Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

Олимпиада Ломоносов 2017-2018 по математике / Задания и решения отборочного этапа
  • Внимание: задания и решения второго тура публикуются в другой теме (ссылка).
    Сезон олимпиад 2017-2018 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Заочный тур олимпиады Ломоносов - 5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    В этой теме выкладываются задания и решения заочного тура (отборочный этап) олимпиады Ломоносов 2018 по математике.
    Материалы за прошлые годы выложены в разделе Ломоносов:
    Ломоносов 2017: заключительный этап, отборочный этап (1 тур, 2 тур).
    Ломоносов 2016: заключительный этап, отборочный этап (1 тур, 2 тур).
    Ломоносов 2015: заключительный этап, отборочный этап (1 тур, 2 тур).
    Ломоносов 2014: заключительный этап, отборочный этап (1 тур, 2 тур, 3 тур).
    Ломоносов 2013: заключительный этап, отборочный этап.
    Ломоносов 2012: заключительный этап, отборочный этап.
    Ломоносов 2011: заключительный этап, отборочный этап.
    Ломоносов 2005-2010: задания и решения.

    Олимпиада Ломоносов 2017-2018 стартовала 1 ноября (регистрация на официальном сайте), отборочный этап (заочный тур) проводится в ноябре-декабре. Последние три года отборочный этап состоял из 2-3 независимых туров. Достаточно успешно пройти один тур, чтобы стать участником заключительного этапа. В прошлом учебном году таких туров было два, первый прошел в конце ноября, второй в конце декабря. На каждом туре дается 10 основных заданий + 2 простые задачи. Простые задачи стоят по 1 баллу, основные задачи 9 или 100, общая сумма 100 баллов. Для прохождения на очный тур, как правило, достаточно получить 80+ баллов, т.е. успешно решить 8 основных задач.
    Итоги отборочного этапа подводятся в конце января - начале февраля. Заключительный этап проводится в первой половине марта, на нескольких региональных площадках.

    В этой теме будут выложены задания и решения первого тура, также иная полезная информация по олимпиаде Ломоносов 2017-2018 по математике (регламент, расписание, итоги, статистика, учебные пособия). Следите за обновлениями темы.
    Материалы по подготовке к очному туру - алгебраические задачи.

    Расписание отборочного этапа олимпиады Ломоносов по математике:
    1 тур - с 8 ноября (12:00 часов) по 12 ноября (12:00).
    2 тур - с 1 декабря по 5 декабря.
    Длительность каждого тура 96 часов, но на решение задач вашего варианта вам дается ровно 24 часа, в течение которых вы должны ввести все ответы. Время начала этих 24 часов абитуриент определяет сам (внутри интервала каждого тура).
    Туры независимые, но вы можете принять участие в обоих турах. После каждого тура публикуются ответы, далее вы сможете выбрать один из туров (с лучшим результатом) для проверки.

    Внимание: Полные решения вашего персонального варианта возможно подключить на платной основе - 5 тыс. руб. Ожидаемый результат - 100 баллов.
    Идет запись на 2 тур (1-5 декабря).
    Сейчас можно записаться на любую из этих дат - 3, 4, 5 декабря. На 3 декабря осталось 3 места.
    info@olympiads.biz - почта для вопросов и бронирования.
  • Задача №1.
    Вычислите `1−2+3−4+5−6+…−2016+2017`.

    Решение:
    `S=1−2+3−4+5−6+…−2016+2017=1+2+3+...+2017-2*(2+4+6+...+2016)=`
    `=1+2+3+...+2017-4*(1+2+3+...+1008)=S_1-4S_2`.
    `S_1=(1+2017)/2*2017=2035153, S_2=(1+1008)/2*1008=508536`.
    `S=2035153-2034144=1009`.
    Проще: `S=(1-2)+(3-4)+...+(2015-2016)+2017=1008*(-1)+2017=1009`.

    Ответ: `1009`.
  • Задача №2.
    Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона её основания равна `sqrt3`, а угол между боковой гранью и основанием равен `60^0`.
    Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

    Решение:
    Пусть `S` - вершина пирамиды (проецируется в центр квадрата основания `O`), `H` - основание высоты одной из боковых граней.
    Рассмотрим прямоугольный треугольник `SOH`. По условию, `/_SHO=60^0 => /_HSO=30^0`.
    `OH=1/2sqrt3 => HS=2*OH=sqrt3 => SO=sqrt(3-3/4)=3/2`.
    `V=1/3a^2*h=1/3*3*3/2=3/2=1.5`.

    Ответ: `1.5`.
  • Задача №3.
    Последовательность `{x_n}` задана условиями `x_1=20, x_2=18, x_(n+1)=x_n−x_(n−1)` (`n>=2`). Найдите `x_2017`.

    Решение:
    `x_(n+1)=x_n-x_(n-1)=x_(n-1)-x_(n-2)-x_(n-1)=-x_(n-2)`.
    Аналогично, `x_(n-2)=-x_(n-5) => x_(n+1)=x_(n-5)`.
    Следовательно, `x_(6n+r)=x_r`.
    `x_2017=x_(336*6+1)=x_1=20`.

    Ответ: `20`.
  • Задача №4.
    Найдите все значения `x`, при которых наибольшее из чисел `sqrt(x/2)` и `tanx` не больше, чем `1`. В ответ запишите суммарную длину найденных промежутков числовой прямой, округлив её при необходимости до сотых.
    Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

    Решение:
    Условие эквивалентно системе неравенств:
    `{(sqrt(x/2)<=1),(tanx<=1):}`
    `sqrt(x/2)<=1 iff {(x>=0),(x/2<=1):} => x in [0;2]`.
    Неравенство `tanx<=1` решим на отрезке `[0;2]`.
    Функция `tanx` возрастает на каждом из своих периодов, в т.ч. на интервалах `(-pi/2;pi/2)uu(pi/2;3/2pi)`.
    Рассмотрим интерал `(0;pi/2)`:
    `tanx=1` при `x=pi/4 => tanx<=1` при `x in [0;pi/4]`.
    Рассмотрим интервал `(pi/2;2]`:
    `2<3/4pi => tanx<1` на всем интервале.
    Решением системы является объединение интервалов `[0;pi/4]uu(pi/2;2]`.
    Сумма длин отрезков равна `pi/4+2-pi/2=2-pi/4~~1.21`.

    Ответ: `1.21`.
  • Задача №5.
    Филателист Валерий решил разложить все свои марки поровну в `2` конверта, но оказалось, что одна марка лишняя. Когда он разложил их поровну в `3` конверта, лишней снова оказалась одна марка; когда он разложил их поровну в `5` конвертов, лишними оказались `3` марки; наконец, когда он попытался их разложить поровну в `9` конвертов, осталось `7` марок. Сколько всего марок у Валерия, если недавно, для того чтобы разместить их все у себя, ему пришлось купить третий альбом на `160` марок, так как двух таких же альбомов уже не хватало?

    Решение:
    `m` - число марок.
    По условию, `320<m<=480`.
    `m -= 1` `mod` `2` (`m` дает остаток `1` при делении на `2`).
    `m -= 1` `mod` `3`,
    `m -= 3` `mod` `5`,
    `m -= 7` `mod` `9`.
    Значит, `m-1` делится на `2` и на `3`, следовательно, и на `6`.
    `m-1=6n => m=6n+1`.
    С другой стороны, `m-7=9k => m=9k+7`.
    `6n+1=9k+7 => 2n=3k+2 => k=2t => n=3t+1`.
    `m=6n+1=6(3t+1)+1=18t+7`.
    Последнее условие, `m=5l+3`:
    `5l+3=18t+7`,
    `5l=18t+4 => 3t+4=5(l-3t)` - делится на `5`.
    `3t+4` делится на `5` только если `t` дает остаток `2` при делении на `5` (перебором).
    `t=5T+2 => m=18t+7=18(5T+2)+7=90T+43`.
    `320<90T+43<=480`,
    `277<90T<=437`,
    `3<T<5 => T=4`.
    `n=403`.

    Ответ: `403`.
  • Задача №6.
    Через вершину `A` параллелограмма `ABCD` проведена прямая, пересекающая диагональ `BD`, сторону `CD` и прямую `BC` в точках `E, F` и `G` соответственно. Найдите отношение `BE:ED`, если `FG:FE=4`.
    Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
  • Задача №7.
    Найдите сумму цифр в десятичной записи целой части числа `sqrt(11...1122...225)`. `2017` единичек и `2018` двоек.
    Ответ дайте в виде целого числа.
  • Задача №8.
    Найдите все целые решения уравнения `xln81log_17e=40log_17y`. В ответе укажите разность `x−y` для решения `(x,y)`, в котором `y` — наименьшее, превосходящее `50`.
    Ответ дайте в виде целого числа.
  • Задача №9.
    Найдите наименьшее значение выражения `(5x^2+8xy+5y^2−14x−10y+30)/(4−x^2−10xy−25y^2)^(7/2)`.
    Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.
  • Задача №10.
    В тетраэдре `KLMN` известно, что `KL=MN=4, KM=LN=5, KN=ML=6`. Точки `P, Q, R, S` являются центрами окружностей, вписанных в треугольники `KLM, KLN, KMN` и `LMN`. Найдите объём тетраэдра `PQRS`.
    Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике