Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2017 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2013-2014 / Задания и решения / МГУ им. М.В. Ломоносова


  • Сезон олимпиад 2016-2017 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.

    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2015-2016 - задания и решения отборочного этапа по математике.
    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014. Задания и решения. МГУ им. М.В. Ломоносова

    Задания и решения третьего тура отборочного этапа по математике (по ссылке)
    Задания и решения второго тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - второй тур выложен в другой теме!



    Олимпиада школьников Покори Воробьевы горы 2013-2014 по математике является олимпиадой 1 уровня, а значит диплом этой олимпиады даст вам максимальные льготы при поступлении в МГУ им. М.В. Ломоносова и другие ведущие вузы страны.
    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014 - регистрация началась на сайте олимпиады.

    Заказать индивидуальные решения третьего тура по математике (6000 руб.)
    Начался первый тур отборочного этапа олимпиады Ломоносов 2014. Задания и решения первого тура выложены здесь. Всем участникам олимпиады Покори Воробьевы горы 2013-2014 обязательно надо ознакомиться со всей этой информацией, т.к. отборочные этапы обеих олимпиад проводятся по очень схожей схеме, и задачи будут примерно одного уровня.
    Обновление от 10 ноября:

    Олимпиада Покори Воробьевы горы 2014 - отборочный этап


    Задания и решения третьего тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - третий тур выложен в другой теме!
    Задания и решения второго тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - второй тур выложен в другой теме!


    Внимание: поменялся формат отборочного этапа олимпиады. Если раньше давали 9-10 задач с неограниченным временем на решение этих задач (до конца января), теперь отборочный этап проводится в три тура! Ниже краткое пояснение, инструкции и регламент олимпиады.
    Скачать регламент олимпиады для 10-11 классов
    В этой теме будут выложены задания и частичные решения первого тура. Списывать эти решения нельзя, вашу работу аннулируют. Можете разобраться в этих решениях и на их основе построить свои решения. Либо вы можете заказать индивидуальные решения первого тура по математике (только математика!). Стоимость = 5 тыс. руб. (для первых 10 абитуриентов стоимость 4 тыс. руб.). Либо подключайте один из наших курсов подготовки, в составе которого есть олимпиада Покори Воробьевы горы 2014.

    Задания и решения второго тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - второй тур выложен в другой теме!
    — Три тура отборочного этапа.
    — Туры независимые, т.е. достаточно пройти один тур из трех, чтобы попасть на очный тур (заключительный этап).
    — Первый тур проводится с 11 ноября 2013 года по 17 ноября 2013 года.
    — Второй тур проводится с 9 декабря 2013 года по 15 декабря 2013 года.
    — Третий тур проводится с 11 января 2014 года по 17 января 2013 года.
    — Можно пройти все три тура, будет оцениваться лучший тур (на ваш выбор, либо автоматически, если вы не выбрали лучший тур)
    — Перед прохождением каждого тура надо пройти тестовое задание (скорее всего в виде задачи с возможностью выбора ответов, эти задания и ответы будут выложены в этой теме)
    — Время на решение задач - 48 часов. Если вы начали тур 13 ноября в 13-00, то 15 ноября в 13-00 тур для вас завершен.
    — Начало прохождения тура определяете сами.
    — Если вы начали тур меньше, чем за двое суток до завершения тура, то времени вам дается ровно столько, сколько осталось до завершения тура.
    — Требуются полные решения, которые необходимо прикрепить в личном кабинете. Решения (файлы) должны быть правильно оформлены.
    — Результаты отборочного этапа будут опубликованы до 15 февраля 2014 года. Тогда же будут определены призеры и победители. Традиционно на заключительный этап пройдет примерно 35% от всего числа участников (ниже статистика за прошлый год).
    — На каждом туре отборочного этапа даются разные задачи, но примерно одинаковой сложности.
    — Личная рекомендация - проходите отборочный этап в первых двух турах, к третьему туру проснется основная группа олимпиадников и будет аврал.
    Задания и решения каждого тура будут выложены в этой теме (все или частично). Эти решения категорически запрещается списывать, вашу работу аннулируют! Вы можете заказать индивидуальные решения у наших экспертов.
    — Скорее всего у всех участников каждого тура будут идентичные задания!

    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» - задания прошлых лет с решениями


    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2011-2012 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2010-2011 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2009-2010 - задания и решения заочного тура.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - решения очного тура в Москве.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2012-2013 - решения очного тура в Брянске.
    Олимпиада школьников «Покори Воробьевы Горы» 2011-2012 - решения очного тура по математике по всем городам (9 вариантов).

    Олимпиада Покори Воробьевы Горы 2013-2014 - задания и решения заочного тура по математике


    В этой теме размещаются задания и решения заочного тура олимпиады «Покори Воробьевы Горы» 2013-2014.
    Задания и решения будет выложены после 11 ноября (начало первого тура отборочного этапа олимпиады).

    Олимпиада Воробьевы горы - оцени свои шансы!


    Ниже приведена подробная статистика по прошедшему учебному году.
    Предмет математике, классы - 10-11 (для 10 и 11 классов проводилась одна олимпиада).
    — Всего приняло участие 1375 человек, из который прошли на заключительный тур 487 человек (35,42%), а также 9 победителей олимпиады 2011-2012.
    — Проходной балл составил 60 из 100, что эквивалентно решению 5 задач из 9. Победителями стали 127 человек (9,24%), набравшие 90 баллов или больше. Призерами стали 360 человек (26,18%), набравшие от 60 до 85 баллов.
    — На одного 10-классника пришлось примерно десять 11-классников.

    Таблица 1 - олимпиада Воробьевы горы (заочный тур по математике)
    image

    — На очном туре олимпиады приняло участие 341 учеников (из 496 прошедших всего).
    — Дипломы получили 122 человека (35,78%), дипломы 1 степени - 30 человек (8,80%), дипломы 2 степени - 49 (14,37%), дипломы 3 степени - 43 (12,61%).
    — 1 степень начиналась от 80 баллов (5 задач из 6), 2 степень - от 60 баллов (4 задачи из 6), 3 степень - от 50 баллов (3 задачи из 6).

    Таблица 1 - Воробьевы горы олимпиада (заключительный тур по математике)
    image

    Олимпиада Воробьевы горы 2013-2014 - прогноз по математике (11 класс):
    — 1500 участников отборочного этапа
    — 500-550 пройдут на очный тур
    — 400-450 примут участие на очном туре
    — 150-170 победителей и призеров олимпиады

    Заочный тур олимпиады школьников «Покори Воробьевы Горы»


    Начиная с 2009 года, олимпиада «Покори Воробьевы Горы» проводится в 2 этапа. Первый отборочный этап проводится в заочной форме и стартует в октябре. Дается 9-10 заданий различной сложности, решения которых вы должны выполнить и отправить до 20 января. Первые 4 задачи доступны всем школьникам, последние 2-3 требуют олимпиадных навыков. Для прохождения на второй этап требуется решить примерно 6-7 задач. Проходные баллы меняются из года в год, но 7 правильных решений должно хватить. Также на олимпиаде школьников Ломоносов, критерии проверки очень жесткие, при этом в зачет идут только правильные решения.

    Экспертные решения заданий прошлых лет олимпиады «Покори Воробьевы Горы» (отборочный этап, заочный тур) размещены на нашем форуме. Результаты заочного тура олимпиады публикуются в феврале и будут размещены на нашем сайте.

    Очный тур олимпиады МГУ «Покори Воробьевы Горы» - ПВГ


    Очный тур олимпиады МГУ «Покори Воробьевы Горы» традиционно проводится в марте, в нескольких городах России. Города проведения очного тура олимпиады меняются из года в год. Сроки проведения олимпиады в различных городах не совпадают. Последним очный тур олимпиады Покори Воробьевы Горы (олимпиада ПВГ - решения) проходит в Москве, обычно - конец марта. Сразу после проведения олимпиады в Москве подводятся итоги олимпиады по всем городам. Результаты олимпиады публикуются через 2 дня после проведения очного тура в Москве.
    На самой олимпиаде дается 6 задач, достаточно легких в сравнении с другими олимпиадами. Но и критерии получения диплома достаточно высоки. С 3.5-4 задачами вы можете рассчитывать на диплом 3 степени, 5 задач дают 2 степень и 6 задач - 1 степень. Для сравнения, на олимпиаде "Высшая проба" НИУ ВШЭ из 6 задач достаточно решить 1.5-2, чтобы получить диплом 3 степени.
    Задания по всем городам различаются, но идейно могут быть схожими, поэтому абитуриентам из тех городов, где олимпиада проводится позже, будет весьма полезным прорешать задачи из других городов. На нашем форуме мы будем выкладывать задания и решения всех очных туров в дни их проведения.
    Покори Воробьевы горы - олимпиада МГУ им. М.В. Ломоносова.

    Новый регламент олимпиады для 10-11 классов


    Скачать регламент олимпиады для 10-11 классов

  • Задания и решения третьего тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - третий тур выложен в другой теме!


    Задания и решения второго тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - второй тур выложен в другой теме!

    Все решения выложены для ознакомления. При списывании данных решений, ваша работа будет аннулирована! Вы можете изучить решения и на их основе сделать свои решения. Либо вы можете заказать индивидуальные решения своего варианта - 6000 руб. Для первых 10 абитуриентов стоимость составит 5000 руб.


    Задание №1 (Вариант 1, олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014)

    Прямая, параллельная выделенной стороне треугольника площади `27`, отсекает от него треугольник площади `3`. Найдите площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвертая лежит на выделенной стороне. Выберите вариант ответа с числом, наиболее близким к найденному Вами.

    Выберите один ответ (выделен правильный ответ):
    a. `10,5`
    b. `9`
    c. ни один из указанных пунктов не подходит, либо подходят несколько из них
    d. `8,5`
    e. `10`
    f. `9,5`

    Решение:
    Рассмотрим случай, когда оставшаяся вершина четырехугольника - основание высоты проведенной из противоположенной (к выделенной стороне) вершины треугольника.
    Тогда четырехугольник состоит из двух треугольников, площадь одного из которых равна `3`.
    Найдем площадь второго. `S_2=1/2x*h_2`, где `x` - основание, `h_2` - высота.
    При этом `S_1=1/2x*h_1=3`.
    Также нам известно, что площадь исходного треугольника равна `27`, при это эти треугольник подобны, поэтому коэффициент подобия `k=sqrt(27/3)=3 => h=3h_1 => 3h_1=h_1+h_2 => h_2=2h_1`
    Значит, `S_2=1/2x*h_2=x*h_1=6`.
    `S_1+S_2=9`.

    Если вершина четырехугольника находится в другой точке выделенной стороны, то площадь второго треугольника не меняется, т.к. не меняется его высота и основание.
  • Задание №2 (Вариант 1, олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Вычислите

    `(root(4)x+root(4)y)*(x^2+xy-root(4)(x^7y)-root(4)(x^3y^5))/(root(4)(x^5)-root(4)(x^3y^2))`

    где `x=1,11...112` (`2013` единичек после запятой)

    `y=3,88...8` (`2014` восьмерок после запятой)

    Выберите вариант ответа с числом, наиболее близким к найденному Вами.
    Выберите один ответ:
    a. `5,13`
    b. `3,62`
    c. `9,97`
    d. ни один из указанных пунктов не подходит, либо подходят несколько из них
    e. `1,41`
    f. `7,11`

    Решение:
    Преобразуем числитель дроби:
    `x^2+xy-x^(7/4)y^(1/4)-x^(3/4)y^(5/4)=x^2-x^(7/4)y^(1/4)+xy-x^(3/4)y^(5/4)=`
    `=x^(7/4)(x^(1/4)-y^(1/4))+x^(3/4)y(x^(1/4)-y^(1/4))=x^(3/4)(x^(1/4)-y^(1/4))(x+y)`
    Преобразуем знаменатель дроби:
    `x^(5/4)-x^(3/4)y^(1/2)=x^(3/4)(x^(1/2)-y^(1/2))=x^(3/4)(x^(1/4)-y^(1/4))(x^(1/4)+y^(1/4))`
    После всех сокращений получаем выражение `x+y`.
    `x+y=5`.

    Не совсем ясно, какой ответ выбрать. Самое близкое число это `5.13`, но также годится пункт d.
  • Задание №3 (Вариант 1, олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Сколькими способами из группы, состоящей из `7` мальчиков и `8` девочек, можно выбрать команду так, чтобы в ней было `4` мальчика и `3` девочки? Среди предложенных вариантов ответа выберите наиболее близкий к правильному.

    Выберите один ответ:
    a. `2475`
    b. `1120`
    c. ни один из указанных пунктов не подходит, либо подходят несколько из них
    d. `1400`
    e. `1960`
    f. `915`

    Решение:
    Число искомых способов равно `C_7^4*C_8^3=(7!)/(4!*3!)*(8!)/(3!*5!)=35*56=1960`.
  • Задание №4 (Вариант 1, олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Определите, сколько существует различных значений `a`, при которых уравнение
    `(a^2-7)x^2-2ax-3=0`
    имеет единственное решение.

    Выберите один ответ (выделен правильный ответ):
    a. `3`
    b. `0`
    c. `1`
    d. `4`
    e. `2`
    f. ни один из указанных пунктов не подходит, либо подходят несколько из них

    Решение:
    1. Рассмотрим особый случай, когда наше уравнение является линейным, т.е. `a^2-7=0`
    `a=+-sqrt7`.
    Легко заметить, что в обоих случаях будет по `1` корню уравнения.
    2. Пусть `a!=+-sqrt7`. Тогда получаем квадратное уравнение, которое имеет единственное решение при `D=0`.
    `D/4=a^2+3(a^2-7)=4a^2-21=0 iff a=+-sqrt21/2`.
    Итого, получили 4 различных значения параметра `a`.
  • Задача №5 (вариант 1)
    Продукт, содержавший первоначально `98%` воды, за некоторое время высох и стал содержать `97%` воды. Во сколько раз он усох (т.е. уменьшил свой вес)?

    Выберите один ответ:
    a. в `98/97` раз
    b. в `2` раза
    c. ни один из указанных пунктов не подходит, либо подходят несколько из них
    d. в `1,5` раза
    e. в `97/98` раз
    f. в `103/102` раз

    Решение:
    Пусть `x` - первоначальный вес продукта, `y` - вес продукта после сушки.
    Тогда `x=0,98x+0,02x, y=0,97y+0,03y`
    при этом в абсолютных величинах изменился лишь объем воды, поэтому `0,02x=0,03y`
    `2x=3y => x/y=3/2`. Вес уменьшился в `1.5` раза.
  • Задача №6 (вариант 1)
    Найдите количество корней уравнения

    `3^((sinx-4)/(2sinx-3))-2=3^((sinx+1)/(2sinx-3))`
    (в степенях дроби `(sinx-4)/(2sinx-3)` и `(sinx+1)/(2sinx-3)`)
    принадлежащих отрезку `[-(3pi)/2;10pi]`.

    Решение:
    Первый способ. Заметим, что `(sinx-4)/(2sinx-3)=1-(sinx+1)/(2sinx-3)`
    Сделаем замену `(sinx+1)/(2sinx-3)=t`
    получим уравнение `3^(1-t)-2=3^t`
    `3^(2t)+2*3^t-3=0`
    `3^t=1` или `3^t=-3` - второй случай исключаем.
    `t=0 => (sinx+1)/(2sinx-3)=0 => sinx=-1, x=-pi/2+2pik, k in ZZ`.
    На отрезке `[-(3pi)/2;10pi]` получаем корни `-pi/2, (3pi)/2, (7pi)/2, (11pi)/2, (15pi)/2, (19pi)/2`
    Всего `6` корней.

    Ответ: `6` корней.
  • Задача №7 (вариант 1)
    В прямоугольном треугольнике `KLM` угол `M` прямой. На стороне `KM` как на диаметре построена окружность. Из вершины `L` проведена касательная к окружности, отличная от `LM`, и `F` - точка касания. Отрезок `FG` является в окружности хордой, перпендикулярной стороне `KM`. Найдите отношение `AB:FG`, где `A` и `B` - точки пересечения `FG` с `KL` и `KM` соответственно. В ответе укажите найденное число, предварительно округлив его до сотых, если требуется.

  • Задача №8 (вариант 1)
    Найдите сумму корней уравнения
    `cos^2x+cos^2 4x -2cosx*cos3x*cos4x=sin^2 5x`
    принадлежащих отрезку `[-2pi;-pi]`. В ответе укажите целое число, наиболее близкое к найденной сумме.

    Решение:
    Обозначим `cosx=a, cos4x=b`. Тогда уравнение запишется следующим образом:
    `a^2+b^2-2abcos3x=(asin4x+bsinx)^2`
    `a^2+b^2-2abcos3x=a^2sin^2 4x+b^2sin^2x+2ab*sin4xsinx`
    `a^2(1-sin^2 4x)+b^2(1-sin^2x)-2ab(cos3x+sinxsin4x)=0`
    `2a^2b^2-2ab(cos3x+sinxsin4x)=0`
    `a=0` или `b=0` или `cos3x+sinxsin4x=ab`
    `cosx=0` или `cos4x=0` или `cos3x=cos4xcosx-sinxcos4x=cos5x`
    `x=pi/2+pik, k in ZZ` или `x=pi/8+(pin)/4, n in ZZ` или `2sin4x*sinx=0`
    `x=(pim)/4, m in ZZ` или `x=pil, l in ZZ` - эта серия входит в предыдущую.
    Получили `x=pi/2+pik, pi/8+(pin)/4, (pim)/4`, где `k,n,m in ZZ`.
    Сумму корней на отрезке `[-2pi;-pi]` считаем сами.
  • Задача №9 (вариант 1)
    Три сестры пришли на рынок и продавали поштучно цыплят. Первая принесла `12` цыплят, вторая — `18`, третья — `32` цыпленка. Каждая из них часть товара продала утром, а часть — вечером. Утренняя цена одного цыпленка была у всех сестер одинаковая, и вечерняя цена тоже одинаковая, но более низкая (положительная). К вечеру весь товар был распродан, и дневная выручка (за утро и вечер) у всех сестер оказалась одинаковой: `1700` руб. Найдите суммарную вечернюю выручку (в рублях) всех сестер. Ответ укажите в виде числа.

    Решение:
    `x` - утренняя цена, `y` - вечерняя цена, тогда `x>y>0`.
    Первая утром продала `a` цыплят, вечером `12-a`
    Вторая утром продала `b`, вечером `18-b`
    Третья утром продала `c`, вечером `32-c`.
    Значит `ax+(12-a)y=bx+(18-b)y=cx+(32-c)y=1700` (*)
    Надо найти, чем равно `y*(12-a+18-b+32-c)=y*(62-a-b-c)=V`.
    Из равенств (*) получаем:
    `x(a-b)=y(6+a-b) => x/y=(6+a-b)/(a-b)=6/(a-b)+1` (очевидно, что `a-b!=0`)
    Аналогично, `x/y=14/(b-c)+1=20/(a-c)+1`
    Значит, `6/(a-b)=14/(b-c)=20/(a-c) => 3/(a-b)=7/(b-c)=10/(a-c)`
    Из первого равенство получаем, что `10b=7a+3c`, при таких `a,b,c` выполняются и остальные равенства.
    `10b=7a+3c iff 10(b-a)=3(c-a)`
    `a,b,c in ZZ => c-a, b-a in ZZ`.
    `a in [1;11], b in [1;17], c in [1;31] => c-a in [-10;30]`
    `c-a vdots 10 => c-a=-10, 0, 10, 20, 30`.
    Значение `0` выкидываем, для остальных значений `b-a=-3, 3, 6, 9`.
    Значит, `x/y=(6+a-b)/(a-b)=3, -1, 0, 1/3`.
    `x>y>0 => x/y=3, b-a=-3, c-a=-10`.
    Теперь учитываем, что и утром и вечером было продано положительное число куриц, тогда остается только `1` вариант `a=11, b=8, c=1 => a+b+c=20, y=850/(a+6)=850/17`
    `V=y*(62-a-b-c)=850/17*42=2100`.

    Ответ: `2100`.

  • Задания и решения третьего тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - третий тур выложен в другой теме!


    Задания и решения второго тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - второй тур выложен в другой теме!

    Все решения выложены для ознакомления. При списывании данных решений, ваша работа будет аннулирована! Вы можете изучить решения и на их основе сделать свои решения. Либо вы можете заказать индивидуальные решения своего варианта - 6000 руб. Для первых 10 абитуриентов стоимость составит 5000 руб.


    Задача №10 (вариант 1)
    Найдите все значения `a>0`, при которых существуют положительные решения неравенства

    `x^3/(a+2014^(4/3)x)+(2014^(4/3)x)/(a+x^3)<=3/2-a/(x(x^2+2014^(4/3)))`

    В ответе укажите сумму всех найденных целых значений `a`.

    Решение:
    Обозначим `x^3=b, 2014^(4/3)x=c`, тогда наше неравенство запишется в виде:
    `b/(a+c)+c/(a+b)+a/(b+c)<=3/2`.
     Лемма: `b/(a+c)+c/(a+b)+a/(b+c)>=3/2` при всех `a,b,c>0`, при этом равенство достигается только при `a=b=c`.
    Доказать лемму можно по разному, в т.ч. в лоб.
    Способ 1: делаем замены `a+b=p, b+c=q, c+a=r`, тогда наше неравенство сводится к нер-ву
    `(p/q+q/p)+(q/r+r/q)+(r/p+p/r)>=6` - это верно при всех `p,q,r>0`.

    Чтобы наше исходное неравенство имело решения, необходимо выполнение равенств `a=b=c`.
    `a=x^3=2014^(4/3)x => a=2014^2=4056196`. Это значение годится, выполняются все условия задачи. Других значений `a`, очевидно нет.

    Ответ: `4056196`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике