
  • Задача №6 (Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 - очный тур по математике)
    При каких значениях `a, b` и `c` множество действительных корней уравнения
    `x^5 + 2x^4 + ax^2 + bx = c`
    состоит в точности из чисел `−1` и `1`?

    Решение:
    1) `x_1=-1:` `-1+2-a-b=c`
    `a+b+c=1`
    `x_2=1:` `1+2+a+b=c`
    `c-a-b=3`
    `{(a+b+c=1),(c-a-b=3.):} `
    `{(c=2),(a+b=1.):}`
    `b=-1-a`

    2) уравнение
    `x^5+2x^4+ax^3-(a+1)x-2=0`
    `x^5-x^3+2x^4-2x^2+(a+1)(x^3-x)+2x^2-2=0`
    `(x^2-1)(x^3+2x^2+x(a+1)+2)=0`
    3) уравнение `x^3+2x^2+x(a+1)+2=0`
    не должно иметь корней, либо корни должны совпадать с `-1` и `1`
    `f(x)x^3+2x^2+x(a+1)+2`
    для любого `a` найдется такие `x`, что `f(x)>0` и `f(x)<0`<br />
    значит, эти корни есть, и по условию задачи они могут равняться только `1` или `-1`.
    a) пусть корень `x=-1:` `f(-1)=0`
    `-1+2-(a+1)+2=0`
    `a=2,`
    `f(x)=x^3+2x^2+3x+2=(x+1)(x^2+x+2)`
    только один корень `x=-1`. Все ок, `a=2, b=-3, c=2`.
    б) `x=1` : `f(1)=0`
    `1+2+(a+1)+2=0`
    `a=-6`
    `f(x)=x^3+2x^2-5x+2=(x-1)(x^2+3x-2)`
    Есть еще корни кроме `1`

    Ответ: `a=2, b=-3, c=2`.

    Ответ:
  • Задача №7 (Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 - очный тур по математике)
    Какое наименьшее (одинаковое) число карандашей нужно положить в каждую из `6` коробок так, чтобы в любых `4` коробках нашлись карандаши любого из `26` заранее заданных цветов (карандашей имеется достаточное количество)?

    Решение:
    При условии, что всего цветов `26` штук.
    Пусть `f(i)` - кол-во карандашей `i`-го цвета (суммарно по всем коробкам),
    тогда `sum_(i=1)^26f(i)=6x`, где `x` - кол-во карандашей в каждой коробке.
    Без ограничения общности можем считать, что `f(1)<=f(2)<=...<=f(26)=>`
    `6x>=26f(1) iff x>=13/3f(1)`.
    Если `f(1)=1` или `2`, тогда карандаш цвета `1` попадет максимум в `2` коробки, значит в остальных `4` его не будет, противоречие.
    Следовательно `f(1)>=3 => x>=13`.

    При `x=13`, возможен такой вариант расположения карандашей (числом обозначаю цвет), необязательно строить конкретный пример, достаточно доказать существование, что в свою очередь следует из возможности раскидать в каждую коробку `13` разных цветов, что в свою очередь очевидно.

    Ответ: `13`.
  • Задача №8 (Олимпиада «Ломоносов» 2010-2011 - очный тур по математике)
    Функция `y = f(t)` такова, что сумма корней уравнения
    `f(sin x) = 0`
    на отрезке `[(3pi)/2 , 2pi]` равна `33pi`, а сумма корней уравнения
    `f(cos x) = 0`
    на отрезке `[pi, (3pi)/2]` равна `23pi`. Какова сумма корней второго уравнения на отрезке `[pi/2;pi]`?

    Решение:
    При `x in [(3pi)/2;2pi]`: `sinx in [-1;0]`, при `x in [pi/2;(3pi)/2]`: `cosx in [-1;0]`.
    пусть `f(z)=0` имеет `k` корней `z_i`, где `z_i in [-1;0]` для всех `i=1,2,..,k`.
    Тогда для каждого такого `z_i` имеем корни первого уравнения `f(sinx)=0`:
    `x_i = (3pi)/2 + t_i`;
    Для второго уравнения `f(cosx)=0`, на отрезке `[pi;(3pi)/2]`
    `y_i = x_i - pi/2 = pi + t_i`;
    `33pi=sumx_i = sumy_i + k*pi/2 = 23pi + k*pi/2`;
    `k = 20`;
    `sumy_i = 20pi + sum(t_i) = 23pi`;
    `sumt_i = 3pi`;
    Корни уравнения `f(cosx)=0` на отрезке `[pi/2;pi]` находятся так:
    `y_i'=pi-t_i`, тогда
    `sumy_i' = sum(pi - t_i) = 20pi -sumt_i = 17pi`.

    Ответ: `17pi`.
  • Задача №6

    При подстановке x=-1 должно получиться -1+2+a-b=c, а не -1+2-a-b=c (при взведении (-1) в квадрат получается 1)?

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике