Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике

Подписывайтесь на нашу рассылку решений заочных туров всех олимпиад по математике: Ломоносов, Покори Воробьевы горы, Высшая проба, Физтех 2018 и другие перечневые олимпиады.

2 тур отборочного этапа олимпиады Ломоносов по математике / Задания и решения
  • Сезон олимпиад 2017-2018 открыт!
    Идет запись на наши курсы подготовки к олимпиадам по математике с гарантированным результатом.
    image
    1. Индивидуальные занятия и консультации.
    2. Помощь в прохождении заочных туров олимпиад. Одна олимпиада 1-5 тыс. руб.
    3. Заочный тур олимпиады Ломоносов - 5 тыс. руб.
    3. Помощь эксперта на очных турах олимпиад. Одна олимпиада от 30 тыс. руб.
    4. Гарантия успешного результата (курсы ведутся пятый сезон).

    Стоимость курсов от 3000 до 25000 руб. в месяц. Стандартный курс - 10000 руб. в месяц. Длительность курсов - 6 месяцев.
    В составе стандартного курса заочные туры 10 олимпиад и очные туры 2 олимпиад.
    Посмотреть тарифные планы и подробную информацию по курсам подготовки.


    В этой теме выкладываются задания и решения 2 тура отборочного этапа олимпиады Ломоносов 2018 по математике.

    Внимание: Полные решения вашего персонального варианта возможно подключить на платной основе - 5 тыс. руб. Ожидаемый результат - 100 баллов.
    Идет запись на 2 тур (1-5 декабря).
    Сейчас можно записаться на любую из этих дат - 3, 4, 5 декабря. На 3 декабря осталось 3 места.
    info@olympiads.biz - почта для вопросов и бронирования.
  • Задача №1.
    Найдите сумму первых `870` натуральных чисел, не делящихся на `12`.
    Ответ дайте в виде целого числа.

    Решение:
    Сумма `12n` первых натуральных чисел равна `(12n(12n+1))/2=6n(12n+1)`.
    Из них `11n` чисел не делится на `12`, остальные `n` чисел делится на `12`.
    Сумма `n` чисел, делящихся на `12`, равна
    `12+24+...+12n=12*(n(n+1))/2=6n(n+1)`.
    Итак, сумма первых `11n` чисел, не делящихся на `12`, равна
    `72n^2+6n-6n^2-6n=66n^2`.
    Значит, сумма первых `869=11*79` чисел равна `66*79^2`.
    `870`-ое число равно `12*79+1=949`.
    Общая сумма равна `412855`.

    Ответ: `412855`.
  • Задача №2.
    Какую часть площади квадрата занимает вписанный в него круг? Ответ дайте в процентах, округлив его до целых.
    Ответ дайте в виде целого числа.

    Решение:
    Пусть `S_(кв)=1 => r=1/2` - радиус вписанного круга.
    `S_(кр)=pir^2=pi/4`.
    Отношение площадей равано `pi/4`.
    Доля в процентах равна `100*pi/4=25pi ~~ 78,54`.
    Округляем до целого числа, получаем `79`.

    Ответ: `79`.
  • Задача №3.
    Найдите наименьшее `13`-значное натуральное число, делящееся на `36` и содержащее в своей записи каждую из `10` цифр не менее одного раза.
    Ответ дайте в виде целого числа.

    Решение:
    Число делится на `36`, значит делится на `9` и на `4`.
    Сумма цифр делится на `9`, а также число, составленное из последних двух цифр, делится на `4`.
    Подойдет комбинация цифр `1,0,0,0,0,2,3,4,5,6,7,8,9`.
    Сумма цифр равна `(9*10)/2=45`. Каждая цифра встречается не менее `1` раза.
    Осталось разобраться с делимостью на `4`.
    Число, составленное из последних `2` цифр, в любой комбинации не делится на `4`.
    Число, составленное из последних `3` цифр, в любой комбинации не делится на `4`.
    Возьмем последние `4` цифры, на `4` делятся числа `8976, 9876, 7896, 8796, 7968, 9768`.
    Минимальное число `7896`.

    Ответ: `1000023457896`.
  • Задача №4.
    Синус двугранного угла при боковом ребре правильной четырёхугольной пирамиды равен `24/25`. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь её диагонального сечения равна `12`.
    Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. 

    Решение:
    1) Проведем высоту `BH` в треугольнике `ABS`.
    Поскольку пирамида правильная, то треугольники `ABS` и `ADS` равны
    `=> DH` тоже высота.
    2) `BH_|_AS, DH_|_AS =>` плоскость `BHD || AS => OH_|_AS`.
    3) плоскость `BHD || AS => sin/_BHD=24/25`.
    Рассмотрим треугольники `BOH` и `BOA`:
    `sin/_BHO=(BO)/(BH)`, т.к. `HO` - медиана равнобедренного треугольника `BHD`,
    `sin/_BAO=(BO)/(BA)=sqrt(2)/2`,
    т.к. `AB>BH`, то `sin/_BHO>sin/_BAO => /_BHO>/_BAO =>`
    `=> /_BHO>pi/4 => /_BHD>pi/2 => cos/_BHD <0`.
    `cos/_BHD= -sqrt(1-sin^2(/_BHD))= -sqrt(1-(24/25)^2)=-sqrt(25^2-24^2)/25=-7/25`.
    4) `/_BHO=1/2*/_BHD => /_BHO<pi/2 => cos/_BHO>0 =>`
    `=> cos/_BHO=sqrt(cos^2(/_BHO))=sqrt((1+cos/_BHD)/2)=sqrt((1-7/25)/2)=`
    `=sqrt((18/25)/2)=sqrt(9/25)=3/5`.
    5) Т.к. пирамида правильная, то `S_(AOS)=1/2*S_(ACS)=1/2*12=6`.
    `S_(AOS)=1/2*AS*OH`.
    Т.к. `OB_|_OA, OB_|_OS`, то `OB_|_пл.AOS => OH=BH*cos/_BHO=3/5*BH`.
    `S_(ABS)=1/2*AS*BH=1/2*AS*OH*5/3=S_(AOS)*5/3=6*5/3=10`.
    `S_(бок)=4S_(ABS)=4*10=40`.

    Ответ: `40`.
  • Задача №5.
    При каком наименьшем положительном `a` неравенство `(root(3)(sin^2x)-root(3)(cos^2x))/(root(3)(tan^2x)-root(3)(cot^2x))<a/2` выполнено при всех допустимых `x in ((3pi)/2;2pi)`?
    Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

    Решение:
    `root(3)(sin^2x)=t, root(3)(cos^2x)=z`.
    Тогда, `f(x)=(t-z)/(t/z-t/z)=(tz(t-z))/(t^2-z^2)`.
    Скажем, что `t!=z`, тогда `f=(tz)/(t+z)`.
    Заметим, что `t^3+z^3=1`.
    `t,z in (0;1)` при `x in ((3pi)/2;2pi)`.
    Итак,
    надо найти наименьшее положительное `a`, при котором неравенство
    `(tz)/(t+z)<a/2` всегда выполнено при заданных условиях.
    Иначе говоря, надо найти максимум выражения `(tz)/(t+z)` при заданных условиях.
    `sqrt(tz)<=1/2(t+z) => tz<=1/4(t+z)^2`.
    `f<=1/4(t+z)`.
    В свою очередь, `(t+z)^3=t^3+3tz(t+z)+z^3<=`
    `<=t^3+z^3+3/4(t+z)^3 => 1/4(t+z)^3<=t^3+z^3=1`.
    `(t+z)^3<=4 => t+z<=root(3)4`.
    Тогда, `f<=1/4*root(3)4=root(3)(4/64)=root(3)(1/16)=1/(2root(3)2)`.
    Максимум достигается в том случае, когда все неравенства обращаются в равенства, а это возможно при `t=z`.
    Итак, `a/2=1/(2root(3)2) => a=1/(root(3)2)~~0.79`.

    Ответ: `0.79`.
  • Задача №6.
    В автосалон поступили автомобили марок Audi, BMW, Volvo и Hyundai, причём суммарное число машин первых трёх марок меньше трети числа последней. Если бы автомобилей Audi поступило в 7 раз больше, то их вместе с автомобилями Volvo было бы на 58 штук меньше, чем автомобилей Hyundai. Если бы автомобилей Volvo поступило в 5 раз больше, то в сумме с автомобилями Audi и BMW их было бы на 11 больше, чем Hyundai. Наконец, если бы автомобилей BMW поступило в 2 раза больше, то автомобилей Hyundai было бы на 52 штуки больше, чем оставшихся трёх марок. Сколько автомобилей Hyundai поступило в автосалон?
    Ответ дайте в виде целого числа.

    Решение:
    `a,b,c,d` - количество автомобилей Audi, BMW, Volvo и Hyundai.
    По условию, `a+b+c<1/3d`,
    `7a+c=d-58`,
    `5c+a+b=d+11`,
    `a+2b+c=d-52`.
    Надо найти `d`.
    Вычтем из второго равенства третье:
    `4c-b=63 => b=4c-63`. Отсюда, в частности, следует, что `4c>63 => c>=16`.
    Вычтем из второго равенства первое:
    `4c+b-6a=69 => 8c-6a=132`,
    `3a=4c-66 => c` делится на `3`.
    Пусть `c=3k => a=4k-22, b=12k-63`.
    Заметим, что `3k>=16 => k>=6`.
    Подставим в первое уравнение:
    `7a+c=d-58`,
    `d=7(4k-22)+3k+58`,
    `d=31k-96`.
    Подставим найденные значение `a,b,c,d` в неравенство:
    `a+b+c<1/3d`,
    `4k-22+12k-63+3k<1/3(31k-96)`,
    `26/3k<53 => k<159/26`.
    `k<=6` ввиду своей целостности.
    Итак, `6<=k<=6 => k=6`.
    `d=31k-96=90`.

    Ответ: `90`.
  • Задача №7.
    Пусть `S(n)` — сумма цифр в десятичной записи числа `n`. Найдите `S(S(S(S(2017^2017))))`.
    Ответ дайте в виде целого числа.

    Решение:
    `n=2017^2017<2048^2017=2^(11*2017)=2^22187`.
    `2^22187<2^22191=2^(13*1707)=8192^1707<10^(4*1707)`.
    Итак, `n<10^6828`.
    Значит, `S(n)<=9*6828=61452<10^5`.
    Тогда, `S(S(n))<=9*5=45`.
    `S(S(S(n)))<=3+9=12 => S(S(S(S(n))))<=9`.
    Известно, что `n` и `S(n)` дают одинаковый остаток при делении на `9`.
    Также, `S(S(S(S(n))))<=9`, значит достаточно найти остаток при делении на `9` числа `n`.
    `2017^2017=(2016+1)^2017=2016N+1` - дает остаток `1` при делении на `9`.

    Ответ: `1`.
  • Задача №8.
    Пусть `f(x)=x^2+px+q`. Известно, что неравенство `|f(x)|>1/2` не имеет решений на отрезке `[4;6]`. Найдите `f(f(…f((9−sqrt19)/2))…)`. `2017` раз.
    Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

    Решение:

    Если `|f(x)|>1/2` не имеет решений на отрезке `[4;6]`, следовательно, `|f(x)|<=1/2` на всем отрезке `[4;6]`.
    `-1/2<=f(x)<=1/2`.
    Значит, `{(-1/2<=f(4)<=1/2),(-1/2<=f(6)<=1/2):}`.
    Если `x_0=-p/2 in [4;6]`, добавляется неравенство `-1/2<=f(-p/2)<=1/2`.
    `{(-1/2<=16+4p+q<=1/2),(-1/2<=36+6p+q<=1/2):}`
    Графически получим `-21/2<=p<= -19/2 => 19/4<= -p/2 <= 21/4`. Область в виде параллелограма.
    Значит, `-1/2<= -p^2/4+q<=1/2`, вершина попадает в наш отрезок.
    Графически получаем единственную точку пересечения областей:
    `p=-10, q=49/2`.
    `f(x)=x^2-10x+49/2`.
    `f((9-sqrt19)/2)=(9+sqrt19)/2`.
    `f((9+sqrt19)/2)=(9-sqrt19)/2`.
    Значит, `f^2017((9-sqrt19)/2)=(9+sqrt19)/2 ~~ 6.68`.

    Ответ: `6.68`.
  • Задача №9.
    В треугольнике `KLM` проведена медиана `KP`, точка `O` — центр описанной около него окружности, точка `Q` — центр вписанной в него окружности. Отрезки `KP` и `OQ` пересекаются в точке `R`, при этом `(OR)/(PR)=sqrt14(QR)/(KR)`. Найдите произведение синусов величин углов `KLM` и `KML`, если известно, что `/_LKM=pi/3`. Ответ при необходимости округлите до сотых.
    Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

  • Задача №10.
    Решите в натуральных числах уравнение `(xy)^y=(x/y)^x`. В ответе укажите разность `x−y` для решения `(x,y)`, в котором `x` — наименьшее, превосходящее `2500`.
    Ответ дайте в виде целого числа.

    Решение:
    `(xy)^y=(x/y)^x`.
    Левая часть уравнения является натуральным числом при `x,y in NN`.
    Значит и правая часть должна быть целым числом.
    Пусть `x` не делится нацело на `y`, тогда `(x/y)^x=(a^x)/(b^x)`, где `a,b` взаимно простые натуральные числа. Противоречие.
    Итак, `x=ky`, где `k in NN`.
    `(ky^2)^y=k^(ky)`,
    `(ky^2)^y=(k^k)^y`,
    `ky^2=k^k` в силу натуральности выражений в скобках.
    `k(k^(k-1)-y^2)=0 => k^(k-1)=y^2`.
    Пусть `k=2n-1, n in NN => y=(2n-1)^(n-1), x=(2n-1)^n`.
    Пусть `k=2n, n in NN => (2n)^(2n-1)=y^2`.
    Если в разложении числа `2n` есть нечетная степень простого числа, получим противоречие.
    Значит, `k=2n=m^2 => y=m^(m^2-1), x=m^(m^2+1)`.
    Итак, получили две серии:
    `(x,y)=((2n-1)^n, (2n-1)^(n-1)), (m^(m^2+1), m^(m^2-1))`.
    По условию, `x>2500`.
    Минимальный `x>2500` из первой серии равен `9^5`, т.к. `7^4=2401`.
    Минимальный `x>2500` из второй серии равен `3^10=59049`, т.к. `2^5=32`.
    Итак, `x=9^5, y=9^4 => x-y=9^5-9^4=9^4*8=52488`.

    Ответ: `52488`.

Рассылка решений заочных туров олимпиад по математике