Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада «Покори Воробьевы Горы» 2013-2014 / Задания и решения / МГУ им. М.В. Ломоносова

  • Задания и решения третьего тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - третий тур выложен в другой теме!

    Задания и решения второго тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - второй тур выложен в другой теме!
    Все решения выложены для ознакомления. При списывании данных решений, ваша работа будет аннулирована! Вы можете изучить решения и на их основе сделать свои решения. Либо вы можете заказать индивидуальные решения своего варианта - 6000 руб. Для первых 10 абитуриентов стоимость составит 5000 руб.


    Задание №1 (Вариант 2, олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Прямая, параллельная выделенной стороне треугольника площади `32`, отсекает от него треугольник площади `2`. Найдите площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвертая лежит на выделенной стороне. Выберите вариант ответа с числом, наиболее близким к найденному Вами.

    Выберите один ответ (выделен правильный ответ):
    a. `8,5`
    b. `9,5`
    c. `10`
    d. `8`
    e. `9`
    f. ни один из указанных пунктов не подходит, либо подходят несколько из них.

    Решение:
    Рассмотрим случай, когда оставшаяся вершина четырехугольника - основание высоты проведенной из противоположенной (к выделенной стороне) вершины треугольника.
    Тогда четырехугольник состоит из двух треугольников, площадь одного из которых равна `2`.
    Найдем площадь второго. `S_2=1/2x*h_2`, где `x` - основание, `h_2` - высота.
    При этом `S_1=1/2x*h_1=2`.
    Также нам известно, что площадь исходного треугольника равна `32`, при это эти треугольник подобны, поэтому коэффициент подобия `k=sqrt(32/2)=4 => h=4h_1 => 4h_1=h_1+h_2 => h_2=3h_1`
    Значит, `S_2=1/2x*h_2=3/2x*h_1=6`.
    `S_1+S_2=8`.

    Если вершина четырехугольника находится в другой точке выделенной стороны, то площадь второго треугольника не меняется, т.к. не меняется его высота и основание.

    Ответ: `8`.
  • Задание №2 (Вариант 2, олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Вычислите

    `(root(4)x+root(4)y)*(x^2+xy-root(4)(x^7y)-root(4)(x^3y^5))/(root(4)(x^5)-root(4)(x^3y^2))`

    где `x=1,11...112` (`2013` единичек после запятой)

    `y=3,88...8` (`2014` восьмерок после запятой)

    Выберите вариант ответа с числом, наиболее близким к найденному Вами.

    Решение:
    Преобразуем числитель дроби:
    `x^2+xy-x^(7/4)y^(1/4)-x^(3/4)y^(5/4)=x^2-x^(7/4)y^(1/4)+xy-x^(3/4)y^(5/4)=`
    `=x^(7/4)(x^(1/4)-y^(1/4))+x^(3/4)y(x^(1/4)-y^(1/4))=x^(3/4)(x^(1/4)-y^(1/4))(x+y)`
    Преобразуем знаменатель дроби:
    `x^(5/4)-x^(3/4)y^(1/2)=x^(3/4)(x^(1/2)-y^(1/2))=x^(3/4)(x^(1/4)-y^(1/4))(x^(1/4)+y^(1/4))`
    После всех сокращений получаем выражение `x+y`.
    `x+y=5`.

    Ответ: `5`.
  • Задание №3 (Вариант 2, олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Сколькими способами можно собрать бригаду из `3` маляров и `4` штукатуров, если имеется `6` маляров и `8` штукатуров?

    Решение:
    Число искомых способов равно `C_6^3*C_8^4=(6!)/(3!*3!)*(8!)/(4!*4!)=20*70=1400`.

    Ответ: `1400`.
  • Задание №4 (Вариант 2, олимпиада Покори Воробьевы горы 2013-2014)
    Определите, сколько существует различных значений `a`, при которых уравнение
    `(a^2-7)x^2-2ax-3=0`
    имеет единственное решение.

    Решение:
    1. Рассмотрим особый случай, когда наше уравнение является линейным, т.е. `a^2-7=0`
    `a=+-sqrt7`.
    Легко заметить, что в обоих случаях будет по `1` корню уравнения.
    2. Пусть `a!=+-sqrt7`. Тогда получаем квадратное уравнение, которое имеет единственное решение при `D=0`.
    `D/4=a^2+3(a^2-7)=4a^2-21=0 iff a=+-sqrt21/2`.
    Итого, получили 4 различных значения параметра `a`.

    Ответ: `4`.
  • Задача №5 (вариант 2)
    Продукт, содержавший первоначально `99%` воды, за некоторое время высох и стал содержать `98%` воды. Во сколько раз он усох (т.е. уменьшил свой вес)?

    Решение:
    Пусть `x` - первоначальный вес продукта, `y` - вес продукта после сушки.
    Тогда `x=0,99x+0,01x, y=0,98y+0,02y`
    при этом в абсолютных величинах изменился лишь объем воды, поэтому `0,01x=0,02y`
    `x=2y => x/y=2`. Вес уменьшился в `2` раза.

    Ответ: `2`.
  • Задача №6 (вариант 2)
    Найдите количество корней уравнения

    `3^((sinx-4)/(2sinx-3))-2=3^((sinx+1)/(2sinx-3))`
    (в степенях дроби `(sinx-4)/(2sinx-3)` и `(sinx+1)/(2sinx-3)`)
    принадлежащих отрезку `[-(3pi)/2;10pi]`.

    Решение:
    Первый способ. Заметим, что `(sinx-4)/(2sinx-3)=1-(sinx+1)/(2sinx-3)`
    Сделаем замену `(sinx+1)/(2sinx-3)=t`
    получим уравнение `3^(1-t)-2=3^t`
    `3^(2t)+2*3^t-3=0`
    `3^t=1` или `3^t=-3` - второй случай исключаем.
    `t=0 => (sinx+1)/(2sinx-3)=0 => sinx=-1, x=-pi/2+2pik, k in ZZ`.
    На отрезке `[-(3pi)/2;10pi]` получаем корни `-pi/2, (3pi)/2, (7pi)/2, (11pi)/2, (15pi)/2, (19pi)/2`
    Всего `6` корней.

    Ответ: `6` корней.
  • Задача №7 (вариант 2)
    В прямоугольном треугольнике `ABC` угол `C` прямой. На стороне `AC` как на диаметре построена окружность. Из вершины `B` проведена касательная к окружности, отличная от `BC`, и `D` - точка касания. Точка `H` является основанием перпендикуляра, проведенного из точки `D` на сторону `AC`. Найдите отношение `DE:EH`, где `E` - точка пересечения `DH` и `AB`. В ответе укажите найденное число, предварительно округлив его до сотых, если требуется.
  • Задача №8 (вариант 2)
    Найдите сумму корней уравнения
    `cos^2x+cos^2 3x -2cosx*cos2x*cos3x=sin^2 6x`
    принадлежащих отрезку `[pi;2pi]`. В ответе укажите целое число, наиболее близкое к найденной сумме.

    Решение аналогичной задачи смотрите на предыдущей странице темы!
  • Задача №9 (вариант 2)
    Три сестры пришли на рынок и продавали поштучно цыплят. Первая принесла `12` цыплят, вторая — `18`, третья — `32` цыпленка. Каждая из них часть товара продала утром, а часть — вечером. Утренняя цена одного цыпленка была у всех сестер одинаковая, и вечерняя цена тоже одинаковая, но более низкая (положительная). К вечеру весь товар был распродан, и дневная выручка (за утро и вечер) у всех сестер оказалась одинаковой: `1700` руб. Найдите суммарную вечернюю выручку (в рублях) всех сестер. Ответ укажите в виде числа.

    Ответ: `2100`.

    Решение этой задачи смотрите на предыдущей странице темы!

  • Задания и решения третьего тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - третий тур выложен в другой теме!


    Задания и решения второго тура отборочного этапа по математике (по ссылке) - второй тур выложен в другой теме!
    Все решения выложены для ознакомления. При списывании данных решений, ваша работа будет аннулирована! Вы можете изучить решения и на их основе сделать свои решения. Либо вы можете заказать индивидуальные решения своего варианта - 6000 руб. Для первых 10 абитуриентов стоимость составит 5000 руб.


    Задача №10 (вариант 2)
    Найдите все значения `a>0`, при которых существуют положительные решения неравенства

    `x^3/(a+2013^(4/3)x)+(2013^(4/3)x)/(a+x^3)<=3/2-a/(x(x^2+2013^(4/3)))`

    В ответе укажите сумму всех найденных целых значений `a`.

    Ответ: `4052169`.

    Решение аналогичной задачи смотрите на предыдущей странице темы!

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике